1. Espacios Vectoriales Reales.

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1 . Espacios Vectoriales Reales. El Álgebra Lineal es una rama de la Matemática que trata las propiedades comunes de todos los sistemas algebráicos donde tiene sentido las combinaciones lineales y sus consecuencias. Dichos sistemas se denominan Espacios Vectoriales y sus elementos son llamados vectores. De nición Un espacio vectorial real es un conjunto V no vacío en el que se ha de nido una suma y una multiplicación escalar, es decir, para cualesquiera sean u v V y R u + v y u pertenecen a V además se cumplen los siguientes axiomas. u + v v + u: (conmutatividad). u + (v + w) (u + v) + w: ( asociatividad) 3. existe un único elemento V llamado vector nulo, tal que u + u para todo u V 4. para cada vector v V, existe un único vector v V, tal que v + ( v). 5. () v ( v) 6. (u v) u v 7. ( + ) v v u 8. v v para todo v V: Ejemplo El espacio de n-uplas. Sea V el conjunto de todos los elementos de la forma u (x x x 3 : : : x n ) con x i R: Si v (y y y 3 : : : y n ) con y i R la suma de u y v se de ne por u + v (x + y x + y x 3 + y 3 : : : x n + y n ) El producto de un escalar c y el vector se de ne por u (x x : : : x n ) Donde la adición vectorial y multiplicación escalar cumple las condiciones de Espacio Vectorial.

2 Ejemplo 3 El espacio de las matrices m n, R mn donde m y n son enteros positivos. La suma de dos vectores (a ij ) y (b ij ) en R mn se de ne por + (a ij + b ij ) El producto de un escalar y de la matriz se de ne por (a ij ) Ejemplo 4 El espacio de las funciones de S en R. Sea S cualquier conjunto no vacio y V el conjunto de todas las funciones de S en R. La suma de dos vectores f y g de V es un vector f g es decir, la función de nida por (f + g) (x) f (x) + g (x) El producto de un escalar por la función f se de ne por (f) (x) f (x) Ejemplo 5 El espacio vectorial P n de los polinomios de grados menores o iguales que n sobre un cuerpo R. Sea V el conjunto de los vectores de la forma p (x) c + c x + c x + + c n x n donde c c c c n son escalares jos ( independiente de x). La suma de dos vectores p (x) c + c x + c x + + c n x n y q (x) d + d x + d x + + d n x n se de ne por p (x) + q (x) (c + d ) + (c + d ) x + (c + d ) x + + (c n + d n ) x n El producto de un escalar k y del polinomio p (x) se de ne por kp (x) kc + kc x + kc x + + kc n x n Ejemplo 6 Sea el conjunto de los reales positivos V R + sobre el cuerpo de los números reales R: La suma de dos vectores u y v u + v uv El producto de un escalar c y vector se de ne por u u de ne un espacio vectorial. En efecto, se veri can los diez axiomas de espacios vectorial:

3 . lausura o cierre de la suma. Sean u y v vectores de V entonces u R + y v R + ) u + v uv R +.. La adición es conmutatividad: u + v uv + : 3. La adición es asociativa: u + (v + w) u (vw) (uv) w (u + v) + w: 4. Existe un único elemento neutro v de V tal que u v u: En efecto, u+ v u ) u x u ) x por tanto v : 5. Para cada vector u V, existe un único vector u V, tal que u + u v : En efecto, u + y ) u y ) y u como u R +, tenemos que u 6 por tanto y u existe y es único. Obviamente y u R + : 6. lausura o cierre de la multiplicación por un escalar. Sea un escalar y u un vector de V ) R y u R + ) u u R + ) u V. 7. u u u 8. () u u (u ) (u) : 9. (u + v) (u + v) (uv) u v u + v u + v. ( + ) u u + u u u + u u + u:.. Subespacios vectoriales De nición 7 Sea V un espacio vectorial, un subconjunto no vacío W de V, que con las operaciones de adición y multiplicación escalar de nidas en V es un espacio vectorial, se llama subespacio vectorial de V. Una comprobación directa de los axiomas para un espacio vectorial demuestra que todo subconjunto de W (no vacio) de V veri ca la conmutativid y la asociatividad de la adición vectorial y las propiedades 4 (a) (b) (c) (d) de la multiplicación por un escalar, por lo 3

