TEMA 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Resueltos

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1 64 TEMA 9. Aplicaciones de las derivadas: Representación gráfica de funciones y Optimización Problemas Resueltos Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos; puntos de infleión. Dada la función ( )( ) 4 f ( ) +, determina: a) Los puntos de corte con el eje OX; y su signo. b) Sus máimos y mínimo. c) Sus puntos de infleión. a) Cortes con el eje OX: Son las soluciones de la ecuación f ( ) ( + )( ) 4 0 ;. El signo sólo depende del factor +. Por tanto: la función toma valores negativos si < ; y positivos, en caso contrario. b) Derivando: 4 f ( ) ( ) + 4( + )( ) 5( ) ( + ) f ( ) 5( ) ( + ) + 5( ) 0( ) ( + ) La derivada primera se anula en y. Como f ( ) 80 < 0, en se da un máimo. Punto (, 56). Como f ( ) 0, en no puede afirmarse que haya máimo o mínimo; puede darse un punto de infleión. c) La derivada segunda se anula en y. Estos dos puntos pueden ser de infleión. Para asegurarlo hay que hacer la derivada tercera y comprobar que es distinta de cero. f ( ) 40( )( + ) + 0( ) 60 0 Como f ( ) 80 0, en se da un punto de infleión: (, 6). Como f ( ) 0, todavía no puede determinarse qué pasa en. Hay que seguir derivando: (4 f ( ) 0 0 (4 Al ser f () 0 > 0, en se da un mínimo relativo. (Aunque no se pide, su gráfica es la adjunta).. Comprueba que la función y es decreciente en todo su dominio. Dominio de definición: intervalo (0, ] Los valores de tales que > 0. Derivando: y y

2 65 Como el numerador es negativo y el denominador siempre es positivo y < 0 para todo del dominio. En consecuencia, la función es decreciente en (0, ].. Halla los máimos y mínimos de la función Derivada: ( cos ) sin f ( ) en el intervalo [0, ]. cos cos sin sin cos cos sin cos f ( ) ( cos ) ( cos ) ( cos ) Se anula en π/ y en 5π/, que son las soluciones de cos 0. Derivada segunda: sin ( cos ) ( cos ) ( cos ) sin f ( ) 4 ( cos ) sin ( cos ) ( cos ) sin sin ( + cos ) ( cos ) ( cos ) Como f ( π / ) < 0, en π/ se da un máimo. Como f ( 5π / ) > 0, en 5π/ se da un mínimo. 4. Halla los puntos de infleión de la gráfica de la función f ( ) ln( + ). ( ) ln( ( ) f + ) f ( ) f ( ) ( ) La derivada segunda se anula en ±. Ambos son puntos de infleión. Para cerciorarse puede verse que la derivada segunda toma signos distintos a izquierda y derecha de y de 4. También puede hacerse la derivada tercera: f ( ), y comprobar que no + se anula en ninguno de esos puntos. ( ) Demuestra que la función f ( ) nunca es decreciente. Es posible que, a pesar de lo anterior, tenga puntos de infleión? 4 Derivadas: f ( ) f ( ) Puntos singulares: 4 f ( ) ( + ) 0 ( ) 0 0,. La derivada nunca toma valores negativos, pues es producto de dos epresiones de potencia par. En consecuencia, nunca es decreciente. Como f ( 0) 0 y f ( ) 0, en 0 y puede haber puntos de infleión. Para determinarlo hay que estudiar la derivada tercera, que es: f ( ) Como f ( 0) 60 0 y f ( ) 60 0, en 0 y en se tienen sendos puntos de infleión (con tangente horizontal). Otra consecuencia es que esta función no tiene máimos ni mínimos. La función es como se indica.

3 Dada la función f ( ) ( ) e, halla: a) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento; y sus máimos y mínimos. b) Sus puntos de infleión y sus intervalos de concavidad y conveidad. + a) Derivada primera: f ( ) e. Esta derivada se anula en 0. A la izquierda de 0, como f ( ) < 0, la función es decreciente. A su derecha, es creciente, pues f ( ) > 0. + b) Derivada segunda: f ( ) ( + ) e. Se anula en. Para <, f ( ) < 0 f es cóncava ( ). Para >, f ( ) > 0 f e es convea ( ). Por tanto, en, como cambia de curvatura, la función tiene un punto de infleión. (Aunque no se pide, se da su gráfica). 7. Halla la ecuación de la recta tangente a f ( ) + en su punto de infleión. Cálculo del punto de infleión: f ( ) + f ( ) + 6 f ( ) La tangente es: f ( ) f ( ) + y + y y ( ) ( ) Estudio de una función dependiente de uno o más parámetros a 8. Halla el valor que debe tomar a para que la función f ( ) tenga un mínimo + relativo en. Para que f () tenga un mínimo relativo en debe cumplirse que: f () 0 y f () > 0 (6 a)( + ) ( a) + a f ( ) ( + ) ( + ) + 4 a Si f ( ) 0 a 8. 6 Puede verse que, para ese valor de a 8, f () > 0. En efecto: f ( ) f ( ) > 0. ( + ) Estudia los máimos y mínimos relativos de la función f ( ) + a + 5 dependiendo de los valores de a. Derivando: f ( ) + a + a ( )

