Unidad 11 Geometría analítica

Transcripción

1 Unidad 11 Geometría analítica PÁGINA 190 SOLUCIONES Representa gráficamente puntos en el plano. Calcular razones trigonométricas. Calcula las siguientes razones trigonométricas utilizando la calculadora. a) b) c) Determina un ángulo que verifique. a) b) c) 520

2 PÁGINA 192 SOLUCIONES

3 PÁGINA 193 SOLUCIONES 3. a) b) c) d) e) f) g) h) 522

4 4. 523

5 PÁGINA 194 SOLUCIONES 5. a) b) c) d) 524

6 PÁGINA 195 SOLUCIONES 6. a) son paralelos b) no son paralelos 7. Basta con multiplicar cada vector con un escalar, por ejemplo, el 2: a) b) c) 8. a) No están alineados, no es paralelo a b) Sí están alineados, 9. Para que sea un paralelogramo deben ser paralelos dos a dos. a) 525

7 PÁGINA 196 SOLUCIONES 10. a) b) 11. Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es nulo: a) Son perpendiculares b) No son perpendiculares 12. Utilizamos el producto escalar, que debe ser nulo para que ambos vectores sean perpendiculares: a) son perpendiculares b) son perpendiculares c) son perpendiculares 13. De la definición de producto escalar: a) b) 526

8 PÁGINA 197 SOLUCIONES 14. La ecuación vectorial es de la forma Q Pku. En nuestro caso: ( x, y) (2,5) k(2, 5) Si k 0 ( x, y) (2,5) Si k 1 ( x, y) (4,0) Si k 1 ( x, y) (0,10) 15. La ecuación paramétrica es de la forma x12k En nuestro caso: y 2 3k Si k 0 ( x, y) ( 1,2) Si k 1 ( x, y) ( 3,5) Si k 1 ( x, y) (1, 1) x aku y b ku

9 PÁGINA 198 SOLUCIONES 16. x3 y2 Ecuación continua: 2 1 Si x1y 0 ( 1,0) Si x1 y 1 (1, 1) 1 1 Si x0 y (0, ) 17. El vector director es: ( 2,3) Si x1 y 2 (1, 2) Si x1y 1 ( 1,1) Si x3 y 5 (3, 5) 18. Ecuación punto pendiente: y m( xa) b y 2( x4) 1 Si x0 y 7 (0,7) Si x4 y 1 (4, 1) Si x3 y 1 (3,1) 19. Ecuación punto pendiente: y 2( x2) 3 528

10

11 PÁGINA 199 SOLUCIONES x2 y1 5x103y3 3 5 Ecuación general: 5x3y

12 PÁGINA 200 SOLUCIONES a) 1 1 r y s son rectas secantes b) 2 r y s son rectas coincidentes c) 3 2 r y s son rectas paralelas

13 PÁGINA 201 SOLUCIONES 25. Como r 3x2y1 0, entonces, su vector normal es u (3, 2). Como la recta que buscamos tiene que ser paralela a r, sus vectores normales coinciden, luego, u (3, 2). Por otra parte, tiene que pasar por el punto A ( 2,4), entonces: s3x2yc068c0c14 La recta que buscamos tiene como ecuación s 3x2y Como r 2xy40, entonces, su vector normal es u ( 2,1). Como la recta que buscamos tiene que ser perpendicular a r, su vector normal es perpendicular a u ( 2,1), es decir v (1, 2). Por otra parte, tiene que pasar por el punto A (4, 2), entonces: s x2yc044c0c0 La recta que buscamos tiene como ecuación s x2y El ángulo que forman las rectas es el que forman sus vectores directores, luego, calculemos su producto escalar. r x2y30 u (1,2). u v u v cos, donde es el ángulo que buscamos. s3x y40 v (3,1). uv u cos cos 45º 2 v 10 Ambas rectas forman un ángulo de 45º. 532

