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1 econsor Der Open-Access-Publikaionsserver der ZBW Leibniz-Informaionszenrum Wirschaf The Open Access Publicaion Server of he ZBW Leibniz Informaion Cenre for Economics Siri, Julián R.; Dapena, José P. Working Paper Comparación enre algorimo de ciclos y modelos de regime-swiching, con aplicación a esraegias de inversión en derivados (opciones de vena) Serie Documenos de Trabajo, Universidad del CEMA, No. 540 Provided in Cooperaion wih: Universiy of CEMA, Buenos Aires Suggesed Ciaion: Siri, Julián R.; Dapena, José P. (2014) : Comparación enre algorimo de ciclos y modelos de regime-swiching, con aplicación a esraegias de inversión en derivados (opciones de vena), Serie Documenos de Trabajo, Universidad del CEMA, No. 540 This Version is available a: hp://hdl.handle.ne/10419/ Nuzungsbedingungen: Die ZBW räum Ihnen als Nuzerin/Nuzer das unengelliche, räumlich unbeschränke und zeilich auf die Dauer des Schuzrechs beschränke einfache Rech ein, das ausgewähle Werk im Rahmen der uner hp:// nachzulesenden vollsändigen Nuzungsbedingungen zu vervielfäligen, mi denen die Nuzerin/der Nuzer sich durch die erse Nuzung einversanden erklär. Terms of use: The ZBW grans you, he user, he non-exclusive righ o use he seleced work free of charge, erriorially unresriced and wihin he ime limi of he erm of he propery righs according o he erms specified a hp:// By he firs use of he seleced work he user agrees and declares o comply wih hese erms of use. zbw Leibniz-Informaionszenrum Wirschaf Leibniz Informaion Cenre for Economics

2 UNIVERSIDAD DEL CEMA Buenos Aires Argenina Serie DOCUMENTOS DE TRABAJO Área: Finanzas COMPARACIÓN ENTRE ALGORITMOS DE CICLOS Y MODELOS DE REGIME-SWITCHING, CON APLICACIÓN A ESTRATEGIAS DE INVERSIÓN EN DERIVADOS (OPCIONES DE VENTA) Julián R. Siri y José P. Dapena Agoso 2014 Nro UCEMA: Av. Córdoba 374, C1054AAP Buenos Aires, Argenina ISSN (impreso), ISSN (en línea) Edior: Jorge M. Sreb; asisene ediorial: Valeria Dowding <jae@cema.edu.ar>

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4 COMPARACIÓN ENTRE ALGORITMO DE CICLOS Y MODELOS DE REGIME-SWITCHING, CON APLICACIÓN A ESTRATEGIAS DE INVERSIÓN EN DERIVADOS (OPCIONES DE VENTA) Julian R. Siri y José P. Dapena * UNIVERSIDAD DEL CEMA 2014 Resumen En el presene rabajo revisamos los principios de una popular esraegia de inversión basada en opciones financieras, en especial las opciones de vena (pus), y eseamos de manera esadísica una esraegia de inversión basada en la compra vena de opciones de vena sobre un índice en el mercado de capiales esadounidense, replicando el comporamieno de una empresa de seguro, que en ese caso ofrecería coberura a la baja del índice de mercado. Con la vena de opciones se ofrece coberura a la baja del índice, y con la compra de opciones se reasegura ransfiriendo pare del riesgo a un ercero, de manera similar a lo que procedería una empresa de seguros que buscase reasegurarse. A los efecos de validar y analizar la esraegia, procedemos a considerar un período de iempo y a aplicar la esraegia en dicho período, para observar los resulados. En odos los casos se consideran cosos de ransacción y la diferencia enre precios bid y ask, y a los efecos del análisis del rendimieno hemos considerado como capial inverido los márgenes de inmovilización previsos en una regulación para ese ipo de insrumenos. Mosramos los resulados esadísicos a parir de procesos aplicados sobre una esraegia pasiva, (inversión en el índice), una esraegia naive y una esraegia aciva de inversión con cambios de ciclos y régimen lo cual represena un elemeno ineresane de aplicación. Los resulados obenidos soporan una mejora de performance en la relación riesgo reorno en el proceso de inversión. JEL: C1, C3, N2, G11. Palabras claves: Derivados, esraegias, pus, seguros. * Las opiniones expresadas en ese rabajo son del auor y no necesariamene reflejan las de la Universidad del CEMA. Todos los errores son de nuesra responsabilidad. 1

5 I. Inroducción a. Objeivo En el presene rabajo nos moiva el eseo esadísico de una popular esraegia de inversión basada en la operaoria de opciones de vena (pus) con el objeivo de evaluar los aspecos posiivos y negaivos de dicha esraegia, y calibrar un algorimo de inversión que sincroniza sobre res dimensiones, precios de ejercicio, iempo de expiración y posibilidad de esa comprado o vendido 1. En dicho senido, la esraegia apuna a replicar el comporamieno de una empresa de seguros, definiendo el riesgo asegurable como la caída en el precio de un acivo subyacene. Pariendo de la base de que los precios son aleaorios, y buscando eliminar la necesidad de predecir el movimieno fuuro de ésos, elegiremos un acivo para operar que nos permia generar ganancias por fuera del movimieno de las acciones. b. Las opciones financieras El campo de invesigación y uilización de opciones financieras ha enido un enorme desarrollo en los úlimos cuarena años a parir de la meodología de valuación propuesa por Black y Sholes (1973) y Meron (1973) consruyendo sobre apores de previos de Arrow y Debreu (1954) y Mac Kenzie (1959). Esos avances se ha complemenado con los de Cox, Ross y Rubinsein (1979) para dar lugar a un mecanismo de valuación de acivos financieros con funciones de repago no lineales que permie evaluar, bajo cieras condiciones y supuesos, de manera apropiada el valor de las opciones. Las opciones represenan derechos que ienen sus poseedores a realizar una ransacción, en conraparida a obligaciones, con respeco a un acivo. Las opciones básicas esán dadas por derechos de compra (calls) y de vena (pus). En el call, el comprador adquiere mediane el pago de una prima el derecho a comprar un deerminado acivo a un precio previamene acordado, al érmino del período esipulado en el conrao; esa compra es llevada a cabo si y solo si el precio corriene de mercado del acivo es mayor al precio por el cual se pacó la compra de manera de obener una ganancia, caso conrario la compra no se realizará porque es preferible comprar el acivo en el mercado (por ser su precio menor). El repago final de adquirir uno de esos derechos esará dado por el máximo enre la diferencia de precio corriene y precio de ejercicio y cero (dado que de ser negaivo no se ejerce) neo del coso pagado para adquirir el derecho. En un 1 A modo de ejemplo, el siguiene siio hp:// en su documeno Mercados Impredecibles propone esraegias de esas caracerísicas. 2

