Tema 6. ESTIMACIÓN PUNTUAL.

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1 Estadística Tema 6 Curs 006/07 Tema 6. ESTIMACIÓN PUNTUAL. Objetivs Ccepts: Cmpreder y distiguir ls siguietes ccepts: muestra aleatria simple estadístic estimadr de u parámetr estimació de u parámetr estimadr cetrad estimadr más eficiete que tr Cmpreder el sigificad del estimadr de máxima versimilitud y del md de bteerl. Saber hacer: Dada ua variable aleatria c mdel de distribució de prbabilidad ccid, que depede de u más parámetrs: Hallar el estimadr del parámetr pr el métd de ls mmets Hallar el estimadr del parámetr pr el métd de máxima versimilitud Dad u estimadr de u parámetr: Saber estudiar si es cetrad Saber estudiar si es más eficiete que tr estimadr del mism parámetr Saber hallar su errr cuadrátic medi A partir de ls resultads de ua muestra aleatria simple de ua v.a. Hallar ua estimació de sus parámetrs pr el métd de ls mmets Hallar ua estimació de sus parámetrs pr el métd de máxima versimilitud Prblemas de exámees (web): SIN: Jui 006: Prblema 3 b) Septiembre 006: Prblema Febrer 005: Prblema 3 b) Jui 005: Prblema a)b) Febrer 004: Prblema c)d) Jui 004: Prblema c) Jui 003: Prblema e) Septiembre 003: Prblema 3 a)b)c)

2 Estadística Tema 6 Curs 006/ Itrducció Hems vist e prácticas cóm buscar u mdel prbabilístic adecuad para u cjut de dats. Recrdems l vist al fial del tema 4: Ajuste de ua variable estadística a u mdel teóric Objetiv: Medis: elegir u mdel ectrar ls parámetrs del mdel defiició de la variable: qué mide? e qué cdicies? medidas descriptivas (media, variaza, simetrías, frecuecias,...) represetacies gráficas Verificació: Ctrastes paramétrics c Statgraphics (Distributi Fittig): p-valr > 0.3 para aceptar la hipótesis (cuat mayr sea, c más cfiaza se acepta el mdel prpuest) y píams el ejempl: Ejempl: X4: Númer de llamadas diarias que se hace pr teléf móvil Average =.564 ; Variace =.547 percetage Diagrama de barras de frecuecias relativas Barchart fr Llamadas diarias prbability Fució de masa P(.5) Piss Distributi x Mea.5 Gdess-f-Fit Tests fr Llamadas diarias : Fitted Piss distributi: mea =.564 Chi-Square = with d.f. P-Value = Lueg aceptams que la variable úmer de llamadas diarias, puede teer ua distribució de Piss de parámetr λ=.5. (Para trs ejempls ver tambié las págias 46 a 5 de la Guía Dcete.)

3 Estadística Tema 6 Curs 006/07 Este tip de trabaj se ha hech a partir de ls dats ccrets de ua variable estadística. Per s pdems platear alguas cuesties: Se puede asegurar que ess resultads s válids para tds ls estudiates de la EUI? E cas afirmativ, c qué cfiaza?; e cas ctrari, e qué cdicies pdría ser válids? E geeral, l que se quiere estudiar es algua característica de ua pblació determiada y ectrar u mdel prbabilístic para ella a partir de us dats ccrets. Este es el bjetiv de la llamada Iferecia estadística. L que verems e este tema y ls siguietes es cóm hacerl y cóm medir la fiabilidad de ls resultads bteids. Dams ua visió geeral de la Iferecia estadística: Para bteer ls DATOS: Ces (tda la pblació) Muestra (subcjut de elemets de la pblació) Es fudametal: cóm elegir ls elemets de la muestra y el tamañ de la misma. Pblació hmgéea (m.a.s. :muestre aleatri simple ) Pblació hetergéea (muestre estratificad 3 ) Para bteer el MODELO PROBABILÍSTICO: Hipótesis sbre el mdel (pr la defiició de la variable, gráficas, dats,...) Iferecia paramétrica: ccid el mdel, buscams ifrmació sbre ls parámetrs (θ) del mism, mediate: Estimació putual: θ = θ 0 Estimació pr iterval: θ (a,b) c u % de cfiaza Ctraste de hipótesis: aceptams θ= θ 0 frete a θ θ 0 (ó θ>θ 0 ó θ<θ 0 ), c ivel de sigificació α. Iferecia paramétrica: para verificar las hipótesis sbre el mdel sbre idepedecia de variables muestras. Ajuste de distribucies: Aceptams que X Mdel(θ) c ivel de sigificació α. Idepedecia: X e Y s idepedietes; ls dats de la muestra s idepedietes. Si el tamañ de la muestra es demasiad pequeñ la ifrmació bteida puede ser represetativa y si es excesivamete grade pdems estar derrchad recurss si bteer más ifrmació relevate. m.a.s.: tds ls elemets de la pblació tiee la misma prbabilidad de estar e la muestra y s idepedietes etre ells. Para ell, la elecció de ls elemets se debería hacer c reemplazamiet; si embarg, cuad el tamañ de la muestra es mer del 5% del tamañ de la pblació se csidera válid hacerl si reemplazamiet. Se suele hacer mediate eumeració de ls elemets y elecció aleatria de ls misms. 3 Se divide la pblació e clases estrats hmgées (repect a las variables que afecta a la característica estudiada) y detr de cada u de ells se hace ua m.a.s. El tamañ de la muestra de cada estrat ha de ser prprcial al tamañ del estrat detr de la pblació geeral. 3