4 67 La derivada se anula cuando 0 o a /. En esos puntos pueden darse máimos o mínimos. Como f ( ) 6 + a, Para 0, f ( 0) a 0 si a 0 en 0 hay máimo si a < 0, y mínimo si a > 0. Para a /, f ( a / ) a 0 en a / hay mínimo si a < 0, y máimo si a > 0. Resulta evidente que si a 0, punto de infleión en 0. f ( ) y f ( ) 6. En este caso la función tendía un 0. Halla el valor de a para que f ( ) a + tenga un punto de infleión en. Se deriva dos veces: f ( ) a + f ( ) a f ( ) a + Para que se tenga un punto de infleión en debe cumplirse que f ( ) a a. 8 La función será f( ) +. 8 p+. Comprueba que la función f ( ) e tiene un mínimo local en 0 para cualquier valor de p. Tendrá algún punto de infleión? p+ f ( ) e 0 es punto singular. p+ Como f ( ) ( + 4 ) e f (0) > 0. Por tanto en 0 tiene un mínimo; su valor es p f ( 0) e. Como la derivada segunda no se anula en ningún punto, la función no tiene puntos de infleión.. Halla el valor de p para que la función ( ) f e + p tenga: a) Un mínimo. b) Un máimo. c) Un punto de infleión. f ( ) e + p 0 e p ln p (posible máimo o mínimo) f ( ) e f ( ln p) p. Por tanto: a) Si p > 0, f ( ln p) > 0. Luego, en ln p hay un mínimo. b) Si p < 0, no está definido ln p; luego, ln p no es punto singular. No hay máimo. c) Como f ( ) e 0 para todo, la función no tiene puntos de infleión.

5 68. Sea la función f ( ) a , a 0. a a) Halla los valores de a para los cuales la función f () tiene un máimo en. b) Calcula los etremos relativos de f () para a. a) Para que f () tenga un máimo en es necesario que f () 0 y f () < 0. Derivando: f ( ) a + 5 f ( ) 6 a a a Si f () 0, entonces: a a + 5a + 0 a o a. a Si a, f ( ) + y f ( ). Si a, f ( ) 6 y f () 4 Por tanto, la función tiene un máimo en en los dos casos. Obsérvese que las funciones serían, respectivamente, f ( ) y f ( ) b) Para a la función y sus derivadas son: f ( ) f ( ) f ( ) 6 La derivada primera se anula en: y 5. Como f ( ) 4, en hay un máimo relativo; punto (, 5/) Como f (5) 4, en 5 hay un mínimo relativo; punto (5, 5/). 4. (Propuesto en Selectividad, Castilla la Mancha) 4 Calcular los valores de a y b para que la gráfica de la función f ( ) a + b + pase por el punto (, ) y admita en ese punto una tangente horizontal. 4 4 f ( ) a + b + f ( ) a Por pasar por (, ): a + b 4 a + b Si la tangente es horizontal, entonces f ( ) 0 0 a 4 a 4 b 5 La función es 4 f ( ) (Puede comprobarse que en el punto (, ) la función tiene un máimo relativo).

6 69 b 5. a) Calcula los valores de a y b para que la gráfica de f ( ) a + tenga un mínimo relativo en el punto (/, 4). b) Para esos valores de a y b, calcula las asíntotas y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (). Esboza su gráfica. b a) Por pasar por (/, 4) f ( / ) 4 4 a + a + 4 b 8 / Por tener un mínimo en /, f ( / ) 0. b b Como f ( ) a f ( / ) 0 a a 4 b 0 /4 a + 4b 8 Resolviendo el sistema a 4; b a 4b 0 La función es f ( ) 4 +. b) La función no está definida en 0, punto en el que tiene una asíntota vertical, pues lím También tiene una asíntota oblicua, la recta y 4, pues lím 4 + lím( 4) La derivada f ( ) 4 se anula cuando ±/. Por tanto: Si < /, f () > 0 f () es creciente. Si / < < 0, f () < 0 f () es decreciente. En / hay un máimo. Punto ( /, 4). Si 0 < < /, f () < 0 f () es decreciente. Si > /, f () > 0 f () es creciente. En / hay un mínimo. Punto (/, 4). Puede observarse que la función es impar. 6. (Propuesto en Selectividad) De la función f: R R definida por f ( ) a + b + c + d se sabe: tiene un máimo en ; su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa ; tiene un punto de infleión en el punto de abscisa 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa tiene pendiente 9. Se tiene: f ( ) a + b + c + d f ( ) a + b + c f ( ) 6a + b