6 gráfico se puede observar el prepago al vencimieno de la opción (el eje horizonal mide cada uno de los posibles precios finales del acivo, mienras que el verical mide la ganancia que se deriva de cada uno de los posibles precios finales, en caso de ser menor al precio de ejercicio, hay una pérdida por el coso de adquisición del derecho de compra), Gráfico I OPCION DE COMPRA MAX [ V - K, 0] $ 0 PRECIO DEL BIEN O ACTIVO PRECIO PACTADO V = PRECIO DEL BIEN AL VENCIMIENTO K = PRECIO PACTADO DE COMPRA En el pu, el comprador adquiere mediane el pago de una prima el derecho a vender un deerminado acivo a un precio previamene acordado en el érmino esipulado; conrariamene al call, esa vena será llevada a cabo si y solo si el precio de mercado es menor al precio del conrao (para obener una ganancia); de no ser así, siempre conviene vender el acivo en el mercado al precio corriene, por ello es una opción. El repago final de la opción de vena será el máximo enre la diferencia de precio de ejercicio y precio corriene y cero, dado que de ser negaivo no se ejerce, neo del coso pagado para adquirir el derecho. Gráficamene (la inerpreación de los ejes es similar al gráfico del call): Gráfico II OPCION DE VENTA $ MAX [ K - V, 0] 0 PRECIO DEL BIEN O ACTIVO PRECIO PACTADO V = PRECIO CORRIENTE DEL ACTIVO K = PRECIO FIJADO PREVIAMENTE Para adquirir uno de esos derecho de compra o vena, el poseedor paga una prima, al igual que en los seguros. Esos insrumenos acúan como seguros (siempre y cuando no sean uilizados especulaivamene) ya que proporcionan coberura a su poseedor frene a 3

7 subas o caídas en el precio de los acivos objeo de la ransacción. Esa inceridumbre se ve reflejada en la exisencia de diferenes esados de la nauraleza en el fuuro, y en los diferenes valores que puede adopar el precio del acivo en cada uno de esos esados de la nauraleza (como ejemplo más palpable de seguro y esados de la nauraleza, podemos mencionar un seguro conra robo de un auo, siendo en el fuuro dos los esados de la nauraleza posibles, el auo es robado o el auo no es robado; en el primer caso se cobra el seguro, mienras que en el segundo no, siendo la prima pagada el coso de asegurarse conra ese riesgo). La meodología de valuación se basa a grandes rasgos en la conformación de un porafolio de arbiraje consisene en comprar el acivo sobre el que se paca la opción (de cuyo precio se iene conocimieno por ser comercializado en el mercado de capiales) y se apalanca esa compra a ravés de dinero presado a la asa libre de riesgo, eligiendo las canidades de cada uno de los elemenos de manera de replicar el repago de la opción; en consecuencia, para eviar oporunidades de arbiraje, el valor del porafolio así conformado debe ser igual al valor de la opción. Ese resulado requiere del supueso de mercados compleos, lo que elimina las posibilidades de arbiraje y en consecuencia la ley de un solo precio se obiene. El resulado es consisene con la valuación a ravés de los acivos elemenales desarrollados por Arrow- Debreu (1959) y Cox, Ross y Rubinsein (1977). La fórmula de valuación (de Black-Scholes-Meron ) requiere en su forma más simple de implemenación de seis variables que acúan como inpus: - el valor corriene del acivo sobre el cual se iene el derecho de compra o vena: represena el precio acual del bien (en el caso de acciones, es el precio corriene de la acción); - el precio fijo al cual se adquiere el derecho a comprar o vender el bien: denominado precio de ejercicio, es el precio que fijan ambas pares en forma anicipada a los efecos de realizar la compra o vena; - la volailidad anual o grado de inceridumbre asociado con el reorno del acivo - la vigencia o período por el cual se puede ejercer el derecho - el reorno anual libre de riesgo de la economía - la asa de dividendos o de pérdida de valor del acivo: en una opción financiera. 4