14 PÁGINA 202 SOLUCIONES 28. La ecuación reducida de la circunferencia es ( x c ) ( yc ) r a) C (0,0); r 1; (0, 1), (0, 1), (1,0), ( 1,0) 11 1 b) C (2,1); r 3; ( 3 2, 1), (, 2), (,0), 2, c) C (0, 1); r 2; (0, 1), (0, 3), (2, 1), ( 2, 1) d) C ( 3, 2); r 5; ( 1, 1), ( 5, 1), ( 2,0), ( 4,0) 29. ( x1) ( y2) El radio de la circunferencia coincide con la distancia entre A y B, entonces: r d A B (, ) (5 2) (3 5) 73 ( x2) ( y5) El radio de la circunferencia coincide con la distancia entre A y B, entonces: r d A B (, ) (4 1) (3 5) 73 ( x1) ( y5)

15 PÁGINA 203 SOLUCIONES 32. ( x2) ( y3) 16 x 4x4 y 6y9 16 La ecuación general de la circunferencia es x y 4x 6y En general A2 c ; B2 c ; C c c r a) En nuestro caso: c 1, c 2, r 6, 1 2 luego C ( 1, 2) y r 6. b) En este caso: c 4, c 1, r 15, 1 2 luego C ( 4,1) y r a) ( 5) ( 2) x y x x y y La ecuación general de la circunferencia es x y x y y b) ( 1) 1 2 x y x y x y y La ecuación general de la circunferencia es En general A2 c ; B2 c ; C c c r a) En nuestro caso: c 3, c 2, r 4, 1 2 x y luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es: ( 3) ( 2) 16 b) En este caso: c 3, c 4, r 21, 1 2 luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es: ( x 3) ( y 4)

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17 SOLUCIONES Vectores. 36. Verde: Azul: Negro: Marrón: Naranja: Morado: Amarillo: Rosa: 37. a) Granate b) Rojo c) Azul d) Verde 536

18 38. a) Rojo b) Verde c) Azul d) Naranja 39. a) b) c) d) e) f) 40. a) b) c) 537

19 d) e) f) Vector de posición de un punto. 41. a) b) c) d) e) f) 42. a) b) c) d) e) f) 43. a) b) c) d) e) f) 44. a) b) c) d) 538

20 e) f) 45. PerímetrodAB (, ) db (, C) dc (, D) dd (, E) de (, F) df (, A) A( 5,1), B( 2, 2), C(1, 4), D(2, 2), E(4,1), F(1, 1) (, ) ( 2 5) (2 1) 10 3'16 cm d A B (, ) (1 2) (4 2) 13 3'61 cm db C (, ) (2 1) (2 4) 5 2'24 dc D cm (, ) (4 2) (1 2) 5 2'24 cm dd E (, ) (1 4) ( 1 1) 13 3'61 cm de F (, ) ( 5 1) (1 1) 40 6'32 cm df A Perímetro 21'17 cm. 539

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22 SOLUCIONES Vectores paralelos. 46. a) paralelos b) paralelos c) paralelos d) paralelos 47. a) b) c) d) 48. Los paralelogramos se caracterizan por tener lados paralelos dos a dos: y Llamamos a e imponemos las condiciones analíticas consecuentes: Obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución es: 49. Para que tres puntos estén alineados debe verificarse que a) No alineados b) Alineados c) Alineados d) Alineados 541

23 Producto escalar. Ángulo entre dos vectores. 50. a) b) c) d) e) 51. a) No perpendicular b) Perpendicular c) No perpendicular d) Perpendicular e) Perpendicular 52. Puesto que el producto escalar debe ser 0, bastea con permutar ambas coordenadas y alternar el signo de una de ellas: a) (-3,2) b) (-5,-2) c) (1,-4) d) (7,5) 53. uv u v cos, donde es el ángulo que buscamos. a) uv u cos 160º 33'35'8'' v

24 b) uv u cos 71º 33'54'18'' v 5 c) uv u cos 49º 23'55'34'' v 17 d) uv u cos 21º 48'5'07 '' v 29 e) uv u cos 180º v 5 Ecuaciones de la recta. 54. Dada la recta ( xy, ) (2, 1) k(2, 3) a) Si k 0 ( x, y) (2, 1) Si k 1 ( x, y) (4, 4) Si k 1 ( x, y) (0, 2) b) El vector director de la recta es u (2, 3) x 22k c) La ecuación paramétrica es de la forma y 13k 543

