Indica cuáles de los números son racionales y cuáles son irracionales.

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1 SOLUCIONARIO ACTIVIDADES Razona cuáles de los siguientes números decimales son racionales y cuáles son irracionales. a), e), b), f), c), g), d), h), a) Racional, periódico puro. e) Racional, periódico mixto. b) Racional, decimal exacto. f) Racional, periódico puro. c) Irracional. g) Racional, periódico mixto. d) Irracional. h) Racional, decimal exacto. Indica cuáles de los números son racionales y cuáles son irracionales. a) d) 0 g) b) 9 e) h) c) f) i) Son racionales los números de los apartados b) y h), y el resto son irracionales. Averigua cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales. a) c) 9 e) 6 6 b) d) f) Son racionales los números de los apartados c), e) y f). Son irracionales los números de los apartados a), b) y d). Escribe tres números racionales y otros tres irracionales. Explica cómo lo realizas. Los números racionales son el resultado de fracciones de números enteros; por ejemplo:,;,4 y,09. Los números irracionales son números cuya parte decimal no tiene período; por ejemplo:,4 ;, ;,4444 Escribe un número irracional comprendido entre: a) y b) 0, y 0, c) 0,4 y 0,4 d), y, a), c) 0,404 b) 0,4444 d),

2 Números reales 04 Calcula y determina qué tipo de número es, en un triángulo equilátero: h a) La altura, si el lado mide 0 cm. b) El área, si el lado mide cm. c) La altura y el área si el lado mide cm. a) h = 0 = cm Es irracional. b) h = A = cm = = cm 4 Es irracional. 9 c) h = = = cm A = = cm Son irracionales. l 04 Ordena, de menor a mayor, ayudándote de la calculadora. 8 + < < < < < 8 < < + 04 Clasifica los siguientes números reales en naturales, enteros, racionales o irracionales. Di de qué tipo es su expresión decimal. a), c) e) π g) 64 6 b) d) f) h) 90 a) Racional, decimal exacto. e) Irracional. b) Racional, periódico puro. f) Racional, periódico mixto. c) Racional, decimal exacto. g) Entero. d) Irracional. h) Entero. 8

3 SOLUCIONARIO Compara estos pares de números. a), y, b) 9 y ( ) c),4 y d) 9 a), >, b) 9 = ( ) c),4 < d) 9 y 4 Ordena, de menor a mayor, los siguientes conjuntos de números reales. a),,4,,... b),6,6688,666,6 c) 8,4 8, ,4 8,4 > 4 a), <, <, <,4 b),6 <,6688 <,666 <,6 c) 8,4 < 8,4 < 8,4 < 8, Calcula el inverso y el opuesto de: a) d) g) 4 b) e) π h),4 4 c) f),4 i) 0, a) Inverso: = 0, Opuesto: b) Inverso: = 0, Opuesto: c) Inverso: = 0, Opuesto: 4 =, 4 4 d) Inverso: = 0,6 Opuesto: 4 e) Inverso: Opuesto: π =,4964 π =, f) Inverso: = 0,4 8 Opuesto:,4 g) Inverso: = 0, 069 Opuesto: 9 h) Inverso: = 0,69 0 Opuesto:,4 90 i) Inverso: = 8,8 Opuesto: 0, =, =,

4 Números reales 04 Razona si las afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Hay números enteros que no son racionales. b) Existen números irracionales que no son números reales. c) Un número real es racional o irracional. d) Cualquier número decimal es un número real. a) Falsa, ya que cualquier número entero se puede expresar en forma de fracción de números enteros: el mismo número dividido entre la unidad. b) Falsa, pues los números irracionales están incluidos en el conjunto de los números reales. c) Verdadera. d) Verdadera, porque los números decimales son racionales o irracionales, y todos son números reales. 048 Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones. Razona tu respuesta. a) Todos los números decimales se pueden escribir en forma de fracción. b) Todos los números reales son racionales. c) Un número irracional es real. d) Existen números enteros que son irracionales. e) Hay números reales que son racionales. f) Cualquier número decimal es racional. g) Un número racional es entero. h) Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales. i) Todos los números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten. a) Falsa, pues solo se pueden escribir como fracción los números racionales. b) Falsa, ya que los números irracionales no son racionales. c) Verdadera. d) Falsa. e) Verdadera. f) Falsa, porque los números irracionales no son racionales. g) Falsa, ya que es el cociente de dos números enteros. h) Verdadera. i) Falsa, pues los números decimales exactos tienen un número finito de cifras. 80

