TEORIA MATEMATICAS 5 PRIMER PARCIAL

Transcripción

1 Def: Grafica de una función TEORIA MATEMATICAS 5 PRIMER PARCIAL Sea:. Definimos la grafica de f como el subconjunto de formado por los puntos, de en los que es un punto de U. Simbólicamente grafica es: Def. Curvas y superficies de nivel :, / Sea : y sea. Entonces, el conjunto del nivel de valor c se define como el conjunto de los puntos en los cuales. Si 2, hablaremos de curvas de nivel de valor c; y si 3, hablaremos de superficie de nivel. Con símbolos, el conjunto de nivel de valor c se escribe. LÍMITES Y CONTINUIDAD. Definición CONJUNTOS ABIERTOS. / Se define disco abierto o bola abierta de radio r y centro como el conjunto de puntos c tales que Def. Conjunto abierto Sea es decir se U un conjunto de. Llamamos a U conjunto abierto si para todo punto en U existe 0 tal que esta contenido dentro de U. Teorema: FRONTERA Para todo y para todo r 0; es conjunto abierto. Def: Punto Frontera Sea.Un punto se llama punto frontera de A si todo entorno de x contiene un punto de A y al menos un punto que no esta en A.

2 LIMITES. Def. Limites Sea :, donde A es un conjunto abierto. Sea un punto de A o un punto frontera de A y sea N un entorno de. Decimos que f finaliza en N cuando c tiende a, si existe un entorno U de tal que, implica. Decimos que fx tiende a b cuando x tiende a. Propiedades: Teorema: UNICIDAD Teorema:. lim.. lim lim lim ;. lim lim lim FUNCION CONTINUA. Def: Sea : una función dada con dominio A. Sea. Decimos que f es continua en si y solamente si lim Teorema: Propiedades de las funciones continúas. : :.. Teorema: Sea : y sea :. Supongamos que de forma que está definida en A. Si g es continua en y f es continua en entonces es continua en. LIMITE EN TERMINO DE Teorema: Sea : y sea un punto frontera de A. Entonces lim si y solamente si para todo 0 existe un 0 tal que para todo que satisface 0 se tiene que.

3 DIFERENCIACION. Def: Sea un conjunto abierto y supóngase que : es una función con valores reales. Entonces,,, las derivada parciales de f respectos de la primera, segunda,, n-esima variables, son las funciones con valores de n variables, en el punto,,, se define como PLANO TANGENTE.,,,,,,,,, lim Def: Sea : diferenciable en,. El plano de definido por la ecuación,., Se llama plano tangente de la grafica de f en el punto,. DIFERENCIABILIDAD. En el caso general. Sea U un conjunto abierto en y sea : una función dada. Decimos que f es diferenciable en si las derivadas de f existen en y además lim 0 Donde es la matriz m x n con elementos evaluadas en y es el producto de T por. Llamamos a T la derivada de f en. Teorema: Sea : diferenciable en. Entonces f es continua en. Teorema: Sea :. Supongamos que todas las derivadas parciales existen y son continuas en un entorno de un punto. Entonces f es diferenciable en x. de f

4 PROPIEDADES DE LA DERIVADA. i.- Regla de la multiplicación por una constante. Sea : una función diferenciable en y sea c un numero real. Entonces. es diferenciable en y ii.- Regla de la suma. Sea iii.- Regla del producto Sea. iv.- Regla del cociente. Sea y suponga que 0 REGLA DE LA CADENA... Teorema Sea conjuntos abiertos. Sean : : Funciones tales que g lleva U en V de forma que está definida. Supóngase que g es diferenciable en y que f es diferenciable en. Entonces es diferenciable en y Def. Gradiente. Si : es diferenciable, el gradiente de f en,, es el vector del espacio dado,,

5 DERIVADAS DIRECCIONALES Def: Si :, la derivada direccional de f en x según el vector V es Teorema: Si : es diferenciable entonces todas la derivadas direccionales existen. La derivada direccional en x en la dirección V es igual a: Donde,,.. Teorema: Sea : una aplicación de clase y sea,, un punto de la superficie de nivel S definida por,, para una constante k. Entonces,, es normal a la superficie de nivel en el sentido siguiente:.- Si V es el vector tangente en t=0 de una trayectoria en S con 0 =,, entonces,,. = 0 Def: Plano tangente a superficie de nivel. Sea S la superficie que está formada por aquellos,, tales que,, =, para k constante. El plano tangente a S en el punto,, de S se define por medio de la ecuación Derivada Parciales Iteradas. Se llama derivadas parciales iteradas a Las derivadas parciales.,,.,, = 0 ; ; ; Teorema: Si, es de clase es dos veces diferenciable con continuidad entonces las derivadas parciales cruzas son =