25 55. x 23k Dada la recta y 1 5k a) Si k 0 ( x, y) ( 2,1) Si k 1 ( x, y) (1, 4) Si k 1 ( x, y) ( 5,6) b) El vector director de la recta es u (3, 5) c) La ecuación vectorial es de la forma ( x, y) ( 2, 1) k(3, 5) x2 y1 d) La ecuación contínua es de la forma 3 5 e) El punto ( 3, 5) no pertenece a la recta porque no verifica su ecuación. 56. x k Dada la recta, su vector director es el u (1, 1), y pasa por el punto (0, 1), y 1 k x y1 luego, la ecuación contínua es de la forma x2 y1 Dada la recta r 3 1 a) ( xy, ) (1,0) ( xy, ) (4, 1) ( xy, ) ( 2,1) b) El vector director de la recta es u (3, 1) x23k c) Las ecuaciones paramétricas son de la forma y 1 k d) La ecuación vectorial es de la forma ( x, y) ( 2, 1) k(3, 1) e) El punto ( 1, 1) no pertenece a la recta porque no verifica su ecuación. 58. Dada la recta y 2x3 a) ( xy, ) (0,3) ( xy, ) (1,1) ( xy, ) ( 1,5) b) El vector director de la recta es u ( 1,2) 544

26 x y 3 c) La ecuación contínua de la recta es de la forma 1 2 d) El punto (2, 1) pertenece a la recta porque verifica su ecuación. 59. y x5 60. x 2 y Para escribir la ecuación continua necesito un punto y un vector. Conocemos el punto, y podemos calcular el vector AB BA(5, 6). x3 y1 Por lo tanto, la ecuación continua de la recta es: Para escribir la ecuación punto-pendiente necesito un punto y la pendiente, que podemos calcularla a través de las coordenadas del vector director. u2 AB BA( 4, 0) m 0 u La ecuación que buscamos es y Si el ángulo es de 30º, entonces, su pendiente coincide con la tangente de 30º, es decir 1 y xc Como pasa por el punto (5, 4), entonces: 4 5 c c Luego, la ecuación que buscamos es de la forma: y ( x1) Por lo tanto Para escribir las ecuaciones paramétricas necesitamos un punto y un vector. Conocemos el punto, y podemos calcular el vector AB BA( 9,9). 545

27 x 29k Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de la recta son: y 8 9k 546

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29 SOLUCIONES 65. a) b) c) d) 66. a) b) Un vector normal tiene los coeficientes de x e y en la forma general: c) Un vector director es perpendicular al normal, luego (ver ejercicio 36): (-1,3) 67. En primer lugar encontraremos la pendiente, luego la forma punto-pendiente y, finalmente, despejando, la forma general: a) b) c) d) 68. 3x2y x y

30 Posición relativa de dos rectas en el plano a) r y s son rectas paralelas b) r y s son rectas coincidentes c) r y s son rectas coincidentes d) 0 r y s son rectas secantes r x 3y2 s x3y r y s son rectas paralelas Buscar el punto de intersección entre ambas rectas se reduce a resolver el sistema formado por sus dos ecuaciones. r 2x1y1 a) (0,1) s2x3y3 r x2y b), s4xy Rectas paralelas y perpendiculares. Ángulo entre rectas. 73. Como r xy30, entonces, su vector normal es u ( 1,1). a) Buscamos una recta paralela a r, luego sus vectores normales coinciden, es decir, u ( 1,1). Por otra parte, tiene que pasar por el punto A ( 2,5), entonces: sx yc025c0c7 La recta que buscamos tiene como ecuación s xy70 549

