Probabilidades y Estadísticas

Transcripción

1 Facultad de Ciencias Físicas y Matemtáticas, Universidad de Chile Apuntes de Clases Profesor: Roberto Cortez Tomás Wolf y Pedro Franz 6 de febrero de 2014 Santiago, Chile.

2 Índice general I Probabilidades 1 1. Teoría axiomática de probabilidades Introducción Espacio muestral y eventos Axiomas de Probabilidad Proposiciones sobre probabilidades Probabilidad del vacío Probabilidad del Complemento Monotonía de la Probabilidad Probabilidad de eventos no disjuntos Continuidad de la Probabilidad Combinatoria Espacio Equiprobable Ejemplo Principios de conteo Principio aditivo Principio multiplicativo Permutaciones Subconjuntos Coeficiente multinomial Bolitas en Urnas Ejemplo Resumen Probabilidades Condicionales Introducción Ejemplo Definición Ejemplo Propiedad (regla de Bayes) Ejemplo Propiedad (regla de probabilidades totales) Independencia de eventos Introducción Definición Propiedad

3 Sección ÍNDICE GENERAL Definición Propiedad Variables aleatorias Introducción Definición: Variable Aleatoria Definición: Distribución de X Proposición Ejemplo Variables discretas Definición: Rango de X Definición: función de distribución discreta Proposición Propiedad Ejemplos importantes de variables aleatorias discretas Variable Bernoulli Variable Binomial Variable Geométrica Variable Binomial Negativa Variable de Poisson Variables Continuas Función de distribución acumulada Proposición Proposición Variables Continuas Importantes Variable Uniforme Variable Exponencial Variable Normal Independencia de variables aleatorias Proposición Esperanza Definición Ejemplos Proposición Proposición: Linealidad de E Ejemplo Proposición: Esperanza de variables independientes Proposición: Crecimiento de E( ) Varianza y Covarianza Definición: Varianza Ejemplos de varianza Propiedades de la Varianza Función Generadora de Momentos Definición Ejemplo Proposición

4 Sección ÍNDICE GENERAL Teorema Proposición: estabilidad bajo la suma Distribución de una función de una variable aleatoria Ejemplo: X N (0, 1) Vectores Aleatorios Definición: Vector Aleatorio Definición: Función de Distribución Acumulada Conjunta Proposición Definición Definición

5 Parte I Probabilidades 1

6 Capítulo 1 Teoría axiomática de probabilidades 1.1. Introducción Un suceso C(n) es la cantidad de veces que aparece el suceso C en n experimentos aleatorios. La probabilidad de un suceso es intuitivamente Espacio muestral y eventos C(n) lím n n Definición: Un espacio muestral es un conjunto Ω que contiene todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Un evento es un subconjunto E Ω, en que Ω no necesita ser numerable. Los elementos de Ω se anotan como ω. Cuando el resultado del experimento es un cierto ω E, decimos que E ocurre Axiomas de Probabilidad Def: Sea Ω espacio muestral, una probabilidad sobre Ω es una función P: P : P(Ω) R que satisface los siguientes 3 axiomas de probabilidad. Axioma 1: 0 P(E) 1 E P(Ω) Axioma 2: P(Ω) = 1 Axioma 3: E i i N colección de eventos disjuntos, (E i E j = φ), (E i E j = E i E j i,j ) se tiene: P( (Ω, P) se denomina espacio de probabilidad. i N E i ) = i N P(E i ) 2

7 Sección 1.3. Proposiciones sobre probabilidades Proposiciones sobre probabilidades Probabilidad del vacío P(φ) = 0 Demostración: Tomando E i = φ i N tenemos: P( i N E i }{{} φ ) = P( E }{{} i ) φ 1 P(φ) = P(φ) P(φ) = 0 P(φ) = 0 Corolario: E 1, E 2,..., E n disjuntos, P( n E i ) = n P(E i ) Probabilidad del Complemento P(E c ) = 1 P(E) 1 = P(Ω) = P(E E c ) = P(E) + P(E c ) P(E c ) = 1 P(E) Monotonía de la Probabilidad Si E F P(E) P(F ). Es decir, P( ) es creciente conforme crecen los eventos. Demostración: P(F ) = P(F E F E c ) = P(F E) }{{} pero E F +P(F E c ) = P(E) + P(E c F ) P(E)

8 Sección 1.3. Proposiciones sobre probabilidades Probabilidad de eventos no disjuntos E, F eventos, P(E F ) = P(E) + P(F ) P(EF ). Demostración: P(E F ) = P(EF c F E c EF ) Continuidad de la Probabilidad = P(EF c ) + P(F E c ) + 2P(EF ) P(EF ) = P(EF c EF ) + P(EF ) P(EF ) + P(F E c ) = P(EF c EF ) + P(F E c F E) P(EF ) }{{}}{{} E F = P(E) + P(F ) P(EF ) Sea (Ω, P) un espacio de probabilidad. (a) Si A 1 A 2... A n... una secuencia creciente de eventos, entonces P( A i ) = lím n P(A n) (b) Si A 1 A 2... secuencia creciente de eventos, entonces Demostración: (a) Sea P( A i ) = lím n P(A n) B i = A i \A i 1 i 2 N B 1 = A 1 Se prueba que (propuesto) los B i son disjuntos, B i = A i (de hecho, n n B i = n A i )

9 Sección 1.3. Proposiciones sobre probabilidades 5 Con esto: P( A i ) = P( = }{{} axioma 3 B i ) P(B i ) = lím n n P(B i ) Pero n B i = n A i = A n P( = }{{} axioma 3 lím P( n B i ) n A i ) = lím n P(A n) (b) Reduzcamos a la parte (a): notemos que (A n i ) i N es una secuencia creciente, = P( A i ) = 1 P([ A i ] c ) = 1 P([ A c i]) = 1 lím n P(Ac n) = 1 lím (1 P(A n)) n = lím P(A n) n Observación: Si (A i ) i N es creciente, el evento A i se llama el límite de los A i, lo mismo si es decreciente. A i se denomina también el límite de los A i. Con esta notación, el teorema se escribe: P( lím n A n) = lím n P(A n)