5 SOLUCIONARIO 049 Realiza las operaciones, sacando factor común. a) b) c) 4 + d) + 9 a) ( ) = 6 = 96 b) ( ) = =.66 c) 4 + = = 4 6 d) + 9 = = Si a y b son dos números reales y a < b, qué sucede con sus opuestos? Y con sus inversos? Contesta razonadamente. Inversos: > a b Opuestos: a > b 0 A qué número corresponde esta representación? 4 + = = Utiliza el teorema de Pitágoras para representar en la recta real estos números. a) 8 b) c) d) 9 a) b)

6 Números reales c) d) Ordena, de menor a mayor, y representa estos números. 0, 4 < < 0, < 4 < < 0, F F F Ordena, de menor a mayor, y representa, de forma exacta o aproximada. 6,,6 < 6, < 6, < <,6,6 F F 0 4 8

7 SOLUCIONARIO 0 Describe y representa los siguientes intervalos en la recta real. a) (0, 0) c) (, ) e) [, 0) b) (, ] d) [, ] f) [ 4, + ) a) 0 < x < 0 b) < x 0 0 c) x < d) x e) x < f) x Escribe el intervalo que corresponde a los valores de x. a) < x < c) x e) x > g) x < 9 b) 6 < x d) x < f) x h) 0 x a) (, ) c) (, ] e) (, + ) g) [, 9) b) (6, ] d) (, ) f) [, + ) h) [0, ] 0 Expresa mediante intervalos estas situaciones. a) La altura de las casas es menor que 8 m. b) El descuento se aplica a niños con edades comprendidas entre y años, ambos incluidos. c) La tarjeta sirve para menores de 6 años. d) La entrada es gratuita para menores de años o mayores de 6 años. e) La temperatura osciló entre C y C. a) (0, 8) d) (0, ) (6, + ) b) [, ] e) [, ] c) (0, 6) 8

8 Números reales 08 Representa los intervalos (0, ) y (, ) en la misma recta, y señala el intervalo intersección. 0 4 El intervalo intersección es (0, ). 09 Representa los intervalos (, 8) y [, + ) en la misma recta, y señala mediante un intervalo los puntos que pertenecen a ambos El intervalo intersección es [, 8). 060 Escribe dos intervalos cuya intersección sea [, ]. Por ejemplo: [, ) ( 8, ] = [, ] 06 Escribe dos números racionales y otros dos irracionales contenidos en el intervalo [0, 4]. Racionales:, y,4 Irracionales: y 06 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA EL INTERVALO QUE CONTIENE EL RESULTADO DE UNA OPERACIÓN? Si x pertenece al intervalo (, ) e y pertenece a (, 4), indica a qué intervalo pertenece el resultado de estas operaciones. a) x + y b) x y PRIMERO. Se toman los extremos de los intervalos y se opera como se indica en cada caso. Extremos inferiores Extremos superiores a) x + y + = x + y + 4 = 6 b) x y 4 = x y = 0 SEUNDO. Se toman los resultados como los extremos de los nuevos intervalos. a) x + y pertenecerá al intervalo (, 6). b) x y pertenecerá al intervalo (, 0). 06 Si dos números reales, x e y, pertenecen a los intervalos (, ) y [0, ], respectivamente, a qué intervalo pertenece el resultado de las operaciones? a) x + y b) x y c) y x d) x y a) (, ) b) (, ) c) (, ) d) (, 6) 84

9 SOLUCIONARIO 064 Con ayuda de la calculadora, escribe en forma decimal y sus aproximaciones por exceso y por defecto a las diezmilésimas. =, Aproximación por exceso:, Aproximación por defecto:, Redondea a las milésimas el número. Calcula sus aproximaciones por exceso y por defecto. Qué observas? Aproximación por exceso:,646 Aproximación por defecto:,64 Aproxima por exceso y por defecto con dos cifras decimales. a) 4 ) b) c) d),6 a) Aproximación por exceso: 0, c) Aproximación por exceso:,4 Aproximación por defecto: 0, Aproximación por defecto:, b) Aproximación por exceso:,0 d) Aproximación por exceso:,66 Aproximación por defecto:,09 Aproximación por defecto:,6 Qué aparecerá en la pantalla de la calculadora científica, al introducir cada uno de estos números, si previamente pulsamos la secuencia de teclas necesaria para fijar 4 decimales? Y si fijamos? a),896 d),6468 b) 0,66666 e) 8,0009 c) 8,9866 f), a) b) c) d) e) f) 4 decimales decimales,896,89,8968 0, ,6666 0, ,9866 8,98 8,9866,6468,644,64 8,0009 8,00 8,00,908009,9080, Escribe un número: a) Decimal periódico puro, cuyo redondeo a las milésimas es,6. b) Decimal periódico mixto, con truncamiento a las centésimas 0,9. c) Irracional, cuyo redondeo a las diezmilésimas sea 0,00. a),6 b) 0,9 c) 0,