7 70 Por máimo en, f ( ) 0 0 a b + c Por cortar al eje en, f ( ) 0 0 8a + 4b c + d Por punto de infleión en 0, f (0) 0 0 b b 0 En, la pendiente de la tangente vale 9 f () 9 9 a + 4b + c Resolviendo el sistema se tiene: b 0; a ; c ; d Luego, la función es f ( ) + 7. Halla los valores de los coeficientes b, c y d para que la gráfica de la función y + b + c + d corte al eje OY en el punto (0, ), pase por el punto (, ) y, en ese punto, tenga tangente paralela al eje OX. Representa gráficamente la función obtenida dando algunos de sus puntos. Se deriva dos veces: y + b + c + d y + b + c y 6 + b Que la tangente en el punto (, ) sea horizontal significa que su pendiente es 0, que y () b + c Por pasar por (0, ) d Por pasar por (, ) 8 + 4b + c + d Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones se obtiene: b 5; c 8; d. 5 La función será: y + 8 Sus derivadas son: y 0+ 8 ; y 6 0 y 0 en y 4/ Como y () > 0 e y (4 / ) < 0, en hay un máimo y en 4/, un mínimo. La derivada segunda se anula en 5/, y como y 6 0, en ese punto se da una infleión. Algunos puntos de la curva son: (0, ); (, ); (4/,,5), máimo relativo; (5/,,07), PI; (, ), mínimo relativo; (, 5)

8 7 Representación gráfica de una función 5 8. Dada la función f ( ) 5 : a) Halla sus intervalos de crecimiento y decrecimiento; y sus máimos relativos. b) Determina sus intervalos de concavidad y conveidad; y sus puntos de infleión. c) Traza su gráfica. a) Derivando se tiene: 5 4 f ( ) 5 f ( ) 5 5 f ( ) f ( ) ( ) 0 0; ±. Si <, f () > 0 f () crece. Si < < 0, f () < 0 f () decrece. Por tanto, en hay un máimo. Si 0 < <, f () < 0 f () decrece. Si >, f () > 0 f () crece. Por tanto, en hay un mínimo. La confirmación de máimo y mínimo podría verse, además, con la derivada segunda: Como: f ( ) < 0, en se tiene un máimo; f ( + ) > 0, en + se tiene un mínimo. b) La derivada segunda ( ) 0 0 0( ) f se anula en 0 y ± /. Esos tres puntos son de infleión, pues f ( ) en los tres valores. c) Dando algunos valores puede trazarse su gráfica. Puntos: (,4, 0); (,7, 0,9); (,, 6,4); (0, 0); (,, 6,4); (,7, 0,9) (,4, 0). 9. Dada la función f ( ), se pide: a) Su dominio, posibles simetrías y asíntotas. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Sus máimos y mínimos. c) Puntos de infleión e intervalos de concavidad y conveidad. d) Su representación gráfica. a) Dominio: R {, }. Es simétrica respecto del origen (impar), pues f ( ) f ( ). En los puntos y puede tener asíntotas. Como: lím La recta es una asíntota vertical. lím La recta también es una asíntota vertical.

9 7 Tiene otra asíntota oblicua (y m + n), pues: f ( ) m lím lím y ( ) n lím f ( ) m) lím La asíntota es la recta y. + lím ( 0 b) f ( ) ( ) f ( ) ( ) ( f ( ) ( f () 0 en, 0,. Si <, f () < 0 f () decrece. Si < <, f () > 0 f () crece. Por tanto, en hay un mínimo. Si < < 0, f () > 0 f () crece. Si 0< <, f () > 0 f () crece. Si < <, f () > 0 f () crece. Si >, f () < 0 f () decrece. Por tanto, en hay un máimo. (También puede verse que Si f ( ) > 0 y f ( ) < 0, lo que confirma que en hay un mínimo y en hay un máimo). Como a la izquierda y derecha de 0 la función es creciente, en ese punto se da una infleión. También puede verse que f (0) 0. El valor de la función en los puntos críticos es: f ( ), f (0) 0, f ( ) Crecimiento: (, ) (, ) (, ). Decrecimiento: (, ) (, ) + ) ) c) f () 0 si 0. En 0 hay punto de infleión; punto (0, 0). Se confirma viendo que la derivada segunda cambia de signo en ese punto. Efectivamente: Si <, f () > 0 f () es convea ( ). Si < < 0, f () < 0 f () es cóncava ( ). Si 0 < <, f () > 0 f () es convea ( ). Si >, f () < 0 f () es cóncava ( ). d) Con la información obtenida y calculando algunos puntos más se puede trazar su gráfica.

