Control por realimentación del estado

Transcripción

1 Control por realimentación del estado Introducción Realimentación del estado Control de sistemas monovariables Control de sistemas multivariables U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación Introducción: ejemplo (/2 motor k ω Ts s α control clásico control por realimentación del estado α ref - G C (s k ω Ts s α α ref k ω α Ts s K K 2 U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 2

2 Introducción: ejemplo (2/2 K s K 2 K s K 2 k Ts s = k Ts K s K 2 Ventajas de la realimentación del estado: se usa toda la información del sistema para calcular la entrada manipulada no se usan derivadores de difícil realización física, sino elementos proporcionales U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 3 Introducción: motivación Control por realimentación de la salida x ref - PID u x U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 4 2

3 Introducción: motivación Control por realimentación del esatdo v - u x x θ θ K U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 6 Introducción: estructura genérica (2/5 r u B ~ a x~ a x~a C ~ a y subsistema controlable A ~ aa S A ~ ab x~ b S 2 C ~ b Realimentación K A ~ bb sólo tiene sentido realimentar la parte controlable U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 8 3

4 Control por realimentación del estado Introducción Realimentación del estado Control de sistemas monovariables Control de sistemas multivariables U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 9 Realimentación del estado (/2 r u B Sistema A x C y r B ABK x C y Sistema realimentado K Realimentación la dinámica del sistema realimentado cambia según: A r = A BK U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 0 4

5 Realimentación del estado (2/2 A r = A BK Objetivo: cálculo de K para conseguir la dinámica dada por A r Características: sistema con nxn ecuaciones y nxm incógnitas Conclusiones: no todas las matrices A r son posibles se debe usar una base del espacio de estado en la que las ecuaciones sean compatibles y sencillas de resolver U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación Control por realimentación del estado Introducción Realimentación del estado Control de sistemas monovariables Control de sistemas multivariables U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 2 5

6 Control de sistemas monovariables: cálculo de K dado el sistema monovariable: G( s b s n n = n n s an s L bs b0 L a s a cuando se realimenta el estado con la matriz: 0 # 0 0 L 0 # 0 % ( % ( % 0 0 L 0 ( % 0 ( x (t = % M M M O M ( x(t % M( u(t % ( % ( % L ( % 0 ( %"a 0 "a "a 2 L "a n" '( % ' ( [ b b b b ] x( y( t = L n 2 n 0 t se obtiene el sistema: [ b b b b ] x( y( t = L n 2 n 0 t se modifican los polos según K no se alteran los ceros la ganancia se altera en función de la situación de los polos U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 3 Ejemplo realimentación monovariable Calcular la matriz de realimentación del estado del sistema: 3s 6 G(s = s 3 3s 2 7s para situar sus polos en -±j y -0 P cc (s = (s 2 2s 2(s 0 = s 3 2s 2 22s 20 luego: 20 =" k # 22 = 7 " k % 2 2 = 3" k % 3 K = ["9 "5 "9] U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 4 6

7 Problema realimentación monovariable U s2 s s Y Calcular la matriz de realimentación de las variables de fase que consigan que el sistema en cadena cerrada tenga todos sus polos en -2 U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 5 Control de sistemas monovariables: estructura r u B Sistema A x C y Realimentación de las variables de fase K x T " Matriz de realimentación de las variables originales: K U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 6 7

8 Control de sistemas monovariables: calculo de T Cálculo de la matriz de cambio de base T tal que: x = T x donde x son las variables originales y Q = [ B AB L A n" B] Q ' T e # T e2 = M T % en " T ' x son las variables de fase T e # n T en A = M T n' % en A " U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 7 Problema realimentación monovariable U s2 s s Y Calcular la matriz K de realimentación de las variables de salida de cada bloque que consigan que el sistema en cadena cerrada tenga todos sus polos en -2 Dibujar el esquema de control utilizado U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 8 8

9 Resolución cálculo de matriz de realimentación variables de fase: cálculo de la matriz de cambio de base: cálculo de la matriz de realimentación de las variables originales: U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 9 Solución problema realimentación monovariable U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 20 9

10 Control por realimentación del estado Introducción Realimentación del estado Control de sistemas monovariables Control con error de posición nulo Control de sistemas multivariables U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 2 Realimentación monovariable con error de modelado y perturbación U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 22 0

11 Estructura control realimentación del estado y e p =0 U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 23 Ecuaciones control realimentación del estado y e p =0 Haciendo el cambio x = T x : U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 24

12 Problema realimentación monovariable con e p =0 U s2 s s Y Calcular y dibujar la estructura de control por realimentación del estado que consigue que el sistema tenga sus dos polos más significativos en -2 y además tenga error de posición nulo U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 25 Resolución cálculo de matriz de realimentación variables de fase: cálculo de matriz de realimentación variables originales: U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 26 2

13 Realimentación monovariable e p =0, con error de modelado y perturbación U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 27 Control por realimentación del estado Introducción Realimentación del estado Control de sistemas monovariables Control de sistemas multivariables U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 28 3

