Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
|
|
- Alberto Medina Márquez
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Lección 8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 1 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Consideremos el sistema A + S X + S k 1 k 2 Inicialmente se añaden 2 moles de S y 1 mol de A d[a] dt = k 1 [A][S] [A] 0 = 1 d[y ] dt = k 2 [X ][S] [S] 0 = 2 d[x ] dt = k 1 [A][S] k 2 [X ][S] [X ] 0 = 0 d[s] dt = k 1 [A][S] k 2 [X ][S] [Y ] 0 = 0 Sistema no lineal de 4 ecuaciones de primer orden con 4 incógnitas ([A], [S], [X ], [Y ]) y 4 condiciones iniciales Orden: orden de la derivada de mayor orden Dimensión: Número de ecuaciones e incógnitas X Y 2
2 Sistemas de Primer Orden Forma general de un sistema de primer orden y dimensión 2: t: variable independiente x = f (t, x, y) x, y: variables dependientes o y = g(t, x, y) funciones incógnita Definición Una solución del sistema en el intervalo (a, b) es un par de funciones x(t), y(t) que satisfacen x (t) = f (t, x(t), y(t)) y (t) = g(t, x(t), y(t)) idénticamente para todo t (a, b) Ejemplo Probar que las funciones x(t) = e t, y(t) = e t son soluciones del sistema x = x 2 y y = xy 2 en toda la recta real 3 Sistemas de Primer Orden Notación Vectorial Consideremos x 1 = f 1 (t, x 1, x 2 ) x 2 = f 2(t, x 1, x 2 ) Si Y si entonces x(t) = x1 (t) x 2 (t) f(t, x) = x 1 = f 1 (t, x 1, x 2 ) x 2 = f 2(t, x 1, x 2 ) x 1 = tx 2 1 x 1 2 t 2 x 1 x 2 = x 2t 1 4tx 2 entonces x (t) = f1 (t, x 1, x 2 ) f 2 (t, x 1, x 2 ) x 2 x 1 (t) x 2 (t) x = f(t, x) x 1 = ( tx 2 1 x2 1 t 2 ) x 1 x1 2t 4tx 2 4
3 Sistemas de Primer Orden de dimensión n En general, para un sistema de dimensión n: x 1 = f 1(t, x 1, x 2,, x n ) x 2 = f 2(t, x 1, x 2,, x n ) x n = f n (t, x 1, x 2,, x n ) podemos ahorrar mucho espacio y tiempo si usamos notación vectorial: Poniendo x 1 f 1 (t, x) x 2 f 2 (t, x) x = y f(t, x) =, f n (t, x) x n el sistema se puede escribirse como x = f(t, x) 5 Sistemas de ecuaciones lineales de orden n Sistemas Lineales: x 1 = 3x 1 5x 2 x 2 = 2x 1 x 1 = a 11(t)x 1 + a 12 (t)x 2 + a 1n (t)x n + b 1 (t) x 2 = a 21(t)x 1 + a 22 (t)x 2 + a 2n (t)x n + b 2 (t) x n = a n1 (t)x 1 + a n2 (t)x 2 + a nn (t)x n + b n (t) x = 2ty y = 3e t x + 4 cos t (1) u 1 = cos(t)u 1 5 t u 2 u 2 = u 1 sen(t)u 2 + t Sistemas No Lineales: x = 3xy 5y y = 2x x 1 = 2x 2 x 2 = 3x u 1 = cos(tu 1 ) u 2 = u 1 sin(t) Sistema homogéneo: b 1 (t) = b 2 (t) = = b n (t) = 0 Si no, Sistema No homogéneo 6
4 Sistemas Lineales Notación Matricial Si x 1 (t) a 11 (t) a 12 (t) a 1n (t) x 2 (t) x(t) = A(t) = a 21 (t) a 22 (t) a 2n (t) b(t) = x n (t) a n1 (t) a n2 (t) a nn (t) entonces En este caso: (1) x (t) = A(t)x(t) + b(t) x 1 = x 1 + 2x 2 + cos t x 2 = 2x 1 + x 2 + t 2 x = b(t) = A(t) = cos t t x matriz del sistema cos t t 2 vector de términos independientes b 1 (t) b 2 (t) b n (t) 7 Teorema de Existencia y Unicidad de Soluciones Teorema Si todas las componentes de la matriz A(t) y del vector b(t) son continuas en un intervalo (a, b), entonces para cada t 0 (a, b) y para cada vector x 0 R n el sistema con la condición inicial x (t) = A(t)x(t) + b(t) x(t 0 ) = x 0 tiene una única solución definida en el intervalo (a, b) 8