8 c. Las opciones financieras como un seguro Las opciones financieras son insrumenos muy complejos cuyo enendimieno se facilia a ravés de un análogo muy familiar que nos permie enenderlas de manera muy sencilla: las pólizas de seguros. Las pólizas de seguros permien obener coberura respeco de coningencias en la realización de los esados de la nauraleza y ransferir los riesgos de una manera eficiene a ravés de un mercado. Mediane el pago de una prima, se ransfiere de manera parcial o oal el riesgo de una coningencia a un ercero (aunque no se elimina el riesgo conracual de cobro ni oros riesgos similares), en consecuencia en caso que la coningencia se presene durane el período que el conraane se encuenra asegurado, el riesgo de liquidez es cubiero de manera parcial o oal por la firma de seguros conraada. Ya hemos mencionado el ejemplo de una póliza de seguros conra robo de auos, de similar manera opera una compañía de seguros de salud. Ésa coberura nos proege en el caso de que engamos algún problema en nuesra salud que nos obligue a acudir a servicios pagos para curarnos. Supongamos que sufrimos una necesidad de una cirugía; con una adecuada coberura mediane el pago de una prima, nuesra póliza pagará por los gasos médicos. Pongamos un ejemplo con valores: la cirugía podría cosar ARS ; obviamene que el valor por mes que se paga en concepo de prima por la coberura que brinda la póliza de seguros no puede ascender a ARS por mes ya que eso sería similar a necesiar una cirugía odos los meses. En general nadie paga por mes a su seguro lo mismo que le cosaría una emergencia médica, ya que no es eficiene por la frecuencia de los evenos. Pero por oro lado (y haciendo un análisis simplificado) si hacemos una suma oal de las primas de seguro que pagaríamos mensualmene por ese ipo de seguros durane el período de coberura del mismo, seguramene sumaría más de ARS , ya que de esa manera se asegura la viabilidad económica de las compañías aseguradoras. II. El modelo de esraegia de inversión a. Esraegia de pu spread emporal La esraegia que consruimos se basa en replicar las operaciones de una empresa de seguros que ofrece coberura frene a una coningencia y que por oro lado busca ransferir pare del riesgo a un ercer como reaseguro. En dicho senido, se queda con 5

9 una pare del riesgo cobrando una prima, y se reasegura parcialmene pagando una prima, con diferenes precios de ejercicios y iempo de expiración. En la erminología, esa esraegia se asocia a un pu spread pero con la salvedad que la vigencia de la coberura o vencimieno es diferene. Resumiendo, en érminos de los inpus de la fórmula de valuación de opciones, se escoge comprar y vender opciones de vena sobre un mismo acivo subyacene, pero con diferenes precios de ejercicios y vencimienos. El beneficio de la esraegia se produce por efeco de la suba en el precio del subyacene (ya que esamos proporcionando coberura conra la baja del mismo) y por el paso del iempo principalmene, que exingue el valor de las opciones 2. Para ese caso en paricular, vamos a esear la esraegia vendiendo pus que se encuenren con un precio de ejercicio similar al precio acual del subyacene (en la jerga financiera, que esén a-he-money) y vencimieno promedio denro de los 90 días corridos, al momeno de abrir la operación. En simuláneo, vamos a comprar pus que engan un precio de ejercicio 30% menor al precio acual del subyacene (o sea, que esén deep-ou-of-he-money) y con un vencimieno promedio de 365 días corridos, respeco al momeno de aperura de la operación. b. El acivo subyacene A los efecos del análisis de la esraegia, escogemos un índice represenaivo del precio de acciones de empresas coizanes en el mercado de capiales de Esados Unidos, que asegure variedad de opciones sobre el mismo y liquidez suficiene para que, con supuesos mínimos sobre cosos de ransacción y bid-ask spreads, sea lo suficienemene realisa el eseo. Por oro lado, es una manera de obviar el famoso sesgo de supervivencia (survivorship bias), que podría llegar a ocurrir en la selección de acivos individuales al uilizar bases de daos exernas. En la implemenación de la esraegia rabajaremos enonces con opciones de vena (pu) sobre el índice DJX, que refleja el comporamieno del índice Dow Jones Indusrial Average, del mercado de capiales esadounidense, en una proporción 1/100 del mismo. Se lanzan opciones, cobrando las respecivas primas, y se reasegura vendiendo opciones (pagando a su vez las primas correspondienes). Ese índice represenará ambién el benchmark conra el cual realizaremos las comparaciones, bajo la modalidad de una inversión pasiva en el propio índice. 2 Para un dealle inuiivo de las diferenes esraegias en opciones se sugiere consular el libro The Complee Guide o Opion Selling, (2009) de Cordier J. y Gross M. 6

10 El siguiene gráfico nos muesra la evolución hisórica de su precio (en escala logarímica), para los úlimos 118 años. Gráfico III Mienras que las esadísicas descripivas para los reornos mensuales pueden apreciarse en la siguiene abla combinada: Tabla I Esadísicas Descripivas DJIA Media 0,0059 Mediana 0,0084 Desvío Esándar 0,0535 Kurosis 8,0234 Asimería -0,1749 Mínimo -0,3070 Máximo 0,3576 Las observaciones son mensuales. El período cubiero es Jul-1896 a Jul