10 Dada la función f ( ), se pide: a) Su dominio, asíntotas, crecimiento y decrecimiento, máimos y mínimos, concavidad y conveidad. b) Haz su representación gráfica. a) Dominio: R {}. 4 La recta es asíntota vertical, pues lím. Si, f(). Si +, f() +. También tiene una asíntota oblicua (y m + n), pues: f ( ) 4 m lím lím 4 y ( ) 4 n lím( f ( ) m) lím 4 lím La asíntota es la recta y 4 + Derivadas: (8 )( ) (4 ) f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) f () 0 cuando / o / Como f ( / ) < 0, en / hay un máimo. Como f ( / ) > 0, en / hay un mínimo. El valor de la función en los puntos críticos es: f ( / ), f ( / ) 9. Si < /, f () > 0 f () crece. Si / < <, f () < 0 f () decrece. Si < < /, f () < 0 f () decrece. Si > /, f () > 0 f () crece. Crecimiento: (, /) (/, ). /,, / Decrecimiento: ( ) ( ) f () 0 para todo de su dominio: no hay puntos de infleión. Como para <, f ( ) < 0, la función es cóncava ( ) en el intervalo en (, ). Como para >, f ( ) > 0, la función es convea ( ) en el intervalo (, ). b) Con la información obtenida y calculando algunos puntos más se puede trazar su gráfica.

11 74. Esboza la gráfica de la función f ( ). Dominio R {0}. Es evidente que en 0 tiene una asíntota vertical. La función es impar: f( ) f(). Como f ( ), la recta y es una asíntota oblicua. También puede verse que: f ( ) lím lím m y lím ( f ( ) m) lím 0 n Derivadas: f ( ) < 0 para todo de su dominio decrece siempre. f ( ) f < 0 si < 0: cóncava ( ); f > 0 si > 0: convea ( ). Algunos valores: (, 0); (, 0); (, /); (, /); (, 8/); (, 8/). Representa gráficamente la función f ( ) e, calculando: asíntotas; intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máimos, mínimos y puntos de infleión. Como la función está definida en todo R, no tiene asíntotas verticales. Para ver si tiene una asíntota horizontal se hace lím f (). lím e [ 0 ] lím ( ) 0 L H lím e e La recta y 0 es una asíntota horizontal (hacia menos infinito). Como lím e [ ], hacia + no hay asíntota. + Se deriva: f ( ) e f ( ) e + e ( + ) e La derivada se anula en. Si <, f () < 0 f() decrece: intervalo (, ) Si >, f () > 0 f() crece: intervalo (, + ). Es evidente que en hay un mínimo. La derivada segunda se anula en. Si <, f () < 0 f() es cóncava ( ). Si >, f () > 0 f() es convea ( ). En hay un punto de infleión. Con la información obtenida y dando algunos valores se puede trazar su gráfica; que es la adjunta. (, e ) (, 0,7); (, e ) (, 0,7); (0, 0); (, e) f ( ) e + e + e ( + ) e

12 75 ( + ). Dada la función f ( ), halla: e a) Dominio de definición y asíntotas. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. c) Etremos locales y los puntos de infleión. d) Un esbozo gráfico. a) Dominio R: el denominador nunca se anula. ( + ) ( + ) Tiene una asíntota horizontal, pues: lím lím lím 0 e e e La asíntota es la recta y 0. b) Derivando: ( + ) ( + ) e ( + ) e ( + )( ) f ( ) f ( ) e e e La derivada se anula en los puntos y. Si <, f () < 0 f () decrece. Si < <, f () > 0 f () crece. En consecuencia, en se tiene un mínimo. Si >, f () < 0 f () decrece. Por tanto, en hay un máimo. c) Para la determinación de máimos y mínimos también puede utilizarse la derivada segunda. e ( ) e f ( ) e e Como f ( ) / e > 0, en hay un mínimo. Por ser f ( ) / e < 0, en se tiene un máimo. La derivada segunda se anula cuando 0 + y. Para esos valores de se tienen sendos puntos de infleión. d) Calculando el valor de f () en algunos puntos se puede hacer un esbozo de la curva. Puntos: (, 0), mínimo; (, 0,57), PI; (0, ); (, 4/e) (,,47), máimo; (, 9/e ) (,,); ( +,,05), PI; (4, 0,46) Con todo lo anterior se traza la siguiente curva.

13 76 4. (Propuesto en Selectividad) Dibuja la gráfica de la función f ( ), determinando su dominio, intervalos de crecimiento y decrecimiento y asíntotas. La función puede definirse a trozos como sigue:, < 0 f ( ), 0 { } Por tanto, Dom(f) R {}. En el punto la curva tiene una asíntota vertical, pues lím. Cuando, f() +. + Cuando, f(). Por otra parte, las rectas y e y son asíntotas horizontales de la función. La primera, y, hacia ; la segunda, y, hacia +. En efecto: lím y lím + Cuando, f() (la curva va por debajo de la asíntota.) Cuando +, f() (la curva va por debajo de la asíntota.) Crecimiento y decrecimiento:, < 0 ( ) f ( ), > 0 { } ( ) Como puede verse fácilmente, la función tampoco es derivable en 0, pues por la izquierda su derivada es negativa (tiende a /) y por la derecha es positiva (tiende a /). También es inmediato ver que: si < 0, f () < 0 la función es decreciente; si > 0 {}, f () > 0 la función es creciente. Con la información obtenida y dando algunos valores podemos dibujar la gráfica. Valores: (, /); (, /); (0, 0); (, ); (,5, ); (,5, 5); (, ); (4, ); (6, /) La gráfica pedida es la adjunta.

