Tercera Parte: Producto Vectorial y Producto Mixto entre vectores

Transcripción

1 Tercera Parte: Prodcto Vectorial Prodcto Mito entre ectores Introdcción Retomemos el caso los dos pintores: Carlos Jan. Finaliada la tarea de moer el escritorio, el arqitecto qe coordina la obra, indica a los pintores sacar de la pared na llae de gas ieja qe esta en desso. Para etraerla, los pintores, necesitan na llae de fera por lo qe el esfero no terminó. En la caja de herramientas de Carlos ha llaes de distinto tamaño longitd por lo qe toman na al aar Jan comiena a trabajar, despés de nmerables intentos la terca de la llae de gas no se mee por lo qe decide elegir na llae más larga e intentando neamente comiena a moerse. Como el moimiento es m lento pes la terca esta oidada, Jan le pide ada a Carlos, entre los dos logran moerla mas rápidamente hasta sacarla. Si imaginamos la sitación, notaremos qe el sentido en el qe aana la terca es perpendiclar a la llae qe se emplea a la fera aplicada, además intitiamente podemos conclir qe canto maor es la distancia entre la fera aplicada el pnto de apoo (san na llae más larga) canto maor es la intensidad de la fera aplicada más fácil es moer la terca por lo qe tenemos en jego tres ectores, a saber: el ector qe caracteria a la distancia del pnto de apoo a la fera, la fera qe se aplica n ector perpendiclar a ambos qe describe el moimiento de la terca. Llegados a este pnto, la pregnta oportna es: eistirá algún modelo matemático qe describa la sitación?. Es decir eistirá algna operación entre ectores qe de cómo resltado otro ector qe sea perpendiclar a estos?. La respesta es si, el modelo matemático es la operación entre ectores llamada prodcto ectorial, ésta operación qe permite obtener al ector qe caracteria el moimiento de la terca, es llamado ector momento se escribe de la sigiente forma: m = F d. En esta sección del módlo, estdiaremos dos prodctos entre ectores, el prodcto ectorial entre ectores, el prodcto qe se define a partir del prodcto escalar del prodcto ectorial qe se denomina: prodcto mito. 1

2 Propósitos Será mestra intención qe cando finalice la lectra de la tercera sección de la nidad peda dar respesta a las sigientes pregntas: Cáles son las características del ector qe se obtiene al efectar el prodcto ectorial entre ectores? Cál es la epresión de cálclo del prodcto ectorial entre ectores? Qé propiedades cmple el prodcto ectorial entre ectores? Qé interpretación geométrica admite la norma del prodcto ectorial entre ectores? Qé operaciones en qé orden deben efectarse para calclar n prodcto mito entre ectores? Cál es la epresión de cálclo del prodcto mito entre ectores? Cómo se establece si tres ectores del espacio tridimensional son coplanares? Qé interpretación geométrica admite el alor absolto del prodcto mito entre ectores? A medida qe aance en la lectra, recerde estas pregntas a qe ellas son la gía de s estdio.

3 Prodcto ectorial entre ectores El prodcto ectorial entre dos ectores: de R 3, distintos del ector nlo, da por resltado n ector con las sigientes características: La dirección del ector = es perpendiclar a la dirección del ector a la dirección del ector. Por lo tanto, = es perpendiclar al plano qe determinan. El sentido del ector = se pede determinar mediante la regla de la mano derecha. Sea θ el ánglo entre, si sponemos qe los dedos de la mano derecha se meen sigiendo el giro del ector según el ánglo θ hasta coincidir con el ector, entonces el plgar de la mano derecha indicará el sentido del ector: = La norma del ector = es: = =..sen θ (siendo θ el ánglo entre ) = D θ Teniendo en centa la definición de prodcto ectorial, peden dedcirse el prodcto ectorial entre los ersores canónicos: i i = 0 j j = 0 k k = 0 i j = k i k = j j i = k k i = j i k j j k = i k j = i Comprobar los resltados anteriores sando el concepto de norma del prodcto ectorial aplicando la regla de la mano derecha. 3

