TEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO

Transcripción

1 Alonso Fernández Galián Tema 6: Geometría analítica en el plano TEMA 6: GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO La geometría analítica es el estudio de objetos geométricos (rectas, circunferencias, ) por medio de ecuaciones La principal herramienta que se utiliza son los vectores 6 VECTORES LIGADOS Un vector ligado AB es un segmento orientado: A es el origen del vector B es el extremo del vector Coordenadas de un vector: Las coordenadas de un vector ligado son los números que se obtienen restando a las coordenadas de B las coordenadas de A A a, a B b, b AB b a, b a Ejemplo: Calcula las coordenadas de los siguientes vectores ligados: (a) AB, con origen A, y extremo 5, 3 B : 5, 3 3, AB (b) CD, con origen C, 4 y extremo, 3 D :, 3 4 3, CD (c) EF, con origen E 4, y extremo F, 4, 3, 3 EF (d) GH, con origen G 4, y extremo H 0, 5 5 4,0, EF Nota: Observamos que la primera coordenada del vector ligado nos indica cuánto avanza de izquierda a derecha, y la segunda no indica cuánto avanza de abajo hacia arriba - -

2 El módulo de un vector: Se llama módulo de un vector ligado a su longitud El módulo del vector AB se indica por AB, Podemos calcularlo con el teorema de Pitágoras: AB b a b a Ejemplo: Considera los puntos del plano A 5, 0 y 3, 6 (a) Escribe las coordenadas de AB (b) Calcula el módulo de AB AB B 3 5, 6 0 8, 6 AB ( 8) ul Equipolencia de vectores Dos vectores ligados son equipolentes si tienen las mismas coordenadas Ejemplo: Considera los vectores ligados AB, CD, siendo: a) Comprueba que son equipolentes: AB CD 6, 5, 3, 3 5, Sí son equipolentes b) Represéntalos gráficamente: A, B 6, C, D 3, 3 Gráficamente, dos vectores ligados son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido Nota: Cada vector ligado tiene infinitos vectores ligados equipolentes con él - -

3 6 VECTORES LIBRES OPERACIONES Un vector libre es un vector ligado junto con todos los que son equipolentes a él Se nombra con una legra minúscula, por ejemplo, u El vector libre u se representa mediante cualquiera de los vectores ligados que lo definen Ejemplo: Dibuja tres representantes del vector libre, u Debemos dibujar tres vectores ligados de coordenadas, Por ejemplo: Por tanto: u AB CD EF Nota: Intuitivamente, un vector libre es un vector que no está fijo, sino que podemos representarlo donde nos convenga A partir de ahora trabajaremos siempre con vectores libres 63 OPERACIONES CON VECTORES LIBRES Hay dos operaciones fundamentales con vectores libres: la suma y el producto por escalares: Suma de dos vectores libres La suma de dos vectores u y v vector que se obtiene sumando coordenada a coordenada: u v u,u u, u v, v u v u v, v, v es igual al - 3 -

4 Gráficamente, la suma de dos vectores se efectúa dibujando uno a continuación del otro y uniendo el origen del primero con el extremo del segundo: Nota: Si en lugar de hacer u v hacemos v u obtenemos obviamente el mismo resultado Gráficamente consiste en ir al extremo opuesto de un paralelogramo por un camino o por otro: Ejemplo: Calcula la suma de los siguientes pares de vectores: (a) u 3, 0 y v, u v 3, 0, 4, (b) u, y v, 3 u v,, 3 3, (c) u 3, y v 3, 3 u v 3, 3, 3 0, Nota: Observemos que si no se dice nada, representamos los vectores tomando como origen el origen de coordenadas Producto de un escalar por un vector libre El producto de un escalar R por el vector u u, u es el vector que se obtiene multiplicando por las coordenadas de u u u, u - 4 -

5 Geométricamente, el vector u : -Por módulo, el módulo de u multiplicado por -Por dirección, la misma que u -Por sentido, el mismo que u si es positivo y el contrario si es negativo Ejemplo: Calcula los siguientes productos del vector 3, (a) 3, 6, u (b) 3 3 3, 9, 3 u (c) 4 4 3,, 4 u, el opuesto de u 3u 3 3, 9, 3 (d) u 3, 3, u (e) Geométricamente: u por distintos escalares: Combinaciones lineales Se denomina combinación lineal de los vectores u y v a cualquier expresión de la forma u v, con, R Ejemplo: Sean los vectores u, 0 y, v lineales: (a) 3u v 3u v 3, 0, 6, 0, 4 (b) 4, 4 u v u v, 0, 4, 0, 5, Calcula las siguientes combinaciones Nota (dependencia lineal): Se dice que un vector depende linealmente de otros si puede expresarse a partir de ellos Por ejemplo: -Dado un vector u, otro vector v depende de él si existe un tal que v u -Dados dos vectores u y v, un tercer vector w depende de ellos si existen un y tales que w u v - 5 -