4 Estadística Tema 6 Curs 006/07 Ejempl: Se quiere estudiar el úmer de llamadas diarias pr el móvil que hace u estudiate de la EUI. Para bteer ls DATOS: Ces (tda la pblació) Pdría hacerse per c u cste excesiv y es imprescidible para bteer la ifrmació que se precisa. (Sí es ecesari hacerl e uas eleccies, la evaluació de ua asigatura,...) Muestra (subcjut de elemets de la pblació) Pblació hmgéea (m.a.s. :muestre aleatri simple) Etre ls estudiates de la EUI se pdría elegir 00 (mes del 5%) de frma aleatria. Pblació hetergéea (muestre estratificad) Se pdría hacer estrats pr grups de edad, ivel educativ, za de residecia, sex,... y e cada u de ells se hace ua m.a.s. Para bteer el MODELO PROBABILÍSTICO: (Para el ejempl csiderams cm resultad de la muestra ls dats bteids c =39 e el grup GM3) Hipótesis sbre el mdel (pr la defiició de la variable, gráficas, dats,...) Pr la defiició de la misma pdría ajustarse a u mdel de Piss; el diagrama de barras, y la similitud de media y variaza l cfirma. Iferecia paramétrica: para verificar las hipótesis sbre el mdel sbre idepedecia de variables muestras. Ajuste de distribucies: A partir de u test (Chi-cuadrad) aceptams que X P(.546) c u p- valr de 0.75 (que implica bastate cfiaza e dicha decisió). Iferecia paramétrica: cm supems que es u mdel de Piss buscams ifrmació sbre su parámetr λ: Estimació putual: θ= θ 0 Se asiga al parámetr u valr ccret: λ =.564 (cm λ es la media de ua Piss, ua psible estimació es la media muestral X =. 564) Estimació pr iterval: θ (a,b) c u % de cfiaza Se ecuetra u iterval e el que está icluid el parámetr c ua determiada cfiaza: Cfidece Itervals fr Llamadas diarias % cfidece iterval fr mea:.564 +/ [ ;.65494] Segú explica Statgraphics: I practical terms we state with 95.0% cfidece that the true mea Llamadas diarias is smewhere betwee ad Ctraste de hipótesis: aceptams θ = θ 0 frete a θ θ 0 (ó θ>θ 0 ó θ<θ 0 ), c ivel de sigificació α. Se platea ds hipótesis y se estudia si ls dats de la muestra aprta la suficiete evidecia para rechazar ua de ellas frete a la tra. 4