4 Propiedades del prodcto ectorial entre ectores Sean, tres ectores de R 3 sea α R, entonces: 1. El prodcto ectorial es anticonmtatio: = ( ). El prodcto ectorial de ectores paralelos es el ector nlo: Si // = 0 3. Consecencia propiedad (): = 0 4. Si no de los ectores del prodcto ectorial es el ector nlo entonces el prodcto ectorial es el ector nlo: 0 = 0 = 0 5. El prodcto ectorial es distribtio respecto de la sma de ectores (a derecha a iqierda) teniendo en centa la anticonmtatiidad de la operación: ( + ) = + ( + ) = + 6. Etracción de n escalar del prodcto ectorial: (α) = (α) = α ( ) Ejemplo Aplicando propiedades del prodcto ectorial redcir a na mínima epresión: ( + ) + ( + ) Obseremos qe en la epresión dada es posible aplicar la propiedad distribtia del prodcto ectorial respecto de la sma, entonces: ( + ) + ( + ) = En ésta epresión tenemos qe: = 0 = 0, por lo tanto: ( + ) + ( + ) = = + Lego, sabemos qe el prodcto ectorial es anticonmtatio, es decir: = ( ) Entonces: ( + ) + ( + ) = ( ) + como estos ectores son opesto, reslta qe: ( + ) + ( + ) = 0 Ejercicio 1. Comprobar qe las sigientes igaldades son erdaderas. a) ( + ) + ( ) = b) (α + β) + (β + α ) = 0 4

5 Fórmla del prodcto ectorial entre ectores en fnción de ss componentes Sean los ectores: = i + j + k = i + j + k Entonces, para calclar el prodcto ectorial entre los ectores de R 3 en fnción de ss componentes se tilia la fnción de determinante 1. Primero se arma n determinante de tercer orden se lo desarrolla en tres determinantes de orden dos, tal como se mestra a continación: i j k = = = i j + k D Lego, al desarrollar cada determinante de orden dos, obtendremos las componentes del ector qe reslta del prodcto ectorial, esto es: = = ( ) i ( ) j + ( ) k D Ejemplos: Efectar el prodcto ectorial entre los ectores: = i + 3 j + 4 k = 5 i + 6 j + 7 k i j k 3 4 = = 3 4 = i j k 5 6 = ( ) i (.7 4.5) j + (.6 3.5) k = = 3i + 6j 3k Efectar el prodcto ectorial entre los ectores: = (1;0;3) = (;3;9) i j k = = = ; ; = = ( 9 ; 3 ; 3) 1 En otra nidad nidad temática estdiaremos la fnción determinante ss propiedades, en este momento sólo nos interesan los determinantes como método de cálclo. 5

6 Demostración Sean los ectores: = i + j + k = i + j + k Entonces: = ( i + j + k) ( i + j + k) = Aplicamos la propiedad distribtia del prodcto ectorial respecto de la sma de ectores además aplicamos la propiedad de etracción de factores del prodcto ectorial, resltando: = ( ) (i i) + ( ) (i j) + ( ) (i k) + = 0 = k = j + ( ) (j i) + ( ) (j j) + ( ) (j k) + = k = 0 = i + ( ) (k i) + ( ) (k j) + ( ) (k k) = = j = i = 0 Obseremos qe tres de los términos son igales al ector nlo los restantes se agrpan de a dos, pes dan por resltado n ersor canónico o s opesto, entonces agrpando tendremos el ector resltado del prodcto ectorial entre los ectores : = ( ) i + ( ) j + ( ) k (I) La epresión (I) es el resltado del prodcto ectorial entre dos ectores, pero si en ella reemplaamos al segndo término por s opesto, ésta epresión coincidirá con el desarrollo según la Regla de Laplace de n determinante de orden tres, por esto se tiene qe: ( ) i ( ) j + ( ) k = = i j + k = i j k = = qdlp.# 6

7 Ejercicios. Sean: = ( 1;; 1), = (0;3; 1) = (4; 8 ;4). Efectar las sigientes operaciones: a) b) c) () d) () e) f) ( ) g) h) 3. Considerando qe: = (3a;0;4a) donde a R {0} determinar el resltado de las sigientes operaciones. a) ( ) b) c) (5) () d) ( ) i 4. En cada caso encontrar ectores qe satisfagan las sigientes condiciones: a) Tenga norma sea perpendiclar al ector = ( ; ; 0) = ( 3 ; 0 ; 3) b) Tenga norma 1 sea perpendiclar al ector ( a ; a ; 1) al ector = al eje (siendo a n número real positio) 5. Si θ es el ánglo entre los ectores: siendo 0 demestre qe: tg θ = ( ) Interpretación geométrica de la norma del prodcto ectorial Sean los ectores: = i + j + k = i + j + k no paralelos Si consideramos los ectores con n origen común, ellos determinan dos de los lados no paralelos de n paralelogramo co área es la norma del prodcto ectorial. Es decir: Área Paralelogramo = O D 7

