Resolución de la ecuación de Difusión en 2-D y 3-D utilizando diferencias finitas generalizadas. Consistencia y Estabilidad.

Transcripción

1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, 1-5 septiembre 009 (pp. 1 8) Resolución de la ecuación de Difusión en -D y 3-D utilizando diferencias finitas generalizadas. Consistencia y Estabilidad. L.M. Sánchez 1,F. Ureña 1, J.J. Benito, L. Gavete 3 1 Dpto. de Matemáticas, Universidad de Castilla-La Mancha, Ciudad Real. luzmasangar@yahoo.es,francisco.urena@uclm.es. Dpto. de Construcción y Fabricación, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid. jbenito@ind.uned.es. 3 Dpto. de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales, Universidad Politécnica de Madrid. lu.gavete@upm.es. Palabras clave: diferencias finitas generalizadas, ecuación de difusión, método explícito, estrella. Resumen En esta comunicación se presenta la utilización del Método de Diferencias Finitas Generalizadas para la resolución de la ecuación de difusión, para -D y 3-D. La comunicación se inicia con la obtención de las expresiones explícitas en diferencias finitas generalizadas. A partir de estas expresiones se estudia el error de truncamiento, consistencia, estabilidad y convergencia. En la comunicación se incluyen algunos resultados, de entre los numerosos casos analizados, como ejemplos representativos de la resolución de la ecuación de difusión que pretenden ilustrar el buen comportamiento del método. 1. Introducción El método de diferencias finitas generalizadas (GFDM), como generalización del método de diferencias finitas, permite la aplicación en dominios irregulares. Al desarrollo de este método han contribuido los trabajos de Benito, Ureña y Gavete [1, ]. Los artículos [3, 5] muestran la aplicación del método de diferencias finitas generalizadas a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales dependientes del tiempo. 1

2 L.M. Sánchez,F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete Figura 1: Estrella en D ; Estrella en 3D. Diferencias finitas generalizadas y método explícito en -D Se considera la resolución numérica de la ecuación de ondas para la función U(x, y, t) U(x, y, t) t = α U(x, y, t) x + β U(x, y, t) y t > 0, (x, y) Ω R (1) con la condición inicial U(x, y, 0) = f(x, y) () y la condición de contorno au(x 0, y 0, t) + b U(x 0, y 0, t) n = g(t) in Γ (3) siendo f(x, y) y g(t) dos funciones conocidas, α es el coeficiente de difusión y Γ la frontera del dominio Ω. Para la obtención de las fórmulas explícitas en diferencias finitas de las derivadas espaciales, una vez discretizado el dominio Ω Γ, se define el nodo central con un conjunto de nodos a su alrededor, al conjunto de dichos nodos se le denomina estrella, estableciendo una relación entre una estrella y su nodo central (ver figura 1). Si U 0 es el valor de la función en el nodo central de la estrella y U j son los valores de las funciones en el resto de los nodos, con j = 1,, 8, entonces, de acuerdo con la serie de expansión de Taylor U 0 U j = U 0 + h j x + k U 0 j y + h j U0 x + k j U0 y + h U0 jk j x y + (4) donde (x 0, y 0 ) son las coordenadas espaciales del nodo central, (x j, y j ) las coordenadas del nodo j en la estrella, h j = x j x 0, k j = y j y 0. Si en la ecuación 4 los términos de orden superior al segundo son eliminados, se obtiene la aproximación de segundo orden para U j. Si se representa este valor por u j. Entonces es