10 Números reales Existe algún caso en el que las aproximaciones por exceso y por defecto coincidan? Y si consideramos el redondeo, puede coincidir con la aproximación por exceso y por defecto? Las aproximaciones por exceso y por defecto coinciden cuando aproximamos a un orden y todas las cifras, distintas de cero, del número son de órdenes superiores. El redondeo siempre coincide con uno de los casos anteriores; luego puede coincidir con uno o con los dos casos. Obtén el error absoluto y relativo cometido al redondear y truncar: a) a las centésimas. 9 b),68 a las milésimas. c) 0,6 a las décimas. a) b) c) Redondear Truncar Error absoluto 0,00 0,008 Error relativo 0, , Redondear Truncar Error absoluto 0,000 0,0008 Error relativo 0, , Redondear Truncar Error absoluto 0,0444 0,06 Error relativo 0 0, , Si aproximamos 0,469 por 0,, qué error se comete? Y si lo aproximamos por 0,4? Cuál es la mejor aproximación? Por qué? Al aproximar por 0,; el error absoluto es de 0,0. Al aproximar por 0,4; el error absoluto es de 0,069. Es mejor aproximación 0,; ya que se comete un error menor. Una aproximación por defecto de 8,69 es 8,6. Halla el error absoluto y el error relativo. Error absoluto: 0,009 Error relativo: 0, Escribe el número en forma decimal con la mínima cantidad de cifras para que el error sea menor que centésima. 04, 0, 4 < 0, 00 86

11 SOLUCIONARIO 04 Aproxima el número,46, de forma que el error absoluto sea menor que 0,00. Es válida cualquiera de estas aproximaciones:,4 o,46 0 Considera el número de oro o número áureo: Φ= + =, 680 Aproxímalo por redondeo hasta las centésimas, y halla el error absoluto y relativo. Φ,6 Error absoluto: 6, = 0, Error relativo: 6, = 0, Realiza estas operaciones y redondea los resultados a las décimas. Después, redondea cada número a las décimas y resuelve la operación. Por qué procedimiento se comete menor error? a), + 8,4 b), 8,9 c),, d) 40,9 :, a), + 8,4 =,0,, + 8, =,8 Se comete mayor error redondeando cada sumando. b), 8,9 = 4,9 4,4, 8,9 = 4,4 Se comete el mismo error. c),, = 6,4 6,,, = 6,4 Se comete mayor error redondeando el resultado. d) 40,9 :, =,0, 40,9 :, =,698 Se comete mayor error redondeando el resultado. 8

12 Números reales 0 Siguiendo los pasos de la actividad anterior, halla una aproximación por defecto. a) 4, +,89 b),8,9 c) 6, 4,9 d) 00,4 : 8, a) 4, +,89 = 8,99 8, 4, +,8 = 8, Se comete el mismo error. b),8,9 = 00,6 00,6,8,9 = 00,6 Se comete mayor error aproximando el resultado. c) 6, 4,9 =,, 6, 4,9 =,4 Se comete el mismo error. d) 00,4 : 8, =,04, 00,4 : 8, =,096 Se comete mayor error aproximando los factores. 08 Obtén la aproximación por redondeo hasta las diezmilésimas. 6 a) + b) + c) d) a) b) c) d) =, 46646, 46 + =, 0894, 09 = 0, 040 0, =, 0909, Qué error se comete al aproximar el resultado de 4,96 + 0, + 0,8 por el número 0,49? 4,96 + 0, + 0,8 = 0,48 E a = 0,48 0,49 = 0, Para qué número sería.4, una aproximación a las milésimas por defecto? Es única la respuesta? Cuántas hay? La aproximación es del número.4,. La solución no es única; hay infinitas soluciones, tantas como números decimales que empiezan por.4, Se puede escribir π=? Justifica la respuesta y calcula el orden del error cometido. π=,4964 =, 499 Es posible escribirlo, ya que el error que se comete es menor que millonésima. E a = π =,4964,499 = 0,