8 Demostración: Sean los ectores considerados con origen común en el pnto O. Estos ectores permiten definir al paralelogramo OABC, co área es: A B Área OABC = Long Base. Long Altra = OC. h Obseremos qe: Long Base = OC = qe: Long Altra = h =.sen θ O θ h C En consecencia: Área OABC =..sen θ (II) Claramente, la epresión (II) eqiale a la norma del prodcto ectorial entre los ectores por lo tanto: Área Paralelogramo = qdlp.# Ejemplo: Determinar el área del paralelogramo qe determinan los ectores: = ( 4,0;5) = ( 4,3;0) El área del paralelogramo es el alor de la norma del prodcto ectorial entre los ectores, entonces, primero calclamos el prodcto ectorial: i j k = = ( 15; 0; 1) Lego: Área Paralelogramo = = ( 15; 0; 1) = 769 Ejercicios 6. Utiliando la norma del prodcto ectorial entre ectores, obtener el alor de la sperficie total de los sigientes las cerpos. 3a Cbo de arista: 8 cm a 45º 4a con a > 0 8

9 Prodcto mito entre ectores El prodcto mito entre tres ectores:, de R 3 es el número real qe se obtiene de efectar primero n prodcto ectorial lego n prodcto escalar. En símbolos: Prodcto mito (,,) = ( ) Ejemplo: Sean los ectores: = (4,1;1), = (,3;0) = (5,0;). Obtener: ( ) D Para obtener el resltado del prodcto mito, resolemos primero el prodcto ectorial lego el prodcto escalar, entonces: i j k = 3 0 = (6; 4; 15) ( ) = (4;1;1) (6; 4; 15) = Fórmla del prodcto mito entre ectores en fnción de ss componentes Una manera para calclar el prodcto mito: ( ) entre tres ectores de R 3 es tal como se mestra en el ejemplo preio: efectando el prodcto ectorial lego el prodcto escalar. Sin embargo eiste otro procedimiento eqialente al anterior qe se correponde con calclar el determinante de orden tres qe se arma a partir de las componentes de los ectores, como se mestra a continación: ( ) = = + D Demostración: Sean los ectores = i + j + k, = i + j + k = i + j + k Entonces: ( ) = ( i + j + k) i j k = = ( i + j + k) i j + k = 9

10 (III) = + La epresión (III) es el resltado del prodcto mito entre dos ectores, pero este cálclo coincide con el desarrollo según la Regla de Laplace de n determinante de orden tres, por esto se tiene qe: ( ) = qdlp.# Ejemplo: Sean los ectores: = (0,1;1), = (0,3;0) = (5,0;). Calclamos: ( ) = = = 15 ( ) = = = 15 Para el lector dejamos el cálclo de los prodctos mitos: ( ) ( ) Qé conclsión pede etraer? Propiedades del prodcto mito entre ectores Sean, ectores de R 3. Entonces: 1. El prodcto mito de los ectores, es cíclico.. Si los ectores, considerados con n origen común son coplanares entonces el prodcto mito es nlo. 3. Consecencia propiedad (): Los ectores, son linealmente dependientes si sólo si el prodcto mito es nlo. Los ectores, son linealmente independientes si sólo si el prodcto mito no es nlo. 10

11 Ejercicios: 7. Calclar: a) i (j k) b) i (k j) c) k (i j) d) k (j i) e) j (i k) f) j (k i) Los resltados qe obto están relacionados con algna de las propiedades del prodcto mito? 8. Determinar el alor de a R para qe los ectores: = (0,1;1), = (a,3;0) = (a,a;1) sean coplanares. Qé propiedad del prodcto mito permite resoler este ejercicio? 9. Analiar si los sigientes conjntos de ectores del espacio ectorial R 3 son linealmente independientes o dependientes: a) A = {( 1 ;;3); ( 4;5; );( 10;14;10) } b) B = {( 1;; 3) ;( ;3; 4)( ; 9;1;0 )} Qé propiedad del prodcto mito permite resoler este ejercicio? Interpretación geométrica del alor absolto del prodcto mito entre ectores Los ectores, no coplanares de R 3 permiten definir al considerarse con n origen común n paralelepípedo, co olmen es el alor absolto del prodcto mito entre,. Es decir: Volmen Paralelepípedo = ( ) O D 11

