U2: CÓDIGOS BINARIOS

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1 DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELÉCTRICA ÁREA INSTALACIONES ELÉCTRICAS INTRODUCCIÓN A LOS AUTOMATISMOS INDUSTRIALES AUTOMATISMOS INDUSTRIALES I U2: CÓDIGOS BINARIOS INTRODUCCIÓN En esta Unidad estudiaremos los códigos binarios, llamados así por utilizar los símbolos binarios 0 y 1, pero el significado de la combinación de bits en general será distinto al del sistema de numeración binario (estudiado en la U1). Codificar implica la representación unívoca de cada elemento que compone el código, de tal forma que a cada elemento del código se asigna una combinación de símbolos. El número de elementos distintos que un código puede codificar esta dado por la siguiente expresión: N n siendo: N = número de símbolos del código n = número de símbolos adjudicados a cada elemento del código Para los códigos binarios los símbolos son 0 y 1 (N = 2) Ejemplo: Codificar los diez (10) dígitos del sistema decimal con un código binario. Para representar a cada dígito (10 elementos del código) es necesario asignar un número n de símbolos binarios de manera que 2 n 10, por lo tanto n = 4. Esto nos dice que a cada dígito decimal se le debe adjudicar una combinación como mínimo de 4 bits. Porqué codificar? Un sistema digital esta compuesto por varios subsistemas, dentro de los cuales se procesa la información de diferentes maneras. Así, existirán subsistemas donde se atiende la comunicación desde y hacia el exterior del sistema, otro subsistema en el que se almacena la información, otro donde se realizan operaciones lógicas o aritméticas, otro donde se acondiciona la información binaria para presentarla ante un observador humano, etc. Esto además implica que entre los distintos subsistemas existe intercambio de información por lo que está implícita la transmisión de datos. Cada subsistema cumple una función específica y requiere de un código binario apropiado a los procesos que se realizan. Los códigos optimizan la ejecución de tales procesos simplificando las operaciones elementales o minimizando su número y por lo tanto minimizando también el tiempo empleado para hacerlo. En un sistema digital los traductores electrónicos que se utilizan para convertir expresiones desde un código a otro, se llaman codificadores y decodificadores. Estudiaremos los códigos binarios básicos de las técnicas digitales para el tratamiento y la - U2-1/15

2 2 CÓDIGOS BINARIOS transmisión de datos en sistemas digitales. A continuación se presentan y se destacan sus características principales y sus aplicaciones más difundidas CÓDIGOS PONDERADOS Códigos Ponderados: Son aquellos códigos numéricos en los que a cada símbolo que pertenece a la representación de un número le corresponde un valor de acuerdo al lugar que ocupa, y por lo tanto se lo puede representar por serie de términos ponderados (cada lugar tiene asignado un peso ). Los sistemas de numeración binaria, octal, decimal y hexadecimal vistos en la U1, son sistemas de numeración ponderados, donde la ponderación de cada posición es una potencia de la base del sistema. Código BCD 8421: Los códigos BCD (Binary Coded Decimal), codifican en binario con 4 bits a los diez símbolos del sistema decimal. De las 16 combinaciones posibles con 4 bits, los códigos BCD sólo utilizan 10, por lo que estos códigos no utilizan todo su potencial como codificador. (ver parte sombreada de la tabla del BCD 8421), El código BCD 8421, es un código ponderado. La ponderación de las posiciones que ocupan los bits son los valores decimales 8, 4, 2 y 1, las primeras potencias de base 2, que completan el nombre del código. El código BCD 8421 es similar al sistema de numeración binario, pero cada dígito debe representarse por 4 bits. El código BCD 8421, no es el único código que codifica números decimales en forma binaria (BCD), pero sí, es el más popular y es común referirse al código BCD 8421, simplemente como código BCD. Los siguientes son ejemplos de la representación de números en código BCD, en los que cada dígito decimal se representa por 4 bits: Dígito Decimal BCD = 0110 BCD = BCD 315,27 10 = , BCD 0, = 0000, BCD - U2-2/15

