PSU Matemática NM-4 Guía 24: Isometrías. Transformaciones isométricas en el plano

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1 Centro Educacional San Carlos de Aragón. Dpto. Matemática. Prof. Ximena Gallegos H. PSU Matemática NM-4 Guía 4: Isometrías Nombre: Curso: Fecha: - Contenido: Isometrías. Aprendizaje Esperado: Analiza diferentes transformaciones isométricas en el plano. Simetrías. Transformaciones isométricas en el plano as simetrías o reflexiones, son aquellas transformaciones isométricas que invierten los puntos y figuras del plano. Esta reflexión puede ser respecto de un punto (simetría central) o respecto de una recta (simetría axial) Simetría Central. P Dado un punto fijo O en el plano, se llama simetría (reflexión) con respecto a O a aquella isometría que lleva cada punto P del plano a una posición P, de modo que P está en la recta OP, a distinto lado con respecto a O. Q OP = OP' R O P' R' Q' O: Centro de Simetría P, P': Puntos correspondientes u homólogos Observaciones: Una simetría (reflexión) respecto de un punto O equivale a una rotación en 80º de centro O. os trazos de la figura original son paralelos con los trazos homólogos de la figura transformada. El sentido de la figura no cambia respecto al giro de las manecillas del reloj. Todo punto del plano cartesiano A(x, y) tiene su simétrico A' ( x, y) con respecto al origen O(0, 0). ) Mediante una reflexión con respecto a, cada figura se reflejó en su similar sombreada. Esto se verifica mejor en: a) b) c) d) e)

2 ) Al segmento AB de la figura se le aplica una simetría (reflexión) con respecto al punto P, resultando un segmento A B, entonces las coordenadas de B son: 4 A P B a) (, ) b) (, 5) c) (5, ) d) (, ) e) (, ) ) A todos los puntos del plano cartesiano de la figura, se le aplica una simetría (reflexión) con respecto al punto E de coordenadas (, ); cuáles son las coordenadas del punto homólogo de B? a) (, ) b) (, 0) c) (, ) d) (, ) e) (0, ) 4) En la Figura, PQRS es un cuadrado simétrico al cuadrado P Q R S con respecto al eje Y. Cuáles son las coordenadas del punto de intersección de las diagonales del cuadrado P Q R S? a) (, 4) b) ( 4, ) c) ( 5, ) d) ( 4, ) e) ( 4, ) 5) En la figura, cuál es el punto simétrico del punto A(, ), con respecto a la recta x = 4? a) (, ) b) ( 8, ) c) ( 8, ) d) ( 9, ) e) ( 9, )

3 Simetría Axial P Dada una recta fija del plano, se llama simetría axial con respecto a o reflexión con respecto a a aquella isometría tal que, si P y P son puntos homólogos con respecto a ella, PP ' y además el punto medio de PP ' está en. a figura siguiente muestra dos triángulos simétricos con respecto a. P' Q R R' OP = OP' Q' P, P': Puntos correspondientes u homólogos OBSERVACIONES * En una simetría axial, las figuras cambian de sentido respecto del giro de las manecillas del reloj. * No es posible superponer, mediante traslaciones y/o rotaciones, los triángulos congruentes PQR y P Q R. * os puntos de la recta permanecen invariantes ante esta reflexión. * Todo punto del plano cartesiano A(x, y) tiene su simétrico A (x, y) con respecto al eje de las abscisas y un simétrico A ( x, y) con respecto al eje de las ordenadas. 6) En cuál de los siguientes casos se verifica mejor una simetría axial con respecto a? a) b) c) d) e) 7) Al triángulo ABC de la figura, se le aplica una simetría (reflexión) respecto a la recta ( // ele Y), entonces las coordenadas del vértice C se transforman en : 5 B C - -4 A -5 a) ( 7, ) b) ( 7, ) c) (, ) d) (,) e) (, ) 8) En cuál de las siguientes figuras NO se muestra una simetría con respecto a la Recta? a) b) c) d ) e)

4 4 9) Si el gráfico de la función f(x) se obtiene por reflexión del gráfico de la función g(x) con respecto al eje Y, cuál(es) de los siguientes gráficos no representa esta situación? a) b) c) Eje de Simetría d) e) Es aquella recta que atraviesa la figura dividiéndola en dos partes simétricas con respecto a la recta. Observaciones. Existen figuras que no tienen ejes de simetría. Existen figuras que tienen sólo un eje de simetría. Existen figuras que tienen más de un eje de simetría. a circunferencia tiene infinitos ejes de simetría. 0) Cuántos ejes de simetría tiene un cuadrado? a) b) c) 4 d) 8 e) Infinitos ) Cuántos ejes de simetría tiene la letra Z a) b) c) d) 4 e) Ninguno ) Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilátero? a) b) c) d) 6 e) Ninguno ) En la figura siguiente, el cuadrado ABCD es simétrico (reflejo) con el cuadrado EFGH respecto a, entonces, cuáles de las siguientes proposiciones son siempre verdaderas? I) AC / / EG II) DBH GEC III) AF a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III

5 5 4) Se tiene ABCD un cuadrado de diagonal 0 cm, al disminuir el lado en entonces la diagonal disminuye en: cm, a) b) c) d) e) 5) Un folleto consta de 40 páginas. De ellas el 0% es geometría, el 0% es álgebra y el resto astronomía. uego las páginas dedicadas a la astronomía son: a) 4 b) 8 c) 0 d) e) 8 6) Al romboide ABCD de la figura, se le han trazado las diagonales y numerado los cuatro triángulos que se generan. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El es una simetría (reflexión) con centro en P del. II) El es una rotación de 80º y centro P del 4. III) El ABC es una simetría del CDA cuyo eje de simetría pasa por AC. a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III 7) Si hoy es miércoles, qué día de la semana será en 00 días más, a partir de hoy? a) Viernes b) Sábado c) unes d) Miércoles e) Jueves 8) En la figura hay un triángulo rectángulo isósceles con un rombo. Cuál de las siguientes opciones representa mejor una simetría axial de la figura con respecto a AB? a) b) c) d) e)