10 Capítulo 2 Combinatoria 2.1. Espacio Equiprobable Definición: Un espacio de probabilidad (Ω, P) se dice equiprobable si: Ω es finito y ω, ω Ω, P(ω) = P(ω ). Luego, dado ω 0 Ω fijo, Que se cumple ω 0 Ω. Mas aún, si E Ω, Ejemplo 1 = P(Ω) = P( ω Ω {ω}) = ω Ω P({ω}) = P({ω 0 }) = P({ω 0 }) Ω P({ω 0 }) = 1 Ω P(E) = P( ω E {ω}) = ω E P({ω}) = 1 Ω = E P(E) = E Ω ω E 1 Ω Se lanzan 2 dados equilibrados, Cual es la probabilidad de que sumen 7? Solución: {2, 3,..., 12} no sirve como Ω, pues no son equiprobables. 1 6

11 Sección 2.2. Principios de conteo 7 donde i es el primer lanzamiento, y j el segundo. Nos interesa Ω = {(i, j) i, j {1,..., 6}} = {1,..., 6} 2 E = {(i, j) Ω i + j = 7} = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} 2.2. Principios de conteo Principio aditivo P(E) = E Ω = 6 36 = 1 6 El experimento de extraer el elemento de A o bien de B (A, B disjuntos), con A = n y B = m posee n + m posibles resultados Principio multiplicativo El experimento de extraer un primer elemento de A y luego un segundo elemento de B (A, B no necesariamente disjuntos) posee n m posibles resultados. Pregunta (muestreo con orden y reposición) Si se dispone de un conjunto A tal que A = n. Se extrae un elemento, se anota primero en una lista, y se devuelve al conjunto; luego se extrae un segundo y se repite el proceso k veces. De cuantas formas puede resultar lo anterior? Respuesta: n k Permutaciones Si en la pregunta anterior los elementos extraidos NO SON REPUESTOS, Cuantos resultados posibles hay ahora? Respuesta: n! (n k)! Ejemplo Cuantos desordenes (o permutaciones) hay de letras a, b, c? Respuesta: 3!, son {(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a)} Paradoja del cumpleaños De un grupo de k personas, Cual es la probabilidad de que al menos 2 de ellas estén de cumpleaños el mismo dia? Solución: Supongamos que las personas esán ordenadas, y no hay años bisiestos. Trabajaremos con Ω = {1,..., 365} k = {(ω 1,..., ω k ) i {1,..., k}ω i {1,..., 365}} que representa todas las posibles formas en que las k personas eligen un cumpleaños.

12 Sección 2.4. Subconjuntos 8 Dotamos a Ω de P equiprobable. Consideremos el evento E = {ω = (ω 1,..., ω k ) Ω i j, ω i = ω j } Luego E c = {ω = (ω 1,..., ω k ) Ω i j, ω i ω j } P(E) = 1 P(E c ) = 1 Ec Ω Sabemos que, Ω = 365 k, luego notemos que E c es el conjunto de tuplas con todos sus elementos distintos, lo que corresponde al caso de extraer con orden y sin reposición. Con esto: Por ejemplo: k = 41 P(E) 90 % k = 57 P(E) 99 % E c = 365! (365 k)! 365! (365 k)! P(E) = k = (365 (k 1)) k = k 1 1 i=0 365 i Subconjuntos Problema Se extraen k elementos sin devolverlos al conjunto, y sin distinguir el orden de aparición. De cuantas formas se puede hacer esto? Equivalentemente, Cuantos subconjuntos de k elementos pueden extraerse de un conjunto de n elementos? n Para responder esto, contaremos las (n k)! formas de extraer con orden y sin reposición de manera conveniente. luego, (# formas con orden y sin reposición) = (# formas sin orden y sin reposición) (# formas de permutar k elementos) n! = (# formas sin orden y sin reposición) k! (n k)! (# formas sin orden y sin reposición) = n! k!(n k)! = ( ) n k

13 Sección 2.5. Coeficiente multinomial 9 Ejemplo De un grupo de 5 personas debe escogerse un comité de 2 personas. Cuantos posibles comites hay? Respuesta: ( ) 5 = 5! 2 2! 3! = = 10 Explícitamente, en {a, b, c, d, e} los comites son: {(a, b), (a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e), (d, e)} Coeficiente multinomial Problema: se desea separar n elementos en k grupos distinguibles de tamaños n 1, n 2,..., n k (con k n i = n). De cuantas formas puede hacerse esto? Solución: ( )( )( ) ( ) n n n1 n n1 n 2 n n1... n k 1... n 1 n 2 n 3 En que ( ) ( n n 1 corresponde a las formas de escoger el grupo 1, n n1 ) n 2 las formas de escoger el grupo 2 (una vez escogido el grupo 1),..., hasta ( n n 1... n k 1 ) n k, que son las formas de escoger el grupo k, ya escogido los anteriores. Pero, ( )( ) ( ) n n n1 n n1... n k 1... = n 1 (el último término es igual a 0! = 1) n 2 n! (n n 1 )! n 1! (n n 1 )! n 2!(n n 1 n 2 )!... (n n 1... n k 1)! n k! (n n 1... n k )! n k n! = n 1!n 2!... n k! ( ) n = n 1, n 2,..., n k Ejemplo: Un grupo de 10 excursionistas deben separarse en 2 equipos de tamaños 4 y 6, y cada equipo debe poseer un jefe. De cuantas formas puede hacerse esto? Respuesta: ( ) 10 = , 3, 1, 5 En que 10 es el tamaño, 1 el jefe de grupo de tamaño 4, 3 el resto, 1 el jefe del grupo de tamaño 6, y 5 el resto Bolitas en Urnas Problema A: Se dispone de un conjunto de tamaño n, del cual se extrae un elemento, se anota, y se devuelve al conjunto; luego se extrae nuevamente, se anota, y se devuelve al conjunto, y así sucesivamente hasta completar k extracciones. n k