3 3 La siguiente tabla muestra ejemplos de otros códigos BCD ponderados, en los que las posiciones de los 4 bits se les asignan distintos valores de ponderación, incluyendo uno con ponderación negativa: CODIGOS PONDERADOS Dígito Decimal BCD BCD BCD BCD Los códigos ponderados son muy eficaces para aplicaciones en conversores analógicos digitales y en contadores binarios con presentación visual en 7 segmentos. No se los utiliza en contadores rápidos o detectores de posición o medición de distancia, ya que presenta problemas en la transición entre valores sucesivos, lo que se denomina ambigüedad de frontera. Esto ocurre porque entre las codificaciones (combinación de bits) asignadas a dos elementos sucesivos existe más de un bit distinto. Cuando entre dos representaciones de elementos sucesivos existen al menos 2 bits distintos, existe al menos 1 estado intermedio a dichas representaciones. Como ejemplo de ambigüedad de frontera nos referiremos al peor caso para el código ponderado BCD Esto se da al pasar del numero decimal 7 al 8 o viceversa. Como puede observarse en la tabla del código BCD 8421, deben cambiar todos los bits que representan al número 7 10 (0111 BCD ) para pasar a la representación del 1000 BCD (8 10 ), y tratándose de un sistema físico es de esperar que por más rápido que sea el paso de representar en BCD desde el 7 decimal al 8 decimal, no necesariamente cambiarán de valor los 4 bits en forma simultanea, sino que lo harán uno a uno, y en cualquier orden. La siguiente es una representación de la transición comentada en el párrafo anterior, en la cual se ha supuesto arbitrariamente un orden de cambio de izquierda a derecha BCD = BCD no pertenece al código BCD 1011 BCD no pertenece al código BCD 1001 BCD pertenece al código BCD = BCD = 8 10 Total: 3 estados intermedios - U2-3/15

4 4 CÓDIGOS BINARIOS CÓDIGOS CONTINUOS Códigos Continuos: Son aquellos en que las representaciones de elementos sucesivos sólo difieren en un bit. Si dos representaciones de números sucesivos difieren en un bit se dicen adyacentes. Códigos Cíclicos: Son aquellos códigos continuos cuyos primer y ultimo elemento también son adyacentes, es decir que la representación del primero y del último difieren en un bit. Código Gray: Es el más difundido código binario continuo y cíclico, que también recibe el nombre de código reflejado. Es un código no-ponderado. En la tabla se muestran los códigos Gray de 2 bits, 3 bits y 4 bits. En la misma, en la columna de la derecha se presenta el código Jonson que se comenta más adelante. Observe en cada código de la tabla la adyacencia entre valores sucesivos. La denominación de reflejado se debe a que la construcción de un código Gray cuyos elementos se representan por n bits (código Gray de n bits), se realiza partiendo del código GRAY de n-1 bits, repitiendo simétricamente las combinaciones de éste y agregando a la izquierda una nueva columna (la del bit n) asignándole el Gray Gray Gray Johnson 2 bits 3 bits 4 bits símbolo 0 a las 2 n-1 primeras combinaciones, y el símbolo 1 a las 2 n-1 combinaciones finales. Observe en la tabla esta característica constructiva del código Gray: Para obtener el Gray d e 3 bit se parte del Gray de 2 bits agregándole un tercer bit 0 en una nueva columna a la izquierda y reflejando simétricamente en sentido vertical el Gray de 2 bits agregándole un tercer bit 1 en la nueva columna a la izquierda. En la tabla anterior se muestran códigos Gray de 2, 3 y 4 bits, pero el código Gray es un código que no está acotado en el número de bit que se utilizan (como es el caso del BCD 8421 que está acotado a 4 bits), sino que al igual que el sistema de numeración binario para representar un número decimal de varios dígitos puede representarlo por la mínima cantidad de bit necesarios, por lo que a continuación veremos como realizar las conversiones entre los códigos binario y Gray. - U2-4/15

