CAPITULO 7 MODELO CON TIEMPOS DE FALLA CON DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD GENERAL Y FRECUENCIA DE MUESTREO VARIABLE.
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- Julio Mendoza Campos
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1 CAPITULO 7 MODELO CON TIEMPOS DE FALLA CON DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD GENERAL Y FRECUENCIA DE MUESTREO VARIABLE. En este capítulo se presenta el odelo propuesto por Rahi & Banerjee [3], su solución con la técnica propuesta, los resultados obtenidos y la coparación de resultados con trabajos anteriores. 7. Modelo con tiepos de falla con distribución de probabilidad general y frecuencia de uestreo variable de Banerjee & Rahi. Para este odelo base se considera una distribución general para el tiepo dentro de control y un valor de salvaento del equipo utilizado. El odelo perite la posibilidad de un reeplazo del equipo, dependiendo de su edad, antes de una falla. Un reeplazo antes de una falla sólo es significativa cuando el reeplazo produce un beneficio econóico. Intuitivaente, la vida residual ás allá de una cierta edad del sistea involucra una tasa de falla creciente. Por consecuencia, podrían ser necesarios uestreos frecuentes después de que el sistea tenga cierta edad, esto traería coo consecuencia increentar el costo operacional. Por lo tanto, la terinación de un ciclo productivo en algún oento, ás allá de esta edad, podría producir ahorros adicionales. Un ciclo productivo truncado se define coo un ciclo de producción, el cual terina después de la detección de una falla o a una edad predeterinada, lo priero que
2 suceda. La cuestión de reeplazar antes de una falla no es iportante para los odelos Markovianos, debido a su propiedad de no eoria. 7.. Desarrollo del odelo base. Un ciclo de producción truncado puede ser definido de la siguiente anera: coienza cuando un nuevo coponente es instalado y finaliza con una reparación o después de un núero especificado de intervalos de uestreo, lo priero que ocurra. El proceso se regresa a un estado dentro de control ediante una reparación, de tal anera que al final de cada ciclo ocurre una renovación. Este tipo de proceso de renovación tiene la propiedad que el costo esperado por unidad de tiepo puede ser expresado coo la división del costo esperado por ciclo de producción y la longitud esperada del ciclo de producción. El objetivo es encontrar los valores de n, hj (j =, 2,,), y k dado el valor de que iniice el costo esperado por unidad de tiepo. El tiepo esperado por ciclo E(T) consiste de los siguientes periodos:. tiepo dentro de control durante la producción, el cual incluye paros por falsas alaras. 2. tiepo entre el cabio a fuera de control y cuando el prier punto de una uestra cae fuera de los líites de control. 3. tiepo de búsqueda de una causa asignable y reparación de la áquina.
3 Siilarente el costo esperado por ciclo E(C) generalente consiste de las siguientes categorías:. el costo de producir defectuosos ientras que el proceso esté dentro de control y fuera de control. 2. el costo de falsas alaras. Esto incluye el costo de búsqueda y el costo de paros, si la producción para durante la búsqueda. 3. el costo de localizar una causa asignable y reparación del proceso, el cual incluye el costo de una paro apropiado. 4. el costo de uestreo y prueba. 5. el valor de salvaento para una áquina de edad x Derivación de ecuaciones de longitud de ciclo esperado y costo esperado. Para obtener las ecuaciones de longitud de ciclo y costo esperado ediante teoría de renovación, estableceos el supuesto de que 2. Notación: La notación se uestra en la tabla 7. h j w f(t) núero especificado de intervalos de uestreo intervalo de uestreo para un esquea variable edad del equipo de trabajo función de densidad de la distribución de falla
4 r(t) F(t) ρ a b W Y D 0 D Z 0 Z función de confiabilidad función de distribución acuulada factor para cálculo de intervalos de uestreo costo de fijo de la uestra costo variable de la uestra costo por localizar y reparar la causa asignable costo por falsa alara costo/hora por producir dentro de control costo/hora por producir fuera de control tiepo esperado de búsqueda asociado con una falsa alara tiepo esperado de búsqueda de una causa asignable y reparar el proceso S(x) valor de salvaento para un equipo de trabajo de edad x F (w j ) = F(w j ) F(w j ) = F(w j ) F(w j- ) Tabla 7. La longitud de ciclo esperado queda definida de la siguiente anera:
5 E(T) = hj F (w j- ) + α Z 0 F (w j ) + β j F (w j ) hi β i-j- + Z i= j+ ( 7.) Donde: hj F (w j- ) Tiepo esperado cuando el proceso está dentro de control. + α Z 0 F (w j ) Tiepo esperado para la búsqueda de una falsa alara. + β j F (w j ) hi i= j+ β i-j- Tiepo esperado de no detección de una causa asignable. + Z Tiepo de reparación. El costo esperado queda deterinado por: E(C) = D 0 hj F (w j- ) + α Y F W (w j ) + (D 0 D ) xf 0 ( x) dx + (D D 0 ) w j F (w j ) + D β [ j F (w j ) hi β i-j- ] i= j+ 2 + (a + bn) [ + = j 2 F (w j ) + β = j F (w j) { ( - β ) i j i β i-j-
6 + ( j) β --j } ] + W - F (w ) S (w ) (7.2 ) Donde: D 0 hj F (w j- ) Costo esperado de operación ientras se está en control sin alara. + α Y F (w j ) Costo esperado de falsas alaras. W +{ (D 0 D ) xf 0 ( x) dx Costo esperado de operar ientras el + (D D 0 ) w j F (w j ) proceso estaba incialente en control y + D β [ j F (w j ) hi β i-j- ]} i= j+ después se sale de control, y se presenta una alara verdadera 2 + {(a + bn) [ + = j F (w j ) Costo esperado de uestreo y reparación. 2 + β = j F (w j) { ( - β ) i j i β i-j- + ( j) β --j } ] }+ W - F (w ) S (w ) Valor de salvaento para el equipo de trabajo de edad w.