11 c. Paricularidades de la esraegia A la hora de llevar a cabo el backesing de la esraegia, es necesario especificar cieras cuesiones, así como fijar caracerísicas objeivas en el proceder del "supueso rader", con la finalidad de imponerle realismo y un mayor grado de veracidad al proceso, sin correr el riesgo de enconrarse con problemas de look-ahead bias o daa mining. A los efecos del cálculo del rendimieno del porafolio para su poserior comparación, consideramos como capial inverido, en el caso de las esraegias de inversión de opciones, el disponible para enregar como margen en la operaoria de las opciones. Teniendo en cuena el manejo de riesgo (en ese caso, eviar un margin call), no escalaremos la operaoria hasa el puno en que enreguemos la oalidad del capial como margen (por lo menos no al momeno de 'abrir' posiciones). Enonces, la oalidad del capial será inverida en leras del esoro americano a 4 semanas (4-weeks Treasury Bills) y los mismos servirán de colaeral para enregar como margen (se compuan al 99,5%). Finalmene, el rendimieno del porafolio proviene de la comparación ex pos del neo de cobranzas y gasos en primas por opciones lanzas y compradas, y los reornos risk-free de las leras adquiridas, versus la carera oal disponible al momeno inicial. En lo que respeca a cosos de ransacción y fricciones de mercado, hemos supueso un coso de operaoria de 0,5% para abrir y cerrar posiciones en opciones. Por oro lado, siempre que se venda una opción, se hará a su precio bid, mienras que siempre que se compre una opción, la ransacción se realizará a su precio ask. Si bien el spread enre punas no es imporane, preferimos imponerle esa condición a la esraegia, al no disponer del order book con los precios y canidades a los cuales se podría haber ransado, y por ende desconocer el slippage causado por nuesra operaoria. Por oro lado, en el caso de las opciones vendidas, de sufrir el índice una caída mayor al 7,5% se hará el rollover de la posición, cerrando dicha pare de la operación, y abriendo una nueva posición vendida en una opción de vena nueva, que vuelva a cumplir con las caracerísicas originales (precio de ejercicio lo más cercano posible al subyacene, y plazo a vencimieno de aproximadamene 90 días de corrido). A su vez, se da una paricularidad para ener en cuena. En escenarios fueremene alcisas, la opción vendida puede devengar su valor rápidamene, coizando en un precio muy cercano a cero. Enonces, esperar hasa su vencimieno es subópimo, pueso que se corre odo el riesgo (de que vuelva a subir de precio) y las posibilidades de ganancia son marginales (en caso de seguir subiendo el índice, el precio de la opción ienen como límie inferior el valor cero). Es así que definimos la siguiene regla: en caso de que el 8

12 precio de la opción vendida caiga por debajo del 20% del precio recolecado al momeno de la vena, cerraremos esa posición y abriremos una nueva. Cabe aclarar que odas esas imposiciones corren en paralelo con el modelo de regímenes que desarrollaremos en el puno e. d. Algorimo de ciclos En las úlimas décadas, la economería aplicada a finanzas ha inenado documenar muchas de las caracerísicas que exhiben los reornos de los acivos financieros, ano en forma individual como conjuna. Enre esas caracerísicas podemos enumerar cuesiones ales como los sucesos de clusering en la volailidad, el equiy premium, las disribuciones con fa-ail, ec. Resula de sumo inerés, para el eseo de la esraegia en cuesión, explorar los ciclos de expansión y conracción que experimenan los mercados, con el fin de definir un ópimo ex-pos sobre el cual poder comparar. Esos ciclos, en la jerga financiera, son conocidos como mercados bullish y bearish, respecivamene. Algorimos endienes a caracerizar dichos ciclos, en los mercados, han sido adapados por Pagan y Sossounov (2003) y Gonzalez, e al. (2004), enre oros, de una meodología original desarrollada por Bry y Boschan (1971) en su paper seminal. Tomaremos caracerísicas de los mismos para avanzar con esa clase de modelos, pueso que han mosrado ser lo suficienemene exiosos a la hora de localizar períodos, a lo largo del iempo, que pueden caer denro de la caegorización de mercados alcisas o bajisas. Dado que la ransición de una fase bullish a una bearish (y viceversa) involucran punos de quiebre en la serie de iempo, es necesario esgrimir una definición de los mismos, para poder proceder a caracerizar los ciclos. La definición de un mercado alcisa (bajisa) carece de rigurosidad, y deriva más de usos y cosumbres esablecidos por la prensa especializada. Se insise en que, para clasificar como al, un mercado debe experimenar un alza (baja) mayor a enre 20% y 25%; aunque ambién podría uilizarse nociones ales como un alza (baja) generalizada en los precios de mercado, al cual lo hacen Chauve y Poer (2000). Esa úlima definición implica que el mercado pasará de un período bullish a uno bearish (cambio de fase), en ano y en cuano los precios hayan experimenado un período prolongado de caída (suba) respeco a su pico (valle) previo. Eso no invalida súbias alzas durane un período bearish, como ampoco caídas ransiorias durane un período bullish. Dado lo anes comenado, vamos a definir el algorimo, expresado en un se de reglas, con la finalidad de poder reconocer parones en la serie de iempo en cuesión, replicando el desarrollo de Pagan y Sossounov. Dichos auores esablecen dos ipos de reglas. Una primera que resula ser un crierio para decidir la ubicación de poenciales picos y valles, buscando punos que son mayores o menores que una venana de punos 9