5 Estadística Tema 6 Curs 006/07 C ls dats de la muestra, y tras u aálisis adecuad c Statgraphics: Rechazams la hipótesis de que λ = frete a λ >, c u 85% cfiaza (ivel α=0.5). La muestra aprta dats evidetes de que el úmer medi de llamadas (de tda la pblació) es mayr que u. Auque la media de las mujeres es λ M =.5 y la de ls hmbres es λ V =.5, pdems rechazar la hipótesis de que sea iguales ( λ M = λ V ). La muestra aprta dats evidetes para pder asegurar que el úmer medi de llamadas e las mujeres es mayr que el de ls vares. El tamañ muestral es muy pequeñ y la diferecia etre las medias muestrales puede deberse a factres aleatris y puede garatizarse que sea distitas. E este tema estudiarems cóm realizar la estimació putual, e ccret verems diversas frmas de bteer dichas estimacies y qué prpiedades s deseables que verifique Estimació putual Dada ua v.a. X, de la que supems ccid el mdel de distribució que sigue, buscams ifrmació sbre ls parámetrs (θ) del mism; e el cas de la estimació putual, buscams u valr ccret para θ. Ates, hems de defiir ls ccepts matemátics y la tació que utilizarems. X será la variable aleatria de la que querems estudiar su mdel de distribució M(θ) Ates de bteer ls dats () Muestra aleatria simple (m.a.s.): X,..., X s v.a. idepedietes c igual distribució M(θ). Estadístic: T=T(X,..., X ) es ua v.a. que depede de la m.a.s. Estimadr: θ*= θ*(x,..., X ) Es u estadístic (pr tat, ua v.a.) que se elige para ectrar u valr para el parámetr θ. Después de bteer ls dats () Resultad de la muestra: x,..., x R Valr del estadístic: t=t(x,..., x ) R Estimació de θ: θ*(x,..., x ) R Ejempl : X: úmer de llamadas diarias pr el móvil que hace u estudiate de la EUI. Supems X P(λ). Ates de bteer ls dats () X,..., X s v.a. idepedietes c distribució P(λ). Estadístics: X X Media muestral: X = ( X X) ( X X) Variaza muestral: V = Máxim: Máx( X,..., X ) 5 Después de bteer ls dats (=39) Resultad de la muestra: {,0,3,,,} R Valr del estadístic: X =.564 R V = R Máx(X i ) = 5 R

6 Estadística Tema 6 Curs 006/07 Estimadr: Cm X P(λ), sabems que E(X)= λ y que V(X)=λ. E este cas, ls estadístics X y V, pdría ser adecuads para bteer u valr para λ: λ*= X, λ = V Prpiedades de ls estimadres Estimació de λ: E este cas, pdems bteer ds estimacies para λ: λ λ*=.564 R λ λ = R E el ejempl aterir, pdems elegir ds estimadres distits para el parámetr λ de ua distribució de Piss, y ambs c criteris razables : la media de la Piss es λ y la variaza de la Piss tambié es λ. C cuál s quedams? Qué criteris vams a utilizar para determiar qué estimadres s ls más adecuads? Ejempl: El bjetiv es dar e el cetr de la diaa, y ls impacts de distitas escpetas está señalads c diferetes señales. Cuál parece más adecuada? Qué vetajas tiee uas fretes a tras? Ls triáguls-azules está muy agrupads etre sí (buea putería), per etr a u put que es el bjetiv (put de mira alg desviad). Las estrellas-verdes tiee bie el put de mira y ua putería mderadamete buea. Ls impacts-rjs parece teer bie el put de mira (está repartids hmgéeamete alrededr del bjetiv), per ua putería pésima. L deseable sería teer bie el put de mira y ua buea putería. Si l traducims a ls criteris que vams a utilizar para selecciar u estimadr, buscarems estimadres e ls que el valr esperad cicida c el desead (teer bie el put de mira) y c la mer variaza psible (buea putería). Defiició. Decims que θ* es u estimadr cetrad ( isesgad) de θ, si E(θ*)= θ, para cualquier valr de θ. E cas ctrari decims que es sesgad y se defie sesg de θ* cm b(θ*)=e(θ*) θ. 6