14 Sección 2.6. Resumen 10 Si no se distingue el orden de aparición de los elementos, De cuantas formas se puede hacer esto? (Muestreo sin orden y con reposición) Equivalentemente (Problema B), tenemos k bolitas indistinguibles en n urnas indistinguibles. Es claro que arrojar una bolita en la urna i ésima, equivale en el problema original a extraer el elemento etiquetado i. Por lo tanto, #formas de realizar A = #formas de realizar B Equivalentemente (Problema C), consideremos n 1 objetos adicionales a las k bolitas (indistinguibles entre sí) correspondientes a las separaciones entre urnas, y ubiquémoslos en fila con las k bolitas:... 3 bolitas en urna 1, 2 bolitas en urna 2, 0 bolitas en urna bolitas en urna n. Del dibujo es claro que hay una asociación 1 a 1 entre formas de realizar B y las formas de realizar C. #formas A = #formas B = #formas C ( ) n 1 + k = n 1 En que n 1 + k son las posiciones en la fila, y n 1 las posiciones en que van las separaciones Ejemplo En una zona marina existen 3 especies de peces: a, b, c. Se extrae una muestra de 3 peces. Cuántas posibles muestras resultantes hay? Respuesta: ( ) = 3 1 ( ) 5 = 10 2 = 5! 2!3! = Explicitamente, las posibles muestras son: {(a,a,a),(a,a,b),(a,a,c),(a,b,b),(a,c,c),(a,b,c),(b,b,b),(b,b,c),(b,c,c),(c,c,c)} Resumen Si se extraen k elementos de un total de n, los posibles resultados son: Con orden Sin orden Con reposicion n k ( n 1+k ) n 1 ( n! Sin reposicion n (n k)! k) Observación: típicamente, los muestreos A,C y D son igualmente probables, pero B no lo es (salvo que se explícite lo contrario).

15 Capítulo 3 Probabilidades Condicionales 3.1. Introducción A veces se desea calcular la probabilidad de un evento cuando se dispone de infornación parcial del resultado del experimento aleatorio Ejemplo Se lanzan 2 dados equilibrados, (a) Cual es la probabilidad que aparezca al menos un 6? (b) Se sabe que la suma de los dados es 9 o mas. Cual es ahora la probabilidad de que salga al menos un 6? Solución: Sean los eventos: E = sale al menos un 6. F = la suma es 9 o mas. (a) P(E) = 1 P(E c ) = = (b) Los reultados fuera de F están descartados. Los resultados en F siguen siendo igualmente probables. = Nueva probabilidad E = #casos favorables en F #casos totales en F = EF F = {(6, 3), (6, 4), (6, 5), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)} 10 11

16 Sección 3.2. Definición 12 O equivalentemente: = EF F = EF Ω F Ω = P(EF ) P(F ) 3.2. Definición Dados E, F eventos, con P(F ) > 0, definimos la PROBABILIDAD CONDICIONAL de E dado F como: P(E F ) = P(EF ) P(F ) Ejemplo Un matrimonio tiene 2 hijos, y se sabe que al menos uno de ellos es varón. Cual es la probabilidad de que el otro hijo también sea varón? Solución: Sean los eventos: E= El otro hijo es varón. F = Al menos un hijo es varón. P(E F ) = P(EF ) P(F ) Claramente: = P(E) P(F ) P(E) = = 1 4 P(F ) = 1 P(F c ) = = 3 4 P(E F ) = = 1 3 MM VM MV VV En muchos ejemplos, para calcular P(E F ) sería mas cómodo trabajar con P(F E). Para esto, tenemos:

17 Sección 3.3. Propiedad (regla de Bayes) Propiedad (regla de Bayes) Demostración: P(F E) = P(F E) = Y al agrupar convenientemente los términos, tenemos P(E F )P(F ) P(E) P(F E) P(E) P(F ) P(F ) P(E F ) = P(F E) P(F ) Ejemplo En un torneo de fútbol se utiliza un test par detectar consumo de drogas en los jugadores. Cuando se aplica el test a un jugador que consume drogas, hay un 90 % de probabilidad que el test dé positivo; además, cuando el test se aplica a un jugador que no consume, hay un 5 % de probabilidad de que el test dé positivo. Se estima que un 2.5 % de los jugadores consume drogas. Se escoge un jugador al azar, y al realizar el test da positivo. Cual es la probabilidad de que el jugador sea consumidor de drogas? Solución: Sean los eventos: E = El jugador escogido consume drogas. F = El test da positivo. Por regla de Bayes: P(E F ) = = P(F E)P(E) P(F ) 90 % 2,5 % P(F ) Para calcular P(F ), hacemos lo siguiente: P(F ) = P(F E) P(E) P(E) + P(F Ec ) P(Ec ) P(E c ) = P(F E) P(E) + P(F E c ) P(E c ) ( ) = 90 % 2,5 % + 5 % 97,5 % = 7,125 % P(E F ) = 90 % 2,5 % 7,125 % 31,6 % El desarrollo (*) es una propiedad general.

18 Sección 3.4. Propiedad (regla de probabilidades totales) Propiedad (regla de probabilidades totales) Sean E un evento, y F 1, F 2,..., F n eventos que conforman una PARTICIÓN de Ω (es decir, los F i son disjuntos y n F i = Ω). Entonces Demostración: P(E) = n P(E F i )P(F i ) P(E) = P( n = = n EF i ) P(EF i ) P(F i) P(F i ) n P(E F i ) P(F i ) Observación: La propiedad anterior también vale para una partición numerable Independencia de eventos Introducción En general, P(E F ) no tiene por qué ser igual a P(E). Cuando hay igualdad, interpretamos que F no afecta a E, o bien E es independiente de F. Esto ocurre cuando P(E) = P(E F ) = P(EF ) P(F ) lo cual motiva: Definición Decimos entonces que E y F son INDEPENDIENTES, anotado E F, si P(EF ) = P(E)P(F ) Observación: la independencia es una noción simétrica en E y F, es decir E F es lo mismo que F E Propiedad E F E F c Demostración: PDQ: P(EF c ) = P(E)P(F c ) Tenemos: P(E) = P(EF ) + P(EF c ) en que P(EF ) = P(E)P(F ) pues E F. P(EF c ) = P(E) P(E)P(F )