6 Teorema de Taylor para varias Variables. Teorema: Formula de Taylor 1er Orden. Sea : diferenciable en. Entonces Donde, =, 0 cuando 0 en Teorema: Formula de Taylor 2do Orden Sea : con derivadas parciales continuas de tercer orden. Entonces = 1 2,, MAXIMOS Y MINIMOS LOCALES Y GLOBALES DE n VARIABLES. Puntos de extremos: Si : es una función escalar dada, se dice que un punto es un punto de mínimo local de f si existe un entorno V de tal que para todos los puntos x de V,. Análogamente, es un punto de máximo local si existe un entorno V de tal que. El punto es un punto de extremo local o relativo si es un punto de mínimo local o de máximo local. Un punto es un punto crítico de f si, o bien f no es diferenciable en o bien 0. Si un punto crítico no es punto de extremo local, se dice que es punto silla. CONDICION DE LA DERIVADA 1er PARA PUNTOS DE EXTREMO LOCAL. Teorema: Si es abierto, la función : es diferenciable y es un punto de extremo local, entonces 0, es decir, es un punto crítico de f. CRITERIO DE LA DERIVADA 2da PARA PUNTOS DE EXTREMO LOCAL. Teorema: Si : es de clase, es un punto critico de f y la forma cuadrática hessiana es definida positiva entonces es un punto de mínimo relativo de f. Análogamente es definida negativa, entonces, es un punto de máximo relativo.

7 Lema: Si = es un matriz real n x n y si la forma cuadrática asociada :,,, 1 2.., Es definida positiva, entonces existe una constante 0 tal que para todo Definición.. Supongamos que : tiene derivadas de segundo orden continuas para, 1,.., en el punto. La HESSIANA de f en es la forma cuadrática definida por Lema: Sea 1 2, , Entonces es definida positiva si y solo si 0 y det 0 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA. Teorema: Sea, de clase en un conjunto abierto. Un punto, es un punto de mínimo local estricto de f si se cumple las tres condiciones:.,,., 0. 0,

8 Donde D se conoce como discriminante de la forma cuadrática hessiana. Si en ii. tenemos <0 en lugar de >0 sin cambiar la condición iii. entonces tenemos un punto de máximo local. MAXIMOS Y MINIMOS GLOBALES. Def: Supóngase qué : es una función definida en un conjunto. Se dice que un punto es un punto de máximo absoluto o de mínimo absoluto de f si 0 para todo. Def: Se dice que un conjunto es acotado si existe un número > 0 tal que < para todo. Un conjunto es cerrado si contiene todos los puntos de su frontera. Teorema: Sea D cerrado y acotado en y sea : continua. Entonces existen puntos de D donde f alcanza sus valores máximos y mínimos. EXTREMOS CONDICIONADOS Y MULTIPLICADORES DE LAGRANGE. El método de los multiplicadores de LaGrange. Teorema: Sea : y : funciones con valores reales. Sean y = y sea S el conjunto de nivel de g con valor c. Supongamos que 0 Si /, que denota alcanza en un máximo o mínimo local en S entonces existe tal que =

9 CRITERIO DE LA DERIVADA SEGUNDA PARA EXTREMOS CONDICIONADOS. Teorema: Sean : y : funciones suaves al menos. Sean, = y sea S la curva de nivel de g correspondiente al valor c. Supongamos que 0 y que existe un numero real λ tal que. Formamos la función auxiliar y el determinante de la matriz hessiana orlada. 0. 0, entonces es punto máximo local de f/s. 0 entonces es punto mínimo local.. 0 no es concluyente.

