DETERMINANTES. Matemática I Lic. en Geología Lic. en Paleontología

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1 Mtemátic I Lic. en Geologí Lic. en Pleontologí DETERMINNTES En un mtriz cudrd hy vrios spectos que el determnte yud esclrecer: Existirá un mtriz B tl que.b = I? Es decir, tendrá mtriz vers? De ls columns de, hbrá lgun que se combción lel de ls demás? De ls fils de, hbrá lgun que se combción lel de ls demás? Ddo un sistem de ecuciones leles, tendrá un únic solución, tendrá fits o no tendrá ngun? Tods ests pregunts pueden responderse conociendo el determnte de l mtriz en cuestión. cd mtriz cudrd se le puede socir un número rel que se llm determnte de y se dic o det (). - Si l mtriz es de orden entonces det( ) - Si l mtriz es de orden ( ) Otr form de clculr el det() es gregndo ls dos primers columns después de l tercer column o ls dos primers fils después de l tercer fil y clculr los productos de ls digonles. Es decir: ( ) ( ) Ejemplos 7 ).( 5).7 9 5

2 Mtemátic I Lic. en Geologí Lic. en Pleontologí ).....( ) [( ) ( 5) - Si l mtriz es de orden n existen diferentes métodos pr clculr el determnte. En este curso sólo veremos uno de ellos que reduce el cálculo de un determnte de orden n l cálculo de determntes de orden n-. Desrrollo de un determnte por los elementos de un líne (fil o column) Dd un mtriz cudrd = ( ij ) de orden n defimos: - submtriz ij es l mtriz que se obtiene de suprimir l fil i y l column j de - cofctor del elemento ij l esclr ij = (-) i+j ij Ejemplo c ( ) 5 c ( ) ( )( ) Teorem: El determnte de un mtriz es igul l sum de los elementos de un líne (fil o column) multiplicdos por sus respectivos cofctores. ) álculo por el desrrollo de l i-ésim fil o l fil i i n i n n nn i i i i ( ) i i i( ) i i( ) i Ejemplo Por el desrrollo de l segund fil:

3 Mtemátic I Lic. en Geologí Lic. en Pleontologí.( ).( ).( ) 8 ) álculo por el desrrollo de l j-esim column o column j De mner similr se consider l column j. Ejemplo onsideremos l mtriz del ejemplo nterior y por el desrrollo de l primer column:.( ).( ).( ) Otro ejemplo B B.( ) 7 ( ).( 6) 7 Propieddes de los determntes ) El determnte de l mtriz identidd es det (I n ) = I n = ) El determnte de un mtriz y el de su trnspuest es el mismo. det() = det ( T ) = T ) El determnte de un mtriz trgulr es el producto de los elementos de l digonl prcipl. det() =.. nn ) Si un mtriz tiene un fil o column de ceros entonces su determnte es cero. 5) Si un mtriz tiene dos fils (columns) igules entonces su determnte es cero. Ejemplo:, pues F F 6) Si es l mtriz que se obtiene tercmbdo dos fils (columns) de l mtriz entonces el determnte en l nuev mtriz cmbi de signo. det( ) = det() = - Ejemplo 8 8 o se puede escribir: 5

4 Mtemátic I Lic. en Geologí Lic. en Pleontologí F F 7) El determnte del producto de dos mtrices es igul l producto de los determntes de cd un de ells. det(b) = det() det(b).b =. B Mtriz Invers Defición: Un mtriz de orden n se dice versible si existe un mtriz B tl que.b = B. = I n (I n mtriz identidd de orden n). B se llm mtriz vers de. Observciones ) L mtriz vers de l mtriz se escribe -. ) L mtriz vers de un mtriz es únic. ) No tod mtriz tiene vers. Teorem Si es un mtriz de orden n, es versible si y sólo si det() Podemos encontrr un regl práctic pr clculr : consiste en imponer l mtriz identidd los mismos cmbios los que hy que someter l mtriz pr obtener I. Ejemplo: Hllr l mtriz vers de l mtriz [ ] Pr ello, colocmos l mtriz y, contución y seprd por un líne verticl, l mtriz identidd hor vmos trnsformr l mtriz en l identidd plicndo ls operciones elementles sus fils y ess misms operciones se ls plicremos ls fils de l identidd simultánemente. undo se hll trnsformdo en l identidd, l identidd será l mtriz vers de. 6

5 Mtemátic I Lic. en Geologí Lic. en Pleontologí ( ) ( ) Por lo tnto, en el lugr de obtuvimos l mtriz identidd I, y donde estb l mtriz identidd obtuvimos Luego, [ ]. Observción: si es versible det( ) det( ), que tmbién se escribe 7

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