Tratamiento Digital de Señales

Transcripción

1 Departamento de Teoría de la Señal y Communicaciones Tratamiento Digital de Señales Transformada Discreta de Fourier (DFT) Prof.: Manuel Blanco Velasco Sumario Definición e interpretación La DFT como transformación lineal Propiedades de la DFT Filtrado lineal mediante la DFT Filtrado de secuencias de larga duración 2 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D

2 DTFT (Discrete Time Fourier Transform) La Transformada de Fourier (DTFT) es una función de variable continua: DTFT j [ ] X ( e Ω ) x n Ω ( ) [ ] X e = x n e j jωn n= Imposible su uso mediante herramientas informáticas Es preciso desarrollar una herramienta numérica: la DFT 3 Muestreo de la respuesta en frecuencia Se muestrea el espectro de la señal x[n]: jω [ ] = ( ) 2 π, =,,..., X k X e k M Ω= k M X[k] recibe el nombre de Transformada Discreta de Fourier (DFT) DFT [ ] X[ k] xn Es necesario definir el valor de M 4 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 2

3 Relación con el DSF (I) Ω ( ) [ ] X e = x n e j jω n n= [ ] = [ ], [, ] xn xn n x[ n] = a e j ak = x[ n] e n= 2 π j k n k k = 2π k n 5 Relación con el DSF (II) Los coeficientes del DSF de la extensión periódica coinciden con las muestras del espectro de x[n]: k jω ( ) 2 π,,,..., a = X e k = Ω= kn 6 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 3

4 Formulación El muestreo X(e jω ) da como resultado la extensión periódica de x[n] que en términos de señal finita Se desea j( 2π k M) ( ), [ ] X e k M X k = resto x p [ n] p xn [ rm], n M = r= resto [ ] = [ ], x n x n n Hay que evitar el solapamiento temporal 7 Solapamiento temporal x p [ n] xn [ rm], n M = r= resto Para evitarlo, se debe cumplir: M 8 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 4

5 Definición e interpretación (I) La formulación para la DFT: 2π j k n X[ k] = x[ n] e, k =,,..., n= 2π j k n xn [ ] = X[ k] e, n=,,..., k = En la práctica esto se implementa mediante un algoritmo FFT 9 Definición e interpretación (II) r = x[ n] M > r = - x[ n-m] n r = - xn+m [ ] M n Equivale a añadir ceros -M n x n p[ ] M- n Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 5

6 Sumario Definición e interpretación La DFT como transformación lineal Propiedades de la DFT Filtrado lineal mediante la DFT Filtrado de secuencias de larga duración Interpretación matricial de la DFT Se considera la base para las exponenciales complejas 2π W = e j Las fórmulas se pueden expresar [ ] [ ] kn X k = x n W, k =,,..., n= kn x n = X k W, n =,,..., [ ] [ ] k = Se definen los vectores x y X de puntos y la matriz cuadrada W de orden. 2 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 6

7 Definición de vectores y matrices x x[ ] x[ ] x[ 2] = x[ ] X X [ ] X [ ] X [ 2] = X[ ] W 2 3 W W W W ( ) W W W W = ( ) W W W W ( )2 ( )3 ( )( ) W W W W 3 Interpretación matricial de la DFT La fórmula de la DFT: [ ] [ ] Se puede rescribir: [ ] [] [ ] kn X k = x n W, k =,,..., n= [ ] [] [ ] X x 2 X W W W x 2 4 2( ) X 2 = W W W x 2 ( )2 ( )( ) X[ ] W W W x[ ] 4 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 7

8 DFT como transformación lineal De forma compacta: X = W x Siendo W matriz de transformación lineal que es simétrica. La fórmula de inversión (IDFT): x = W X Ahora bien, la IDFT se puede obtener mediante una forma alternativa si volvemos a la expresión original. 5 DFT como transformación lineal kn xn= X k W, n=,,..., = La IDFT: [ ] [ ] k Rescrita en forma matricial: x[ ] 2 [ ] * * * X [] ( W) ( W) ( W) x X[] [ ] ( * 2 ) ( * 4 ) ( * 2 ) ( x 2 = W ) [ 2] W W X x[ ] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ] * * * X W W W 6 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 8

9 DFT como transformación lineal De forma compacta, la IDFT: Por lo que se deduce que: W = W Esto implica: WW * = I * x * = W X Donde I es la matriz identidad de orden. Se concluye que la matriz de transformación es ortogonal. 7 Sumario Definición e interpretación La DFT como transformación lineal Propiedades de la DFT Filtrado lineal mediante la DFT Filtrado de secuencias de larga duración 8 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 9

10 Propiedad de desplazamiento DTFT: DTFT jω [ ] X( e ) xn DTFT jω jω n [ ] ( ) xn n X e e 9 Desplazamiento circular (I) DSF DSF: xn [ ] a 2π j k n DSF xn [ n ] ak e k 2 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D

11 Desplazamiento circular (II) DFT DFT: xn [ ] X [ k ] DFT (( )) [ ] x n n X k e 2π j kn xn [] x[(( n- n )) ] n Reflexión temporal (I) DTFT j DTFT: x[ n] X ( e Ω ) x n a k DSF: [ ] DSF 22 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D

12 Reflexión temporal (II) DFT DFT: xn [ ] X [ k ] DFT x (( n) ) X (( k) ) 23 Simetría temporal Una señal es simétrica si lo es su extensión periódica: simetría temporal (par o impar) 24 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 2