19 Sección 3.5. Independencia de eventos 15 = P(E)(1 P(F )) dado que 1 P(F ) = P(F c ). Podemos definir independencia para una colección arbitraria de eventos Definición Sea (E i ) i I una coleción de eventos (acá I es un conjunto de indices). Decimos que (E i ) i I es una colección INDEPENDIENTE si n N, i1,i 2,...,i n I índices distintos, se tiene P( n E ik ) = k=1 n P(E ik ) Observación: E F, F G, G E, no implican que la colección {E, F, G} sea independiente Propiedad Sea F evento tal que P(F ) > 0. Entonces la aplicación P( F ), es decir: es una probabilidad (i.e., cumple los axiomas). Demostración: Propuesta. k=1 P : P R E P(E) = P(E F )

20 Capítulo 4 Variables aleatorias 4.1. Introducción En muchas situaciones, el espacio muestral que modela un cierto experimento aleatorio es demasiado complejo para trabajar directamente con él, mientras que lo que interesa estudiar es relativamente simple. Ejemplo Se lanzan 100 monedas, Ω = {cara, sello} 100 Ω = , Pero si nos interesa simplemente estudiar la cantidad de caras que se obtuvieron, los posibles resultados resultados son sólo 101 (desde 0 a 100 caras), lo cual es mucho más razonable. Por este motivo, comúnmente centraremos nuestro análisis directamente en la variable de interés sin especificar el espacio muestral Ω Definición: Variable Aleatoria Una VARIABLE ALEATORIA X es una función X : Ω R donde (Ω, P) es un cierto espacio de probabilidad (que usualmente estará implicito). Típicamente, no nos interesará estudiar Ω ni la forma particular que tiene la función X. Lo que sí nos interesará estudiar son las probabilidades asociadas a la variable, es decir, queremos darle sentido a expresiones del tipo ( )P(X a), ( )P(X [a, b]) ( )P(X < b) etcetera. Para esto, consideremos la siguiente notación: dado A R, anotamos X A = {ω Ω/X(ω) A Ω} = X 1 (A) 16

21 Sección 4.3. Definición: Distribución de X 17 es decir, X A es un evento, por lo cual tiene sentido calcular su probabilidad: P(X A) = P({ω Ω/X(ω) A} lo cual da sentido a las expresiones (*) Definición: Distribución de X Dada X variable aleatoria, definimos su LEY o DISTRIBUCIÓN como la función µ X : P(R) R A µ X (A) = P(X A) Anotamos también: Ley(X) = µ X Proposición µ X es una probabilidad sobre R (i.e. (R, µ X ) es un espacio de probabilidad). Demostración: Propuesta (buen ejercicio). La ley de una variable aleatoria es lo que estudiaremos Ejemplo Se lanza una moneda equilibrada 3 veces. Sea X la variable aleatoria que corresponde a la cantidad de caras obtenidas. (a) Dar un espacio de probabilidad (Ω, P) adecuado y escribir explícitamente X como función de Ω en R. (b) Calcular µ X (A) para todo A R. Solución (a) Tomamos Ω = {0, 1} 3 = {ω 1 ω 2 ω 3 ω i {0, 1} i} con P equiprobable. Escribamos X como función de Ω en R: X(ω) = X(ω 1 ω 2 ω 3 ) = ω 1 + ω 2 + ω 3 (b) µ X ({0} = P(X {0}) = P(X = 0) = P({ω 1 ω 2 ω 3 Ω/X(ω 1 ω 2 ω 3 ) = 0} = P({000}) = 1 8

22 Sección 4.3. Definición: Distribución de X 18 pues P es equiprobable. µ X ({1}) = P(X {1} = P(X = 1) = P({ω 1 ω 2 ω 3 /X(ω 1 ω 2 ω 3 ) = 1}) = P({001, 010, 100}) = 3 8 pues P es equiprobable. Análogamente: µ X ({2}) = 3 8 µ X ({3}) = 1 8 Con esto µ X (A) = P(X A) = P(X = x) x A {0,1,2,3}

23 Sección 4.4. Variables discretas Variables discretas Una variable aleatoria discreta será tal que ella toma una cantidad finita o a lo más numerable de valores Definición: Rango de X Una variable aleatoria X se dice DISCRETA si existe un conjunto R R finito o numerable tal que R se denomina RANGO de X, anotado R X. Ejemplo P(X R) = 1 ( ) y P(X = x) > 0 x R La variable aleatoria del ejemplo anterior es discreta, con R X = {0, 1, 2, 3} Definición: función de distribución discreta Dada X variable aleatoria discreta, definimos su FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DISCRETA como p X : R [0, 1] x p X (x) = P(X = x) Notar que p X (x) = 0 x R c X, y p X(x) > 0 x R X Proposición Sea X variable aleatoria discreta. Entonces, A R, P(X A) = p X (x) (**) x A R X Demostración: Gracias a (*) P(X A) = P(X (A R X ) (A R c X)) = P(X A R }{{ X ) + P(X A R } c }{{ X) } finito o numerable P(X RX c )=0 = P( {X = x}) x A R X = P(X = x) }{{} x A R X p X (x)

24 Sección 4.5. Ejemplos importantes de variables aleatorias discretas 20 Ejemplo En el ejemplo anterior, Con esto, para A = {0, 2} R X = {0, 1, 2, 3} 1 8 si x = 0 o 3 3 p X (x) = 8 si x = 1 o 2 0 en otro caso P(X A) = p X (0) + p X (2) = = Propiedad Demostración: 1 = P(X R) y luego usar (**). x R X p X (x) = Ejemplos importantes de variables aleatorias discretas Variable Bernoulli Consideremos un experimento aleatorio con sólo 2 posibles resultados: éxito con probabilidad p, y fracaso con probabilidad 1 p, donde p [0, 1] es un número fijo (por ejemplo, lanzar una moneda con cara = éxito y sello = fracaso). Sea X la variable aleatoria: { 1 si se obtuvo un éxito X = 0 si se obtuvo un fracaso La variable aleatoria X se denomina BERNOULLI de parámetro p, anotado X 1 Bernoulli(p). Claramente, R X = {0, 1} y además (p (0, 1) p X (0) = 1 p p X (1) = p