6 64 EL VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO Se denomina vector de posición del punto A a, a al vector que va del origen de coordenadas al punto, OA Observamos que las coordenadas del vector de posición de un punto coinciden con las coordenadas del punto: OA a 0, a 0 a a, 65 DIFERENTES FORMAS DE LA ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Dada una recta del plano, vamos a escribir una ecuación (de hecho, varias) que deban satisfacer los puntos de la misma 65 La ecuación vectorial de la recta Sea r la recta que: -Tiene la dirección del vector d d, d -Pasa por el punto A a, a Buscamos la relación que deben cumplir las coordenadas de un punto genérico x y recta P, de la En el dibujo vemos que: pero AP d para algún valor de OP OA AP, OP OA d, Esta expresión es la llamada ecuación vectorial de la recta La escribimos en coordenadas: x, y a, a d d, Dando distintos valores a vamos obteniendo las coordenadas x, y de los distintos puntos de la recta 65 Las ecuaciones paramétricas de la recta Si en la ecuación vectorial aislamos la coordenada x por un lado y la coordenada y por otro obtenemos: - 6 -

7 x a y a d d Estas igualdades se denominan ecuaciones paramétricas de la recta 653 La ecuación continua de la recta Si ahora despejamos el parámetro e igualamos se obtiene: x a d y a d x a d y a d Esta igualdad se denomina ecuación continua de la recta 654 La ecuación general o implícita de la recta Si desarrollamos la ecuación continua y expresa-mos todos sus términos ordenados en el lado izquierdo obtenemos: Sean: a d el coeficiente de x, b d el coeficiente de y, c d a d el término independiente: a tenemos entonces: d x d y da d a 0 ax by c 0, d d d b, a, Esta igualdad se denomina ecuación general o implícita de la recta Es importante recordar que los coeficientes de x y de y son las coordenadas del vector director de la recta, pero intercambiadas y una de ellas con el signo cambiado 655 La ecuación explícita de la recta Despejamos ahora y en la ecuación general: y a b x Sean m y n, respectivamente, el coeficiente de x y el término independiente: m n tenemos: a b c b d d tan, se denomina pendiente,, se denomina ordenada en el origen c b y mx n Esta igualdad se denomina ecuación explícita de la recta 656 La ecuación punto-pendiente de la recta Veamos finalmente otra ecuación para la recta, que se utiliza cuando conocemos un punto de la misma, A a, a, y la pendiente, m Como antes, consideremos un punto genérico de la recta, x y P, - 7 -

8 Según la definición de pendiente, debe cumplirse: Despejando y se obtiene: y a tan x a y a y m x m x m a a a Esta igualdad se denomina ecuación punto-pendiente de la recta 66 EJEMPLOS Ejemplo : Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la recta que pasa por el 3, u 3, punto A y tiene vector director ) Ecuación vectorial: x, y 3, 3, ) Ecuaciones paramétricas: x 3 3 y x 3 y 3) Ecuación continua: 3 4) Ecuación general: 3y 9 0 x, vector director: 3, 5) Ecuación explícita: y x 3, pendiente: m 3 3 6) Ecuación punto-pendiente: y x 3 3 d Nota: Para representar la recta basta calcular dos puntos de la misma: x 0 3 y 3 Ejemplo : Escribe de todas las formas conocidas la ecuación de la recta que por los puntos A, y B 3, d AB, 4 Un vector director de la recta es: ) Ecuación vectorial: x, y,, 4 [ ] - 8 -

9 [ ] ) Ecuaciones paramétricas: x y 4 x y 3) Ecuación continua: 4 4) Ecuación general: 4 y 8 0 Simplificando: y 4 0 x, vector director:, 4 x d, 5) Ecuación explícita: y x 4, pendiente: m y x Ejemplo 3: Escribe en forma punto-pendiente, explícita y general y continua la ecuación de A 5, y tiene pendiente m / 4 la recta que pasa por el punto ) Ecuación punto-pendiente: y x 5 3 ) Ecuación explícita: 7 y x, 4y x ) Ecuación general: 4y x, vector director: 4, d d 4) Ecuación general: x 5 x 4 Ejemplo 4: Escribe en las formas continua y explícita la ecuación de la recta que tiene ecuación general: (a) Un vector director de la recta es: 5x y 0 d b, a, 5 Para determinar un punto de la recta, damos un valor a una de las variables y calculamos el valor correspondiente de la otra Por ejemplo, haciendo x : x 5 y 0 y 3 La recta pasa por el punto A, 3 Su ecuación continua es, por lo tanto: x y 3 5 (b) Para expresar la ecuación en forma explícita despejamos y en la ecuación general: 5 y x - 9 -