7 En uchas aplicaciones se realizan reeplazos sólo después de que se presenten alaras verdaderas. Equivalenteente, el núero de intervalos de uestreo se considera es un núero uy grande. La expresión para E(C) y E(T) cuando (odelo no truncado) y S(w ) 0 está dado por: E(T) = hj F (w j- ) + α Z 0 = j F (w j ) + β j F (w j ) hi β i-j- + Z ( 7.3) i= j+ y E(C) = D 0 hj F (w j- ) + α Y = j F (w j ) + (D 0 D ) τ + (D D 0 ) w j F (w j ) + D β [ j F (w j ) hi β i-j- ] i= j+ + (a + bn) [ β / ( - β ) + i=0 F (w i ) ] + W ( 7.4) 7..3 Intervalos de inspección para el odelo base. El problea de iniizar E(C) / E(T) sobre el conjunto de variables de decisión (n,h, h 2,, h y k) puede ser ateáticaente intratable. Rahi & Banerjee [3] obtiene una solución cerca del óptio estableciendo restricciones sobre la longitud de intervalos de uestreo. Bajo este punto, los intervalos de uestreo unifores para odelos en tiepos de control Markovianos posee una tasa de falla constante sobre cada
8 intervalo. El estudio propone que la longitud de los intervalos de uestreo deberían ser escogidos de tal fora que la tasa de falla sobre cada intervalo deben ser igual, es decir, Wj+ Wj W r ( t) dt = r ( t) dt, para j =, 2,, - ( 7.5) 0 donde la tasa de falla r(t) está definida por r(t) = f ( t) F( t) (7.6) y F (w j ) = [ F (w ) ] j,, 2,, (7.7) Así w j se deterina nuericaente, y es utilizada en el cálculo de los valores de h 2, h 3,, en térinos de h, debido a que las variables de decisión, n, k y hj están sujetas a (7.7), éstas se ven reducidas a, n, k y h. La elección (7.5) de los intervalos de inspección restringe el problea de optiización propuesto por Rahi & Banerjee [3]. Para el caso en que los tiepos de falla tienen una distribución Weibull el taaño de los intervalos de uestreo truncado quedan definidos de la siguiente anera: h j = [ j /ν - ( j ) /ν ] h (7.8)
9 En el caso de los odelos con tiepos de falla Gaa, la variable h j puede ser deterinada nuéricaente, pero las soluciones explícitas de h j involucra el cálculo tedioso de la distribución gaa. Sin ebargo, w j+ w j constante cuando j, lo que significa que h j llega a ser constante cuando j. Con este supuesto se tiene que h 2 = h 3 = h 4 = = h para el odelo base Intervalos de uestreo propuesto. El criterio que utiliza Banerjee & Rahi [3] en la elección de los intervalos de uestreo cabia dependiendo de la distribución del tiepo de falla. En la búsqueda de utilizar un étodo que generalizado se propone los siguiente: Los intervalos de uestreo hj se calculan aplicando un factor ρ al intervalo inediato anterior de uestreo de tal fora que h > h 2 > > h, debido a que a edida que el tiepo transcurre, los uestreos deben realizarse con ayor frecuencia por el desgaste natural del proceso. h j = ρ h j- (7.9) 7.2 Algorito propuesto para la solución del problea. De anera siilar al caso en donde los intervalos de uestreo son fijos, se utiliza la heurística de Algoritos Genéticos para resolver este problea. A continuación se presenta el Algorito y el Diagraa de Flujo para el odelo con intervalos de uestreo variable truncado y no truncado.