14 Control de sistemas multivariables (/7 Decisión de contrabilidad por entradas: [ ] = [ ] Q = B AB K A n" B ] = b L b m Ab L Ab m L A n" b L A n" b m L = b Ab L A n " b b 2 LA n 2 " b 2 L b m L A n m [ " b m ] 2 n i es el nº de variables controladas por la entrada i-esima las entradas se ordenan de manera que n n 2 n m m U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 29 Cálculo de K tal que: Control de sistemas multivariables (2/7 A r = A B K Existe una matriz de cambio de base T c tal que la matriz queda expresada en la segunda forma canónica controlable: " A A 2 L A d % m el nº de entradas utilizadas A A = 2 A 22 L A ' para controlar el sistema 2d ' n i el nº de v.e. controladas por M M O M ' la entrada i-esima # A d A d 2 L A ' de dimension n dd i xn i A siendo cada una de las cajas de forma: ij de dimensión n i xn j 0 L 0 ' 0 L 0 ' 0 0 L 0 M O M A ij = A ii = M M O M 0 L L " a # i # j "n j L " a % " a # # i # j i # i -n i " a # i # i -n i 2 L " a # i # i ( % ( U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 30 A 4

15 Marices La matriz " B = M # B B 2 B m B Control de sistemas multivariables (3/7 B y K en la 2ª forma canónica controlable: % ' siendo cada una de # 0 L 0 0 L 0 ' las cajas de forma: % M M M M M M ' B i = % % ' 0 L 0 0 L 0 % 0 L b " i i L La matriz K tiene la forma: " k L k n % K ' = M O M k # m L k ' mn ' L L i i m b " i m U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 3 ( ( ( ( ' A B K, j ( = Control de sistemas multivariables (4/7 CÁLCULO de A r = A B K Efectuando la operación matriz A B K se obtiene la expresión de la columna j-esima: 0 ' " a # j k j b # 2 k 2 j b # 3 k 3 j L b # m k mj * n =# * n n 2 =# 2 0 " a # 2 j k 2 j b # 2 3 k 3 j L b # 2 m k mj M 0 " a # m" j k m" j b # m" m k mj 0 % k mj ( * n Ln m =# m = n U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 32 " a # m j * n Ln m" =# m" 5

16 Control de sistemas multivariables (5/7 A r DETERMINACIÓN de la matriz A r tiene elementos distintos de 0 y sólo en las filas σ,... σ n los mxn elementos de las filas σ,... σ n de la matriz A r dependen de los mxn elementos de la matriz K. Estos valores pueden ser elegidos libremente, dando lugar a un sistema compatible y determinado para el cálculo de los elementos de K. 0 0 L 0 ' 0 0 L 0 A r = M M M O M L % "# 0 "# "# 2 L "# n" ( U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 33 Control de sistemas multivariables (6/7 CÁLCULO de K : A B K A partir de A B K, se obtienen las siguientes ecuaciones para cada columna: " # j = a # j k j b # 2 k 2 j b # 3 k 3 j L b # m k mj " # 2 j = a # 2 j k # 2 j b # 2 3 k 3 j L b # 2 m k mj M " # m j = a # m j k # m j b # m m k mj % j = a nj k mj donde: # = " 0 para para j j = % i % i j % i U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 34 6

17 CÁLCULO de T: Q = B AB K A n" B Control de sistemas multivariables (7/7 [ ] = [ b L b m Ab L Ab m L A n" b L A n" b m ] n n2 n [ b Ab L A b b L A b L b A b ] m L = 2 2 m L 2 m L ' e # M e( = M e( 2 M % e " σ σ 2 ( σ = m m n nm ' U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación % e( A m " σ = m n 35 T m ' e( e( A M n e( A e( 2 M n2 ( A 2 M e( m M = e ' ' # σ σ σ 2 σ m dado el sistema: Ejemplo de control multivariable u 3 u x s s u 2 2 x 2 s2 Elegir las distintas combinaciones de entradas que permiten la controlabilidad del sistema Calcular la matriz de realimentación de las variables de estado de la figura que sitúan todos los polos del sistema en -3, para cada combinación posible de las entradas Dibujar la respuesta del sistema en Simulink y justificarla mediante el cálculo de las f.d.t. X 3 (s/u (s y X 3 (s/u (s U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 36 x 3 7

18 Resolución control multivariable: elección entradas U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 37 Resolución control multivariable: elección entradas modelo de estado: matriz de controlabilidad: elecciones de matrices L: U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 38 8

19 Solución control multivariable: solución Cálculo T: Modelo en la nueva base: Matriz del sistema realimentado: U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 39 Solución control multivariable: solución Especificaciones: igualando: se obtiene la matriz de realimentación en la nueva base: deshaciendo el cambio de base: U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 40 9

20 Solución control multivariable: solución >> [num,den]=ss2tf(ar,b,c,d, num = 9 den = U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 4 Solución control multivariable: solución 2 Cálculo T: Modelo en la nueva base: Matriz del sistema realimentado: U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 42 20

21 Solución control multivariable: solución 2 Especificaciones: igualando: se obtiene la matriz de realimentación en la nueva base: deshaciendo el cambio de base: U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 43 Solución control multivariable: solución 2 >> [num,den]=ss2tf(ar,b,c,d, num = -54 den = U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 44 2

22 Solución control multivariable: solución 3 Cálculo T: Matriz del sistema realimentado: U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 45 Solución control multivariable: solución 3 se obtiene la matriz de realimentación en la nueva base: deshaciendo el cambio de base: U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 46 22

23 Solución control multivariable: solución 3 >> [num,den]=ss2tf(ar,b,c,d, num = den = U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 47 Solución control multivariable: comparativa de soluciones U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 48 23

24 por qué un nuevo control? Control por realimentación del esatdo v - u x observador x x θ θ U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 49 K 24