7 Estadística Tema 6 Curs 006/07 Ejempls: La media muestral X es u estimadr cetrad de E(X)(dem 4 ). Pr tat, Si X P(λ), λ*= X es u estimadr cetrad para λ. Si X N(μ,σ ), μ*= X es u estimadr cetrad para μ.. ( X X) ( X X) La variaza muestral V = es u estimadr cetrad para V(X)=σ. De hech, E(V)= σ (dem 5 ). Pr tat, si X P(λ), λ = V es u estimadr cetrad para λ. ( X X) ( X X) La cuasivariaza muestral S = sí es u estimadr cetrad para V(X)=σ (dem 6 ). Pr tat, si X P(λ), S es u estimadr cetrad para λ. Observació: N siempre es fácil estudiar si u estimadr es cetrad. N siempre existe u estimadr cetrad para cualquier parámetr. Defiició. Decims que u estimadr ˆ θ es más eficiete que ˆ θ cuad V( ˆ θ ˆ ) < V( θ). Si u estimadr tiee la míima variaza psible se dice que es eficiete. Observació: N siempre es fácil estudiar la variaza de u estimadr, y cm csecuecia, será fácil cmparar estudiar la eficiecia de ls estimadres. N siempre existe u estimadr eficiete para cualquier parámetr. Ejempls: La variaza muestral V es más eficiete que la cuasivariaza muestral S : Cm S = V V( S ) = V ( V), pr tat V S ( ) V( V) >. Si X P(λ), X y S s estimadres cetrads para λ, cuál es más eficiete? Hallams sus variazas: V( X) λ = (dem 7 ) λ V( S ) = λ + (dem 8 ) 4 X X E( X) = E = ( E( X) E( X) ) = ( μ μ) = ( μ) = μ 5 Cm es más extesa, se desarrlla al fial del tema, ANEXO. 6 ( ) S V E S E V E( V) = = σ σ = = = 7 X X λ V = ( V( X) V( X) ) = ( λ λ) = ( λ) = 8 Se basa e la fórmula geeral de la variaza de la variaza muestral. Ls detalles e el ANEXO. 7

8 Estadística Tema 6 Curs 006/07 Cm λ > 0, se tiee que V X ( ) V( S ) <, y pr tat X es más eficiete que S. Ua medida que recge estas ds prpiedades de ls estimadres (cetrad y eficiete) es la siguiete: Defiició. Si θ* es u estimadr de θ, se defie su errr cuadrátic medi cm: ECM( θ ) = E (( θ θ) ) (Mide la distacia esperada etre el estimadr y el parámetr que querems estimar.) Prpiedades: ECM( θ ) = V θ + E( θ ) θ Se verifica que ( ) ( ) Si θ es u estimadr cetrad, etces ECM( θ ) V ( θ ) Ejempls: =. Si u estimadr es cetrad y eficiete (míima variaza), tedrá el mer ECM psible. E ua muestra aleatria simple de tamañ 3 de ua variable aleatria rmal de media μ y desviació típica, se csidera ls estimadres para μ: 3 4 U3 = X+ X + X 3 ; U4 = X+ X + X Estudiams cuál de ells tiee mer errr cuadrátic medi: 3 3 E(U 3) = E X+ X + X3 μ μ μ μ 8 8 = + + = V(U 3) = V X+ X + X3 8 8 = + + = Pr tat ECM( U3) = V ( U3) + ( E( U3) μ) = + ( μ μ) = E(U 4) = E X+ X + X 3 μ μ μ= μ = V (U 4) = V X 4 + X + X 3 4 = = Pr tat ( ) ( ) ( ( ) ) ECM U4 = V U4 + E U4 μ = + μ μ = + μ < μ, que es cierta si μ >.75. Para cmpararls, reslvems la desigualdad Pr tat, si sabems que μ >.75, el estimadr U 3 tiee mer ECM; si μ <.75, el estimadr U 4 tiee mer ECM. 8