5 5 CONVERSIONES DE CÓDIGOS Binario-GRAY y GRAY-Binario Conversión binario a Gray: 1) El bit más significativo (BMS) es el mismo para ambos códigos por lo que el BMS en Gray se copia igual al BMS binario. 2) El bit a la derecha del BMS Gray se obtiene de comparar al BMS binario con el bit ubicado a su derecha: Si son iguales en Gray corresponde 0 (cero) y si son distintos en Gray corresponde 1 (uno). 3) Para el tercer bit a la derecha del BMS Gray se realiza la misma comparación pero ahora con los bits segundo y tercero binarios. Se repite el paso 3) Ejemplos: convertir el binario a Gray: 1) 1 G 2) 11_ G 3) 111 G convertir el binario a Gray: 1) 1 _ G 2) 10 G 3) 101_ G 4) 1011 G convertir el binario a Gray: 1) 1 G 2) 11 G 3) 111 _ G 4) 1110 G 5) _ G 6) G Conversión Gray a binario: 1) El bit más significativo (BMS) es el mismo para ambos códigos por lo que el BMS en binario se copia igual al BMS Gray. 2) El bit a la derecha del BMS binario se obtiene de comparar al BMS binario (recién obtenido) con el bit Gray ubicado a su derecha del BMS Gray: Si son iguales en binario corresponde 0 (cero) y si son distintos en binario corresponde 1 (uno). 3) Para el tercer bit a la derecha del BMS binario se realiza la misma comparación pero ahora con los bits segundo binario (recién obtenido) y tercer bit Gray. Se repite el paso 3) Ejemplos: convertir el Gray 111 G a binario: 1) 1 2 2) 10_ 2 3) convertir el Gray 1011 G a binario: 1) 1 _ 2 2) ) 110_ 2 4) convertir el Gray 1011 G a binario: 1) 1 2 2) ) 111 _ 2 4) ) 11101_ 2 6) Código JHONSON: También es denominado código progresivo. Es un código binario continuo, cíclico y noponderado, al igual que el código Gray, pero comparándolo con éste, el código JHONSON necesita mayor número de bits para representar la misma cantidad de elementos. La capacidad de codificación de un código Johnson que utiliza n bits, es: 2.n. La tabla anterior muestra la representación de los 10 dígitos decimales, para los cuales emplea 5 bits. Y de la misma tabla se comprende la denominación de código progresivo. - U2-5/15

6 6 CÓDIGOS BINARIOS CÓDIGOS AUTOCOMPLEMENTARIOS Códigos Autocomplementarios: Son aquellos que codifican los dígitos del sistema decimal de forma tal que al complementar los bits en la representación de dígito se obtiene la representación del complemento a 9 del mismo. Tal como hemos visto en la U1:Sistemas de Numeración, para realizar la resta de dos números representados en cualquier base de numeración, puede hacerse utilizando el método de Complemento a la Base, o el método derivado Complemento a la Base-1. Para el caso de números decimales (base = 10), el complemento a la Base-1 es el complemento a 9. Código Exceso 3 (XS3): Es un código autocomplementario, no-ponderado, que puede interpretarse como que se obtiene a partir del BCD 8421, de forma tal que cada elemento XS3 se representa por el correspondiente número BDC 8421 más 3 unidades, lo que pone en evidencia el origen del nombre. En la siguiente tabla titulada Códigos Autocomplementarios, se muestra también el código BCD 8421 (que no es autocomplementario!) junto al XS3, para comparar sus tablas y comprobar que las asignaciones de combinaciones de bits de ambas las tablas aparecen desplazadas 3 posiciones. La tabla también presenta otros ejemplos de códigos autocomplementarios como el BCD 4221 y BCD Aiken. CODIGOS AUTOCOMPLEMENTARIOS Dígito Decimal BCD XS3 BCD BCD Aiken Obsérvese la propiedad de ser autocomplementario. Verifique que al cambiar los 0 s por 1 s y los 1 s por 0 s, en la representación de uno cualquiera de los números decimales, se obtiene directamente la representación del complemento a 9 de dicho número. Ejemplificamos para el caso del número 2, cuyo complemento a 9 es 7, y para el número 4, cuyo complemento a 9 es 5: 2 10 = 0101 XS = 0111 XS = 1010 XS = 1000 XS3 - U2-6/15

7 7 Al igual que en BCD 8421, en XS3 cada dígito decimal se representa por 4 bits. Los siguientes son ejemplos de la representación de números en código XS3: 6 10 = 1001 XS = XS3 315,27 10 = , XS3 0, = 0011, XS3 Código BCD 4221: Es un código Autocomplementario, pero a diferencia del XS3 es ponderado. Véase en la tabla anterior que de las diferentes combinaciones de bits que es posible asignarse a un número determinado con los pesos 4221 (debido a poder elegir cualquiera de los dos bits centrales del código con peso = 2), el código que se presenta en la tabla utiliza las combinaciones que le confieren la propiedad de ser autocomplementario. - U2-7/15