10 Ejemplo 5: Escribe directamente la ecuación general de la recta r que pasa por el punto A 6, y tiene vector director d 3, d b, a 3, Así, debe tener ecuación general: El vector director de la recta es Como el punto 6, x 3y c 0 A pertenece a la recta, sus coordenadas satisfacen la ecuación: Así, la recta r tiene ecuación general: 6 3 ( ) c c 0 c 9 x 3y 9 0 Ejemplo 6: Escribe en las formas punto-pendiente, explícita, general y continua la ecuación de la recta que pasa por el punto A 5, 4 y forma un ángulo de 60º con el semieje positivo de abscisas: La pendiente de la recta es: m tan 60º (como es habitual en matemáticas, es preferible dejar la raíz indicada) -Las ecuaciones punto-pendiente, explícita y general son: Ecuación punto-pendiente: y 3x 5 4 Ecuación explícita: y 3x Ecuación general: 3 y La ecuación continua es: 3 x, vector director:, 3 x 5 y 4 3 d Rectas paralelas a los ejes: Las rectas paralelas a los ejes tienen una coordenada constante: -Una recta paralela al eje x tiene ecuación: y -Una recta paralela al eje y tiene ecuación: x y 0 x 0-0 -

11 67 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Dos rectas del plano pueden ser coincidentes, paralelas o secantes Veamos cómo decidirlo: Rectas escritas en forma general Sean r y s dos rectas de ecuación general, respectivamente: r : ax by c 0, d r b, a : ax by c 0 b, a d s s, La posición relativa de r y s dependerá de la proporcionalidad de los coeficientes Veamos: Si las dos rectas son coincidentes, sus ecuaciones deben ser equivalentes Por tanto, los coeficientes deben ser proporcionales r y s son coincidentes a b c a b c Si las dos rectas son paralelas, sus vectores directores también lo son y, por tanto, tienen las coordenadas proporcionales Como las coordenadas del vector director determinan los coeficientes de x e y tenemos: r y s son paralelas a b c a b c 3 Si las dos rectas son secantes, sus vectores directores deben ser no paralelos Así, concluimos: r y s son secantes a b a b En caso de que las rectas r y s sean secantes, el punto de intersección es la solución del sistema formado por sus ecuaciones Ejemplo: Determina la posición relativa de las siguientes rectas: r : x y 5 0 y s : 6x 3y 4 0 Los coeficientes de x e y son proporcionales, sin serlo las ecuaciones: Por tanto, las rectas son paralelas Ejemplo: Determina la posición relativa de las siguientes rectas: r : x 3y 0 y s : x y 5 0 Como los coeficientes de x e y no son proporcionales, las rectas son secantes: 3 [] - -

12 [ ] El punto de intersección de las rectas debe satisfacer ambas ecuaciones: x 3y 0 x y 5 0 El punto de intersección de r y s es P, x y Dos rectas paralelas pueden expresarse siempre a partir del mismo vector director Ejemplo: Escribe la ecuación de la recta s que es paralela a r : 4x y 7 0 y que pasa por el punto 3, 5 P La recta r tiene vector director, 4 Como el punto 3, 5 d Así, cualquier paralela suya tendrá ecuación: 4x y c 0 P pertenece a la recta s, sus coordenadas satisfacen la ecuación: 4 ( ) 5 c 0 0 c 0 c Así, s tiene ecuación 4x y 0 Simplificando: s : x y 0 Rectas escritas en forma explícita Sean r y s dos rectas de ecuación explícita, respectivamente: r : y mx n s : y mx n Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente Así, deducimos: r y s son coincidentes m m y n n r y s son paralelas m m y n n r y s son secantes m m Una forma alternativa de calcular la paralela a una recta por un punto dado es la siguiente: Ejemplo: Encuentra la recta que pasa por el punto,3 A y es paralela a r : y 5x 4 La recta buscada tiene pendiente m 5 Su ecuación punto-pendiente será, por tanto: En forma general: x 3 y 5 5x y

13 68 RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas perpendiculares tienen pendientes invertidas y de signo contrario s r Demostración: Hay que usar trigonometría: 80 º s tan s tan(80 º ) 90º r Por tanto: r tan tan(80º ) m s m r m s tan s tan(80º ) tan m r r Ejemplo: Calcular la recta s perpendicular a r: x 5 La pendiente de r es m La pendiente de s es, entonces: r m s y que pasa por el punto 0, 4 m Escribamos la recta s en forma punto-pendiente: y 4 ( x 0) Finalmente, pasamos a forma general: x y 8 0 r P La mediatriz de un segmento La mediatriz de un segmento es la perpendicular al segmento que pasa por el punto medio del mismo Veamos cómo se calcula mediante un ejemplo Ejemplo: Calcula la mediatriz del segmento de extremos A 3, y, 4 B [ ] 3

14 [ ] º) El punto medio de un segmento tiene por coordenadas las medias respectivas de las coordenadas de los extremos del intervalo a M b a, b 3 4 M, M, 3 º) Ahora vamos a calcular la recta que pasa por A y B, expresándola en forma explícita para calcular su pendiente AB 4, -El vector director es: d AB -Calculamos la ecuación de la recta: x 4y c 0 A(3,) -La recta que pasa por A y B es, por tanto, -Pasamos a forma explícita: -La pendiente es, por tanto: 3 8 c 0 x 4y 4 0 simplificando: x y 7 0 y x 7 m AB / c 4 3º) Calculamos finalmente la mediatriz: -Punto:, 3 M -Pendiente: m / La mediatriz que estábamos buscando es: y ( x ) 3 x y 0 4