31 b)buscamos una recta perpendicular a r, luego sus vectores normales también son perpendiculares, es decir, v (1,1). Por otra parte, tiene que pasar por el punto A (5, 2), entonces: s x yc052c0c3 La recta que buscamos tiene como ecuación s x y Como r 2x3y1 0, entonces, su vector normal es u (2,3). a) Buscamos una recta paralela a r, luego sus vectores normales coinciden, es decir, u (2,3). Además tiene que pasar por el punto A ( 3, 1), entonces: s2x3yc063c0c9 La recta que buscamos tiene como ecuación general s 2x3y9 0 b)buscamos una recta perpendicular a r, luego sus vectores normales también son perpendiculares, es decir, v (3, 2). Por otra parte, tiene que pasar por el punto A ( 2,3), entonces: s3x2yc066c0c12 La recta que buscamos tiene como ecuación s 3x2y La ecuación general de r es r 4x y110, entonces, su vector normal es u (4,1). a) Buscamos una recta paralela a r, luego sus vectores normales coinciden, es decir, u (4,1). Además tiene que pasar por el punto A ( 3, 2), entonces: s4x yc0122c0c10 La recta que buscamos tiene como ecuación general s 4x y10 0 b)buscamos una recta perpendicular a r, luego sus vectores normales también son perpendiculares, es decir, v (1, 4). Por otra parte, tiene que pasar por el punto A (2,5), entonces: s x4yc0220c0c18 La recta que buscamos tiene como ecuación s x4y El ángulo que forman las rectas es el que forman sus vectores directores o los vectores normales. a) Calculamos el producto escalar de los vectores normales. r 2x3y 0 u ( 2,3). u v u v cos, donde es el ángulo que buscamos. s x3y20 v (1, 3). 550

32 uv u cos 164º 44'41'5'' v 10 Ambas rectas forman un ángulo de 164º 44'41'5''. b) Calculamos el producto escalar de los vectores normales. r 7x y30 u (7, 1). u v u v cos, donde es el ángulo que buscamos. sx2y10 v ( 1,2). uv u cos 124º 41'42'5'' v 5 Ambas rectas forman un ángulo de 124º 41'42'5''. c) Calculamos el producto escalar de los vectores normales. r x3y40 u (1, 3). u v u v cos, donde es el ángulo que buscamos. s3x y60 v (3,1). uv u cos 90º v 10 Ambas rectas forman un ángulo de 90º. d) Calculamos el producto escalar de los vectores normales. r x2y70 u ( 1, 2). u v u v cos, donde es el ángulo que buscamos. s3x5y10 v ( 3,5). uv u cos 122º 28'16'2'' v 34 Ambas rectas forman un ángulo de 122º 28'16'2''. Ecuación de la circunferencia. 77. La ecuación reducida de la circunferencia es ( x c ) ( yc ) r a)(1, 2), (3, 2), (1, 4), (3, 4) b) C (2, 3) c) r

33 78. a) x y 1 b) x y 4 c) x y a) x ( y1) 3 x y 2y4 0 b) ( x 1) ( y 3) 4 x y 2x 6y En general A2 c ; B2 c ; C c c r En nuestro caso: c1 1, c2, r, luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es: ( x 1) 2 2 y a), 1,, 1,, 1,, 1, 1 17 b)c=(1,, r En general A2 c ; B2 c ; C c c r a) c 2, c 3, r 14, luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es: ( x2) y3 14 b) c 2, c 1, r, luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es: ( x2) y1 8 c) c 4, c 1, r 3 3, luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es: ( x4) y d) c1, c2, r, 2 luego la ecuación reducida de nuestra circunferencia es: x y

34 82. El radio de la circunferencia coincide con la distancia entre A y C, entonces: r d A C (, ) (2 3) ( 1 1) 5 ( x 2) ( y 1) El radio de la circunferencia coincide con la mitad de la distancia entre A y B, entonces: d A B (, ) ( 2 3) ( 1 1) 29 r El centro es el punto medio entre A y B. A B 1,0 La ecuación de la circunferecia es x y El centro de la circunferencia es el punto C(2, 1) y su radio es 5. Buscamos un punto B, tal que 5 dc (, B) ( x2) ( y1) B(5,5) La recta que determina el radio de la circunferencia tiene como vector director BC( 3, 4), que coincide con el vector normal de la recta que buscamos, 3x4yc0. Como la recta tiene que pasar por el punto (6,4): c0 c34 La recta que buscamos es 3x4y