13 adyacenes. La segunda regla consise en medir la duración enre esos punos y adopar un se de reglas de monioreo, para enonces resringir la exensión mínima de cualquier fase, así como ambién de los ciclos eneros. A la hora de rabajar con el índice de mercado, la periodicidad de nuesros daos será mensual, a los fines de caalogar los ciclos. Por oro lado, la venana de punos adyacenes sobre la cual se buscará comparar para enconrar máximos o mínimos será de 8 observaciones, y la exensión mínima de iempo para esar denro de una fase será de 4 meses. También, eniendo en cuena la venana de punos anes definida, el mínimo período para definir a un ciclo compleo será de 16 meses. Finalmene, dado que los acivos financieros pueden experimenar fueres movimienos repeninos, es necesario anexar una regla para invalidar la duración mínima de cualquier fase. Enonces, de suceder un movimieno mayor al 20% en los precios durane un mes, la resricción acerca de la duración mínima de una fase puede ser ignorada. En la siguiene abla se presenan los resulados para el índice, con el algorimo corrido enre Julio de 1896 y Julio de 2014: Tabla II Picos y Valles: muesra desde Julio 1896 hasa Julio 2014 Período bearish Período bullish Fechas Reorno promedio D.E. Fechas Reorno promedio D.E. 08/ /1898-0,0257 0, / /1897 0,0439 0, / /1900-0,0190 0, / /1899 0,0435 0, / /1903-0,0175 0, / /1901 0,0405 0, / /1907-0,0236 0, / /1906 0,0331 0, / /1911-0,0110 0, / /1909 0,0261 0, / /1913-0,0249 0, / /1912 0,0194 0, / /1914-0,0365 0, / /1914 0,0150 0, / /1917-0,0297 0, / /1916 0,0313 0, / /1921-0,0239 0, / /1919 0,0225 0, / /1923-0,0345 0, / /1923 0,0251 0, / /1932-0,0558 0, / /1929 0,0216 0, / /1934-0,0317 0, / /1934 0,0591 0, / /1938-0,0441 0, / /1937 0,0252 0, / /1942-0,0102 0, / /1938 0,0537 0, / /1943-0,0196 0, / /1943 0,0297 0, / /1949-0,0057 0, / /1946 0,0171 0, / /1953-0,0136 0, / /1952 0,0138 0, / /1957-0,0095 0, / /1956 0,0203 0, / /1960-0,0165 0, / /1959 0,0190 0, / /1962-0,0424 0, / /1961 0,0157 0, / /1968-0,0056 0, / /1966 0,0135 0, / /1970-0,0183 0, / /1968 0,0182 0, / /1971-0,0172 0, / /1971 0,0329 0, / /1974-0,0231 0, / /1972 0,0162 0, / /1978-0,0211 0, / /1976 0,0201 0, / /1980-0,0162 0, / /1979 0,0109 0, / /1982-0,0130 0, / /1981 0,0211 0, / /1984-0,0234 0, / /1983 0,0297 0, / /1987-0,0700 0, / /1987 0,0237 0, / /1992-0,0100 0, / /1992 0,0114 0, / /1994-0,0180 0, / /1994 0,0143 0, / /2002-0,0112 0, / /1999 0,0185 0, / /2004-0,0066 0, / /2004 0,0206 0, / /2009-0,0403 0, / /2007 0,0094 0, / /2011-0,0314 0, / /2011 0,0240 0, / /2014 0,0128 0,

14 Dicha información ambién puede apreciarse gráficamene: Gráfico III DJIA filrado por algorimo de ciclos -escala logarímica Fases Bullish e. Modelos de Regime-Swiching La inesabilidad esrucural de un proceso generador de daos sigue siendo desafiane, no sólo a la hora de modelar con daos empíricos, sino que ambién al momeno de la oma de decisiones en cualquier proceso de inversión financiera. Esa ha sido eseada por Chow (mediane un es F), bajo el limiane de ener la necesidad de conocer los momenos en los cuales dicho cambio esrucural sucede, para poder definir las submuesras. Dado que, para nuesro problema, enemos poca información sobre el momeno en el cual se da dichos quiebres en la serie (cambios esrucurales), debemos inferirlos, así como ambién la significancia del parámero. Es ahí donde enran en escena los modelos de regime-swiching. Para el mismo planeamos una especificación auorregresiva de orden k, con media y varianza que responden a una cadena de Markov de primer orden y M esados: ( )( ) φ B y µ S = ε [1] 11

15 donde los residuos se encuenran normalmene disribuidos, con media cero y varianza 2 dependiene del esado en que se encuenre, ~ N ( 0, ) ε σ. S A su vez, cada uno de los esados esá denoado por S, y las probabilidades de ransición P S = j S 1 = i = pij, i, j = 1, 2,..., M, con la condición de que son ( ) Enonces la media del proceso quedaría definida por varianza sería σ =, donde 1 M 2 2 S σ k Sk k = 1 S = si S m M pij = 1. i= 1 M S = k Sk, mienras que la k = 1 µ µ = m y cero en oro caso. La solución al problema queda deerminada por la maximización del logarimo de la función de verosimiliud con respeco a los parámeros: 1 f ( y ψ, S, S ) = exp {( y µ S ) φ 1 ( y 1 ) µ S 1 } πσ 2 S σ S T = 1 ( ψ 1 1 ) ln L = ln f y, S, S 2 [2] Ahora bien, para poder escribir la función de densidad de necesiamos conocer S y S 1 densidad conjuna de y, S y S 1 como: ( ) ( ) ψ, y dado su pasado, 1, dos variables no observadas. Enonces, la función de, condicional a la información pasada queda definida f y, S, S ψ = f y S, S, ψ Pr S, S ψ [3] donde f ( y S, S 1, ψ 1 ) fue definida más arriba. Para obener ( 1 ) f y ψ enemos que inegrar por S y S a dicha función de densidad conjuna, para odos los valores de 1 S y S posibles, 1 M M ( ψ 1 ) = f ( y, S, S 1 ψ 1 ) f y S = 1S 1 = 1 ( ψ ) M M = f y S, S 1, 1 Pr S, S 1 ψ 1 S = 1S 1 = 1 [4] 12