13 Simetría temporal par ( ) Una señal es par si: xn [ ] = x ( n ) 25 Simetría temporal impar ( ) Una señal es impar si: xn [ ] = x ( n ) 26 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 3

14 Convolución circular (I) La convolución de señales periódicas es otra señal periódica de idéntico período donde: [ ] = [ ] [ ] = [ ] [ ] zn xn yn xmyn m m= [ ] = [ + ] [ ] = [ + ] [ ] = [ + ] x n x n y n y n zn zn 27 Convolución circular (II) 28 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 4

15 Convolución circular (III) Conocidos los coeficientes del DSF [ ] [ ] [ ] x n, y n, z n DSF a, b, c DSF [ ] [ ] [ ] k k k zn = xn yn c = a b k k k 29 Convolución circular (IV) DFT Aplicado a señales finitas xn [ ] X [ k ] DFT y[ n] Y[ k] [ ] [ ] DFT [ ] [ ] x n y n X k Y k Ahora la c.c. se realiza mediante reflexiones y rotaciones temporales ( ) [ ] [ ] = [ ] ( ) xn yn xmy n m m= 3 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 5

16 Convolución circular (V) 3 Sumario Definición e interpretación La DFT como transformación lineal Propiedades de la DFT Filtrado lineal mediante la DFT Filtrado de secuencias de larga duración 32 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 6

17 Salida de un filtro La aplicación de la DFT al filtrado lineal requiere algunas consideraciones La salida de un sistema LTI se obtiene mediante convolución lineal y n = h n x n = x m h n m [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] m= jω jω jω ( ) = ( ) ( ) Y e H e X e 33 Aplicación de la DFT En términos de la DFT j( ) ( ) ( 2 πk j ) 2 πk j 2 πk = ( ) ( ) ( ) Y e H e X e Y[ k] = H[ k] X[ k] Donde la secuencia en el dominio del tiempo yn [ r], n yp [ n ] = r=, resto El producto de DFTs equivale a la convolución circular y hay que evitar el solapamiento temporal 34 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 7

18 Longitud de la convolución circular COVOLUCIÓ LIEAL longitud{x[n]}=l longitud{h[n]}=m [ ] yn r n yp n = r=, resto [ ] ], longitud{y[n]}=l+m- 35 Procedimiento Se alargan x[n] y h[n] hasta una longitud de muestras tal que: = L+ M Se calculan las DFTs de puntos de ambas señales siguiendo el procedimiento siguiente: 36 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 8

19 Filtrado mediante la DFT (I) El producto de DFTs equivale a la convolución circular de las secuencias en el dominio del tiempo El producto de DFTs puede equivaler a la convolución lineal si se alargan las secuencias añadiendo ceros hasta longitud +L- Ejemplo: L< M 37 Filtrado mediante la DFT (II) COV. LIEAL COV. CIRCULAR 38 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 9

20 Sumario Definición e interpretación La DFT como transformación lineal Propiedades de la DFT Filtrado lineal mediante la DFT Filtrado de secuencias de larga duración 39 Método overlap-add (I) x n x n rl Se segmenta la señal de entrada: [ ] = r [ ] L L L r= xn [ ] x[ n] x[ n-l] x2[ n-2 L] Donde: x[ n+ rl], n L xr [ n] =, resto hn [ ] x[ n] y[ n] M- x n [ ] x n 2[ ] y n [ ] y n 2[ ] L- L+ M-2 4 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 2

21 Método overlap-add (II) La salida del LTI: [ ] = [ ] [ ] = r[ ] [ ] = r[ ] yn xn hn x n rl hn y n rl donde [ ] = [ ] [ ] y n x n h n r r r= r= Como longitud{h[n]}=m, entonces longitud{y r [n]}=l+m- Por tanto, en la fórmula del sumatorio se produce solapamiento de muestras. 4 Descripción del algoritmo (ov.add.) L L L xn [ ] x[ n] x[ n-l] x2[ n-2 L] y n [ ] y[ n-l] y2[ n-2 L] M- yn [ ] L+ M- L+ M- L Este método se puede aplicar utilizando DFTs de longitud =L+M- puntos L 42 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 2

22 Método overlap-save (I) Método concebido para aplicarse con la convolución circular. Se consideran bloques de señal de entrada de longitud L muestras, donde L>>M. En esta situación, se realizan convoluciones circulares de longitud L muestras. El resultado, para un bloque de entrada x i [n] de L muestras es un bloque de salida y i [n] de L muestras. El método consiste en quedarse con las muestras de la convolución circular que coinciden con muestras de la convolución lineal. El resto de muestras se rechazán. 43 Método overlap-save (II) os basamos en la siguiente premisa En la convolución circular de L puntos de una señal de longitud L con otra de longitud M, donde L>>M, se produce el solapamiento de las M- primeras muestras que no son correspondientes con la convolución lineal Esta premisa resulta al comparar el resultado de la convolución circular con el resultado de la convolución lineal 44 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 22

23 Método overlap-save (III) ycl[ n] L- L+M-2 n cl [ ], [ ] y n rl n L ycc n = r= resto ycl[ n+l] M-22 n ycl[ n-l] L- n 45 Descripción del algoritmo (ov.save) LM+ - LM+ - LM+ - xn [ ] x n [ ] M- ceros x[ n] M- x2[ n ] y n [ ] y n [ ] M- y n 2[ ] L L 46 Manuel Blanco-Velasco, Ph.D 23