5 Propiedades de los sistemas lineales homogéneos Teorema El conjunto de soluciones del sistema lineal homogéneo de dimensión n: x = A(t)x, es un espacio vectorial de dimensión n Significado de la terminología: Espacio vectorial: Si x(t), y(t) son soluciones entonces ax(t) + by(t) también es solución, a, b R La dimensión del espacio vectorial es n: Existen n soluciones x 1 (t), x 2 (t),, x n (t), linealmente independientes, tales que cualquier otra solución x(t) se puede escribir como una combinación lineal de ellas: x(t) = a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t) + + a n x n (t) Consecuencia: Para hallar la solución general de x = A(t)x basta encontrar n soluciones linealmente independientes 9 Soluciones linealmente independientes Cómo calcular soluciones del sistema x = A(t)x? Sólo métodos generales para sistemas de coeficientes constantes Cómo saber si n soluciones son linealmente independientes? Si x 1 (t), x 2 (t),, x n (t) son soluciones del sistema x = A(t)x: 1 Formamos la matriz X (t) = ( x 1 (t) x 2 (t) x n (t) ) 2 Como x i (t) = A(t)x i(t), se cumple X (t) = A(t)X (t) 3 Calculamos det X (t) = det ( x 1 (t) x 2 (t) x n (t) ) 4 Si det X (t 0 ) 0 para algún t 0 (a, b), las soluciones x 1 (t), x 2 (t),, x n (t) son soluciones linealmente independientes Si x 1 (t), x 2 (t),, x n (t) son soluciones linealmente independientes entonces se dice que forman un sistema fundamental de soluciones, X (t) es una Matriz Fundamental de soluciones y x(t) = c 1 x 1 (t) + c 2 x 2 (t) + + c n x n (t) = X (t)c es la solución general del sistema 10
6 Valores y vectores propios Definición Definición Dada una matriz A R n n se dice que el número complejo λ C es un valor propio de A si existe un vector v 0 tal que Av = λv A este vector, v, se le llama vector propio de A asociado al valor propio λ Ejemplo Compruébese que v = 1 1 es un vector propio de la matriz 1 A = Cálculo de valores y vectores propios Av = λv (λv Av) = 0 (λi n A)v = 0 (λ a 11 ) v 1 a 12 v 2 a 1n v n = 0 a 21 v 1 + (λ a 22 ) v 2 a 2n v n = 0 a n1 v 1 a n2 v 2 + (λ a mn ) v n = 0 Teorema λ valor propio de A si y sólo si det(λi n A) = 0 Y v es vector propio de A asociado a λ si es solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales (λi n A)v = 0 det(λi n A) polinomio de grado n: polinomio característico de A Valores propios de A = sus raíces 12
7 Método para calcular valores y vectores propios 1 Se calcula det(λi n A) 2 Se calculan las raíces del polinomio caracerístico (Factoris en WIMS) 3 Debe haber n raíces contando repeticiones Puede haber raíces complejas: Ejemplo: ( ) 0 1 det λi 2 = λ = (λ + i)(λ i) 1 0 Multiplicidad Algebraica multiplicidad algebraica de un valor propio= número de veces que aparece como raíz del polinomio característico 4 Para cada valor propio λ 0, se resuelve el sistema lineal homogéneo (λ 0 I n A)v = 0 13 Vectorers propios linealmente independientes Las soluciones del sistema (λ 0 I n A)v = 0 forman un espacio vectorial de dimensión n rang(λ 0 I n A): El número de vectores propios linealmente independientes asociados al valor propio λ 0 es n rang(λ 0 I n A) Multiplicidad Geométrica multiplicidad geométrica de λ 0 = n rang(λ 0 I n A) 1 Se calcula rang(λ 0 I n A) buscando una submatriz cuadrada de máximo tamaño con determinante distinto de cero Supongamos rang(λ 0 I n A) = r (dimensión del espacio de soluciones = multiplicidad geométrica= n r) 2 Utilizando la submatriz encontrada, se despejan las correspondientes r incógnitas en función de las restantes n r 3 Se resuelve el correspondiente sistema compatible determinado r r obteniendo la solución general del sistema que dependerá de n r incógnitas 4 Se dan valores apropiados a las n r incógnitas para obtener n r vectores linealmente independientes 14