8 8 CÓDIGOS BINARIOS CÓDIGOS DETECTORES DE ERROR Códigos Detectores de Error: Son aquellos que se utilizan como detectores errores en la transmisión de información binaria. Tratándose de sistemas digitales que implementan físicamente el símbolo binario 0 y 1 con dos niveles distintos de tensión eléctrica, existe la posibilidad que durante la transmisión de datos binarios, un ruido electromagnético, cambie el nivel de tensión que representaba a un bit por el nivel de tensión correspondiente al bit complemento (cambio del bit 0 por el bit 1 ó cambio del bit 1 por el bit 0). Un método elemental e intuitivo para detectar errores en la combinación de bits de un código que se recibe desde una línea de transmisión, es comparar la combinación recepcionada con todas las combinaciones que utiliza el código. Si la combinación recepcionada no coincide con ninguna de las combinaciones pertenecientes al código se considera que el dato recibido contiene un error. Según sea el protocolo de comunicación entre emisor y receptor, el receptor solicitará al emisor un reenvío del dato o perderá esa información o dato. Esta forma de detección de errores es posible si el código en cuestión no utiliza todas las combinaciones posibles de bits, como es el caso del BCD 8421 ó el XS3, que sólo utilizan 10 de las 16 combinaciones posibles con 4 bits. Por ejemplo si se está transmitiendo datos en BCD 8421 y se recibe la combinación 1011, que como ya conocemos, no pertenece al código BCD 8421, se considera que ese dato es erróneo y se deberá solicitar al emisor que reenvíe el último dato enviado. Cuando en un código binario compuesto por n bits, se utilizan todas las combinaciones posibles (2 n ), es imposible la detección de errores por el método comentado anteriormente porque al cambiar un bit de la combinación original se obtiene otra combinación que también pertenece al código, por lo cual el error queda así camuflado. Una condición necesaria pero no suficiente para detectar errores es que no se utilicen todas las combinaciones posibles. Para ejemplificar que la condición no es suficiente veamos por ejemplo qué sucede al cambiar un bit del número decimal cero (0 10 ) expresado en código XS3, que utiliza sólo 10 de las 16 combinaciones posibles con 4 bits: Al cambiar (error) el primer bit del 0 10 = 0011 XS3 Se obtiene el 8 10 = 1011 XS3 No se detecta el error! Al cambiar el primer bit del 7 10 = 1010 XS3 Se obtiene el = 0010 NO ES XS3 Se detecta el error! Para establecer la condición necesaria y suficiente para que un código binario permita detectar un error es necesario definir el concepto de Distancia Mínima de un código binario. Distancia Mínima: Esta dada por el menor número de bits diferentes entre las representaciones de dos elementos cualesquiera del código. Un código que representa con n bits cada elemento, y la representación de dos elementos cualesquiera difieren como mínimo en k bits (k n) entonces el código tiene Distancia Mínima k. - U2-8/15

9 9 Cuando la distancia mínima es la unidad, como es el caso de los códigos estudiados hasta ahora, algunas de las combinaciones a las que se les cambia el valor de un bit pasan a representar otra combinación que también pertenece al código y por lo tanto no es posible detectar el error. Así, se deduce que la Distancia Mínima que permite detectar un error debe ser mayor que 1. Existen diversos tipos de detectores de errores en la transmisión de datos, y entre los más populares sobresalen el código de paridad y los códigos de peso constante. El concepto de transmisión de datos no implica grandes distancias sino que se puede aplicar cuando exista la posibilidad de captación de ruido para transferir datos de un subsistema a otro. Código de Paridad: Se obtiene agregando a las combinaciones del código original un bit adicional, denominado bit de paridad. Si el código que se desea obtener es de Paridad Par, dicho bit tendrá un valor tal que la combinación del nuevo código (código original más un bit de paridad) tenga una cantidad par de 1 s, aplicándose el mismo concepto para Paridad Impar. CÓDIGOS DE PARIDAD PAR e IMPAR Dígito BCD 8421 Paridad Paridad XS Par Impar La detección de errores mediante estos códigos consiste en agregar al código original (de n bits) un bit de paridad en la salida del emisor, obteniéndose un código de (n+1) bits que se transmite, y al final de la línea de transmisión se controla la cantidad de 1 s que tiene cada combinación que llega al receptor. Si la combinación de (n+1) bits recibida no tiene la paridad correspondiente a la generada por el emisor, se considera que ha ocurrido un error en la transmisión. El esquema de la figura da una idea de la implementación física del método de bit de paridad para la detección de error en la transmisión de datos binarios. - U2-9/15