4 que no es necesario comprobarlas para demostrar que el subconjunto W es un subespacio de V. Entonces para viri car si W es un subespacio de V sólo es su ciente comprobar que:. la adición es cerrada en W : Si u y v pertenecen a W, entonces u + v es un vector de W.. v W 3. si u W entonces el opuesto u pertenece a W 4. para todo escalar R y vector u W entonces u W: Teorema 8 Sea (V + ) un espacio vectorial y W un subconjunto, no vacío, de V, entonces (W + ) es un subespacio de V si, y solo si, u+v W para todo par de vectores u y v de W y todo escalar de R: De nición 9 Dependencia e Independencia Lineal. Sea W fu u : : : u n g un subconjunto de un espacio vectorial V. Se dice que u V es una combinación lineal de los vectores de W si, y solo si existen escalares : : : n tales que u + u + + n u n : El conjunto W es linealmente dependiente si existen escalares : : : n no todos nulos, tales que u + u + + n u n O El conjunto W es linealmente independiente si u + u + + n u n O sólo tiene sentido cuando n 4

5 .. Propiedades. Sean W y U subconjuntos de un espacio vectorial V, tales que W U Propiedad Si W contiene al elemento neutro O del espacio V entonces W es linealmente dependiente. Propiedad Si W es un subconjunto linealmente dependiente, entonces al menos un vector de W se puede escribir como combinación lineal de los restantes en W. Propiedad Si W es linealmente dependiente, entonces U es linealmente dependiente. Propiedad 3 Si U es linealmente independiente, entonces W es linealmente independiente. Propiedad 4 Si fu u : : : u n g es linealmente independiente y u + u + + n u n u + u + + n u n entonces : : : n n : De nición 5 Subespacio Generado. Sea S fu u : : : u n g un subconjunto de un espacio V. El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S se denomina subespacio generado por S gen (S) fu V : u u + u + + n u n g De nición 6 ase y Dimensión. Sea V un espacio vectorial, un subconjunto de fu u : : : u n g se llama base de V si: (a) genera a V es decir, gen (S) V y (b) es linealmente independiente. El número de vectores de cualquier base de V determina la dimension de V es decir, si fu u : : : u n g es una base el espacion es de dimensión n se escribe, dim (V ) n: PROLEMS PROPUESTO. 5

6 . Determinar cuales axiomas de espacios vectoriales veri can los siguientes conjuntos con las operaciones indicadas (k R): a) El conjunto de los elementos de V f(x y z) R 3 y 6 g con las operaciones (x y z) (a b c) (x + a yb z + c) k (x y z) kx y z k b) El conjunto de los elementos de V f(x y) R g con las operaciones (x y) (a b) (x a y b) k (x y) (x y) c) El conjunto de los elementos de V f(x y) R g con las operaciones (x y) (a b) (x + a ) k (x y) (kx ) d) El conjunto de los elementos de V R + con las operaciones x a xb k x x k e) El conjunto de los elementos de V fx R x g con las operaciones x a x + a + xa k x x f ) El conjunto de los pares ordenados (x y) de números reales sobre el cuerpo R con las operaciones g) El conjunto R n con las operaciones (x y) (a b) (x + a y + b) k (x y) (kx y) k k 6

7 h) El conjunto de todas las matrices de la forma a con las operaciones b de adición matricial y multiplicación por un escalar usuales. i) El conjunto de todas las matrices de la forma a a b con las a b b operaciones de adición matricial y multiplicación por un escalar usuales. j ) El conjunto de los pares ordenados (x y) de números reales sobre el cuerpo R con las operaciones (x y) (a b) (x + a y + b + ) k (x y) (kx ky) k) El conjunto de los polinomios p (x) de grados menor o igual a 3 cuya derivada en es igual a cero (p () ), con las operaciones de adición de polinomios y multiplicación por un escalar usuales.. Sea el conjunto de vectores f(x y) R : ó x 6 ó y 6 g con las operaciones (x y) (a b) (xa yb ay + ab) k (x y) (x y) ( k R) Determinar los axiomas de espacio vectorial que veri ca la estructura ( ) sobre el cuerpo de los números reales. 3. Determinar cuales de los siguiente conjuntos de vectores (a a a 3 : : : a n ) son subespacios de R n (n 3) a) todos los tal que a : b) todos los tal que a + 3a a 3 c) todos los tal que a a d) todos los tal que a a 7