8 Cómo usar WIMS para hallar los valores propios 1 Abrimos un editor de texto y escribimos la matriz ĺınea a ĺınea 2 Abrimos Matrix Calculator 3 Copiamos la matriz del editor al recuadro 4 Elegimos characteristic polynomial y Show 5 Copiamos el resultado en el editor de texto y seleccionamos WIMS Home 6 Seleccionamos Factoris y copiamos el polinomio en el recuadro 7 Pinchamos en el Menu of Options y pinchamos en C Y luego en factor 8 Obtenemos las raíces del polinomio característico; ie los valores propios Sean éstos λ 1,, λ s 15 Cómo usar WIMS para hallar los vectores propios 1 En el editor de texto escribimos las matrices λ i I n A, i = 1,, s 2 Seleccionamos WIMS Home y a continuación Matrix calculator 3 Copiamos la matriz λ 1 I n A en el recuadro 4 Seleccionamos rank, determiant and trace y luego Show Así obtenemos rang(λ 1 I n A) Digamos que es r 5 Seleccionamos WIMS Home y a continuación Solucionador de sistemas lineales 6 Seleccionamos método matricial y copiamos la matriz λ 1 I n A en el recuadro de la A En el de B ponemos tantos ceros, cada uno debajo del otro, como el orden del sistema 7 Pinchamos en Resolver el sistema y obtenemos la solución en función de n r parámetros 8 Damos valores a los n r parámetros para obtener soluciones linealmente independientes 9 Repetimos los pasos 2 a 8 con los demás valores propios 16
Sistemas lineales homogéneos
Lección 9 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes 1 Sistemas lineales homogéneos Estudiaremos los sistemas de la forma x (t) = Ax(t) + b(t) Sistemas homogéneos: x = Ax
Más detallesApéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales
Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.
Más detallesTema 11.- Autovalores y Autovectores.
Álgebra 004-005 Ingenieros Industriales Departamento de Matemática Aplicada II Universidad de Sevilla Tema - Autovalores y Autovectores Definición, propiedades e interpretación geométrica La ecuación característica
Más detallesComplementos de Análisis. Año 2016
Complementos de Análisis. Año 2016 Práctica 8. Ecuaciones diferenciales ordinarias. 1 Modelando con ecuaciones diferenciales Modelar con ecuaciones diferenciales las siguientes situaciones. Intentar resolver
Más detallesModelización por medio de sistemas
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES. Modelización por medio de sistemas d y dy Ecuaciones autónomas de segundo orden: = f ( y, ) Una variable independiente. Una variable dependiente. La variable
Más detalles1. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
1 1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 11 SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN Un sistema de ecuaciones diferenciales del tipo dx 1 dt a 11 tx 1 + a 1n tx n + f 1 t dx n dt a n1 tx 1 + a nn tx n + f n t
Más detallesAutovalores y autovectores Diagonalización y formas canónicas
Autovalores y autovectores Diagonalización y formas canónicas Autovalores y autovectores.propiedades Sea V un espacio vectorial sobre K y f End(V ). Fijada una base de V, existirá una matriz cuadrada A,
Más detallesx = t 3 (x t) 2 + x t. (1)
Problema 1 - Considera la siguiente ecuación de primer orden: x = t 3 (x t + x t (1 (a Comprueba que x(t = t es solución de la ecuación (b Demuestra que si x = x(t es la solución que pasa por el punto
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales dependientes de un parámetro
Vamos a hacer uso del Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas de ecuaciones lineales de primer grado. En particular, dedicaremos este artículo a resolver sistemas de ecuaciones lineales que
Más detallesBase y Dimensión de un Espacio Vectorial
Base y Dimensión de un Espacio Vectorial 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Qué es un sistema generador?... 4 2 Base de un espacio vectorial... 4 3 Dimensión de un
Más detallesEcuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas lineales a coeficientes constantes. Búsqueda de la solución particular.
Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas lineales a coeficientes constantes. Búsqueda de la solución particular. 1. Definiciones previas 1.1. Wronskiano Diremos que el Wronskiano de un conjunto
Más detallesTema 3.- SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES Ampliación de Matemáticas. Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.
Tema 3- SISTEMAS DIFERENCIALES LINEALES Ampliación de Matemáticas Ingeniería Técnica Industrial Especialidad en Electrónica Industrial Índice General 1 Introducción 1 2 Sistemas lineales de primer orden
Más detallesFundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Tema 4: Diagonalización de matrices. Curso
Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4 Hoja Escuela Técnica Superior de Ingeniería Civil e Industrial Esp en Hidrología Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería Tema 4: Diagonaliación de matrices
Más detallesSistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Lección 8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 8.. Introducción: Sistemas de ecuaciones diferenciales Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de una o más ecuaciones en las que aparecen
Más detallesDefinición. Un conjunto de ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas, se llama sistema de ecuaciones diferenciales.
Unidad 4. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Las ecuaciones diferenciales tienen una gran utilidad en ingeniería así como en la ciencia, pero la mayoría de los problemas no dependen de una ecuación,
Más detallesCAPÍTULO 4. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden
CAPÍTULO 4 Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden Hasta ahora hemos considerado únicamente ecuaciones diferenciales aisladas Sin embargo, en muchas aplicaciones aparecen situaciones en las que
Más detallesMatrices: repaso. Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas. Una matriz A M m n es de la forma A =
Matrices: repaso Denotaremos con M m n el conjunto de matrices de tamaño m n, o sea, de m filas y n columnas Una matriz A M m n es de la forma a 11 a 1n A = a m1 a mn Denotaremos A ij = a ij el coeficiente
Más detallesAlgebra Lineal Tarea No 22: Valores y vectores propios Solución a algunos problemas de la tarea (al 29 de junio de 2014)
Algebra Lineal Tarea No : Valores y vectores propios a algunos problemas de la tarea (al 9 de junio de 04. Para la matriz A A Indique cuáles vectores son vectores propios: ( ( ( v, v, v 3 3 Recordemos
Más detallesÁlgebra Lineal VII: Independencia Lineal.
Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: jrico@salamancaugtomx
Más detallesEspacios Vectoriales, Valores y Vectores Propios
, Valores y Vectores Propios José Juan Rincón Pasaye, División de Estudios de Postgrado FIE-UMSNH Curso Propedéutico de Matemáticas para la Maestría en Ciencias opciones: Sistemas de Control y Sistemas
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesSolución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales
Solución de Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Lineales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 9 de febrero de Índice..Introducción.................................................Ejemplo.................................................3.Ejemplo................................................
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales ALBERTO VIGNERON TENORIO Dpto. de Matemáticas Universidad de Cádiz Índice general 1. Sistemas de ecuaciones lineales 1 1.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Definiciones..........
Más detallesEsta expresión polinómica puede expresarse como una expresión matricial de la forma; a 11 a 12 a 1n x 1 x 2 q(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
Tema 3 Formas cuadráticas. 3.1. Definición y expresión matricial Definición 3.1.1. Una forma cuadrática sobre R es una aplicación q : R n R que a cada vector x = (x 1, x 2,, x n ) R n le hace corresponder
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales TIPOS DE SISTEMAS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS. Podemos clasificar los sistemas según el número de soluciones: Incompatible. No tiene solución Compatible. Tiene solución. Compatible
Más detallesDescomposición en forma canónica de Jordan (Segunda versión)
Descomposición en forma canónica de Jordan (Segunda versión) Francisco J. Bravo S. 1 de septiembre de 211 En esta guía se presentan los resultados necesarios para poder construir la forma de Jordan sin
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales Definición de Espacio Vectorial
Tema 1 Espacios Vectoriales. 1.1. Definición de Espacio Vectorial Notas 1.1.1. Denotaremos por N, Z, Q, R, C, a los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Reales y Complejos, respectivamente.
