2. Derivación numérica

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1 Derivación numérica Ing. Jesús Javier Cortés Rosas M. en A. Miguel Eduardo González Cárdenas M. en A. Víctor D. Pinilla Morán Facultad de Ingeniería, UNAM * 2006 Resumen Introducción. Derivación numérica. Análisis del error. Ejemplo de aplicación. Conclusiones.. Introducción Las técnicas de interpolación numérica proporcionan las erramientas para obtener las funciones analíticas de funciones tabulares que comúnmente son la materia prima de los procesos propios de las práctica de la Ingeniería. Sin embargo, cuando se dispone de una función tabular compuesta de un número tal de puntos que ace poco práctica la obtención de la expresión analítica, no resulta sencillo obtener las derivadas (o las integrales) de dica función. Las siguientes erramientas de derivación numérica permiten obtener la derivada de la función en cualesquiera de los puntos seleccionados, sin necesidad de recurrir a la expresión analítica. Por tratarse de una erramienta del Análisis numérico, los resultados obtenidos serán los valores numéricos de la derivada de una función en un punto. Si se desea obtener como resultado una expresión analítica, corresponde obtener inicialmente dica función ya sea por algún polinomio interpolante o por la interpolación de Lagrange y después derivarla. 2. Derivación numérica Sea Y = f(x) una función tabular continua con n puntos que puede aproximarse a un polinomio de grado n que pasa por todos los puntos incluidos en su forma tabular y cuya variable independiente es equiespaciada con paso = cte, el polinomio interpolante que la representa es: Y k = Y 0 + k Y 0 + k(k ) 2 Y 0 + k(k )(k 2) 3 Y () 3! * Profesores de tiempo completo del Departamento de Matemáticas Aplicadas de la División de Ciencias Básicas

2 Análisis numérico 2 Donde: k = X k X 0 Se propone derivar la ecuación con respecto a la variable independiente X. Dada la estructura de esta ecuación, es necesario aplicar la regla de la cadena: dx = dk dk dx dk dx (2) (3) dk = Y 0 + 2k 2 Y 0 + 3k2 6k Y (4) 3! Sustituyendo las ecuaciones 3 y 4 en 2 se obtiene: dx Y 0 + 2k ] 2 Y 0 + 3k2 6k Y ! (5) Esta ultima ecuación (5) representa la primera derivada del polinomio interpolante que representa a la función tabular. Derivando a 5 utilizando de nuevo la regla de la cadena mostrada en la ecuación 2: d 2 Y dx Y 0 + (k ) 3 Y ] (6) Y derivando de nuevo: d 3 Y dx Y ] (7) El proceso puede repetirse las veces que se considere necesario, aciendo notar que al aumentar el orden de la derivada deseada debe aumentarse el orden de la diferencia considerada en el polinomio interpolante. Retomando la ecuación 5. Si se trunca el polinomio interpolante asta la primera diferencia y se sustituye a dica diferencia por los puntos que la conforman en el orden en que aparecen en la función tabular se obtiene: dx = Y 0] + e r = (Y Y 0 ] + e r = Y 0 + Y ] + e r Analizando esta última ecuación se percibe que por provenir de un polinomio interpolante truncado a la primera diferencia resulta sólo función de dos puntos provenientes de la función tabular: (X 0, Y 0 ) y (X, Y ). El polinomio que une a dos puntos es de grado n, es decir, una línea recta que sólo puede ser derivada en una ocasión (dado que el valor de la siguiente derivada sería 0). Por otra parte, la interpretación que ace el Cálculo diferencial de la derivada en el valor de la pendiente de la recta tangente en determinado punto de la curva a derivar. En este sentido, ya que nuestra curva a derivar es una línea recta compuesta por dos puntos sólo puede obtenerse el valor de la derivada (8)