14 77 5. (Propuesto en Selectividad) Sea f la función dada por f ( ) +, R. a) Estudia la derivabilidad de f en 0 mediante la definición de derivada. b) Determina los intervalos de monotonía de f y sus etremos relativos. c) Esboza la gráfica de f., < 0 a) Como, la función dada puede definirse así:, 0 + +, < 0 f ( ) +, 0 Esta función está definida siempre y es continua para todo valor de, incluido el 0, pues tanto por la izquierda como por la derecha de 0, f(). Para ver la derivabilidad en 0 se estudian las derivadas laterales. Por la izquierda: f ( h) f (0) h + h + h( h + ) f (0 ) lím lím lím h 0 h h 0 h h 0 h Por la derecha: + f ( h) f (0) h h + h( h ) f (0 ) lím lím lím h 0 h h 0 h h 0 h Como las derivadas laterales no coinciden, la función no es derivable en 0. b) Salvo en 0, la derivada de la función es: +, < 0 f ( ), > 0 Esta derivada se anula en los puntos / y /, por tanto se tiene: si < /, f () < 0 f () es decreciente si / < < 0, f () > 0 f () es creciente La función tiene un mínimo en /. si 0 < < /, f () < 0 f () es decreciente. (La función tiene un máimo en 0) si > /, f () > 0 f () es creciente La función tiene un mínimo en /. c) La gráfica de la función viene dada por dos trozos de parábolas, f ( ) + + hasta 0 y f ( ) +, desde 0. Se obtiene la siguiente figura.

15 78 6. Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función etremos relativos, puntos de infleión y asíntotas. Esboza su gráfica. Derivadas primera y segunda: f ( ) e f ( ) e f ( ) e + 4 e Posibles etremos relativos: f ( ) e 0 0 Si < 0, f () > 0 f es creciente. Si > 0, f () < 0 f es decreciente en 0 hay un máimo. (4 f ( ) e, sus ) e Posibles puntos de infleión: f ( ) (4 ) e 0 ; Como f ( ) ( 8 ) e es distinto de 0 para esos dos valores, se confirma que ambos son puntos de infleión. Asíntotas: Como lím e 0 la recta y 0 (el eje OX) es asíntota horizontal de la curva. ± La curva va siempre por encima de la asíntota, pues f ( ) > 0, para todo. La gráfica de f es una campana de Gauss (tiene un máimo en 0; es simétrica; tiende a 0 tanto hacia infinito como hacia menos infinito; tiene dos puntos de infleión). Su representación aproimada es: e ln 7. Sea la función f ( ). Haz una representación gráfica aproimada determinando sus asíntotas y sus etremos relativos. El dominio de esta función es R +. Asíntotas: ln lím f ( ) lím La recta 0 es asíntota vertical por la derecha. ln lím f ( ) lím + + (por L Hôpital) / 0 lím 0 + La recta y 0 es asíntota horizontal; la curva va por encima de ella.

16 79 Su derivada es: ln ln f ( ) 4 / La derivada se anula cuando ln 0 ln e / Como para 0 < < e la derivada es positiva (la función crece) y para / n negativa (y la función decrece), en e se tendrá un máimo. / > e la derivada es Algunos puntos de la cura son: (0,5,,77); (, 0); ( / e, /e) (,65, 0,8), máimo; (, 0,); (6, 0,05) 8. Halla los máimos y mínimos relativos de las siguientes funciones definidas en el intervalo [0, 8]. Dibuja sus gráficas a partir de esos datos y de los cortes con los ejes. π π a) f( ) sin b) g ( ) sin 4 a) La función f ( ) sin( n) es periódica de periodo. Por tanto, las funciones dadas son nπ periódicas de periodo π π 8 y 4, respectivamente. π /4 π / π f( ) sin 4 corta al eje OX cuando π 4 k π si k 0, 0; si k, 4; si k, 8. Al eje OY lo corta en y 0. Los posibles máimos y mínimos de la función se presentan en los puntos que anulan la derivada primera. π π π f( ) sin f ( ) cos 0 y Como f ( ) π π sin es negativa en y positiva en 6, para el primer valor se 8 4 obtiene un máimo; para el segundo, un mínimo.