Más detallesDefinición A.1 (Matrices) Una matriz A es un ordenamiento regular de escalares (recordemos, a 11 a a 1n a 21 a 22...
Anexo A Introducción a las Matrices A Definiciones y teoría básicas Los elementos de las matrices que aparecen en este curso son números o funciones Los designaremos con el apelativo común de escalares
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.
Más detallesCálculo en varias variables
Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Índice: 1.Introducción--------------------------------------------------------------------------------------- 2 2. Ecuaciones lineales------------------------------------------------------------------------------
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS
1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuación lineal es una ecuación polinómica de grado 1, con una o varias incógnitas. Dos ecuaciones son equivalentes
Más detallesSistem as de ecuaciones lineales
Sistem as de ecuaciones lineales. Concepto, clasificación y notación Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas se puede escribir del siguiente modo: a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + + a n x n = b a
Más detallesMatrices, Determinantes y Sistemas Lineales.
12 de octubre de 2014 Matrices Una matriz A m n es una colección de números ordenados en filas y columnas a 11 a 12 a 1n f 1 a 21 a 22 a 2n f 2....... a m1 a m2 a mn f m c 1 c 2 c n Decimos que la dimensión
Más detallesConferencia clase. Al desacoplar las ecuaciones se tiene. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales usando álgebra lineal
Conferencia clase Al desacoplar las ecuaciones se tiene stemas de ecuaciones diferenciales lineales usando álgebra lineal Contenido. 1. stemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. 2. Forma matricial
Más detallesLección 11 Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden. Ecuaciones de segundo orden
Lección 11 Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden 1 En forma normal: Ejemplo: Ecuaciones de segundo orden x = f (t, x, x ) 2tx x + 1 x = 0 x = (x ) 2 1 2tx Casos Particulares Ecuaciones en las que no
Más detalles1 0 4/ 5 13/
1 1 1 7 1 0 4/ 5 13/ 5 R1 R 1+1/5R3 0 0 0 2 R2 R3 0 5 9 22 0 5 9 22 0 0 0 2 Como la matriz tiene un renglón (0, 0, 0, 2) indica que el sistema no tiene solución ya que no existe un número que sea 2 y al
Más detallesTema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales 1. Introducción Los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana que tiene que ver con las Ciencias Sociales. Nos
Más detalles1 Ecuaciones diferenciales
1 Ecuaciones diferenciales La solución a una ecuación algebraica es un número, o un conjunto de números que satisfacen la ecuación. Por ejemplo las soluciónes de x 2 4x + 3 = 0 son x 0 = 1 y x 1 = 3. Las
Más detalles7 Ecuación diferencial ordinaria de orden n con coecientes constantes
7 Ecuación diferencial ordinaria de orden n con coecientes constantes La ecuación lineal homogénea de coecientes constantes de orden n es: donde a 1, a 2,..., a n son constantes. a n y (n) + a n 1 y n
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC SOCIALES CAPÍTULO 2 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesMatriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases
Matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases Objetivos Definir la matriz asociada a una transformación lineal respecto a un par de bases y estudiar la representación matricial
Más detallesFunción diferenciable Regla de la cadena (2 variables) Regla de la cadena (vectorial) Diferenciabilidad
Diferenciabilidad 1 Función diferenciable 2 Regla de la cadena (2 variables) 3 Regla de la cadena (vectorial) OBJETIVO Generalizar el concepto de diferenciabilidad (conocido ya para funciones de una variable)
Más detalles1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
1 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1.1. PRIMERAS DEFINICIONES. PROBLEMA DEL VALOR INICIAL Definición 1.1. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una variable dependiente y
Más detallesSoluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea
Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior Ampliación de matemáticas urso 2008-2009 Ecuación diferencial lineal de orden n (x dn y n + P (x dn y n + + P n (x dy + P n(xy = G(x ( donde, P,...,
Más detallesCapítulo 7. Espacios vectoriales. 7.1 Definición y ejemplos
Capítulo Espacios vectoriales.1 Definición y ejemplos Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (que supondremos conmutativo es un conjunto no vacío junto con 1. una operación interna, +, a la que llamaremos
Más detallesCLAVE: MIS 206 PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO
MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA LA INGENIERÍA EN SISTEMAS CLAVE: MIS 206 PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO 1 1. SISTEMAS LINEALES DISCRETOS Y CONTINUOS 1.1. Modelos matemáticos 1.2. Sistemas 1.3. Entrada
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Más detallesInecuaciones con valor absoluto
Inecuaciones con valor absoluto El valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por: Propiedades a a si a si a 0 a < 0 i a y b son números reales y n es un número entero, entonces:
Más detallesALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales
Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Espacios vectoriales Sea (K, +,.) un cuerpo con característica 0. Podemos pensar K = Q, R o C. Si V es un conjunto cualquiera en el que
Más detallesTema 2.- Formas Cuadráticas.