10 10 CÓDIGOS BINARIOS Es evidente que este método de detección de error sólo permite detectar un único error en la transmisión de datos binarios, ya que un error doble en un mismo bit o un error simple en dos bit de diferente posición no produce cambio en la paridad del dato originalmente transmitido y por lo tanto los errores serán indistinguibles para el receptor. Para tranquilidad del alumno es necesario aclarar que la probabilidad de ocurrencia de un error doble es realmente muy baja y que el método de bit de paridad para detectar un único error se utiliza en forma generalizada. A manera de ejemplo comentamos que para la detección de errores en los datos transmitidos entre un periférico de ingreso de datos como el mouse y el ordenador tipo PC, utiliza el código de paridad. El bit de paridad agregado a un código de distancia mínima 1, lo convierte en un código de distancia mínima 2 y permite la detección de un único error. Para poder detectar errores de más de un bit, es necesario que la distancia mínima sea mayor que 2. En general el número de bits erróneos que se puede detectar, es igual a la Distancia Mínima 1. CÓDIGOS DE PESO CONSTANTE Códigos de Peso Constante: Son aquellos que se forman de manera tal que cada combinación de n bits que representa a los elementos del código contenga un determinado número de 1 s. Los códigos de Peso Constante que se presentan en la siguiente tabla son de uso generalizado y tienen distancia mínima 2, por lo que permiten detectar un único error en la trasmisión de datos. Dígito Decimal CODIGOS DE PESO CONSTANTE 2 entre 5 Biquinario U2-10/15

11 11 DETECCIÓN Y CORRECCIÓN DE ERRORES EN LA TRANSMISIÓN DE DATOS Los códigos detectores de error presentados hasta ahora son de Distancia Mínima 2 y por lo tanto solo permiten detectar un único error (un bit erróneo). Para poder detectar errores en más de un bit, es necesario que la Distancia Mínima sea mayor que 2. Y como ya se ha indicado un código de Distancia Mínima k puede detectar (k-1) bits erróneos. Códigos Correctores de error: Son aquellos que no solo detectan errores sino que pueden determinar cual (o cuales) de los n bits de la combinación que representan a un cierto elemento del código está/n afectado/s por un error La metodología de transmisión de información binaria con detección de error (no la corrección), implica que cuando el receptor detecta un bit erróneo en la combinación de bits de un dato, debe avisar al emisor para que reenvíe ese dato (o perderlo). Esta forma de comunicación implica que el emisor debe esperar y mantener en memoria el último dato enviado porque el receptor puede solicitar un reenvío debido a la existencia de un error durante la transmisión del último dato enviado. En los sistemas que trabajan en tiempo real, no es posible hacer esperar al emisor el visto bueno del receptor para descartar el último dato enviado y enviar el próximo nuevo dato. Esta situación suele encontrarse en sistemas que actúan en procesos industriales sensando valores de ciertas variables del proceso, especialmente en los sistemas de comunicaciones entre dispositivos de control ya que los sistemas actuadores en la industria (sistemas inerciales) son relativamente lentos frente a la velocidad empleada para la comunicación entre controladores. Los códigos de Distancia Mínima 2 estudiados en los apartados anteriores, permiten la detección de un único error pero no permiten la corrección del error, ya que si bien detectan la existencia de un único error, no pueden discernir cual de los n bits de la combinación del código es el bit que está erróneo. Ya que al cambiar un bit de la combinación original, se obtiene otra combinación que no pertenece al código, pero esta combinación (no perteneciente al código) es adyacente a dos representaciones que sí pertenecen al código, por lo tanto no se puede determinar cual de esas dos combinaciones adyacentes y pertenecientes al código, corresponde a la combinación original. Por ejemplo: en el caso del código XS3 con bit de paridad (ver tabla en página 10), que tiene Distancia Mínima 2, si en el receptor se detecta la combinación errónea XS3+Pi (detectado por paridad par y no pertenecer al código), es imposible determinar si el error se ha producido en el bit más a la derecha de forma que la combinación correcta es la correspondiente a XS3+Pi (5 10 ), o en el segundo bits de la derecha de forma que la combinación correcta es XS3+Pi (6 10 ). Para poder detectar y corregir un único error es necesario que la Distancia Mínima sea superior a 2. En un código con Distancia Mínima 3, una combinación errónea obtenida debido al error en un único bit (no pertenece al código), es adyacente a una sola de las combinaciones que per- - U2-11/15