6 6 9) Dado el triángulo ABC rectángulo en B, BD AC ; AD = 4 cm y AD : DC = 8 : 0, entonces AB =? a) 6 b) 9 c) 6 d) 5 e) 4 0) En el triángulo isósceles MNT se traza TV, de modo que TV = NV; entonces si M, N y V son colineales, el ángulo MTN=? a) 0 b) 45 c) 0,5 d),5 e),5 ) En la figura, se tiene que AB es tangente a la circunferencia, AD es secante y Arco (DB) es ¼ de la circunferencia, además Arco(BC) es /5 de la circunferencia. Determinar medida del ángulo BAD. a) 90 b) 7 c) 7 d) 8 e) 9 ) En la circunferencia, determine Arco(BD) y Arco(CA), respectivamente. a) 5 y 55 b) 65 y 5 c) 0 y 70 d) 0 y 70 e) 60 y 40 ) Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos son congruentes. II) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son congruentes. III) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus catetos homólogos son congruentes. a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III

7 7 4) Se lanzan 5 monedas simultáneamente, cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara? a) b) 5 c) d) e) 5 5) Si las edades de 8 personas se suman y se dividen por 8, qué indicador estadístico se obtiene? I) a Moda II)) a Media aritmética o promedio III) a Mediana a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Todas las anteriores e) Ninguna 6) Si = 0 + = 9 ( ) a b y a b, entonces el valor de a b es : a) 9 b) 9 c) 9 d) 49 e) No se puede determinar. 7) Si a un triángulo ABC de vértices A(, ); B(, ) y C(4, 0), se le aplica la traslación, Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? según el vector u = ( 5,7) I) A se transforma en A ( 4, 9) II) B se transforma en B (, 8) III) C se transforma en C (, 7) a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) Sólo II y III 8) Cuál es el área de un triángulo rectángulo en el cual la hipotenusa mide el doble de un cateto? a a a a a) b) c) d) e) Otro valor 9) Dado un punto P de coordenadas (7, 9), cuáles son las coordenadas del punto simétrico de P con respecto al eje Y? a) ( 7, 9) b) ( 7, 9) c) ( 7, 9) d) ( 9, 7) e) ( 9, 7) 0,5 =? 0) ( ) x a) x b) x c) x d) x x e)

8 8 ) Cuáles de los siguientes pares ordenados es(son) solución(es) de y x x = + 5 +? I) (, 5) II) (, 5) III) (, ) a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I, II y III e) Ninguno de ellos ) Según la figura, cuál(es) de los siguientes pares de triángulos es(son) semejantes? I) ACD CBE II) BEC AEB III) ACD CAB D E C A 55º 5º B a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIII d) Sólo I y II e) I, II y III ) Qué significa que dos triángulos sean semejantes? a) Que tienen igual área. b) Que tienen igual perímetro. c) Que sus lados son proporcionales d) Que sus tres lados respectivos coinciden. e) Que sus ángulos son proporcionales, en razón distinta de uno. 4) En una circunferencia de diámetro 0 cm, la distancia desde el centro hasta una cuerda AB es 6 cm. Entonces la cuerda AB mide: a) 8 cm b) 0 cm c) cm d) 6 cm e) 0 cm 5) ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 cm y BC = 4 cm. Si se ha dividido en cuadrados congruentes como se muestra en la figura, cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) El área de la región sombreada es cm. II) El perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de ABCD. III) a suma de los perímetros de las zonas no sombreadas es mayor que el perímetro del rectángulo ABCD. D C A B a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) I, II y III 6) Se puede conocer el valor de los ángulos x e y si: () Son ángulos complementarios () y excede a x en 40º a) () por sí sola b) () por sí sola c) Ambas juntas, () y () d) Cada una por sí sola, () ó ()

9 9 7) Se puede conocer el valor de x + y si: () x y = 4 () x = y a) () por sí sola b) () por sí sola c) Ambas juntas, () y () d) Cada una por sí sola, () ó () 8) El valor numérico de log ( ab) log a + b se puede determinar si: () a =.000 b) b = 00 a) () por sí sola b) () por sí sola c) Ambas juntas, () y () d) Cada una por sí sola, () ó () 9) Se puede determinar cuanto mide cada segmento de una cuerda cortada en cuatro partes proporcionales si: () a cuerda mide 7 cm. () a razón entre los segmentos es de : : : 6 a) () por sí sola b) () por sí sola c) Ambas juntas, () y () d) Cada una por sí sola, () ó () 40) En la figura, ABCD cuadrilátero y P es el punto de intersección de las diagonales. El triángulo ABP es una simetría (reflexión) del triángulo CDP con centro en P si: () ABCD es un paralelogramo () DP = PB y CP = PA a) () por sí sola b) () por sí sola c) Ambas juntas, () y () d) Cada una por sí sola, () ó () Hoja de Respuestas. ) d ) b ) a 4) e 5) e 6) c 7) a 8) e 9) d 0) c ) e ) c ) d 4) e 5) e 6) b 7) a 8) c 9) d 0) e ) e ) e ) c 4) e 5) b 6) a 7) d 8) b 9) a 0) b ) a ) c ) e 4) d 5) e 6) c 7) b 8) a 9) c 40) d