Ecuaciones en Derivadas Parciales. Introducción

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1 Ecuaciones en Derivadas Parciales. Introducción Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona) Definición Una ecuación en derivadas parciales (EDP) es una ecuación diferencial en la que interviene una incógnita (que es una función de varias variables) y sus derivadas. Además, para que el problema esté bien planteado es necesario imponer condiciones de contorno y/o iniciales. Permiten modelar diferentes procesos físicos, como por ejemplo la transmisión del calor o el sonido, la mecánica de sólidos, la dinámica de fluidos 2 1

2 Evolución de la temperatura en una barra Queremos determinar la temperatura en una barra delgada completamente aislada. Inicialmente la temperatura es de 10ºC en toda la barra y en un extremo la reducimos a 0ºC. k: conductividad térmica ρ: densidad c: calor específico 3 Temperatura en una barra Solución: temperatura en diferentes instantes de tiempo 4 2

3 Recarga de una isla 5 Objetivo: calcular la recarga R a partir de h p Recarga de una isla Considerando la simetría: T: transmisividad R: recarga 6 3

4 Solución con x = y = 0.1 Ejemplo Recarga de una isla 7 Resultados con l=3658 m, T=930 m 2 /día, h p =6.1 m Recarga de una isla x= y H(0,0) R=T h p /(H(0,0) L 2 ) R= m/día 8 4

5 Tráfico Idea (desarrollada por ingenieros de General Motors y del laboratorio de Los Álamos (USA)): utilizar la teoría de mecánica de fluidos para modelizar el tráfico en un tramo de autopista con un solo carril donde no pueden entrar ni salir coches (conservación de masa) ρ: densidad de coches (ρ ρ max : densidad de atasco) v: velocidad de los coches (depende de ρ) 9 Ejemplo Tráfico Modelo lineal: Modelo logarítmico: se ajustó a datos de túnel de Lincoln (Manhattan-New Jersey) 10 5

6 Resultados con Ejemplo Tráfico Solución hasta t=8 min 11 Desplazamientos de un muro de contención de tierras Queremos calcular los desplazamientos sufridos por un muro de contención de tierras por efecto del empuje del terreno. 12 6

7 Muro de contención Los desplazamientos horizontales w(y) del muro satisfacen la siguiente ecuación (flexión de vigas) donde H es la altura del muro, D es un parámetro de rigidez a flexión y p(y) es la distribución de empujes. Como condiciones de contorno se considera que El muro está empotrado en su cimentación La coronación del muro es un borde libre 13 Resultados: problema adimensional Muro de contención 14 7

8 Deformada de un cable Cable flexible con extremos fijos en apoyos situados al mismo nivel y sometido a la acción de una distribución de cargas (pequeños desplazamientos). 15 La geometría del cable queda descrita por: Deformada de un cable donde L es la distancia horizontal entre los extremos del cable, T es la tensión (constante) y w(x) es la distribución de cargas aplicada. Imponiendo simetría: 16 8

9 Deformada de un cable Resultados con 17 Transporte de contaminante Avance del frente de HC contaminantes Movimiento del vapor 18 9

10 Navier-Stokes Flujo de agua alrededor de un cilindro en un canal. 19 Equilibrio mecánico Navier-Stokes Puede existir parte del contorno sin condiciones? 20 10

11 Ecuación del calor estacionaria Flujo en medio poroso Existen condiciones de contorno de mixtas en la práctica? Problemas de equilibrio Clasificación física Problemes estacionarios, definidos en dominios finitos. Ejemplo: ecuación del calor Equilibrio de flujo Ley de Fourier Ecuación del calor estacionaria, en un medio no isótropo, no homogéneo y no lineal 22 11

12 2. Problemas de valores propios Problemas estacionarios (también de ondas) para los que la solución existe sólo en determinadas condiciones (para ciertos valores de algunos parámetros). Definidos en dominios cerrados. Ejemplo: desplazamientos de la membrana de un tambor Figuras de wikipedia: Vibrations of a circular drum

13 3. Problemas de evolución Definidos en dominios infinitos (tiempo) : problemas de difusión ecuación del calor transitoria problemas de ondas desplazamientos de una cuerda que vibra problemas de transporte ecuación de convección ecuación de convección - difusión 25 Clasificación matemática En general, una EDP de segundo orden definida sobre dos variables independientes x e y, lineal y no homogénea, se puede expresar como Por similitud con la clasificación de cónicas, las EDP s de segundo orden se clasifican como: Discriminante Clasificación Soluciones B 2 4AC < 0 Elíptica 2 complejas B 2 4AC = 0 B 2 4AC > 0 Parabólica Hiperbólica 2 reales (repetidas) 2 reales (diferentes) 26 13

14 Considérese un punto P del dominio de solución Dominio de dependencia: es la zona del dominio de la cual depende la solución en el punto P Rango de influencia: es la zona del dominio de solución cuya solución está influenciada por la solución en el punto P Elíptica Parabólica Hiperbólica Figuras extraídas de: Numerical methods for engineers and Scientists J.D. Hoffman. Mc Graw-Hill Tabla resumen La siguiente tabla muestra las características principales de los diferentes tipos de EDP s OJO: sólo en contornos de entrada de información 28 14

15 Condiciones de contorno de Dirichlet Condiciones de contorno Condiciones de contorno de Neumann Condiciones de contorno mixtas 29 15