16 El úlimo problema por abordar es calcular las probabilidades de ransición, Pr S = js, = i ψ 1 1, de forma ieraiva. Primero, dado que conocemos S 1 = i ψ 1 i = M al inicio del iempo, los érminos de ransición Pr, 1,2,...,, S = js 1 = i ψ 1 i = M j = M, se calculan como: Pr,, 1,...,, 1,..., S = js 1 = i ψ 1 = S = js 1 = i S 1 = i ψ 1 [5] Pr, Pr, Pr donde Pr S = js, 1 = i son las probabilidades de ransición. Una vez que observamos la variable y al final del iempo, podemos acualizar las probabilidades, Pr S = js, = i ψ = Pr S = js, = i ψ, y ( =, 1 =, ψ 1 ) f ( y ψ 1 ) f S js i y = [6] Finalmene, y lo que resula de real inerés a nuesra esraegia de inversión, enemos que las probabilidades de esar en un deerminado esado j, con oda la información disponible hasa ese momeno, es: M [7] Pr S = j ψ = Pr S = js, = i ψ 1 S 1 = 1 Vale aclarar que, para comenzar el proceso en = 1, podemos uilizar las condiciones o probabilidades de esado esacionario (por ejemplo, las probabilidades que surgen de ponderar los momenos que se esá en un esado bearish o bullish del algorimo de ciclos aplicado en el puno anerior). III. Resulados a. Caracerización de las fases del ciclo Aplicado el algorimo de ciclos, se arriban a ineresanes conclusiones acerca de las caracerísicas de cada una de las fases del ciclo. En primer lugar, desde 1896 a la fecha, hay 35 ciclos compleos y acualmene nos enconramos en el 34avo mes de la fase bullish de un nuevo ciclo. En promedio las fases alcisas ienen una vida promedio de 24,78 meses, mienras que las bajisas duran casi 15 meses. El reorno acumulado promedio de las fases bullish es de 73,55%, mienras que el de las fases bearish asciende a -25,75%. 13

17 Si bien los reornos mensuales promedios son similares enre fases con el respecivo cambio de signo-, las fases bajisas muesran un desvío esándar más alo (5,4% mensual, vs. 4.6% para el caso alcisa). Oro resulado en línea con lo esperado es que, para reornos mensuales, las fases alcisas ienden a ser más lepocúricas que las fases bajisas, con un coeficiene de asimería posiiva (mayor concenración de observaciones a la derecha de la media), mienras que para las fases bajias es negaiva (mayor concenración de observaciones a la izquierda de la media). En la siguiene abla resumimos los resulados promedios, para observaciones mensuales: Tabla III Caracerísicas de las fases del ciclo Promedios Mercados Alcisas Mercados Bajisas Canidad Duración 24,78 14,97 Reorno acumulado 73,546% -25,753% Reorno mensual 2,164% -2,104% CMGR 2,319% -2,463% Desvío Esándar 4,589% 5,386% Kurosis 6,9323 3,1839 Asimería 1,0365-0,8981 Meses con reornos posiivos 637/892 (71,41%) 180/524 (34,35%) % de meses en mercados alcisas 892/1416 (62,99%) Noa: CMGR = Compound Monhly Growh Rae b. La esraegia Buy-and-Hold, el benchmark original Como ya hemos mencionado, el benchmark original conra el cual realizaremos las comparaciones no es más ni menos que una inversión pasiva en el propio índice. La misma se realizará a ravés de la compra de acciones de un ETF que replica al Dow Jones Indusrial Average (con icker "DIA"). Vale aclarar dos cuesiones en ese puno. Para obviar problemas en cuano a la perfeca divisibilidad del acivo, suponemos que cobramos los dividendos, pero esos no son reinveridos. Por oro lado, dado que dicho ETF empieza a coizar el 20 de Enero de 1998, mienras que nuesro eseo sobre opciones comienza a parir del 6 de Ocubre de 1997, complearemos la serie con un proxy del DJX para lo que resa. La inversión finaliza el 30 de agoso de 2013, a la par de la esraegia de opciones. 14

18 Los daos a desacar de esa esraegia son un reorno promedio de 6,11% por año, con una volailidad de 14%, generando un raio de Sharpe para dicha inversión de aproximadamene 0,2356. El reso de las caracerísicas de la inversión quedan resumidas en el siguiene cuadro: Tabla IV Perfil esraegia "Buy and Hold" Mensuales Anuales Media 0,51% 6,11% Mediana 0,87% 7,68% CGR* 0,42% 5,24% Exceso de Reorno 0,27% 3,31% Desvío Esándar 4,02% 14,06% Kurosis 1,3234 0,2004 Asimería -0,5671-0,3342 Máximo 9,94% 46,05% Mínimo -15,09% -34,44% Raio de Sharpe 0,2356 *CGR = Cumulaive Growh Rae apropiada a cada sampling c. Esraegia ópima con algorimo de ciclos La aplicación del algorimo de ciclos iene un problema de look-ahead bias, pueso que necesiamos conocer, por lo menos, 8 observaciones por delane de la acual para poder deerminar en qué fase del ciclo nos enconramos. Sin embargo, no deja de ser úil, ano a la hora de esablecer una benchmark "ideal" sobre el cual poder comparar la esraegia, así como un marco en el cual esear el poder predicivo del modelo de regime-swiching. Es así como, en un mundo favorable, donde podemos discernir de manera acabada enre las fases alcisas y bajisas del ciclo, la esraegia de inversión ópima queda deerminada por ese algorimo. La misma logrará más que riplicar el reorno esperado, y si bien no logra bajar la volailidad anual, nos permie aumenar el raio de Sharpe, pasando de 0,2356 hasa 1,0843, y con una baja correlación respeco a los reornos del índice de mercado. Podemos apreciarlo con más lujo de dealle en la siguiene abla: 15