Álgebra. 004 005. Ingenieros Industriales. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Tema.- Formas Cuadráticas. Definición y representación matricial. Clasificación de las formas
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
GUIA 9 Sistemas de ecuaciones lineales Un mundo en el que habitara una sola especie no sería interesante, como tampoco es muy interesante un circuito RLC aislado o un oscilador mecánico desconectado de
Más detallesEspacios Vectoriales Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1
Espacios Vectoriales 201 6Asturias: Red de Universidades Virtuales Iberoamericanas 1 Índice 1 Espacios Vectoriales... 4 1.1 Definición de espacio vectorial... 4 1.2 Definición de subespacio vectorial...
Más detallessobre un intervalo si para todo de se tiene que. Teorema 1 Sean y dos primitivas de la función en. Entonces,
Integral indefinida Primitiva e integral indefinida. Cálculo de primitivas: métodos de integración. Integración por cambio de variable e integración por partes. Integración de funciones racionales e irracionales.
Más detallesVectores y Matrices. Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I. Contenidos
Tema 3: Repaso de Álgebra Lineal Parte I Virginia Mazzone Contenidos Vectores y Matrices Bases y Ortonormailizaciòn Norma de Vectores Ecuaciones Lineales Algenraicas Ejercicios Vectores y Matrices Los
Más detallesEspacios Vectoriales
Leandro Marín Octubre 2010 Índice Definición y Ejemplos Paramétricas vs. Impĺıcitas Bases y Coordenadas Para definir un espacio vectorial tenemos que empezar determinando un cuerpo sobre el que esté definido
Más detalles520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL
520142: ALGEBRA y ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre 2008, Universidad de Concepción CAPITULO 10: Espacios Vectoriales DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición
Más detallesTema 3: Espacios vectoriales
Tema 3: Espacios vectoriales K denotará un cuerpo. Definición. Se dice que un conjunto no vacio V es un espacio vectorial sobre K o que es un K-espacio vectorial si: 1. En V está definida una operación
Más detallesÓrdenes y funciones básicas (segunda parte) Práctica 2.
Práctica 2. Órdenes y funciones básicas (segunda parte) Operaremos con matrices, resolveremos ecuaciones y Objetivos: sistemas y calcularemos límites, derivadas e integrales 2 3 7 Una matriz es una lista
Más detalles1. a) Sean A, B y X matrices cuadradas de orden n. Despeja X en la ecuación X.A = 2X + B 2. 1 b)
Curso 9/. a) Sean, X matrices cuadradas de orden n. Despeja X en la ecuación X. = X + b) Calcula la matri X, siendo = = Solución: a) X. X.( - Id).( - Id) X.X.( - Id) - X. - X -.( Id) X.( - Id) b) 4 ( Id)
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD LOGSE en EXTREMADURA MATRICES DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES JUNIO 06/07. a) Calcula el rango de la matriz A según los valores del parámetro a 3 a A = 4 6 8 3 6 9 b)
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesEspacios Vectoriales. AMD Grado en Ingeniería Informática. AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21
Espacios Vectoriales AMD Grado en Ingeniería Informática AMD Grado en Ingeniería Informática (UM) Espacios Vectoriales 1 / 21 Objetivos Al finalizar este tema tendrás que: Saber si unos vectores son independientes.