17 80 π b) g ( ) sin corta al eje OX cuando π k π si k 0, 0; si k, ; si k, 4; si k, 6; si k 4, 8 (dos ciclos).. Al eje OY lo corta en y 0. Máimos y mínimos: π π π g ( ) sin g ( ) cos 0,, 5 y 7. Como g ( ) π π sin es negativa en y positiva en, para el primer valor se 4 tiene un máimo; para el segundo, un mínimo. (Para 5 y 7 se repite lo anterior). Un esbozo de ambas gráficas es el siguiente. Algunos puntos: Para f: (0, 0); (, ); (, ) ; (, ); (4, 0). Para g: (0, 0); (, ); (, 0) ; (, ); (4, 0) 9. Representa gráficamente la función f( ) sin en el intervalo π < < π. La función dada está definida en toda la recta real; y, por tanto en el intervalo ( π, π). Además es impar: f( ) sin( ) + sin f( ) Crecimiento y decrecimiento: f( ) sin f ( ) cos ; f ( ) sin f ( ) cos 0 cos π/, π/ Como f ( π / ) sin( π / ) < 0 en π/ se tiene un máimo. Como f ( π / ) sin( π / ) > 0 en π/ se tiene un mínimo. Por otra parte: si π < < π/, f () > 0 f() es creciente si π/ < < π/, f () < 0 f() es decreciente si π/ < < π, f () > 0 f() es creciente Algunos valores de la función son: π 5π/ π/ π/ π/6 0 f() π 5π/6 + π/ + π /+ π/6 + 0 Como la función es impar: 0 π/6 π/ π/ 5π/ π f() 0 π/6 π/ π/ 5π/6 π Su gráfica es la adjunta

18 8 Problemas de optimización 0. La suma de dos números positivos es 6; encuentra aquellos cuya suma de cuadrados sea mínima. Sean e y los números. Deben cumplir que + y 6. Se desea que S + y sea mínima. Sustituyendo y 6 en S se tiene: ( ) S ( ) + 6 S ( ) El mínimo de S se da en la solución de S 0 que hace positiva a S. Derivando: S ( ) Como S 4 > 0, para el valor 8 se tiene la suma de cuadrados mínima. Por tanto, ambos números deben ser iguales a 8.. (Propuesto en selectividad, Aragón 007) Obtener las dimensiones de tres campos cuadrados de modo que: ) El perímetro del primero de ellos es el triple del perímetro del tercero. ) Se necesitan eactamente 664 metros de valla para vallar los tres campos. ) La suma de las áreas de los tres campos sea la mínima posible. Sean, y, z la longitud de cada uno de los cuadrados. Se sabe que z. Por tanto, la situación es la que se muestra en la figura. La suma de los perímetros será: y y 46 La suma de las superficies será: S + y Sustituyendo y 46, se tiene: S ( ) La suma de las áreas de los campos será mínima en las soluciones de S 0 que hagan positiva a S. Derivando: S ( ) S ( ) 0 cuando Como S ( ), para ese valor de se da el mínimo buscado. Por tanto, los lados de los 9 campos serán 9 m, 60 m y 64 m:

19 8. (Propuesto en Selectividad) Determina las medidas de los lados de un rectángulo de área, de modo que la suma de las longitudes de tres de sus lados sea mínima. Sean e y los lados del rectángulo. Se desea que la suma S + + y + y sea mínima, con la condición de que A y. Despejando y sustituyendo: y S ( ) + Para que S sea mínima: S 0, S > 0. S ( ) 0 Como S ( ), cumple que 0 S >, para ese valor se da el mínimo buscado. Por tanto, las medidas de los lados serán: e y.. (Propuesto en Selectividad, Murcia 000) Las curvas y e y se cortan en los puntos P y Q. Encuentra el punto A que está situado sobre la curva y, entre P y Q, y que determina con P y Q un triángulo PAQ de área máima. Los puntos P y Q son las soluciones del sistema: y e y P (0, 0), Q (, ). Sea A (, y) el punto buscado. Es obvio que A (, ). La superficie del triángulo PAQ es: d( P, Q) d( A, recta PQ) S Se tiene: d ( P, Q) ; recta PQ: y y 0; d( A, recta PQ). En este caso, por ser 0 < <, d( A,recta PQ). Luego, la superficie será: ( ) S Para que S sea máima: S 0, S < 0. S ( ) 0 ; S ( ), que es negativa para Por tanto, el punto A,. 4 4