19 Tabla V Perfil esraegia "Ópimo por algorimo de ciclos" Mensuales Anuales Media 1,55% 21,08% Mediana 1,34% 17,23% CGR* 1,47% 19,28% Exceso de Reorno 1,32% 18,07% Desvío Esándar 3,79% 16,66% Kurosis 2,1660 2,7685 Asimería -0,2548 1,4907 Máximo 12,76% 84,10% Mínimo -15,09% -5,64% Correlación 0,1365-0,1979 Raio de Sharpe 1,0843 *CGR = Cumulaive Growh Rae apropiada a cada sampling d. Esraegia naive de opciones En una primera pasada, realizamos el backesing de una esraegia a la cual definiremos naive (ingenua) básicamene porque considera un único esado de la nauraleza. Como se puede apreciar en el desarrollo del algorimo de ciclos (y su caracerización con daos de mercado), las fases denro de un ciclo exisen y su perfil de reorno y volailidad difieren enre sí significaivamene. Enonces, es de esperar que, cualquiera sea el resulado, será sub-ópimo, pueso que limia las formas de inverir a una sola: hacer exacamene lo mismo en cualquier esado de la nauraleza. Teseado los resulados con daos de mercado, esa esraegia ermina mejorando la siuación, o benchmark, original: la inversión pasiva en el Dow Jones Indusrial Average mediane un ETF. Cabe aclarar que no se genera una dominancia fuere en el senido esrico de media y varianza, pueso que si bien enemos un mayor reorno esperado (y un mayor exceso de reorno), vendrá acompañado de un aumeno en la volailidad. A juzgar por odas las méricas en su conjuno, la disribución de reornos de esa esraegia muesra ser superadora, con un mayor reorno anual promedio y un raio de Sharpe que casi duplica a la esraegia pasiva ( vs ). En cuano a la disribución de reornos, en érminos mensuales, presena una mayor kurosis y un coeficiene de asimería más negaivo, propiedades deseable. Por úlimo, el coeficiene de correlación con la esraegia pasiva esá en orno a 0.85/0.90, dependiendo la 16

20 frecuencia que se observe. Para una mayor precisión en los daos se puede observar la siguiene abla: Tabla VI Perfil esraegia "Naive" de opciones Mensuales Anuales Media 0,89% 11,01% Mediana 1,81% 14,04% CGR* 0,75% 9,39% Exceso de Reorno 0,71% 8,16% Desvío Esándar 5,17% 19,82% Kurosis 3,7281 0,5233 Asimería -1,3036-0,6911 Máximo 12,11% 53,59% Mínimo -24,28% -44,34% Correlación 0,8954 0,8576 Raio de Sharpe 0,4119 *CGR = Cumulaive Growh Rae apropiada a cada sampling e. Esraegia opimizada de derivados, mediane modelo de regimeswiching. Por úlimo, y con la finalidad de analizar si un modelo de regime-swiching conribuye a la oma de decisiones en el proceso de inversión, abrimos la posibilidad adicional de rebalancear el porafolio una vez a la semana, dependiendo las probabilidades que surgen de correr un modelo de regime-swiching sobre los daos. Para el desarrollo del modelo hemos especificado un proceso auorregresivo de segundo orden AR(2), sumándole una variable exógena, el nivel del índice de volailidad implícia, VIX, rezagado un período. La disribución de los residuos en normal, con media cero y varianza consane (para cada uno de los regímenes). En érminos de regímenes, nos limiamos a fijar dicho valor en dos, uno alcisa y oro bajisa. Nuesra nueva regla para inverir ahora será ener en cuena las probabilidades de esar en una fase bearish. Dicha probabilidad, al superar un umbral de 50%, será uilizada para ajusar nuesra posición vendida en pus, cerrando la posición. El porqué de ese accionar queda deerminado ano por la volailidad en la serie de probabilidades, así como por los cosos de ransacción y el bid-ask spread, que al dejar de ser despreciables, impacan sobre el P&L de la posición en caso de llevar a cabo rebalanceos muy frecuenemene. Cualquier cambio iene que ser significaivo, ano para desarmar la posición, como para volver a armarla. 17

21 En el siguiene gráfico comparamos las probabilidades de esar en un escenario bajisa, conra las especificadas por el algorimo de ciclos: Gráfico IV 1 1 0,9 0,9 0,8 0,8 0,7 0,7 0,6 0,6 0,5 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1 0 0 Regímenes bullish según Algorimo de ciclos Probabilidad bearish según Regime-Swiching Model Si bien la deección de los ciclos no es perfeca, la fala de precisión de la misma puede esar relacionada con problemas ano en la especificación del modelo, así como ambién en la decisión de incluir o dejar afuera variables relevanes a la hora de deerminar los reornos accionarios. Dichas consideraciones quedan para fuuros esudios. Pasando ya a los resulados que surgen de la aplicación de dicho modelo, podemos observar resulados mixos. Si bien reduce la correlación con el índice, por oro lado ambién cae el raio de Sharpe versus una esraegia naive. Reduce la volailidad a la hora de inverir, pero a cosa de un menor reorno, ya sea ariméico o geomérico. Claramene sirve más para una posura "defensiva" que para una ofensiva. El reso de los resulados quedan desglosados en la siguiene abla: 18

22 Tabla VI Perfil esraegia "Regime-Swiching" de opciones Mensuales Anuales Media 0,62% 7,60% Mediana 0,50% 9,20% CGR* 0,52% 6,45% Exceso de Reorno 0,38% 4,68% Desvío Esándar 4,25% 15,25% Kurosis 7,5118 0,9507 Asimería -1,6429 0,1053 Máximo 12,11% 56,69% Mínimo -24,28% -31,51% Correlación 0,7156 0,7451 Raio de Sharpe 0,3067 *CGR = Cumulaive Growh Rae apropiada a cada sampling IV. Conclusiones Las inversiones requieren de un adecuado conocimieno de las dimensiones de riesgo, reornos, liquidez y horizone. Asimismo requiere de decisiones que se encuenren fundamenadas en concepos académicos, herramienas y análisis de daos que proporciona la experiencia. Inverir acorde a las circunsancias y el ambiene en el que nos enconramos es un facor fundamenal a la hora de generar reornos robusos, ponderados por riesgo. Los problemas que ienen los modelos esándares de valuación provienen de suponer que exise un único proceso generador de reornos, o bien quedar sujeos a problemas en la especificación de la muesra a la hora de esimar sus parámeros. Hemos enconrado en varias oporunidades reglas de inversión u oporunidades cuyo único fundameno proviene del azar, aun cuando sus promoores consideran que se originan en sus habilidades y conocimienos especiales. De ese ipo de sesgos abundan las finanzas, y en especial la inversión en los acivos financieros en los mercados de capiales, donde la suere puede ser confundida con aleno y capacidad. Una de dichas esraegias proviene de la vena de opciones, que de manera similar a una empresa de seguros, funciona mienras nadie reclame el siniesro, es decir que no iene un adecuado 19