3 Resolución de la ecuación de difusión en -D y 3-D utilizando GFDM posible definir B(u) = 8 j=1 [(u 0 u j + h j u 0 x + k j u 0 y + h j u 0 x + k j u 0 y + h u 0 jk j x y )w(h j, k j )] (5) donde w(h j, k j ) es la función de ponderación. Si la expresión 5 es minimizada con respecto a las derivadas parciales, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales A 5 D u5 = b 5 (6) Resolviendo el sistema 6 y teniendo en cuenta que h j = k j = h, se obtienen las siguientes fórmulas finitas generalizadas para las derivadas parciales U(x 0, y 0, n) x = 1 1h [ 0un u n 1 + u n u n 3 + u n u n 5 + u n 6 u n 7 + u n 8 ] (7) U(x 0, y 0, n) y = 1 1h [ 0un 0 u n 1 + u n + 10u n 3 + u n 4 u n 5 + u n u n 7 + u n 8 ] (8) Aproximando la derivada segunda respecto del tiempo en el nodo central de la estrella por U(x 0, y 0, n) t = un+1 0 u n 0 (9) donde u n 0 y un+1 0 son los valores aproximados de la función U(x, y, t) en el nodo central de coordenadas espaciales (x 0, y 0 ) para los tiempos n y (n + 1) respectivamente. Sustituyendo las ecuaciones 7, 8 y 9 en la ecuación 1, se obtiene la ecuación lineal 0 = u n α 0 + 1h [ 0un u n 1 + u n u n 3 + u n u n 5 + u n 6 u n 7 + u n 8 ] α 1h [ 0un 0 u n 1 + u n + 10u n 3 + u n 4 u n 5 + u n u n 7 + u n 8 ] (10) u n+1 3. Convergencia en -D De acuerdo con el teorema de equivalencia de Lax [4], si la condición de consistencia es satisfecha, la estabilidad es necesaria y suficiente para la condición de convergencia Error de truncamiento. Consistencia Si se designan por T E t y T E (x,y) los errores de truncamiento temporal y espacial, respectivamente, se tiene U(x 0, y 0, t) t = U(x 0, y 0, t + ) U(x 0, y 0, t) U(x 0, y 0, t 1 ) t + Θ(() ), t < t 1 < t + (11) Para obtener el error de truncamiento para las derivadas espaciales, en la serie de expansion de Taylor se incluyen los términos hasta de cuarto orden. Si se designa por B5 (u) la 3

4 L.M. Sánchez,F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete expresión 5 en la cual se han incluido los nuevos términos, y minimizando dicha expresión respecto de las derivadas parciales de primer y segundo orden, se obtiene T E (x,y) = h 1 [α( 4 U(x 1, y 1, t) x U(x 1, y 1, t) x y )+ β( 4 U(x 1, y 1, t) x y + 4 U(x 1, y 1, t) y 4 )] + Θ(h 4 ) (1) donde (x 1, y 1 ) es un punto del interior del dominio definido por la estrella. La expresión 1 es el error de truncamiento para las derivadas espaciales. La suma de ambos errores de truncamiento nos da el error de truncamiento total. Por tanto, el método es consistente. 3.. Estabilidad Si se define u n 0 = ξ n e iνt x 0 ; u n j = ξ n e iνt x j (13) donde ν = (ν x, ν y ) T es el vector columna de los números de onda, x 0 = (x 0, y 0 ) es el vector de las coordenadas del nodo central de la estrella y x j = (x j, y j ) son las coordenadas del resto de los nodos de la estrella, con x j = x 0 + h j y ξ es denominado factor de amplificación. Si el módulo del factor de amplificación es mayor que la unidad, ( ξ > 1, el método es inestable. Sustituyendo 13 into 9, y operando, se tiene ξ = 1 + [α( cos hλ + cos h(λ + ν) 4 cos hν + cos h(λ ν)) 1h + β( cos hν + cos h(λ + ν) 4 cos hλ + cos h(λ ν))] sen ( hν ) + sen ( Imponiendo la condición de estabilidad = 1 3h [α(10 sen ( hλ ) + sen ( h(λ + ν) ) h(λ ν) )) + β(10 sen ( hν ) + sen ( 1 ξ h [α(10 sen ( hλ ) + sen ( sen ( hν ) + sen ( La condición de estabilidad viene dada por h(λ ν) )) + β(10 sen ( hν sen ( hλ ) + sen ( h(λ + ν) ) h(λ + ν) ) ) + h(λ + ν) sen ( ) sen ( hλ ) + sen ( h(λ ν) ))] (14) h(λ ν) ))] 1 (15) 0 6h 10(α + β) (16) 4