10 7.2. Algorito.. Generar un valor aleatorio de k, h. 2. Calcular las hj con (7.9). 3. Calcular el taaño de uestra n toando coo base el error tipo I y el error tipo II. (Anexo I). 4. Obtener los líites inferior y superior de la gráfica de control. 5. Cálcular α y β 6. Calcular, con las ecuaciones 7.3 y 7.4, y conocido el valor de la función objetivo. 7. Ordenar de enor a ayor según el valor de la función objetivo 8. Verificar si se cuplen las restricciones. 9. Elegir las prieras 50 ejores soluciones. 0. Generar 50 soluciones alternativas, 50 son hijos generados por crossover (Fig. 7.), y 50 por utación de h y 50 por utación de k (Fig. 7.2).. Calcular los valores de los paráetros para cada uno de los hijos generados 2. Evaluar la función objetivo con cada uno de los hijos generados y se vuelve a ordenar del enor a ayor según el valor de la función objetivo. 3. Verificar si se cuplen las restricciones. Si no se cuplen se desecha esa solución. 4. Elegir las prieras 50 ejores soluciones. 5.Repetir el proceso hasta cuplir cierto núero de iteraciones.
11 7.2.4 Diagraa de Flujo. INICIO GENERACION DE 00 PADRES ORDENACION ASCENDENTE FUNCION GENERACION DE K, h,, h ALEATORIAMENTE REALIZAR 50 CROSSOVER Y 00 MUTACIONES CALCULO DE TAMAÑO DE MUESTRA CALCULO PARAMETROS DE HIJOS GENERADOS CALCULO DE LIMITES DE CONTROL EVALUAR FUNCION OBJETIVO CALCULO DE α Y β ORDENACION ASCENDENTE FUNCION CHECAR QUE SE CUMPLAN LAS RESTRICCIONES REPETIR HASTA QUE F.O NO MEJORE 0 VECES CALCULAR FUNCION OBJETIVO FIN
12 7.3 Resultados del problea utilizando Algoritos Genéticos. propuestos. En las tablas 7.2 y 7.3 se uestran los resultados obtenidos de los ejeplos 7.4 Coparación de resultados con trabajos anteriores. Para llegar a las conclusiones de este odelo se presentan los resultados del ejeplo base (Tablas 7.4 y 7.5). Para el caso de uestreo de intervalos truncados se puede concluir:. Para la distribución Weibull se obtuvo una ejora en el costo total del 5.87% deostrando que la heurística realiza una búsqueda exhaustiva, entregando una ejora del resultado. 2. Para la distribución Gaa se tiene una ejora en el costo total del 0.98%. 3. En el caso de la Weibull se increenta el taaño de uestra, esto se debe a que los valores de α y - β ejoraron. 3. Los valores del coeficiente k son uy parecidos a los del ejeplo base. Para el odelo de intervalos no truncados se tiene:. El autor desarrolla y entrega la fórula sólo para este odelo, en donde utilizando la distribución Gaa. Los resultados arrojados por la heurística uestran un decreento del 0.04% con respecto al costo del odelo base.
13 2. En este ejeplo los valores de α y - β peranecieron uy cercanos a los valores del ejeplo base. El taaño de uestra sólo se increento en una unidad. 3. Los coeficientes k en abos odelos son prácticaente los isos. Los resultados obtenidos para estos odelos uestran ejoras iportantes a los ostrados por los ejeplos del trabajo base. El epleo de esta heurística perite la búsqueda en el espacio de soluciones, evitando quedar atrapado en un óptio local, y esto se logra con el étodo de crossover y utación propuesto.
14 Modelo con Intervalos de Muestreo Truncado Propuesto. Distribución Paráetros Taaño Núero Intervalos de Muestreo Coefi- Alpha Poten- E(C)/ Tiepos de Muestra Muestreo ciente cia E(T) Falla n h h2 h3 h4 h5 h6 h7 k α β $/hr Weibull Fora Escala 0.05 Gaa Fora Escala 0.08 Triangular Mínio Mediana 3 Máxio 5 Tabla 7.2 Modelo con Intervalos de Muestreo No Truncado Propuesto. Distribución Paráetros Taaño Núero Intervalos Coefi- Alpha Poten- E(C)/ Tiepos de de Intervalos de ciente cia E(T) Falla Muestra Muestreo Muestreo n h h2 k α β $/hr Gaa Fora 2 28 Infinito Escala 0.08 Tabla 7.3
15 Modelo con Intervalos de Muestreo Truncado Base. Distribución Paráetros Taaño Núero Intervalos de Muestreo Coefi- Alpha Poten- E(C)/ Tiepos de de Intervalos ciente cia E(T) Falla Muestra Muestreo n h h2 h3 h4 h5 h6 h7 k α β $/hr Weibull Fora Escala 0.05 Gaa Fora Escala 0.08 Tabla 7.3 Modelo con Intervalos de Muestreo No Truncado Base. Distribución Paráetros Taaño Núero Intervalos Coefi- Alpha Poten- E(C)/ Tiepos de de Intervalos de ciente cia E(T) Falla Muestra Muestreo Muestreo n h h2 k α β $/hr Gaa Fora 2 27 Infinito Escala 0.08 Tabla 7.4
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