9 Estadística Tema 6 Curs 006/07 Cuad se trata de pblacies rmales, se verifica que ECM(V) < ECM (S ) (dem 9 ). E geeral se utiliza S pr ser cetrad. Cclusies: E geeral, y teied e cueta que siempre será psible ectrarls, se buscará estimadres que sea cetrads y, etre ells, se elegirá el más eficiete (mer variaza). Cóm ls buscams? Ahra verems algus métds Obteció de estimadres Métd de ls mmets. Es el métd más ituitiv. Csiste e utilizar la relació que tiee ls parámetrs c ls mmets de la pblació (esperaza, variaza,...). Pr ejempl, cuad X P(λ), cm E(X)= λ, u estimadr atural de λ será la media muestral. Esta idea se geeraliza de la siguiete frma: Defiició. Dada ua v.a. X se defie su mmet de rde k cm α k = E(X k ). Dada ua variable estadística X se defie su mmet de rde k cm El métd de ls mmets csiste e reslver el sistema de ecuacies a k k xi i = =. α = a... α k = a k. E ccret: i) Si se quiere estimar u parámetr, se resuelve la ecuació α = a (es decir: E( X) = X ), despejad de dicha ecuació el parámetr que querems estimar. ii) Si se quiere estimar ds parámetrs, se reslvería el sistema de ds ecuacies α = a E( X) = X. (E la práctica se resuelve el sistema equivalete.) α = a V( X) = V Ejempls: Si X G(p), buscar u estimadr de p pr el métd de ls mmets: p Reslvems el sistema E( X) = X = X, y despejams p: p p =, sería el estimadr de p pr el métd de ls mmets. X + 9 [7] PEÑA, D.: "Fudamets de Estadística". Aliaza Editrial, 00. 9

10 Estadística Tema 6 Curs 006/07 Pr ejempl, teems ua muestra de ua v.a. gemétrica: 3,0,,0,,5,,5,5,, y X = = Ua estimació de p pr el métd de ls mmets, sería: p = 0.3 X + = 3.4+ =, bie la slució del sistema: p = 3.4 p = 0.3. p Si X U(a,b), buscar estimadres para a y b pr el métd de ls mmets. a+ b = X E( X) = X Cm s ds parámetrs, reslvems el sistema: =, y despejad a V( X) = V ( b a) = V a = X 3V y b, bteems:, estimadres de a y b pr el métd de ls mmets b = X + 3V Pr ejempl, teems ua muestra de ua v.a. uifrme:.8,.65, 0.465,.09,.05, , 0.5, 0.88, 0.76, ( ) ( ) y se tiee: X = = 086. y V = = Uas estimacies de a y b pr el métd de ls mmets, sería: a = X 3V a = = 0.5 = b= X + 3V b= =.594 a+ b = 0.86 a = 0.5 bie las slucies del sistema: =. ( b a) b =.594 = 0.8 Es cherete ese resultad c ls dats de la muestra? Es psible que ua v.a. c distribució U(0.5,.594) tme el valr ? 0 El métd de ls mmets, es secill, e muchs cass permite bteer bues estimadres, per e trs tiee las limitacies vistas aterirmete u tras. Pr ell, existe trs métds de bteció de estimadres. U de ls métds que permite bteer estimadres c bueas prpiedades es el métd de máxima versimilitud. Métd de la máxima versimilitud. E el ejempl aterir, que a=0.5 hace impsible bteer el valr e la muestra. Si supems que a= 5 y b=5, es psible bteer ls valres bteids e la muestra, per es extrañ que aparezca igú valr egativ, pr l que es pc prbable que ls valres de a y b sea ess. 0 Recrdad que si X~U(a,b), etces X tma valres sól e el iterval (a,b). 0