25 Sección 4.5. Ejemplos importantes de variables aleatorias discretas Variable Binomial Se repite el experimento anterior n veces. Sea X la variable aleatoria de la cantidad de éxitos que se obtienen. X se denomina variable aleatoria BINOMIAL de parámetros n y p, anotado X bin(n, p). Es decir: R X = {0, 1,..., n} p X (k) = P(X = k) = ( ) n p k (1 p) n k k En que el coeficiente binomial representa escoger k posiciones donde irán los éxitos, p representa que ocurren éxitos en las posiciones escogidas, y (1 p) que el resto resultan en fracaso. (k R X ) Variable Geométrica Se repite el experimento original (de éxito con probabilidad p y fracaso con probabilidad (1 p)) de manera independiente de manera sucesiva, hasta que se pbtiene el primer éxito. Sea X la variable aleatoria que denota la cantidad de veces que se realizó el experimento. X se denomina variable aleatoria GEOMÉTRICA de parámetro p, anotado X geom(p). Es decir: R X = {1, 2,...} p X (k) = P(X = k) = (1 p) k 1 p En que (1 p) representa los fracasos en las primeras k 1 repeticiones, y p representa el éxito en la repetición k-ésima Variable Binomial Negativa Similar a la variable geométrica, pero esta vez X representa la cantidad de repeticiones hasta obtener el r-ésimo éxito. X se denomina BINOMIAL NEGATIVA de parámetros r y p, anotado X BN(r, p). Es decir: R X = {r, r + 1,...} p X = P(X = k) ( ) k 1 = p k 1 (1 p) k 1 (r 1) p (*) r 1 ( ) k 1 = (1 p) k r p r r 1 (*) En que el coeficiente binomial representa escoger los r 1 éxitos en las primeras k 1 posiciones, p representa los éxitos en las r 1 posiciones escogidas, (1 p) siendo el fracaso en el resto, y p el éxito en la repetición k-ésima. 1 se distribuye como o tiene ley

26 Sección 4.6. Variables Continuas 22 Ejercicio Verificar en los casos recién vistos. x R X p X (x) = Variable de Poisson Una variable aleatoria X se dice Poisson de parámetro λ > 0 si R X = {0, 1,...} y k R X : p X = P(X = k) = e λ λk k! Y lo anotamos X P oisson(λ). Típicamente, esta variable aleatoria se utiliza para modelar la cantidad de sucesos que ocurren en un cierto lapso de tiempo. Por ejemplo: 1. Cantidad de clientes que llegan a la fila de un banco en 1 hora. 2. Cantidad de llamadas telefónicas recibidas en una oficina en 1 dia. 3. Cantidad de visitas a una página web en 1 minuto. 4. etc. El parámetro λ representa la TASA a la que ocurren estos eventos, en unidades de CANT IDAD T IEMP O 4.6. Variables Continuas Una variable aleatoria X se dice ABSOLUTAMENTE CONTINUA o simplemente CONTINUA si existe una función f X : R [0, ) tal que A R, P(X A) = f X (x)dx f X se denomina DENSIDAD de X A

27 Sección 4.6. Variables Continuas 23 Observación: Necesariamente f X (x)dx = 1 Observación: Informalmente, Si dx es un número pequeño P(X [x, x + dx]) = f X (x) = x+dx x f X (y)dy dxf X (x) P(X [x, x + dx] } dx {{} densidad de prob en x Y esto justifica el nombre densidad para f X. Observación: la noción de continuidad de una variable aleatoria no tiene nada que ver con la continuidad usual de funciones! Notemos que x R P(X = x) = P(X {x}) = f X (y)dy = 0 Cómo obtener f X a partir de cantidades de la forma P(X A)? Para responder esta pregunta, introducimos: Función de distribución acumulada Dada X variable aleatoria (no necesariamente continua) definimos su FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA como Proposición F X : R [0, 1] Si X es variable aleatoria continua, entonces {x} x F X (x) = P(X x) F X (x) = x (la demostración es directa de la definición de F X ) Mas aún, x punto de continuidad de f X, se tiene f X (y)dy f X (x) = df X(x) dx = d P(X x) dx Esto se obtiene aplicado Teorema Fundamental del Cálculo.

28 Sección 4.6. Variables Continuas 24 Figura 4.1: parte (b) Ejemplo Sea X variable aleatoria con densidad { x f X (x) = 2 si x [0, 2] 0 si (a)calcular F X (b)graficar f X y F X (c)calcular P(x 1) Solución: (a) F X (x) = x f X(y)dy luego: (c) x > 2 F X (x) = x < 0 F X (x) = x [0, 2] F X (x) = 0 x x 0dy + 2 y 0dy + 2 dy + F X (x) = 0 0dy = 0 x 2 x 0 0 si x < 0 x 2 4 si x [0, 2] 1 si x > 2 y x2 dy = 2 4 0dy = = 1

29 Sección 4.7. Variables Continuas Importantes 25 * pues P(X = 1) = 0 y X es variable continua Proposición P(X 1) = 1 P(X < 1) }{{} = P(X 1) = 1 F X (1) = = 3 4 Sea X variable aleatoria (no necesariamente continua) Entonces: (a) F X es creciente (no necesariamente estricta) (b) lím x F X (x) = 1 (c) lím x F X (x) = 0 (d) x R lím y x + F X(y) = F X (x) (es decir F X es continua a la derecha) (e) x R lím F X(y) = F X (x) P(X = x) y x = P(X < x) Luego, si X es variable aleatoria continua F X es función continua. Demostración: (a) Sean x y F X (x) = P(X x) }{{} P(X y) P( ) }{{} creciente P(X y) = F X (y) (b), (c), (d) y (e): aplicar continuidad de la probabilidad Variables Continuas Importantes Variable Uniforme X se dirá variable aleatoria UNIFORME en el intervalo [a, b] (con a < b) anotado X unif(a, b), si su densidad es Claramente, { 1 si x [a, b] 1 [a,b] (x) = 0 si 0 si x < a x a F X (x) = b a si x [a, b] 1 si x > b