Más detalles1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesGuía de uso de DERIVE. 2) Botones de acceso rápido Al colocar el cursor sobre el botón aparece un recuadro con su función
Sobre la pantalla principal de DERIVE distinguimos: 1) La barra del menú 2) Botones de acceso rápido Al colocar el cursor sobre el botón aparece un recuadro con su función UNIDAD DOCENTE DE MATEMÁTICAS
Más detallesMétodos Matemáticos 2 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior
Métodos Matemáticos 2 Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior L. A. Núñez * Centro de Astrofísica Teórica, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, Mérida 5101, Venezuela
Más detallesALN. Repaso matrices. In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República
ALN Repaso matrices In. Co. Facultad de Ingeniería Universidad de la República Definiciones básicas - Vectores Definiciones básicas - Vectores Construcciones Producto interno: ( x, y n i x y i i ' α Producto
Más detalles2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones
Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto
Más detallesEspacios Vectoriales
Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales Verónica Briceño V. noviembre 2013 Verónica Briceño V. () Espacios Vectoriales noviembre 2013 1 / 47 En esta Presentación... En esta Presentación veremos: Espacios
Más detallesMATRICES DETERMINANTES
MATRICES Y DETERMINANTES INTRODUCCIÓN, MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. MÉTODO DE GAUSS. Sistemas de ecuaciones lineales DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas,,,, n es un conjunto de m igualdades
Más detallesA1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones. x + 3y +z = 1 -x + y +2z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas.
A1.- Determina a y b sabiendo que el sistema de ecuaciones x + 3y +z = 1 -x + y +z = -1 ax + by + z = 4 tiene, al menos, dos soluciones distintas. Para que el sistema tenga, al menos, dos soluciones distintas
Más detallesELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano
ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Eduardo P. Serrano Este Apunte de Clase está dirigido a los alumnos de la materia Elementos de Cálculo Numérico para Biólogos. Tiene por objeto exponer algunos conceptos básicos
Más detallesDERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES
CAPITULO IV CALCULO II 4.1 DEFINICIÓN DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES En cálculo una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras
Más detallesSISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN
CAPÍTULO 7 SISTEMAS LINEALES DE PRIMER ORDEN 7.1. INTRODUCCION Estudiaremos el sistema de n ecuaciones lineales de primer orden: x 1 = a 11 (t)x 1 +a 12 (t)x 2 +...+a 1n (t)x n +f 1 (t) x 2 = a 21 (t)x
Más detallesCapítulo 1: Diagonalización de matrices
Capítulo : Diagonalización de matrices Matrices y determinantes Definición Una matriz es un arreglo rectangular de números reales a a a m a A a a m a n a n a nm La matriz es de orden n m si consta de n
Más detalles!MATRICES INVERTIBLES
Tema 4.- MATRICES INVERTIBLES!MATRICES INVERTIBLES!TÉCNICAS PARA CALCULAR LA INVERSA DE UNA MATRIZ REGULAR 1 Hemos hablado anteriormente de la matriz cuadrada unidad de orden n (I n ).. Es posible encontrar
Más detallesTema 2: Determinantes
Tema 2: Determinantes 1. Introducción En este tema vamos a asignar a cada matriz cuadrada de orden, un número real que llamaremos su determinante y escribiremos. Vamos a ver cómo se calcula. Consideremos
Más detallesSi A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I?
MATRICES Si A es una matriz cuadrada n x n, tal que A 2 = A, e I es la matriz unidad ( n x n ), qué matriz es B 2, si B = 2ª - I? La multiplicación de matrices cuadradas, tiene la propiedad conmutativa?