20 8 4. (Propuesto en Selectividad, Murcia 000) Determina las dimensiones de los lados y el área del rectángulo de área máima que, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro, se puede inscribir en un semicírculo de m de radio. La situación se muestra en la siguiente figura. Uno de los vértices sobre el círculo es (, y). La base del rectángulo es, su altura y. Hay que hacer máima la función S y. La relación entre las variables es + y 4 (el punto (, y) pertenece a una circunferencia de radio ) y 4. Sustituyendo en S se tiene: S ( ) Para que S sea máima: S 0; S < S ( ) 0 0 o 4 4 Si 0 < <, S > 0, luego S es creciente. Si < <, S < 0, luego S es decreciente. Por tanto, en se da el máimo de S. Las dimensiones de los lados son: base ; altura: y. El área será: S 4 m. 5. (Propuesto en Selectividad, Aragón 0) Descomponer el número en dos sumandos positivos de forma que el producto del primero por el cuadrado del segundo sea máimo. Sean e y los números buscados. Se desea que el producto P y sea máimo. Como se cumple que + y y. Sustituyendo en P se tiene: P ( y) y ; que es una función en y: P( y) y y. El máimo de P se obtiene en las soluciones de P ( y) 0 que hagan negativa a P (y). Derivando dos veces: P ( y) 4y y ; P ( y) 4 6y La derivada primera se anula cuando y 0 o y 8. Como P ( 0) 4 > 0 y P ( 8) 4 < 0, el valor máimo del producto se alcanza cuando y 8. Los números pedidos son 4 e y 8.

21 84 6. Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo de perímetro 6 y cuya área sea máima. Sea el triángulo de la figura. Su perímetro es: + y+ z 6. Como Su área es z + Operando en y S y y y y y y 6 y Sustituyendo en S: + y y ( ) S y 6 El máimo de S se obtiene en las soluciones de S 0 que hacen negativa a S ± 6 S ( ) 0 6±. ( ) La solución 6+ > 6, por tanto hay que descartarla. 864 Como S ( ) < 0 para 6, se da el máimo. ( ) Para ese valor las dimensiones del triángulo son: 6, y 6, z (Propuesto en Selectividad, Madrid 99) Sea la parábola y y el punto (p, q) sobre ella con 0 p. Se forma un rectángulo de lados paralelos a los ejes con vértices opuestos (0, 0) y (p, q). Calcula (p, q) para que el área de este rectángulo sea máima. El punto (p, q) debe estar en una posición aproimada al dibujado en la figura adjunta, pues 0 p. El área del rectángulo será: A pq Como (p, q) es de la parábola, cumple: q p 4 p + 4. Luego, A p 4p + 4p Para máimo: A 0 y A < 0. A p 8p+ 4 0 p o p / A 6 p 8 A () 4; A (/) 4. El área máima se da cuando p /, siendo q 6/9.

22 85 8. Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total igual a 54 m. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máimo. Sea r el radio del cilindro y h su altura. Su área es: 54 π r A π r + π rh 5 4 h π r La función de volumen es: 54 π r V π rh V π r V 7r π r π r Para que V sea máimo: V 0 y V <0. 6 V 7 9 π r (para V 0) r h π π Como V 8π r es negativo para cualquier valor de r, el resultado hallado es el que proporciona el volumen máimo. 9. El coste de fabricación de unidades de un determinado producto viene dado por la función C ( ) 0, Todas las unidades producidas se venden a un precio dado por p ( ) 00 (C() y p() en unidades monetarias, u.m.). Calcula el nivel de producción que: a) Minimiza el coste medio por unidad. Cuál es ese coste? b) Maimiza los beneficios. A cuánto asciende ese beneficio? a) El coste por unidad se halla dividiendo el coste total, C(), entre las unidades producidas, : 80 M( ) 0, Para que M() sea mínimo, su derivada debe ser 0: M ( ) 0, Como M ( ) > 0, el mínimo se da en ese punto: ,. El precio unitario mínimo será M ( 4000 ) 6,5 u.m. b) El objetivo es maimizar los beneficios obtenidos por la fabricación y venta de unidades de producto. Estos beneficios, B(), se hallan restando los costes a los ingresos: B() Ingresos totales Costes totales. Los ingresos, I(), se calculan multiplicando el número de unidades vendidas por el precio por unidad. Por tanto, I( ) p( ) ( 00 ) 00 De donde, B ( ) I ( ) C ( ) 00 0, B ( ), ( ) ( ) Para que B() sea máimo, B ( ) 0 : B ( ), ,08. Como B ( ), 04 < 0, el punto hallado da el máimo beneficio, que asciende a B(96,08) 96 u.m.