30 Sección 4.7. Variables Continuas Importantes 26 Figura 4.2: Variable Uniforme Variable Exponencial X se dirá variable aleatoria EXPONENCIAL de parámetro λ > 0 si su densidad es Claramente: F X (x) = f X (x) = λe λx 1 [0, (x) { 0 si x > 0 1 e λx si x 0 Notemos que X es una variable aleatoria 0. Típicamente, se utiliza para representar tiempos aleatorios. La propiedad fundamental de la variable aleatoria exponencial es la PÉRDIDA DE MEMORIA: t, s 0, P(X t + s X t) = P(X s) (propuesto) Esto significa que, condicional en que X t, la variable aleatoria X se comporta (de t en adelante) como una nueva variable aleatoria exponencial (i.e., X olvida que ya transcurrió un tiempo t) Variable Normal x R X se dirá variable aleatoria NORMAL de parámetros µ R y σ 2 > 0, anotado X N (µ, σ 2 ), si f X (x) = 1 e (x µ)2 2σ 2 2πσ Lamentablemente, no se puede calcular explícitamente z F X (x) = 1 x 2πσ 0 e (x µ) 2 2σ 2 e (x µ)2 2σ 2 dy Cuando µ = 0, σ 2 = 1, decimos que X es una NORMAL ESTÁNDAR. dx. Escribimos simplemente

31 Sección 4.7. Variables Continuas Importantes 27 Figura 4.3: Variable Exponencial Figura 4.4: Variable Normal

32 Sección 4.8. Independencia de variables aleatorias Independencia de variables aleatorias Definición: Decimos que dos variables aleatorias X e Y son INDEPENDIENTES, anotado X Y si A, B R P(X A, Y B) = P(X A) P(Y B) Ejemplo Sean X Y, con X exp(λ), Y exp(µ). Sea Z min(x, Y ). Calcular la distribución de Z. Solución: z 0 Si z > 0, P(Z z) = 0 Luego: Z exp(λ + µ). Ejercicio: X Y, X P oisson(λ) Y P oisson(µ) Z = X + Y P oisson(λ + µ) Proposición P(Z > z) = P(min(X, Y )) > z F Z (z) = = P(X > z, Y > z) }{{} = P(X > z) P(Y > z) X Y = e λz e µz { 0 si z > 0 1 e (λ+µ)z si z 0 Sean X, Y variables aleatorias independientes y sean g, h : R R funcionens arbitrarias. Entonces g(x) es independiente de h(y ). Demostración: dados A, B R. P(g(X) A, h(y ) B) = P(X g 1 (A), Y h 1 (B)) X Y {}}{ = P(X g 1 (A))P(Y h 1 (B)) = P(g(X) A)P(h(Y ) B)

33 Capítulo 5 Esperanza 5.1. Definición Sea X una variable aleatoria, se define su ESPERANZA E(X) R como la cantidad: { E(X) = x R xp X(x) xf X(x)dx si X es discreta si X es continua En palabras, E(X) es el promedio de todos los valores que toma la variable, ponderados por su probabilidad de ocurrencia. Es el centro de masa de la distribución de la variable; es una medida del valo0r central que toma la variable. E(X) también se llama valor esperado o media. E NO ES el promedio Ejemplos Ejemplo 1: X Bernoulli(p), E(X) =? Veamos: E(X) = Ejemplo 2: X Bin(n, p) E(X) = n p x R X xp X (X) + 0 (1 p) + 1 p = p E(X) = ( ) n x (1 p) n x p x x x R X = (1 p) ( ) ( n p n x 1 p = (1 p) n = np x R X x np (1 p) n ) x 29

34 Sección 5.1. Definición 30 Ejemplo 3: X geom(p) E(X) = k=1 = p d dr [ = p k P(X = k) }{{} (1 p) k 1 p r k = p d dr k=1 1 (1 r) 2 ] = p = p 1 p 2 } kr{{ k 1 } k=1 d(r k ) dr [ 1 1 r 1 ], r = 1 p = 1 p X BN(r, p) E(X) = r p X P oisson(λ) E(X) = λ X Unif(a, b) E(X) = a+b 2 X exp(λ) E(X) = 1 λ X N (µ, σ 2 ) E(X) = µ es simétrica respecto a µ Proposición Sea X variable aleatoria y g : R R una función, entonces { E(g(X)) = x R g(x)p X(x) si X es discreta g(x)f X(x)dx si X es continua Observación: La utilidad de esta proposición es que permite calcular E(g(X)) sin la necesidad de obtener la distribución de g(x). Demostración: caso discreto. Sea Y = g(x). E(Y ) = yp( }{{} Y = y) = y P(Y = y, X = x) y R Y g(x) y R Y x R X = yp(g(x) = y, X = x) }{{} x R X y R Y =φ = g(x)p(x = x) x R X Corolario: α R, Xvariable aleatoria La demostración es trivial usando g(x) = αx Proposición: Linealidad de E E(αX) = αe(x) El corolario anterior, mas la proposición E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) nos dan que opera linealmente. Demostración: Haremos la demostración en el caso en que X e Y son variables aleatorias discretas. Sea Z = X + Y