11 Estadística Tema 6 Curs 006/07 Sería más prbable bteer esa muestra si a=0 y b=, quizás más prbable aú si a=0 y b=.5, pues ls valres de la muestra está tds e el iterval (0,.5), e ccret etre y.37. El estimadr de máxima versimilitud de θ, s dará el valr de θ que hace máxima la prbabilidad de bteer u resultad ccret de ua muestra, (x,..., x ). Para ectrarl, ecesitams pder medir la prbabilidad de bteer u resultad ccret de ua muestra, (x,..., x ). Para ell defiims la demiada fució de versimilitud. Defiició Sea X ua v.a. que sigue u mdel de distribució M(θ) y sea (x,..., x ) el resultad de ua m.a.s. (X,..., X ) de dicha v.a. i) Si X es discreta se defie su fució de versimilitud L( θ ) = P( X = x,..., X = x ) = P( X = x ) i i i= ii) Si X es ctiua, c fució de desidad f(x), se defie su fució de versimilitud L( θ ) = f( xi ) El métd de máxima versimilitud csiste e buscar el valr de θ que hace que la fució de versimilitud tme su valr máxim. Para hallar el máxim utilizarems alguas técicas de aálisis matemátic. E ccret utilizarems que: i= La fució l(x) es ua fució creciete, pr l que el máxim de f(x) se alcazará e el mism put que el máxim de l(f(x)). Est permite derivar más fácilmete, pues el l(x) trasfrma ls prducts e sumas. (Supems f(x)>0, para cualquier x.) El máxim de ua fució f(x) e u iterval [a,b] se alcaza e algú put crític (puts que aula la derivada de f(x)) e ls extrems del iterval. El máxim de ua fució f(x,y), c x,y R, se alcaza e algú put crític (puts que aula las derivadas parciales de f(x,y): f( x, y) = 0, f( x, y) = 0). x y Pr ell, para hallar el estimadr de máxima versimilitud de θ, seguirems ls siguietes pass: i) Defiir la fució L( θ ) ii) Defiir la fució l( L( θ )) iii) Hallar el máxim de l( L( θ )) : d Reslver la ecuació l( L( θ )) = 0. dθ Si θ sól puede tmar valres e u iterval, estudiar si el máxim se alcaza e ls extrems de dich iterval. Ejempls: Estimadr de máxima versimilitud de p, sied X G(p). i) Defiims L( p ):

12 Estadística Tema 6 Curs 006/07 veces xi xi x x x i xi i= i= L( p) = P( X = ) = ( p) p= ( p) ( p)...( p) p p... p= ( p) p ii) Defiims l( L( p )): Lp p p p x p xi xi l( ( )) l ( ) = = l ( ) + l = l ( ) + l ( p ) i ( p ) ( ) d iii) Hallams el máxim de l( L( p )), reslvied la ecuació l( L( p)) 0 dp d d l( L( p)) = xi l (( p) ) l ( p) xi 0 dp dp + = + = p p Despejad p e la aterir ecuació se btiee: = : dividied arriba y abaj pr p = = = X + xi + xi +. pˆ = X Decims que, si X G(p), el estimadr de máxima versimilitud de p es +. (Observad que es el mism estimadr que se btuv pr el métd de ls mmets.) Estimadr de máxima versimilitud de b, sied X U(0,b) i) Defiims L( b ): veces Lb ( ) = f( xi ) = =... =, cxi 0, i= i= b b b b b ii) Defiims l( L( b )) : ( b) l( L( b)) = l l = ( b) b d iii) Hallams el máxim de l( L( b )), reslvied la ecuació l( L( b)) = 0 : db d d l( L( b)) = ( l ( b) ) = = 0 db db b Per e este cas, esa ecuació tiee slució para igú valr de b. Estams e el cas e que el parámetr sól puede tmar valres e u iterval, pr l que hay que estudiar si el máxim se alcaza e ls extrems de dich iterval. E este cas, cm ls valres de la muestra x [ 0, b] i, se tiee que

13 Estadística Tema 6 Curs 006/07 [ 0, ],, max { } max { }, ) xi b xi xi b xi xi b b xi + Lb ( ) = b Cm Lb ( ) b = es decreciete, tmará su mayr valr e el extrem iferir del iterval, max x. e este cas { } i Decims que, si X U(0,b), el estimadr de máxima versimilitud de b es b ˆ = max { x } i. Observad que es el mism estimadr que se btuv pr el métd de ls mmets. Csiderad ahra el ejempl que vims ates e el cas Uifrme, si supems X U(0,b) y teems ls resultads de ua muestra:.8,.65, 0.465,.09,.05, , 0.5, 0.88, 0.76,.37 Ahra, si hacems la estimació pr el métd de máxima versimilitud, teems { } { } b= max x i = max ,0.5,...,.8,.37 =.37 Pr l que supems X U(0,.37), que es cherete c ls dats bteids e la muestra. Prpiedades de ls estimadres de máxima versimilitud Si ˆ θ es el estimadr de máxima versimilitud de θ para ua m.a.s. de tamañ, etces:. Si gx ( ) es biyectiva, g( ˆ θ ) es estimadr de máxima versimilitud de g( θ ).. Si, E( ˆ θ) θ (es asitóticamete cetrad) 3. Si, V( ˆ θ ) vm, sied m ˆ θ θ 4. Si, N (0,) (es asitóticamete rmal) V ( ˆ θ ) v la míima variaza psible (es asitóticamete eficiete) 5. Si existe u estimadr cetrad y eficiete para θ, etces cicide c el de máxima versimilitud. Es decir, para valres suficietemete grades de (asitóticamete) tiee tdas las prpiedades deseables de ls estimadres, pr l que suele ser ls más utilizads. Ejempls: 3