23 86 Otros problemas 40. (Propuesto en Selectividad, Madrid) Sea f: R R una función derivable en todo R. Se sabe que f(0) ; f( ) 0 y f() 0. Además, la gráfica de su derivada es: Dibuja la gráfica de f( ). Los máimos y mínimos se dan en los puntos cuya derivada vale 0 (condición necesaria). Esos puntos son, 0 y. Por otra parte, cuando la derivada es positiva la función es creciente; y cuando es negativa, decreciente. Por consiguiente, la función es creciente en el intervalo (, 0) ( + ); es decreciente en (, ) (0, ). Como a la izquierda de la función es decreciente y a su derecha es creciente, en debe darse un mínimo. Como a la izquierda de 0 la función es creciente y a su derecha es decreciente, en 0 debe darse un máimo. Como a la izquierda de la función es decreciente y a su derecha creciente, en se da otro mínimo. En y en la función tiene sendos puntos de infleión, pues la recta tangente a f ( ) es horizontal, y por tanto f ( ) 0. Con estos datos y los valores dados en el enunciado puede trazarse la gráfica de f( ), que es la adjunta. 4. Sea f una función de la que se sabe que la gráfica de su derivada f tiene la forma que aparece en la figura: Determina, en cada caso, si f( ) tiene máimos, mínimos (relativos) o puntos de infleión en los puntos de abscisa y. a) En la función derivada tiene un máimo; por tanto su derivada será 0: f ( ) 0. En consecuencia, en se da un punto de infleión. En la función derivada vale 0; a su izquierda la función es creciente ( f ( ) > 0 ) y a su derecha decreciente ( f ( ) < 0 ); por tanto, en debe darse un máimo. b) En la función derivada vale 0. Además es positiva a su izquierda y negativa a su derecha. Por tanto, en ese punto se tiene un máimo.

24 87 En la función derivada tiene un mínimo; por tanto su derivada será 0: f ( ) 0. En consecuencia, en se da un punto de infleión. 4. (Propuesto en Selectividad, País Vasco) El beneficio obtenido por la producción y venta de kilos de un artículo viene dado por la función B ( ) 0,0 +,6 80 a) Determina los kilos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máimo. b) Determina los kilos que hay que producir y vender como máimo para que la empresa no tenga pérdidas. a) El beneficio es máimo cuando B ( ) 0 en el vértice de la parábola. Derivando: B ( ) 0,0+, Como B ( ) 0, 0 < 0, para ese valor se tiene el máimo buscado. Hay que producir 80 kg; el beneficio será de B(80) 44 u.m. b) La empresa no tiene perdidas si B ( ) 0, 0 +, Se trata de una inecuación cuya solución es [ 60, 00]. Por tanto, como máimo podrá producir 00 kilos. 4. Demuestra que la función f ( ) e + corta una sola vez al eje OX. f ( ) e + f ( ) e + > 0, luego la función es siempre creciente. Como f ( ) e < 0 y f ( 0), la función corta al eje OX (por Bolzano); pero como es siempre creciente no puede volver a cortar. Luego, corta una sola vez. 44. Demuestra que la ecuación tiene una sola raíz real. Se define la función f ( ) + + 0, que es continua y derivable en todo R. Como f ( 0) y f ( ), por el teorema de Bolzano se deduce que la función corta al eje OX en el intervalo (0, ). Luego la ecuación tiene una raíz entre 0 y. Como f ( ) + + > 0 para todo, la función será siempre creciente. En consecuencia, sólo corta una vez al eje OX. Luego la ecuación sólo tiene una raíz real. m 45. Determina si la función f ( ) tiene máimos, mínimos y puntos de infleión. + Depende del valor que tome m? m f ( ) + m m( ) f ( ) f ( ) ( + ) ( + )

25 88 La derivada primera se anula si 0, independientemente del valor de m. Si m > 0, f (0) < 0 se tendría un máimo. Si m < 0, f (0) > 0 se tendría un mínimo. Si m 0, la derivada segunda se anula en y en. Por tanto, hay dos puntos de infleión, pues la derivada tercera es distinta de cero en ambos puntos: 4m( ) f ( ) 4 ( + ) Si m 0, la función es f ( ) 0, que representa el eje OX. 46. Dada la función f ( ) : a a) Hay algún valor de a para el que se pueda evitar la discontinuidad en a? b) Hay algún valor de a para el que la función tenga un máimo? a) La función no está definida en a, luego no es continua en ese punto. Es evidente que lím, salvo que el numerador y el denominador se anulen a la vez a a en el mismo punto. Esto es, cuando 0 /. ( / ) En ese caso, si a /, el límite es: lím lím. / / / / Por tanto, la discontinuidad puede evitarse cuando a /. ( a) + a b) La derivada es: f ( ). ( a) ( a) Para que la función tenga un máimo la derivada debe anularse a /. Como depende de a, y la función no está definida en a, no es posible que la función tenga un máimo. 47. Dada la función f ( ) + e, se pide: a) Sus máimos y mínimos relativos, si los tiene. b) Demuestra que corta dos veces al eje OX en el intervalo [, ]. a) f ( ) + e f ( ) e f ( ) e La derivada primera se anula si ln. Como f (ln ) < 0, la función tendrá un máimo en ln 0,69. Su valor será ln f(ln ) + ln e + ln ln. b) Aplicando Bolzano: f ( ) e < 0 ; f (ln ) ln > 0 En el intervalo (, ln ) tiene una raíz. f (ln ) ln > 0 ; f () + 4 e < 0 En el intervalo (ln, ) tiene otra raíz.

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