35 Sección 5.1. Definición 31 E(Z) = zp (Z = z) }{{} z R Z {Z=z} = {Z = z} {X = x, Y = y} x R X,y R Y = z,x,y = {Z = z, X = x, Y = y} z P( }{{} Z z R z x R X y R Y =X+Y =x+y = z, X = x, Y = y) = zp(z = x + y, X = x, Y = y) }{{} x R X y R Y z R Z =0 cuando z x+y = (x + y)p(x = x, Y = y) x R X y R Y = x P(X = x, Y = y) + y x R X y R Y y R Y }{{} P(X=x) = E(X) + E(Y ) x R X P(X = x, Y = y) }{{} P(Y =y) Observación: notar que el resultado es cierto sin importar si las variables son independientes o no Ejemplo n personas van a una fiesta, y dejaron su chaqueta en el sillón. Por el ajetreo de la fiesta las chaquetas se revuelven aleatoriamente. Al salir, cada persona se lleva una chaqueta cualquiera. Calcule la cantidad esperada de personas que se llevan su propia chaqueta. Solución: X = cantidad de personas que se llevan su propia chaqueta. Supongamos que las personas están enumeradas de 1 a n. Consideremos las variables aleatorias X 1,, X n dadas por { 1 si la persona lleva su propia chaqueta X i = 0 (es decir, X i = 1 Ei donde E i es el evento en que se lleva su propia chaqueta) Claramente X = X X n Luego, E(X) = E(X 1 ) + + E(X n ) Sin embargo, X i Bernoulli(p), donde p = P(X i = 1) = P(persona se lleva su chaqueta) = (n 1)! n! = 1 n E(X i) = p = 1 n E(X) = 1 n n = 1

36 Sección 5.1. Definición Proposición: Esperanza de variables independientes Sea X Y entonces E(XY ) = E(X)E(Y ) Demostración: Repitiendo el procedimiento de la demostración previa, tenemos (para el caso discreto con Z = X Y ): E(Z) = xy P(X = x, Y = y) }{{} x R X y R Y P(X=x)P(Y =y) porque X Y = xp(x = x) yp(y = y) x R X y R Y = E(X)E(Y ) Proposición: Crecimiento de E( ) Sean X, Y variables aleatorias tales que P(X Y ) = 1 entonces E(X) E(Y ). Es decir, E( ) es una función CRECIENTE de variables aleatorias. Demostración: Propuesta.

37 Sección 5.2. Varianza y Covarianza Varianza y Covarianza La esperanza es un indicador de tendencia central de la variable aleatoria, pero no captura que tan repartida o dispersa está la variable aleatoria. Para medir dispersión, una forma es la siguiente: Definición: Varianza La VARIANZA de una variable aleatoria X es el número real: Observación: V ar(x) Ejemplos de varianza X Ber(p) V ar(x) = p(1 p) V ar(x) = E ( [X E(X)] 2) X Bin(n, p) V ar(x) = np(1 p) X geom(p) V ar(x) = 1 p p 2 X BN(n, p) V ar(x) = r(1 p) p 2 X P oisson(λ) V ar(x) = λ X Unif(a, b) V ar(x) = (b a)2 12 X N (µ, σ 2 ) V ar(x) = σ 2 = E(X 2 2XE(X) + E(X) 2 ) = E(X 2 ) + E( 2XE(X)) + E(E(X) 2 ) = E(X 2 ) 2E(X)E(X) + E(X) 2 = E(X 2 ) E(X) 2 Realizaremos el cálculo de la uniforme. El resto queda propuesto. Si X Unif(a, b), sabemos que E(X) = a+b 2. Además: E(g(x)) = E(X 2 ) = + + g(x)f X (x)dx x 2 f X (x)dx b 1 = x 2 dx b a a = 1 b 3 a 3 3 b a = 1 (b a)(b 2 + ab + a 2 ) 3 (b a) = 1 3 (b2 + ab + a 2 )

38 Sección 5.2. Varianza y Covarianza 34 luego: Propiedades de la Varianza Proposición Sean X variable aleatoria, y a, b constantes. V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2 = 1 ( ) a + b 3 (b2 + ab + a 2 ) 2 = 4b2 + 4ab + 4a 2 3a 2 6ab 3b 2 12 (b a)2 = 12 V ar(ax + b) = a 2 V ar(x) Proposición Sean X, Y variables aleatorias, entonces: donde, Definición: Observación: Cov(X, X) = V ar(x) Demostración: V ar(ax + b) = E([aX + b E(aX + b) ] 2 ) }{{} ae(ex)+b = E([aX + b ae(x) b] 2 ) = E([a(X E(X))] 2 ) = a 2 E([X E(X)] 2 ) = a 2 V ar(x) V ar(x + Y ) = V ar(x) + V ar(y ) + 2(Cov(X, Y ) Cov(X, Y ) = E([X E(X)][Y E(Y )]) = E(XY ) E(X)E(Y ) V ar(x + Y ) = E([X + Y E(X + Y )] ) }{{} E(X)+E(Y ) = E([{X E(X)} + {Y E(Y )}] 2 ) = E({X E(X)} 2 + {Y E(Y )} 2 + 2{X E(X)}{Y E(Y )}) = E({X E(X)} 2 ) + E({Y E(Y )} 2 ) + 2 E({X E(X)}{Y E(Y )}) }{{} Cov(X,Y )

39 Sección 5.3. Función Generadora de Momentos 35 Cov(X, Y ) > 0: Se interpreta que X e Y tienden a estar del mismo lado de su esperanza de manera que el producto [X E(X)][Y E(Y )] tiende a ser 0. Se dice que las variables están positivamente correlacionadas. Cov(X, Y ) > 0: Ocurre lo contrario. Cov(X, Y ) = 0: variables no correlacionadas, la cantidad (X E(X)) (Y E(Y )) es con frecuencia }{{}}{{} >0 <0 similar, de manera que E( ) da 0. Proposición X Y Cov(X, Y ) = 0 Demostración: Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) Observación: La recíproca no es cierta en general. }{{} = E(X)E(Y ) E(X)E(Y ) X Y = Función Generadora de Momentos Dado k N, la cantidad E(X k ), se llama momento de orden X. Para calcular los momentos de manera eficiente, se utiliza lo siguiente. + es la definición, pero puede ser difícil de calcular Definición x k f X (x)dx La función generadora de momentos de una variable aleatoria X se define como: M X : R [0, ) t M X (t) = E(e tx ) Proposición: d k M dt k X(0) = E(Xk ) Demostración: Si X es continua, tenemos