12 Demostración: De la geometría sabemos qe el olmen de n paralelepípedo es: Volmen del paralelepípedo = Sperficie de la Base. Longitd de la Altra En este caso la base del paralelepípedo es n paralelogramo determinado por los ectores:, entonces a raí de la interpretación de la norma del prodcto ectorial tenemos qe: Sperficie de la Base = (IV) h O En la figra se obsera qe: Longitd de la Altra = Long Pro Esc () = ( ) (V) Por lo tanto de (IV) (V) se tiene qe: Volmen del paralelepípedo =. ( ) Simplificando, reslta qe: Volmen del paralelepípedo = ( ) qdlp.# Ejemplo: Hallar el olmen del paralelepípedo qe determinan los ectores: = (1,;3), = ( 3;1;4) = (1;;1) Volmen del paralelepípedo = ( ) = = 14 =

13 Ejercicios: 10. Encontrar el alor de a R para qe los ectores: = (1; 1;3), = (;a;1) = (3; ;5) determinen n paralelepípedo de 7 nidades cúbicas de olmen. 11. Aplicando el prodcto mito entre ectores determinar el olmen de los sigientes cerpos: A (0;0;7) L 6 C(1;0;0) D(;;0) B(0;1;0) L 8 9 Figra 1 Figra 1. Hallar el ersor a coplanar con los ectores: = (;1;0) = (0;;), si además: a = Para realiar el prodcto ectorial entre ectores se emplea el comando: i j k Det Ejemplo: Calclar el prodcto ectorial entre los ectores: = (;3;5) = (5; 7;0) DetAi 0 ki j k 3 5 { E 5-7 Softare Mathematica 35 i + 5 j - 9 k 13

14 Para efectar el prodcto mito se tilia el mismo operador qe en el caso del prodcto ectorial, pero se sstite la fila de ersores canónicos por las componentes del ector qe opera en el prodcto escalar. Ejemplo: Calclar el prodcto mito entre los ectores: = (;3;5), = (5; 7;0) = ( ; 4;1) DetAi 1 k { E Atoealación: Prodctos entre ectores 1. Sea el ector = ( ; ; ) R 3 los ectores = ( ;4;1) = (3; ;5) R 3 a) Qé relación deben satisfacer las componentes del ector para ser coplanar con los ectores? b) Qé relación deben satisfacer las componentes del ector para no ser coplanar con los ectores? c) Qé relación deben satisfacer las componentes del ector para qe el conjnto de ectores {;;} sea linealmente independiente? d) Qé relación deben satisfacer las componentes del ector para qe el conjnto de ectores {;;} sea linealmente dependiente?. Sean los ectores = (a;4;1) = (a;1;1) R 3. Obtener el ó los alores de a R para qe los ectores determinen n paralelogramo de área Resela de dos manera diferentes el sigiente ejercicio. Sean los ectores = (a+1;1;4) = (b+;;8) R 3. Determine el ó los alores de a b, números reales, para qe los ectores sean paralelos. 4. Sean los pntos A(3;1;1), B(1;4;1), C( ;1;1) D(0;1;6). Obtener: a) El área del triánglo ABC b) El olmen del paralelepípedo qe determinan los ectores AD, AC AB 14

15 5. Analiar si las sigientes afirmaciones son erdaderas o falsas. En caso de ser erdadera, demostrar en caso de ser falsa, ofrecer n contraejemplo adecado. a) Si = 0 entonces ( ) = 0 b) ( + ) ( ) = ( ) c) ( α + β) + (β α ) = 0 d) ( ) = ( ) 15

16 Actiidades Adicionales 1. Hallar n ector paralelo al plano coordenado () de norma qe sea perpendiclar al ector a = (1;; 4). Obtener los ectores de módlo 5 ca proección ortogonal sobre el ector 8 4 es el ector = ; 5 5 = ( ;1) 3. Sean a =( 3; 1;5) b =( ;; 3) sabiendo qe: a c = 9 b c = 4 4. Sean =( ;4;0) = ( ;1; 1) 1, hallar n ector c tal qe sea perpendiclar al eje 3, obtener las componentes de los ectores 1 sabiendo qe: 1 es paralelo al ector, es perpendiclar al ector qe = En la figra se obsera n cbo de 4 nidades de arista, el ector a es na de ss diagonales el ector b es na de las diagonales de la base. Obtener: a) La longitd de los ectores a b b) La medida del ánglo entre los ectores a b c) La componente del ector a ortogonal a la dirección del ector b d) Usando operaciones entre ectores, la sperficie total del cbo e) Usando operaciones entre ectores, el olmen del cbo a b 6. Siendo = (a;a;0) = ( a;0;a), calclar: a) b) c) a R tal qe el módlo del ector sea 4 d) a R tal qe el módlo del 1 ector + sea 3 7. Sean = ( 1;3) P(; 5). Hallar las coordenadas del pnto Q sabiendo qe: = PQ. 16