10 TEORIA MATEMATICAS 5 TEORIA SEGUNDO PARCIAL. LONGITUD DE ARCO. Def. La longitud de arco de la trayectoria =,, para es Diferencial de la longitud de arco. Un desplazamiento infinitesimal de una particula que sigue una trayectoria = es Y su longitud = = = = Es la diferencial de la longitud de arco. Longitud de arco en Sea :, un camino a trazos, su longitud se define como El integrando es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes del vector Si,,, entonces

11 INTEGRAL DE TRAYECTORIA. Def: La integral de,, a lo largo de la trayectoria c está definida cuando :, es de clase y la función compuesta,, es continua en I. Definimos esta integral por la ecuación. INTEGRAL DE LINEA =,, Def: Sea F un campo vectorial en continuo sobre la trayectoria :,. Definimos, la integral de línea de F a lo largo de c, por la formula. Es decir, integramos el producto escalar de F con c sobre el intervalo,. INTEGRALES DOBLES. El volumen de la región que esta sobre R y bajo la grafica de una función no negativa f se llama integral doble de f sobre R y se denota por:, Integrales dobles e iteradas.,,, Si usamos planos de corte perpendiculares al eje y, obtenemos,, Esta expresión es la integral iterada que se obtiene integrando respecto a x y después, integrando el resultado respecto a y.

12 INTEGRALES DOBLE SOBRE UN RECTANGULO. Def: Si la sucesión converge a un límite S cuando y si este limite S es el mismo para cualquier elección de puntos en los rectángulos, entonces decimos que f es integrable sobre R y escribimos Para designar el límite S. PROPIEDADES i.- Linealidad, =, ii.- Homogeneidad,, =,,., iii.- Monotonia. Si,, entonces =., TEOREMA DE FUBINI,, Sea f una función continua sobre un dominio rectangular =,,. Entonces, =, INTEGRAL DOBLE SOBRE REGIONES ELEMENTALES. Def. Si D es una región elemental en el plano, elijamos un rectángulo R que contenga a D. Dada una función continua y, por tanto, acotada : definimos,, la integral de f sobre el conjunto D, como sigue: extendemos f a una función definida sobre R como,, = 0,,

13 Nótese que es acotada ya que f lo es y continua excepto posiblemente en la frontera de D. La frontera de D está formada por graficas de funciones continuas, de modo que es integrable sobre R:, REDUCCION DE LAS INTEGRALES ITERADAS. =, Si D es una región y-simple, como se muestra en la figura, entonces, =, INTEGRAL ITERADA PARA REGIONES X-SIMPLES. X Supongamos que D es el conjunto de los puntos x,y tales que, y 12. Si f es continua en D, entonces, CAMBIO DEL ORDEN DE INTEGRACION., Supongamos que D es una región simple es decir, x-simples, y-simple. Entonces, se puede expresar como el conjunto de los puntos x,y tales que Y también como el conjunto de los puntos x,y tales que Por consiguiente tenemos las formulas,,,

14 TEOREMA DE VALOR MEDIO PARA INTEGRALES DOBLES. Supongamos que : es continua y D es una región elemental. Entonces para algún punto, en D se tiene Donde AD denota el area de D. CAMBIO DE VARIABLES. Determinantes jacobianos.,, Definicion: Sea : una transformación de clase dada por, y,. El determinante jacobiano de T que se escribe, es el determinante de, la matriz derivada de T,,, CAMBIO DE VARIABLE. Sean D y regiones elementales del plano y sea : de clase, supóngase que T es inyectiva. Además, supóngase que. Entonces para cualquier función integrable,,,,,, Algunos cambios de variable. Coordenadas Polares Sea = cos = sin se tiene que: jacobiano, por lo cual,,, sin

15 TEOREMA DE GREEN. Teorema: Sea D una región simple y sea C su frontera. Supongamos que : y : son clase. Entonces. = NOTA. La orientación correcta para la curva frontera de D se puede recordar usando el siguiente truco, si caminamos alrededor de la curva C, la región D debe estar a nuestra izquierda. INTEGRALES TRIPLES. Definición. Sea f una función acotada de tres variables definidas en B. Si lim = existe y es independiente de la elección de, decimos que f es integrable y llamamos a S su integral triple de f en B y la denotamos por ó,, ó,, Integrales triple mediante integración iterada. Supongamos que W es una región elemental en la que z se mueve entre dos funciones de x e y. entonces,,, =,,, FORMULA DEL CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES TRIPLES. Definición. Sea : una función definida por las ecuaciones =,, ; =,, ; =,,. Entonces el jacobiano de T que se denota por,,,, =

16 COORDENADAS CILINDRICAS. Sea: = cos sin el jacobiano será.,, COORDENADAS ESFERICAS. cos,sin, Sea sincos sincos cos Jacobiano será sin,, sincos,sincos,cos sin