14 Estadística Tema 6 Curs 006/07. Cm X es el estimadr de máxima versimilitud para la media de ua v.a. X c distribució expecial, y teems que es ˆ β =. X E( X) =. Etces, el estimadr de máxima versimilitud para β β Si X N(μ,σ), el estimadr de máxima versimilitud de σ es V. Cm estimadr de máxima versimilitud de σ es ˆ σ = V. σ = σ, etces, el. Si X G(p), el estimadr de máxima versimilitud de p es pˆ = X +, y calcular E ( p ˆ) es secill. La prpiedad s asegura que, e cas de ser cetrad, sí l es asitóticamete. E trs cass, sí se puede calcular la esperaza y es fácil verificar esta prpiedad: Si X U(0,b), el estimadr de máxima versimilitud de b es b { x } estimadr cetrad, pues etces E( bˆ ) b. ˆ = max i, per es u ( ˆ E b) = b(dem ). L que sí se verifica es que, si, El ejempl más secill de las últimas prpiedades es ˆ λ = X versimilitud de λ para ua v.a. c distribució de Piss., estimadr de máxima 3. Se ha vist que cuad. V( X) V( X) =, pr l que siempre se verifica que ˆ V( X) V( b) = 0, 4. Además, pr el TCL, sabems que si es suficietemete grade, etces X sigue ua distribució rmal. 5. El estimadr X es cetrad y eficiete para λ, y precisamete el estimadr de máxima versimilitud que se btiee para λ es ˆ λ = X. Cmprbar estas prpiedades para trs cass suele ser bastate cmplicad y se escapa de ls bjetivs de este curs. Ver [] CORONADO, J.L.; CORRAL, A.; GÓMEZ, J.I.; LÓPEZ, P.; RUIZ, B.; VILLÉN, J.: "Estadística". Servici de Publicacies de la E.U. de Ifrmática, 004. Ejempl 8. 4

15 Estadística Tema 6 Curs 006/07 ANEXO. Esperaza del estadístic V: variaza muestral. ( X X) ( X X) EV ( ) = E = E( ( X X) ( X X) ) = = E( ( X + X XX) ( X + X XX) ) = = E( ( X X) + ( X X ) XX... XX) E( X... X) E( X... X ) E( X( X... X)) () () (3) () V( Xi) = E( Xi ) E( Xi) E( Xi ) = V( Xi) + E( Xi) = σ + μ Pr tat, E( X X) = E( Xi ) = ( σ + μ ) = σ + μ σ () V( X) = E( X ) E( X) E( X ) = V( X) + E( X) = + μ σ Pr tat, E( X X ) = E( X ) = + μ = σ + μ ( X X) (3) X = ( X X) = X σ Pr tat, E( X( X X)) = E( X( X) ) = E( X ) = + μ = σ μ Vlvied al desarrll rigial, teems: EV ( ) = ( σ + μ ) + ( σ + μ ) σ μ = ( ) σ = σ () () (3). 5

16 Estadística Tema 6 Curs 006/07 ANEXO. Variaza del estadístic S para ua distribució de Piss. ( ) 3 4 E geeral, la variaza de la variaza muestral es VV ( ) = μ 4 σ sied 4 μ4 = E ( X μ). (ver Terema e [] CORONADO, J.L.; CORRAL, A.; GÓMEZ, J.I.; LÓPEZ, ( ) P.; RUIZ, B.; VILLÉN, J.: "Estadística". Servici de Publicacies de la E.U. de Ifrmática, 004) Pr tat, ( ) = = = μ 4 σ = μ4 σ V( S ) V V V( V). Si X~P(λ), σ = λ y μ 4 = Pr tat, e el cas de u mdel de Piss, cm σ = λ, teems: 3 λ V( S ) = 3 λ + λ λ λ λ λ = + = +. 6