17 8. El segmento AB es determinado por los pntos A( ;3) B(3; ), hallar el ector OP sabiendo qe el pnto P(;) diide al segmento AB en la proporción 5. Qé componentes tendrá el ector OP si el pnto P(;) diide al segmento AB en la proporción 4 3? 9. Si B es el pnto medio del segmento determinado por los pntos P(1;0; 3) Q( ;3;3), hallar las coordenadas del pnto A para qe el ector AB sea paralelo al ector = ( 1;3; ). Es única la solción? 10. Sean P( 3;1;7) Q(8;1;7). Hallar n ector nitario con sentido opesto al ector PQ. 11. Sean P(; 3;4; 5) Q(1; 1,1; 1) pntos del espacio ectorial R 4. Obtener las componentes de los ectores: PQ MQ siendo M el pnto qe esta sitado a n tercio del camino de P a Q. 1. Hallar las componentes de los ectores qe se definen en cada caso: a) 5 R tal qe: n n = 10 b) R tal qe: 1 = 3, = 1 +, 3 = +,..., 10 = c) s R tal qe: s n = sma de los n primeros números natrales. 13. Dados = 3 =, sabiendo qe el ánglo qe determinan es de 10º. Hallar las normas de los ectores: 1 = + =, s prodcto escalar el ánglo qe determinan. 14. Sean, son tres ectores de R 3 de los cales sabe qe: =, = 3, = 4 qe: + + = 0. Hallar los ánglos: α entre, β entre, θ entre. 17

18 Respestas de las actiidades 1. Utilice las propiedades del prodcto ectorial entre ectores.... a) (1; 1; 3) b)( 1;1;3) c)(; ; 6) d)(; ; 6) e) 0 f)( 8; 16; 4) g) 11 h) a) ( 3a;0; 4a) b) ( 3a;0; 4a) c) 10(3a;0;4a) d) (0;4a;0) 4. a) 1 a (i j k) b) 36 0 ; ; a 1+ a 5. Utilice la definición de prodcto escalar la definición de la norma del prodcto ectorial a) 768 b) ( ) 7. a)1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 f)1 8. a = 0 ó a = 4 9. a) ld b) li 10. a = 5 ó a = Figra 1: Volmen tetraedro = 6 1 Volmen paralelepípedo Entonces: Volmen tetraedro = 6 1 a CA ( CB CD) = Figra : Se consideran los pntos: A(0;0;6), B(8;0,0), C(0;9;6) D(8;0;1), en consecencia el Volmen del Paralelepípedo es: AC ( AB AD) = ; ; ó 1 ; ; Respestas de la atoealación Jnto a s grpo de estdio debe entregar al docente la resolción de las actiidades de la atoealación para s corrección... 18

19 Respestas de las actiidades adicionales ; ; ó 0 ; ; (1;) ó ; (; 3;0) = (;4;0) = ; ; a) b) Arccos 3 c) (0;0;4) d) 96 e) a) 5 a b) 53 a c) a = ± d) 7. Q(1;8) a = ± 8. Se demestra qe si P diide al segmento AB en la proporción β α entonces: β α OP = OA + OB, entonces para la proporción :5, OP = 4 11 ; α + β α + β proporción 3:4 el ector es: OP = ; para la Eisten infinitos pntos qe erifican el ennciado: A= ; ; R 10. = ( 1;0;0 ) 4 8 PQ MQ = ; ; ; = ( 1;; 3;4) 1. a) (;4;8;16;3) b)(3;5;7;9;11;13;15;17;19;1) c) (1,3;6;10;15;1;8;36) 13. = 13, = 5, = 1 θ Los ánglos pedidos (ó de manera eqialente, ss cosenos) serán conocidos cando se sepa cánto alen los prodctos escalares:,. Para hallarlos al mltiplicar escalarmente miembro a miembro la igaldad: + + = 0 por, por respectiamente, se obtendrá n sistema de tres ecaciones con tres incógnitas qe 19

20 permitirá dedcir qe: = 3, = 1 = 11, a partir de estos datos es sencillo determinar el alor de los ánglos pedidos... Bibliografía Anton, H. Introdcción al Álgebra lineal.º Edición. Limsa. Méico, 000. Nakos, G. Joner, D. Álgebra lineal con aplicaciones. Thomson editores. Méico, La, D. Álgebra lineal ss aplicaciones. º Edición. Addison Wesle Longman. Méico,