23 sopore esadísico, por ello en el presena rabajo hemos procedido a verificar de manera esadísica una posible esraegia para analizar sus resulados. Asimismo, flexibilizar el proceso de esimación, suponiendo que exisen disinos regímenes, surge como una alernaiva a quedar expuesos a la subjeividad del analisa en la oma de decisiones. Eso posee sus beneficios y sus conras, pero en odo caso, hace exógena al llamado 'esómago' del individuo la deección del esado de la nauraleza en el cual se encuenra el mercado en su conjuno. La prueba sobre su performance ha quedado expuesa y, si bien exise margen ano para ahondar en la meodología como en la elección de variables relevanes y reglas de decisión que agreguen realismo a la hora de implemenar ese ipo de esraegias, creemos firmemene que hemos mosrado imporanes avances. Incluimos fricciones propias de la realidad de los mercados, a un problema que generalmene se hace 'inviro', arrojando resulados consisenes. En el presene rabajo hemos expueso evidencia al respeco. 20

24 APENDICE A: DATOS Los daos de mercado uilizado para esear la esraegia de inversión fueron en base a observaciones diarias. La serie de precios diarios para el subyacene fue del DJX, que represena 1/100 del DJIA (Dow Jones Indusrial Average), y sus correspondienes opciones de vena. Para la pare shor de la esraegia, la caracerísica de la opción es que, al momeno de la aperura de una posición, se encuenra a-he-money (ATM), definido en base a un moneyness de 1, con un ime-o-mauriy (TTM) en promedio de 90 días. Para la pare long de la esraegia, la caracerísica de las opción es que, al momeno de la aperura de una posición, se encuenra ou-of-he-money (OTM), con un nivel de moneyness de 0.7, y un TTM promedio de 365 días. El rango del eseo va enre Ocubre de 1997 y Agoso de Los daos para consruir la serie de ciclos ambién corresponden al DJIA sin capialización de dividendos-, pero ahora con observaciones mensuales, desde Julio 1896 hasa Julio de APENDICE B: PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR PUNTOS DE QUIEBRE EN LAS SERIES FINANCIERAS Aquí deallamos el algorimo implemenado por Pagan y Sossounov, que sirve a nuesro propósio de definir los ciclos de expansión y conracción para el acivo subyacene. Los punos son como se deallan a coninuación: 1. Deerminar un puno de quiebre inicial, eligiendo los picos (valles) locales, a medida que van ocurriendo, en función de ser el máximo (mínimo) valor en una venana de iempo de 8 meses de exensión para cada lado. Para forzar la alernancia de los quiebres, en caso de haber picos (valles) coniguos, seleccionaremos el máximo (mínimo) enre ellos. 2. Operaciones de conrol (asegurando la alernancia luego de cada una): a. Eliminar quiebres denro de los 6 meses iniciales y finales de una serie. b. Eliminar picos (o valles) en ambos exremos de la serie que sean menores (o mayores). c. Eliminar ciclos cuya duración sea menor a 16 meses. d. Eliminar fases cuya duración sea menor a 4 meses (excepo ane subas/caídas que excedan el 20%). 3. Deallar los punos de quiebres finales. 21

25 V. Referencias Arrow, K. J. and Debreu, G. (1954), Exisence of an equilibrium for a compeiive economy. Economerica 22 (3): Black F., and Scholes M. (1973), The Pricing of Opions y Corporae Liabiliies. Journal of Poliical Economy 81 (May-June): Bry, G., and Boschan, C. (1971), Cyclical Analysis of Time Series: Seleced Procedures and Compuer Programs. NBER: New York. Chauve, M., and Poer, S. (2000), Coinciden and leading indicaors of he sock marke. Journal of Empirical Finance 7: Cordier J. y Gross M., (2009). The Complee Guide o Opion Selling. Mc Graw Hill. Cox J., Ross, S., and Rubinsein M. (1979), Opion pricing: A simplified approach. Journal of Financial Economics 7, no. 3: Gonzalez, L.; Powell, J. G.; Shi, J., and Wilson, A. (2004), Two cenuries of bull and bear marke cycles. Inernaional Review of Economics and Finance 14 (2005): Hull J., (1993). Opions, Fuures and oher Derivaive Securiies. Prenice Hall. Second Ed. Kim, C. J., and Nelson, C. R. (1999). Sae-Space Models wih Regime Swiching. The MIT Press. McKenzie, Lionel W. (1959). "On he Exisence of General Equilibrium for a Compeiive Economy". Economerica 27 (1): Meron R. C. (1973), Theory of Raional Opion Pricing. Bell Journal of Economics y Managemen Science 4, no. 1: Pagan, A. R., and Sossounov, K. A. (2003), A Simple Framework for Analysing Bull and Bear Markes. Journal of Applied Economerics, Vol 18, No. 1 (Jan. Feb.): OCC Rules, Opion Clearing Company,