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36 SOLUCIONES 85. Sumamos, trayecto a trayecto, la longitud: Casa-Casa amigo: Casa amigo Trabajo: Trabajo-Restaurante: Restaurante-Kiosko: Kiosko-Trabajo: Trabajo-Casa: 86. La pendiente, por definición, es la tangente del ángulo que forma el vector director con la horizontal, por tanto, buscaremos el arco cuya tangente vale 0 07 usando la función arcotangente de la calculadora: 87. Debe ser paralela, luego mantendremos los coeficientes de x e y utilizando k como término independiente incógnita: 88. La distancia de un punto A(a,b) a una recta r Ax By C 0 viene dada por d(a,r)= Aa Bb C A B En nuestro caso: d(a,r)= 5 5 El hombre se encuentra a 0'45 m. 555

37 89. El centro es el punto medio entre Estela y Carmen. A B 1, 2 El radio es la distancia entre Carmen y Estela. d( A, B) La ecuación de la circunferecia es x ( y2) a) El vector normal de nuestra recta r, el es vector director del trayecto que hace la hormiga, es decir, v ( 2, 3).Luego, la ecuació de la recta que describe es de la forma s3x2yc0. Sabemos que llega hasta el punto A(4,2), luego, sustituyendo en s, obtenemos c 8. La ecuación que describe la trayectoria de la hormiga es s 3x2y8 0. b) El punto de donde parte es la intersección entre ambas rectas. r 2x3y Bxy (, ) B, s3x2y c)la distancia recorrida es la distancia entre A y B. d( A, B) 1'94 Ha recorrido 1'94 cm. 1. a) 2u ( 2, 6) b) u 2 10 c) u 2v (10, 13) d) 3v 3 41 e)u 2v 46 f)u u Vectores paralelos: u 1 (4, 5) u 2 ( 2,5) Vectores perpendiculares: v (5, 2) v ( 5, 2) A(2,4), B( 1,7) a) d( A, B)

38 b) OS 2OA OB OS 2(2, 4) ( 1, 7) (5,1) El simétrico de B respecto a A es S (5,1). A B 1 11 c), 2 4. Dada la recta Q(2,3) k(1, 6) a) El vector director de la recta es u (1, 6) b) Si k 0 ( x, y) (2,3) Si k 1 ( x, y) (3, 3) Si k 1 ( x, y) (1,9) c) La ecuación contínua es de la forma x2 y El vector director de la recta es AB ( 6, 5) x4 y6 a) La ecuación contínua es de la forma 6 5 b) (4,6), ( 2,1), ( 8, 4) c) La ecuación general es de la forma 5x6y Si las rectas son paralelas, sus vectores normales también lo son, luego, la recta es de la forma 3x4yc0 Como sabemos que pasa por el punto A(2,4), al sustituirlo en la ecuación, tenemos que c toma el valor 22. La ecuación de nuestra recta es 3x4y Si las rectas son perpendiculares, el vector director de r es paralelo al vector normal de s, es decir v( 4,3). Por lo tanto, el vector director de s es equipolente a v(3,4), y su ecuación es de la forma x2 y r x 3y2 0 s x3y5 0 3 a) 2 r y s son rectas secantes

39 b) Resolvemos el sistema: r x3y ( xy, ), s x3y El punto de intersección es, c) El ángulo que forman las dos rectas es el que forman sus vectores normales. r 3x2y50 u (3, 2). u v u v cos, donde es el ángulo que buscamos. s x3y50 v (1,3). uv u cos 105º15'18' 4'' v 10 Ambas rectas forman un ángulo de 105º15'18'4''. 9. En general A2 c ; B2 c ; C c c r a) c 1, c 3 C(1, 3) b) r 11 c) (0, 2'05), (0,0'05), (2'41,0), ( 0'41,0), 10. La ecuación reducida de la circunferencia es ( x2) ( y4) 9 luego, desarrollando los cuadrados obtenemos su ecuación general x y 4x 8y

40 PÁGINA 210 Denominamos al radio de la circunferencia mayor. Debemos encontrar el área de la intersección de las dos circunferencias interiores para poder calcular el área total. Para ello, debemos prestar atención en cómo descomponer las figuras para que, mediante sumas y restas, podamos encontrar el área final: A B O El área del triángulo es conocida: Por otro lado, el área del sector circular es: Así pues el área de la mitad buscada será el doble de la resta del sector al triángulo: El área total será el área de un cuarto de circunferencia grande menos el área de una circunferencia pequeña más el área interior que se resta dos veces: 559