3 Análisis numérico 3 en cada uno de esos puntos, pero en todo caso, la pendiente de la recta tangente será igual en ambos puntos. La consideración sobre la obtención de la derivada en un punto es importante en este desarrollo ya que el resultado del uso de las técnicas de interpolación es obtener el valor de la pendiente de la recta tangente, no su expresión analítica. Es por esto que de acuerdo al polinomio interpolante seleccionado debe especificarse claramente el su orden de interpolación y, en consecuencia, el punto en el cual desea obtenerse la derivada. Este punto seleccionado se denomina pivote. Para la ecuación 8 la derivada puede obtenerse sólo en dos puntos, pero el resultado en ambos es el mismo. Como una convención se establece como pivote al punto (X 0, Y 0 ); para indicarlo se subraya el coeficiente respectivo. Por otra parte, a manera de establecer una notación más práctica, se eliminan los indicativos de las ordenas de la ecuación dejándose sólo los coeficientes, pero en todo caso, la ecuación de derivación numérica contempla siempre iniciar en la ordenada Y 0. dx Y 0 + Y ] + e r Utilizando una notación más convencional en la derivada e incluyendo el punto de derivación (pivote) se tiene:, ] + e r (9) Finalmente, e r representa el error que debe añadirse a la ecuación 9 para que el valor sea exacto. El cálculo del error merece ser analizado en forma separada, pero se adelanta que se obtiene una aproximación a él por medio del criterio del término siguiente ]. Aora bien, si se desea obtener fórmulas con menor error intrínseco se propone que la ecuación 5 sea truncada a partir de la segunda diferencia. dx Y 0 + 2k ] 2 Y 0 e r (0) Las ecuaciones que se obtengan de 0 se denominarán de segundo orden de interpolación. Al considerarse una segunda diferencia se consideran a los puntos (X 0, Y 0 ), (X, Y ) y (X 2, Y 2 ) de la función tabular. En consecuencia pueden ser varios tipos de curvas las que unan a estos tres puntos y que la derivada obtenida en cada punto es diferente. Dado lo anterior, deben calcularse tres ecuaciones particulares para obtener las derivadas valuadas en (X 0, Y 0 ), (X, Y ) y (X 2, Y 2 ) respectivamente. Para la derivada en (X 0, Y 0 ). El punto pivote se ubica en el primer punto de la función tabular. Esto tiene en consecuencia que en k = X k X 0 el valor de referencia es el propio X k = X 0, por lo que k = 0. Sustituyendo este valor y los respectivos de las diferencias en la ecuación 0 se obtiene: dx = Y0 + 2k 2 ] Y 0 + er (Y Y 0 ) 2 (Y 2 2Y + Y 0 ) ] + e r

4 Análisis numérico 4 Factorizando se obtiene: Modificando la notación: dx 2 3Y 0 + 4Y Y 2 ] + e r 2 3, 4, ] + e r () Para la derivada en (X, Y ). El punto pivote se ubica en el segundo punto de la función tabular. Esto tiene en consecuencia que en k = X k X 0 el valor de referencia es X k = X, por lo que k. Sustituyendo este valor y los respectivos de las diferencias en la ecuación 0 se obtiene: Factorizando se obtiene: Modificando la notación: dx = Y0 + 2k 2 ] Y 0 + er (Y Y 0 ) + 2 (Y 2 2Y + Y 0 ) ] + e r dx 2 Y 0 + Y 2 ] + e r Y X=X 2, 0, ] + e r (2) Para la derivada en (X 2, Y 2 ). El punto pivote se ubica en el segundo punto de la función tabular. Esto tiene en consecuencia que en k = X k X 0 el valor de referencia es X k = X 2, por lo que k = 2. Sustituyendo este valor y los respectivos de las diferencias en la ecuación 0 se obtiene: Factorizando se obtiene: Modificando la notación: dx = Y0 + 2k 2 ] Y 0 + er (Y Y 0 ) (Y 2 2Y + Y 0 ) ] + e r dx 2 Y 0 4Y + 3Y 2 ] + e r Y X=X 2 2, 4, 3 ] + e r (3) Este proceso debe seguirse para definir otras formas de derivación numérica, incluso para derivadas de orden superior. No existe límite en cuanto al orden de interpolación que pueda elegirse, aunque por consideraciones del error el tercer orden de interpolación es el mayor utilizado comúnmente. Se presentan a continuación los esquemas de derivación comúnmente utilizados: Primer orden de interpolación, ] + e r (4)

5 Análisis numérico 5 Segundo orden de interpolación 2 3, 4, ] + e r (5) Y X=X 2, 0, ] + e r (6) Y X=X 2 2, 4, 3 ] + e r (7) X=X 2, 2, ] + e r (8) 2.. Tercer orden de interpolación 6, 8, 9, 2 ] + e r (9) Y X=X 6 2, 3, 6, ] + e r (20) Y X=X 2 6, 6, 3, 2 ] + e r (2) Y X=X 3 6 2, 9, 8, ] + e r (22) X=X 0 2 2, 5, 4, ] + e r (23) X=X 2, 0 2,, 0 ] + e r (24) X=X 0 2 0,, 2, ] + e r (25) X=X 0 2, 4, 5, 2 ] + e r (26) Como una técnica de comprobación de la correcta conformación de todas estas fórmulas, los coeficientes que las forman siempre deben sumar 0. Es necesario resaltar la relación que existe entre el orden de la derivada y el orden de interpolación (orden de la diferencia máxima del polinomio interpolante) de cada fórmula. Si se desea obtener la segunda derivada de una función, para que este valor no sea 0 es necesario que el orden del

