X X 1. MECÁNICA GENERAL 1.4. FUNDAMENTOS DE ANÁLISIS TENSORIAL Introducción

Transcripción

1 Fndmentos y eoís Físcs ES Aqtect. MECÁNCA GENERAL.4. FUNDAMENOS DE ANÁLSS ENSORAL.4.. ntodccón L myoí de ls mgntdes físcs y elcones mtemátcs ente ls msms qedn pefectmente defnds tbjndo con escles y ectoes. Ests mgntdes físcs exsten ndependentemente de clqe sstem de efeenc tempet, fezs... No obstnte, p epesentls escogemos n sstem de efeenc y ls especfcmos po ss componentes. Ls componentes qe especfcn dchs mgntdes dependen del sstem de efeenc escogdo y po tnto, es esencl conoce l ley de tnsfomcón qe nos pemt encont l elcón ente ls componentes de dch popedd físc en dstntos sstems de efeenc..4.. nsfomcón de coodends Cndo n popedd físc está epesentd po n escl, el lo de ést no depende del sstem de ejes coodendos tlzdo. Cndo n popedd físc es de cácte ectol, s módlo no depende de l oentcón escogd p los ejes coodends, peo sí ss componentes según estos ejes. Vmos encont l elcón ente ls componentes de l popedd físc expesd en n sstem de efeenc otogonl OXYZ y n sstem de efeenc otogonl OXYZ otdo especto l pmeo: Z Z Y Y X X OXYZ y,,, Sen, y y los ectoes ntos qe defnen ls deccones del sstem de efeenc los qe defnen ls deccones del sstem de efeenc OXYZ. Sen ls componentes del ecto en el sstem de efeenc OXYZ y,, ss componentes en el sstem OXYZ. o tnto, podemos escb:

2 Fndmentos y eoís Físcs ES Aqtect meo encontemos l elcón ente los ectoes ntos qe defnen no y oto sstem de efeenc. Los ectoes ntos, y se peden escb como combncón lnel de los ectoes ntos, y del sstem OXYZ: donde el segndo índce de los coefcentes ndc de qe ecto nto del sstem OXYZ se tt y el pmeo ndc l componente ctesn. dedc el lo de los coefcentes bst mltplc esclmente ls expesones nteoes po cd no de los ectoes ntos del sstem OXYZ:... Y en genel podemos escb p sgente expesón p dedc los loes de los coefcentes : cos, j j j donde el podcto j epesent l poyeccón del ecto nto sobe l deccón dd po el ecto nto j. Como todos ellos son ectoes ntos, cd n de estos coefcentes no es más qe el coseno del ánglo qe fomn los dos ectoes ntos. A los cosenos de los ánglos qe fom n ecto con los ejes ctesnos del sstem de efeenc en el qe se escben ss componentes se les denomnn cosenos dectoes. En el cso ptcl de n ecto nto, ss componentes coesponden ss cosenos dectoes. S tommos l expesón del ecto esct l nco de l demostcón y mltplcmos mbos membos de l gldd po obtenemos: De gl mne mltplcndo po y obtenemos: Expesones qe escts de fom mtcl dn lg :

3 Fndmentos y eoís Físcs ES Aqtect R donde R es l mtz de otcón cys componentes son los cosenos dectoes..4.. Defncón de tenso y leyes de tnsfomcón L sgente pegnt qe debemos hcenos es s con escles y ectoes es sfcente p descb tods ls mgntdes físcs y ls elcones qe exsten ente ells. L espest es negt, y qe exsten mgntdes físcs p ls qe el cácte escl o ectol es demsdo estngdo, y qe enen defnds po n myo númeo de componentes. Vemos nos ejemplos qe nttmente nos pemtn obse l necesdd de ope con mgntdes más complejs: - En n medo sótopo y elástco exste n elcón lnel ente esfezo y defomcón, F KX sendo K n escl. Qé scede s el medo es nsótopo? F yx seán de dfeente deccón y po ello hbá qe eemplz el escl K po n opedo mtemátco más genel cpz de modfc el módlo y sentdo de X. - El msmo poblem se plnte cndo se estd l otcón de n cepo especto n eje. S el cepo es n nllo delgdo qe g con elocdd ω especto n eje noml, se tene qe el momento ngl L ω, sendo n escl. S l fom del cepo es bt, no pede se escl, pes L y ω no tenen l msm deccón. o tnto de mne genel, podemos llm tenso n entdd mtemátc qe nos pemte descb ls mgntdes físcs y ls elcones qe exsten ente ells. Un tenso exste ndependentemente de clqe sstem de efeenc, no obstnte, p tbj más fáclmente con ellos peden se especfcdos po ss componentes especto n sstem de efeenc. El númeo de componentes o númeos qe se eqeen p epesent n tenso en n sstem de efeenc son n m, sendo n l dmensón del espco en el qe se tbj y m el oden del tenso. En este sentdo, dependendo de l complejdd de l mgntd físc necestemos más o menos componentes lo qe fjá el oden del tenso qe l epesente. Además de ss componentes, n popedd fndmentl qe se p descb n tenso es l ley de tnsfomcón de ss componentes, como y hemos sto p el cso de ectoes. Cndo se tt de tnsfomcones ente sstem de coodends geneles o btos, los tensoes defndos se conoce como tensoes geneles. Cndo ls tnsfomcones se elzn ente sstems de ejes ctesnos otdos ente sí, los tensoes qe nteenen son los tensoes ctesnos. Gn pte de l Mecánc se pede desoll en témnos de tensoes ctesnos, po lo qe s no se especfc lo conto tlz el témno tenso eqle consde n tenso ctesno. Como hemos delntdo, los tensoes se peden clsfc po s oden. En n espco tdmensonl qe es donde mos tbj, n tenso de oden m tendá m componentes. Los tensoes con los qe mos tbj nomlmente n se los sgentes:

4 Fndmentos y eoís Físcs ES Aqtect - enso de oden ceo:, qed especfcdo en clqe sstem de efeenc po n componente. o tnto, n escl es n ejemplo de tenso de ngo más smple. El lo de l componente qe lo epesent no depende del sstem de coodends tlzdo. - enso de oden no:, qed especfcdo po tes componentes en el espco físco tdmensonl y se conoce comúnmente como ectoes. S módlo no depende del oentcón escogd p los ejes coodendos po sí ss componentes según estos ejes. L ley de tnsfomcón p los tensoes de oden no es l st nteomente p ectoes: sendo R l mtz de cosenos dectoes. R - enso de oden dos: 9, qed especfcdo po nee componentes, es dec, n mtz. L ley de tnsfomcón de n tenso de segndo oden es l msm qe l de n mtz fente n otcón: R R R R t sendo R l mtz de los cosenos dectoes dedcd p l tnsfomcón de ectoes o tensoes de oden no. Aho y de mne genel podemos hbl de cmpos tensoles en los qe cd pnto del espco se le soc n tenso. Un cmpo escl es n cmpo tensol de oden ceo, n cmpo ectol es n cmpo tensol de pme oden y n cmpo tensol de oden dos soc n mtz cd pnto del espco pos de tensoes de segndo oden Algnos tpos de tensoes de segndo oden son los sgentes: - enso smétco: n tenso smétco es qel p el cl j j. Dchos tensoes tenen ses componentes ndependentes. - enso ntsmétco: n tenso ntsmétco es qel p el cl j j, po lo qe. Dchos tensoes qedn detemndos po tes coodends ndependentes. - enso dgonl: es n tenso cys úncs componentes no nls son ls de l dgonl pncpl. S tods ls componentes del tenso dgonl son gles, el tenso se denomn esféco. - enso ndd: es n tenso dgonl esféco cys componentes son gles l ndd. 4

5 Fndmentos y eoís Físcs ES Aqtect.4.5. Deccones pncples de n tenso de segndo oden Se denomnn ejes pncples de n tenso l sstem de ejes coodendos en el cl el tenso tene fom dgonl. Se denomnn ectoes pncples o toectoes los ectoes qe defnen ls deccones pncples. n toecto se cmple: es dec, cndo n ecto de plc sobe el ecto especto l qe se epesentn y λ le denomn tolo, lo popo o lo pncpl. está dgdo según n de ls deccones pncples, el ecto esltnte es popoconl l msmo, con ndependenc del sstem de efeenc peo con mbos expesdos especto del msmo sstem. A λ se Ls opecones con tensoes ctesnos de segndo oden son gles ls elzds con ls mtces socds. El cálclo de los loes popos y deccones pncples de n tenso se dentfc con los de l coespondente mtz. o tnto, s l eccón nteo l escbmos de l sgente mne: donde epesent l mtz dentdd. Al se de se ceo: n ecto no nlo, debe cmplse qe el detemnnte El poblem se edce l conocdo poblem de dgonlzcón de n mtz: Los loes popos o toloes λ, λ, λ son ls íces de l eccón esltnte del desollo del sgente detemnnte: L mtz dgonl qe epesent el tenso : λ λ λ 5

6 Fndmentos y eoís Físcs ES Aqtect Ls componentes, b, c de los tes ectoes,, qe fomn los ejes del neo sstem coodendo otogonl, llmdos ejes pncples, se clcln ssttyendo los loes de los tes toloes en el sgente sstem: λ b c λ b c Algnos tensoes de segndo oden qe nos n pece en Mecánc son, el tenso de tensones, el tenso de defomcones... y smplfcá enomemente el poblem pode edclos n mtz dgonl. El desollo del detemnnte consttye n polnomo de oden tes, denomndo polnomo ccteístco qe gldo ceo nos pemte clcl los tes loes popos del tenso λ, λ y λ. El desollo del polnomo ccteístco pede escbse de l sgente mne: det λ λ λ det Los tes coefcentes del polnomo son los denomndos nntes del tenso, esto es s loes es ndependente del sstem de efeenc escogdo p epesent ls componentes del tenso: z del tenso o nnte Lnel nnte Cdátco det nnte Cúbco.4.6. opeddes de los tensoes smétcos de segndo oden L myo pte de los tensoes de segndo oden qe descben popeddes físcs son smétcos. Los tensoes smétcos de segndo oden tenen n see de popeddes my mpotntes. Ests son: - Exste sempe n sstem de ejes en el cl el tenso tom l fom dgonl y los tes toloes son eles. - Como los nntes no dependen del sstem de coodends, en el cso de qe exstn tes toloes eles podemos expes los nntes tmbén en el sstem de ejes pncples de l sgente mne: λ λ λ λ λ λλ λλ λλλ 6