Más detallesProblemas de Espacios Vectoriales
Problemas de Espacios Vectoriales 1. Qué condiciones tiene que cumplir un súbconjunto no vacío de un espacio vectorial para que sea un subespacio vectorial de este? Pon un ejemplo. Sean E un espacio vectorial
Más detallesECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE SEGUNDO ORDEN ARIEL M. SALORT asalort@dm.uba.ar Marzo de 2016 1. Teoría general Una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden puede ser escrita
Más detallesUn subconjunto no vacío H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:
4 Subespacios 29 b) x 5 [25;5], 5 [;24], z 5 [4;4] Use a 5 2, a 5 / a 5 2 / 2 c) Su propia elección de x,, z /o a 2 a) Elija algunos valores para n m genere tres matrices aleatorias de n m, llamadas X,
Más detallesAnálisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales
Análisis Dinámico: Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: 1 / 51 Introducción Solución genérica Solución de
Más detalles3- Sistemas de Ecuaciones Lineales
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 3- Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Introducción Consideremos el siguiente sistema, en él tenemos k ecuaciones y n incógnitas. Los coeficientes a ij son números reales
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
3 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES Página 74 Determinantes de orden 2 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones y calcula el determinante de la matriz de los coeficientes:
Más detallesLaboratorio Nº 4 Ecuaciones diferenciales de orden n. Ecuación lineal homogénea. Soluciones linealmente independientes
Universidad Diego Portales Segundo Semestre 2007 Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Laboratorio Nº 4 Ecuaciones diferenciales de orden n. Ecuación
Más detallesSoluciones básicas factibles y vértices Introducción al método símplex. Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12
Soluciones básicas factibles y vértices Introducción al método símplex Prof. José Niño Mora Investigación Operativa, Grado en Estadística y Empresa, 2011/12 Esquema PLs en formato estándar Vértices y soluciones
Más detallesÓrdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple
Órdenes de la convergencia de sucesiones. Condiciones de la convergencia lineal y cuadrática del método de iteración simple Estos apuntes están redactados por Maria de los Angeles Isidro Pérez y Egor Maximenko.
Más detallesUnidad IV: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Unidad IV: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 4.1 Teoría preliminar 4.1.1 Sistemas de EDL Los problemas de la vida real pueden representarse de mejor manera con la ayuda de múltiples variables.
Más detallesECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES
ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES Alejandro Lugon 008-1 1. Ecuaciones De Segundo Orden Consideremos la ecuación: x t+ + ax t+1 + bx t = 0 (1) la cual podemos escribir como:
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 0 REFLEXION Y RESUELVE Resolución de sistemas Ò mediante determinantes y Resuelve, aplicando x x e y, los siguientes sistemas de ecuaciones: 3x 5y 73 a
Más detallesEcuaciones de la recta en el espacio
Ecuaciones de la recta en el espacio Ecuación vectorial de la recta Sea P(x 1, y 1 ) es un punto de la recta r y uu su vector director, el vector PPXX tiene igual dirección que uu, luego es igual a uu
Más detallesEspacios vectoriales reales.
Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre
Más detallesFormulación del problema de la ruta más corta en programación lineal
Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal En esta sección se describen dos formulaciones de programación lineal para el problema de la ruta más corta. Las formulaciones son generales,
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detalles4. Complementos sobre Problemas de Contorno para S.D.O. Lineales. 4. Complementos sobre Problemas de Contorno
para S.D.O. Lineales 4.1. Problemas de contorno para s.d.o. lineales. Teorema de alternativa 4.1. Problemas de contorno. Teorema de alternativa Fijemos A C 0 ([α, β]; L(R N )) y b C 0 ([α, β]; R N ), dos
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES
UNIDD 4 RESOLUCIÓN DE SISTEMS MEDINTE DETERMINNTES Página 00 Resolución de sistemas mediante determinantes x y Resuelve, aplicando x = e y =, los siguientes sistemas de ecuaciones: x 5y = 7 5x + 4y = 6x
Más detallesValores y Vectores Propios
Valores y Vectores Propios Departamento de Matemáticas, CSI/ITESM de abril de 9 Índice 9.. Definiciones............................................... 9.. Determinación de los valores propios.................................
Más detallesUniversidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3
Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas 1000003-5 Álgebra Lineal - Grupo 1 Resumen Unidad n 3 Vectores en R n Definición. El conjunto de las n-tuplas ordenadas de números reales se
Más detalles