12 12 CÓDIGOS BINARIOS tenecen al código y por lo tanto es posible determinar cual ha sido el bit que esta afectado por un error, entonces sólo hay que cambiarle su valor (0 por 1 ó 1 por 0) y recuperar la combinación original que pertenece al código (corrección del bit erróneo). Así, un código con Distancia Mínima 3, permite detectar y corregir un bit erróneo, o sólo detectar (pero no corregir) dos bits erróneos. La Distancia Mínima de un código de n bits, para que permita corregir errores en m bits (m n), debe ser: Distancia Mínima = 2.m+1. A continuación estudiaremos el Código de Hamming, un código detector y corrector de error en un único bit (Distancia Mínima 3) de amplia aplicación en comunicación digital. Código de Hamming: Es un código detector autocorrector de un único bit erróneo en la transmisión de información binaria. Los códigos de Hamming se basan en agregar un número "p" de bits de paridad a un código de n bits con Distancia Mínima 1, obteniéndose un nuevo código de (n+p) bits que se transmite. A este nuevo código se lo somete en el receptor a "p" detecciones de paridad en "p" grupos de bits elegidos estratégicamente junto a cada uno de los "p" bit de paridad generados en el emisor. El conjunto de los "p" bits de paridad generados en el receptor, tomarán valores 0 ó 1 según se halla cumplido o no la paridad generada en el emisor y forman entre ellos una combinación en un código determinado (generalmente binario) cuyo equivalente decimal nos indica el número de la línea de transmisión que está afectada por un error (el bit). En caso de que no exista error el conjunto de los "p" bits de paridad deben corresponder a una combinación cuyo equivalente decimal no coincida con ninguno de los números asignados a las líneas de transmisión (la combinación a la que se le asignó el 0 10 ). El número "p" de bits de paridad tiene que ser suficiente para permitir la detección del error más la ausencia de error en las combinaciones de (n+p) bits que viajan por la línea de transmisión. Con "p" bits pueden hacerse 2 p combinaciones, por lo cual debe cumplirse. 2 p n+p+1.. Ejemplo de código de Hamming: Se desea diseñar el sistema de detección e identificación de errores en un sistema de transmisión de información binaria que transmite datos en grupos de 4 bits en paralelo (la información podría ser datos en BCD 8421). El código deberá detectar un único error e indicar la posición del bit erróneo en la combinación del código. NOTA: el circuito lógico corrector del bit identificado lo veremos en la próxima unidad temática U3. Para transmitir 4 bits (n=4) hacen falta 3 bits de paridad (p=3) para que se cumpla la desigualdad: 2 p n+p+1 ( ). Así, por la línea de transmisión viajaran n+p = 7 bits, 4 bits de información y 3 bits de paridad. - U2-12/15