6 Análisis numérico 6 polinomio del cual procede sea al menos de 2; para lograr esto, la función deberá ser aproximada a través de un polinomio compuesto por 3 puntos por lo que debe considerar asta la segunda diferencia. En consecuencia, el menor orden de interpolación disponible para obtener una fórmula de segunda derivada debe ser precisamente de segundo orden de interpolación. 3. Análisis del error Sea el polinomio de Taylor2]: Y = Y 0 + (X X 0 )Y 0 + (X X 0) (X X 0) 3 3! Si X = X se tiene que X X 0 =, sustituyendo en 27: 0 + (X X 0) 4 Y0 IV +... (27) 4! Y = Y 0 + Y ! ! Y IV (28) Despejando Y 0 : Y 0 ] Y Y 0 2 Y 0 3 3! Y 0 4 4! Y 0 IV... (29) Esta ecuación puede expresarse como: Y 0 Y 0 + Y ] 0 2 3! 0 3 4! Y IV (30) Puede observarse que la primera parte de la fórmula coincide plenamente con la fórmula de la primera derivada numérica de primer orden de interpolación mostrado en l ecuación 4. de acuerdo al criterio del término siguiente ] podemos aproximar el error cometido en el uso de esta fórmula por el primer término Y 0. Como seguramente sucederá, no se conoce el valor de Y 0, por lo cual en forma convencional se dice que el orden de error está en función del valor de, lo cual suele denotarse por O(). En conclusión, se dice que el esquema de la primera derivada numérica de primer orden de interpolación tiene un orden de error de O(). Y X=X 0, ] + O() (3) Haciendo un proceso similar en la ecuación,27 cuando X = X 2 se tiene que X 2 X 0 = 2: Y 2 = Y 0 + 2Y Y IV (32) Si a la ecuación 32 se le resta cuatro veces la ecuación 28 se tiene: Y 2 4Y = ] Y 0 + 2Y Y Y Y 0 IV +... ] 4Y 0 + 4Y Y Y Y 0 IV +... = 3Y 0 2Y Y IV (33)

7 Análisis numérico 7 Despejando Y 0 : Y 0 ] 3Y 0 + 4Y Y Y Y 0 IV +... (34) Que puede expresarse como: Y 0 2 3Y 0 + 4Y Y 2 ] Y IV (35) Por lo que de acuerdo al criterio del término siguiente se concluye que dica fórmula, y en general todas las que provengan de un esquema de interpolación de segundo orden, tiene un orden de error de O( 2 ). Se percibe que igual de importante que resulta elegir un buen orden de interpolación, el tamaño del paso es determinante para obtener cotas menores de error. Consideraciones finales Cuando las ecuaciones para aproximar a la derivada emplean sólo puntos a la dereca del punto pivote se les denominan fórmulas de diferencias finitas acia atrás; implica que el valor de la derivada depende sólo de valores de la función de (X i, Y i ) y previos. Cuando las ecuaciones para aproximar a la derivada emplea el mismo número de puntos a la dereca que a la izquierda del punto pivote se le denomina de diferencias centrales. La evaluación de la enésima derivada de la función sólo depende de los valores Y i y de sus vecinos; es decir, no incluye derivadas de menor orden, por lo cual no es necesario efectuar derivadas sucesivas. Se recomienda emplear esquemas de diferencias centrales por ser más precisos que el resto. 4. Ejemplo de aplicación Para la función definida en forma tabular: X Y,8 0,8894,9 2,7032 2,0 4,778 2, 7,490 2,2 9,8550 Obtener: f (2,0) a partir de un esquema de interpolación de segundo orden. El punto pivote para este cálculo es (2,0, 4,778). Para la elección de una de las tres fórmulas disponibles dentro del esquema de interpolación de segundo orden debe contemplarse que de acuerdo a la posición

8 Análisis numérico 8 del punto pivote en la función tabular se dispone de puntos acia atrás y acia adelante del mismo. De acuerdo a las recomendaciones, cabe elegir una fórmula de diferencias centrales: Sustituyendo valores para = 0,: Y X=X 2, 0, ] + e r Y X=2,0 2(0,) 2, (4,778) + 7,490] Y X=2,0 = 22,2290 f (2,2) a partir de un esquema de interpolación de segundo orden. De nuevo, por la ubicación del punto pivote sólo es posible utilizar una fórmula de diferencias finitas acia atrás, siendo la fórmula: Sustituyendo valores para = 0,: Y X=X 2 2, 4, 3 ] + e r Y X=2,2 2(0,) 4,778 4(7,490) + 3(9,8550)] Y X=2,2 = 28,7355 f (2,0) a partir de un esquema de interpolación de segundo orden. Utilizando las misma consideraciones la fórmula recomendada es: Sustituyendo valores para = 0,: X=X 2, 2, ] + e r X=2,0 (0,) 2 2,7032 2(4,778) + 7,490] X=2,0 = 29,6 5. Conclusiones Los resultados obtenidos demuestran a su vez la relevancia de las erramientas de interpolación, en este caso, para funciones tabulares equiespaciadas. Las cotas de error, que pueden ser razonablemente estimadas, están en función primordialmente del tamaño del paso. Si se considera, como un ejemplo, la aplicación a un sistema de muestreo a intervalos de tiempo muy pequeños puede percibirse que en la vida real los esquemas mostrados son muy pertinentes.

9 Análisis numérico 9 Referencias ] Partick O. Gerald, Curtis F. Weatley. Análisis numérico con aplicaciones. 6a edición edition, ] Rafael. Iriarte Vivar. Métodos numéricos. 990.