40 Sección 5.3. Función Generadora de Momentos 36 d dt M X(t) = d dt E(et X) = d dt = = d dt M X t=0 = = E Al derivar sucesivamente, se obtiene el resultado Ejemplo X N (µ, σ 2 ) Calculemos M X (t): ( ( d dt ) e tx f X (x)dx [ e tx f X (x) ] ) dx xe tx f X (x)dx xf X (x)dx Usando y = x µ σ M X (t) = E(e tx ) = 1 + 2πσ e tx e (x µ)2 2σ 2 dx 1 2π σ + e t(µ+σy e y2 2 σdy = e µt+ 1 2 σ2 t e (y σt)2 2 dy 2π }{{} = e µt+ 1 2 σ2 t 2 = M X (t) 1= densidad de N (σt,1) Ahora, calculemos E(X) y V ar(x) con la función generadora de momentos. Además luego d dt M X(t) = d dt (eµt+ 1 2 σ2 t 2 ) = (µ + σ 2 t)e µt+ 1 2 σ2 t 2 (*) E(X) = d dt M X(0) = µ d 2 M X dt 2 (t) = d dt (*) E(X 2 ) = µ 2 + σ 2 = (µ + σ 2 t)e µt+ 1 2 σ2 t 2 + σ 2 e µt+ 1 2 σ2 t 2

41 Sección 5.4. Distribución de una función de una variable aleatoria Proposición Si X Y M X+Y = M X M Y Demostración: Teorema V ar(x) = E(X 2 ) E(X 2 ) = µ 2 + σ 2 µ 2 = σ 2 M X+Y (t) = E(e t(x+y ) ) = E(e tx e ty ) }{{} = E(e tx ) E(e ty ) X Y = M X (t) M Y (t) Sean X, Y variables aleatorias tales que M X, M Y son finitos en torno a 0. Entonces X e Y tienen la misma distribución si y solo si M X (t) = M Y (t) t La demostración es fácil en, y en es difícil (y no las haremos) Proposición: estabilidad bajo la suma Si X Y son X N (µ, σ 2 ), Y N (v, τ 2 ) entonces, Demostración: X + Y N (µ + v, σ 2 + τ 2 ) M X+Y (t) = }{{} X Y M X (t) M Y (t) = e µt+ 1 2 σ2 t 2 e vt+ 1 2 τ 2 t 2 = e (µ+v)t+ 1 2 (σ2 +τ 2 )t 2 La última expresión es la f.g.m. de una variable aleatoria Z N (µ + v, σ 2 + τ 2 ). Por el teorema, X + Y tiene la misma distribución que Z, es decir X + Y N (µ + v, σ 2 + τ 2 ) 5.4. Distribución de una función de una variable aleatoria Problema: dada una variable aleatoria X con densidad f X, y dada una función g : R R,? Como calcular la densidad de la variable aleatoria Y = g(x)? Solución: seguir los siguientes pasos.

42 Sección 5.4. Distribución de una función de una variable aleatoria 38 Escribir: F Y (y) = P(Y y) = P(g(X) y) Despejar X, en el sentido de obtener un conjunto A y R tal que g(x) y X A y (de hecho, A y = g 1 ((, y])) Con esto: Calcular F Y (y) = P(X A y ) = f X (x)dx A y f Y (y) = d dy F Y (y) Ejemplo: X N (0, 1) Calcular la densidad de Y = X 2 Siguiendo los pasos: F Y (y) = P(Y y) = P(X 2 y) Notemos que y 0 Con esto: X 2 y y X y F Y (y) = P( y X y) = = }{{} integrandoespar y 2 y y 0 1 2π e x2 2 dx 1 2π e x2 2 dx Finalmente: TFC + regla de la cadena = f Y (y) = d dy F Y (y) [ = d dy 2 y 2π 2 e y 2 /2 1 2π 2 y = e y/2 2π y 0 e x2 2 dx ]

43 Sección 5.4. Distribución de una función de una variable aleatoria 39 Para y > 0, se tiene que P(X 2 y) = 0 f Y (y) = e y/2 2πy 1 [0, ) (y)

44 Capítulo 6 Vectores Aleatorios En muchas situaciones hay 2 o mas variables aleatorias que poseen alguna relación (son no independientes), por lo cual no basta con estudiarlos por separado; por lo que para comprender bien su comportamiento, hay que estudiarlos de manera CONJUNTA. Ejemplo Se escoge una perosna al azar en una población, y se consideran las variables aleatorias X: edad de la persona Y : peso de la persona Z: estatura de la persona Claramente, estas variables estan relacionadas. Por ejemplo, las probabilidades del evento Z 1,50m cambia si se condiciona en el evento X Definición: Vector Aleatorio Un VECTOR ALEATORIO es una X : Ω R n, donde (Ω, P) es un espacio de probabilidad. Observación: podemos escribir X 1 (ω) X(ω) =. X n (ω) donde cada X i es una variable aleatoria. Observación: por simplicidad de la presentación, trabajaremos con n = 2. Anotaremos X = (X, Y ) Definición: Función de Distribución Acumulada Conjunta Tenemos que la función de distribución acumulada conjunta del vector aleatorio (X, Y ) es: F X,Y : R 2 [0, 1] Como obtener F X y F Y a partir de F X,Y? (x, y) F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) 40

45 Sección 6.1. Definición: Vector Aleatorio Proposición Demostración: Notemos que si y n, entonces es creciente y su unión es {X x}. Luego, lím X,Y (x, y) y = F X (x) lím X,Y (x, y) x = F Y (y) {X x, Y y n } n N lím F X,Y (x, y) = lím F x,y(x, y n ) y n = lím n P(X x, Y y n) = P(X x) = F X (x) en que la penúltima igualdad se da por continuidad de la probabilidad Definición Un v.a(x, Y ) se dice discreto si X e Y son variables discretas. Anotamos: P X,Y (x, y) = P(X = x, Y = y) Definición Un v.a(x, Y ) se dice conjuntamente continua si existe una función f X,Y : R 2 [0, ), llamada densidad conjunta de (X, Y ), tal que A R 2 P((X, Y ) A) = A f X,Y (x, y)dxdy