5 Resolución de la ecuación de difusión en -D y 3-D utilizando GFDM 4. Diferencias finitas generalizadas y método explícito en 3-D La ecuación de ondas, es U(x, y, z, t) t = α U(x, y, z, t) x + β U(x, y, z, t) y + γ U(x, y, z, t) z (17) Obteniendo las ecuaciones 4 y 5 para tres dimensiones y minimizando respecto de las derivadas parciales, se obtiene el sistema para 3-D, similar al 6, A 9 D u9 = b 9 (18) Resolviendo el sistema 18 y teniendo en cuenta que h j = k j = l j = h, se obtienen las siguientes fórmulas finitas generalizadas para las derivadas parciales espaciales. Obteniéndose la expresión lineal en diferencias finitas para 3-D 0 = u n h [α( 1780un u n u n 17u n u n u n u n 6 17u n u n 8 17u n u n u n 11 43u n 1 + 0u n u n u n 15 43u n 16 u n+1 + 0u n 17 17u n u n u n 0 43u n 1 + 0u n + 89u n 3 + 0u n 4 43u n 5 + 0u n 6) + β( 1780u n 0 17u n u n + 884u n u n 4 17u n u n u n u n 8 17u n 9 43u n u n u n 1 + 0u n 13 43u n u n u n u n 17 17u n 18 43u n u n u n 1 + 0u n 43u n 3 + 0u n u n 5 + 0u n 6) + γ( 1780u n 0 17u n 1 43u n 17u n 3 43u n 4 17u n 5 43u n 6 17u n 7 43u n u n u n u n u n 1 + 0u n u n u n u n u n u n u n u n u n 1 + 0u n + 89u n 3 + 0u n u n 5 + 0u n 6)] (19) 5. Convergencia 5.1. Error de truncamiento. Consistencia. U(x 0, y 0, z 0, t) t = U(x 0, y 0, z 0, t + ) U(x 0, y 0, z 0, t) U(x 0, y 0, z 0, t 1 ) t + Θ(() ), t < t 1 < t + (0) (T E t ) = U(x 0, y 0, z 0, t 1 ) t + Θ(() ), t < t 1 < t + (1) 5

6 L.M. Sánchez,F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete Para obtener el error de truncamiento para las derivadas espaciales, se sigue el mismo procedimiento que en -D, obteniéndose T E (x,y,z) = h U(x 1, y 1, z 1, t) 48 [α(4 4 x U(x 1, y 1, z 1, t) 55 x y U(x 1, y 1, z 1, t) 55 x z 6 4 U(x 1, y 1, z 1, t) 55 y z ) + β(4 4 U(x 1, y 1, z 1, t) y U(x 1, y 1, z 1, t) 55 x y 6 4 U(x 1, y 1, z 1, t) 55 x z U(x 1, y 1, z 1, t) 55 y z )+γ(4 4 U(x 1, y 1, z 1, t) z U(x 1, y 1, z 1, t) 55 x y U(x 1, y 1, z 1, t) 55 x z U(x 1, y 1, z 1, t) 55 y z )] + Θ (h 4 ) () La expresión es el error de truncamiento para las derivadas espaciales, donde (x 1, y 1, z 1 ) es un punto interior del dominio definido por la estrella. La suma de ambos errores de truncamiento es el error de truncamiento total (TTE). Por tanto, el algoritmo es consistente. 5.. Estabilidad Al igual que para el caso en -D, se utiliza el análisis de von Neumann para establecer la condición de estabilidad. Para el caso tridimensional u n 0 = ξ n e i{λ,ν,ϕ}t {x 0,y 0,z 0 } ; u n j = ξ n e i{λ,ν,ϕ}t {x j,y j,z j } (3) donde {λ, ν, ϕ} es el vector columna de los números de ondas, {x 0, y 0, z 0 } es el vector de las coordenadas del nodo central de la estrella y {x j, y j, z j } son las coordenadas del resto de los nodos de la estrella (ver figura), siendo: {x j, y j, z j } = {x 0, y 0, z 0 } + {h j, k j, l j } (4) Sustituyendo 3 y 4 en 19, y después de operar y teniendo en cuenta lo mostrado para el caso -D, la condición de estabilidad viene dada por 0 66h 89(α + β + γ) (5) 6. Resultados numéricos En esta sección se muestran dos ejemplos de resolución numérica de ecuaciones difusión en -D y 3-D. Las funciones de ponderación utilizadas han sido w(h j, k j ) = 1 (h j + k j )3 ; w(h j, k j, l j ) = 1 (h j + k j + l j )3 (6) y el criterio de selección de los nodos el de la distancia. El error global ha sido calculado para cada paso de tiempo usando la siguiente norma NT j=1 (sol(j) exac(j)) NT Error global = 100 (7) exac max 6