13 13 Para detectar el error en una de las 7 líneas de transmisión, más la ausencia de error (total 8 eventos), y además que el número asignado a la línea que contiene al bit erróneo pueda ser perfectamente identificado e indicado en binario, hacen falta 3 bits de paridad (2 3 = 8 combinaciones distintas). El código binario de 3 bits que indica la posición del bit erróneo se obtendrá de las salidas de 3 detectores de paridad, que en el receptor controlan la paridad que fue generada por los 3 generadores de paridad a la salida del emisor. Si la paridad generada en el emisor y la paridad controlada en el receptor no coincide se asume que existió un error en la transmisión y la combinación de los 3 bit generados por los 3 detectores de paridad debe indicar (en algún código, en nuestro caso en binario) el número de la línea con el bit erróneo. Para continuar la explicación convengamos la referencia que utilizaremos en adelante para la combinación de los 3 bits de paridad que llamaremos: primer generador de paridad al que genera el bit de más peso (BMS) segundo generador de paridad al que genera el bit intermedio. tercer generador de paridad al que genera el bit de menos peso (BLS) Determinación de las entradas en los generadores de paridad en el emisor: 1. Se asigna las ubicaciones de los bits de paridad en la línea de transmisión, eligiendo las que su combinación de bits en el código elegido (en este ejemplo: binario) utiliza un solo bit, es decir que en binario corresponde a las primeras potencias de 2 (las líneas 1, 2 y 4, quedando para los bits de información las líneas 3, 5, 6,y 7)) 2. Se asigna cada línea con bits de información (líneas: 3, 5, 6, y 7) como entrada a los generadores de paridad en el emisor de acuerdo con los 1 s que existen en su representación en el código elegido de tres bits (en este ejemplo: binario): La línea 7 cuya representación en binario de 3 bits es 111 2, se conecta a la entrada de los 3 generadores de paridad. La línea 6 (110 2 ), se conecta a los dos primeros generadores de paridad y no se conecta último. La línea 5 (101 2 ), se conecta al primero y último generador de paridad y no al segundo La línea 3 (011 2 ), no se conecta al primero, y sí al segundo y tercer generador de paridad. Resulta así que: Al primer generador de paridad (GenPar3) se conectan las líneas 7, 6 y 5. Al segundo generador de paridad (GenPar2) se conectan las líneas 7, 6 y 3. Al tercer generador de paridad (GenPar1) se conectan las líneas 7, 5 y 3. La siguiente figura muestra el conexionado correspondiente al primer generador de paridad en el emisor (GenPar3). Los círculos numerados representan una lámpara testigo del estado lógico de la línea. - U2-13/15

14 14 CÓDIGOS BINARIOS En el receptor los detectores de paridad controlan la paridad de los mismos grupos de líneas incluyendo el bit de paridad generado por el grupo. Así, los detectores de paridad tendrán 4 entradas. Debido que un generador de paridad es también un detector de paridad, en la figura los detectores de paridad en el receptor están indicados como generadores de paridad de 4 entradas (GenPar4). Resulta así que: Al primer generador de paridad (GenPar3) se conectan las líneas 7, 6, 5 y 4. Al segundo generador de paridad (GenPar2) se conectan las líneas 7, 6, 3 y 2. Al tercer generador de paridad (GenPar1) se conectan las líneas 7, 5, 3 y 1. Esta lógica permite determinar perfectamente en el receptor, en qué línea existe un bit erróneo. Por ejemplo si en la línea 7 ocurre un error, como la línea 7 esta conectada a los 3 detectores de paridad en el receptor, estos 3 detectores deben generar un 1 lógico a su salida (indicando paridad errónea) quedando representado el numero = En la figura siguiente se muestra un esquema de conexiones del código de Hamming descrito. - U2-14/15

15 15 La imagen corresponde a un software de simulación de circuitos digitales. En la misma mediante una compuerta OR exclusivo se provoca el error en la línea 7, cuyo código con 3 bits (111 2 ) aparece (lámparas testigo sombreadas) en el grupo de aviso llamado "Línea c/error". Los temas abordados en las próximas dos unidades temáticas U3-Álgebra de Boole y U4- Circuitos lógicos Combinacionales, nos permitirán diseñar los circuitos lógicos de los generadores y detectores de paridad como así también comprender el funcionamiento de la compuerta lógica OR exclusivo que aparece en el circuito para simular el error en la línea 7. En las prácticas de laboratorio y en particular en la parte de las prácticas de simulación digital, el alumno deberá diseñar y probar el circuito en el software de simulación digital. El instrumento que aparece a la izquierda del circuito anterior es un generador de combinaciones de bits que facilita la prueba el circuito para todas las combinaciones posibles de bits de información a trasmitir. - U2-15/15