7 Resolución de la ecuación de difusión en -D y 3-D utilizando GFDM Figura : Error global versus n o nodos ; Error global versus where sol(j) es el valor de la solución aproximada en el nodo j, exac(j) es la valor de la solución exacta en el nodo j, exac max es el máximo valor de la solución exacta en los nodos interiores de de la malla considerada y NT es el número de nodos del interior Ejemplo -D U(x, y, t) t = U(x, y, t) x + U(x, y, t) y t > 0, 0 < x, y < 1 (8) con la condición inicial U(x, y, 0) = sen π(x + y) (9) y las condiciones de contorno Dirichlet, siendo la solución exacta U(x, y, t) = e πt sen π(x + y) (30) En la figura se muestra, manteniendo fijo el paso de tiempo ( = 0,0001), la disminución del error global al aumentar el número de nodos en la malla. También, en la figura se muestra la disminución del error global al disminuir el paso de tiempo para la malla de 11 nodos. 6.. Ejemplo 3-D U(x, y, z, t) t = U(x, y, z, t) x + U(x, y, z, t) y + U(x, y, z, t) z t > 0, 0 < x, y, z < 1 con la condición inicial U(x, y, z, 0) = sen π(x + y + z) (3) y las condiciones de contorno Dirichlet, siendo la solución exacta U(x, y, z, t) = e 3πt sen π(x + y + z) (33) (31) 7

8 L.M. Sánchez,F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete Figura 3: Error global versus n o nodos ; Error global versus En la figura 3 se muestra, manteniendo fijo el paso de tiempo ( = 0,0001), la disminución del error global al aumentar el número de nodos en la malla. También, en la figura 3 se muestra la disminución del error global al disminuir el paso de tiempo para la malla de 1331 nodos. 7. Conclusiones En esta comunicación se ha obtenido el error de truncamiento y, por tanto, la consistencia ha sido demostrada. Igualmente, se ha obtenido el criterio de estabilidad utilizando el análisis de von Neumann. Los ejemplos mostrados, de los numerosos resueltos a los que se ha aplicado el GFDM, muestran su buen comportamiento. Agradecimientos Los autores agradecen la ayuda recibida del Ministerio de Ciencia e Innovación de España en el proyecto TISMANCA, Ref.: CGL /CLI. Referencias [1] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, Influence of several factors in the generalized finite difference method. Applied Mathematical Modelling,51, (001). [] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, R. Alvarez, An h-adaptive method in the generalized finite differences. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 19, (003). [3] J.J. Benito, F. Ureña, L. Gavete, Solving parabolic and hyperbolic equations by Generalized Finite Difference Method. Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol 09, Issue, 15 December 007, Pages [4] A.R. Mitchell, D.F. Griffiths, The Finite Difference Method in Partial Differential Equations. International Journal for Numerical Methods in Engineering (1980). [5] F. Ureña, J.J. Benito, L. Gavete, R. Alvarez, Resolución de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales dependientes del tiempo de segundo orden utilizando Diferencias Finitas Generalizadas. Revista Internacional de Métodos Numéricos para cálculo y diseño en ingeniería. Vol. 19, 3, (003). 8