8 e) todos los tal que a es racional. 4. Sea V el espacio vectorial real de todas las funciones f de R en R: Determinar cuáles de los siguiente conjuntos de vectores son subespacios de V: a) todas las f tales que f (x ) (f (x)) : b) todas las f tales que f () f () : c) todas las f tales que f (3) + f ( 5) : d) todas las f tales que f ( ) : e) todas las f tales que f () f () : f ) todas las f tales que f (x) f ( x) : g) todas las f tales que f (x) f (x) : 5. nalizar la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores. Si el conjunto es linealmente dependiente mostrar que al menos uno ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes. a) f( 3 5 3) ( ) ( ) ( 3 4)g R 4 : b) f( 3 5) ( ) ( ) ( 3)g R 3 : 8 9 c) : Rx : d) f3x 3 + x + x + x 3 x + x x + 3x 4g P 3 : e) f(sin (x) cos (x) ) (cos (x) sin (x) ) ( sin (x) cos (x) )g R 3 6. Encontrar para que valor del escalar a el vector indicado es una combinación lineal de los vectores del correspondiente conjunto S a) (a + 5 a + a ) y S f( 4 ) ( 3 ) (4 5)g : b) (a + ) x 3 + (a ) x + (a + 3) x + a y S fx 3 + x + x + x 3 + x + x + x 3 + x + 3x + 4g : 8

9 c) 8 y S : a a a a a 4 9 : 7. nalice las proposiciones e indique si son verdaderas o falsas. Justi que. a) Si es linealmente independiente, es linealmente independiente ambos de V entonces [ es linealmente independientes. b) Todo conjunto linealmente dependiente no tiene subconjuntos linealmente independiente. c) El subespacio generado por f 3 g es linealmente dependiente. 8. Sea V un espacio vectorial y S f g V un conjunto linealmente independiente. a) Probar que S f 3 g es linealmente independiente. b) Probar que S f 3 4 O v g es linealmente dependiente. c) Probar que S f g es linealmente dependiente. d) Determinar los escales x y z tales que: x + p 3 + z p e + y 3 + ln () 9. Sean W y W subconjuntos nitos de un espacio vectorial V tales que W W. Determinar cuáles de las siguientes a rmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Justi que su respuesta en cada caso. a) Si W es linealmente dependiente, también lo es W. b) Si W es linealmente independiente, también lo es W. c) Si W es linealmente dependiente, también lo es W. d) Si W es linealmente independiente, también lo es W. e) Si O v W entonces W linealmente dependiente.. Determine cuales de los siguientes conjuntos W son subespacios del espacio V indicado 9

10 a) W f(x y) x + y g de V R : b) W f(x y) x + y g de V R : c) W f(x y) x y y g de V R : d) W f(x y) x + y g de V R : e) W f(x y z) R 3 y g de V R 3 : f ) W f(x y z) R 3 x g de V R 3 : g) W f(x y z) R 3 x + 3y zg de V R 3 : h) W f(x y z) R 3 z x g de V R 3 : i) W f(x y z) R 3 x y zg de V R 3 : j ) W f(x y z w) x + y + z w x + y z w g de V R 4 : k) W f(x y z w) x + yz w x + y z w g de V R 4 : l) W f(x y z) x + y + z x + y z g de V R 3 : m) W f(x y z) x + y + z g de V R 3 : n) W f(x y z) x y g de V R 3 : ñ) W nn nn T nn matrices simétricas de V R nn : o) W f nn nn es una matriz triángular superiorg de V R nn : p) W nn nn T nn matrices antisimétricas de V R nn : q) W f nn nn nn nn nn matrices que conmutan con una matriz ja nn g de V R nn : r) W f nn det nn matrices singularesg de V R nn : s) W nn nn nn matrices idempotentes de V R nn :. Determine en cada caso, si el vector pertenece al subespacio generado por el conjunto de vectores 8 9 :

11 a) 3 b) 5 c) 3 3 :. Sea W el subconjunto de las matrices de R que conmutan con M con las operaciones usuales de suma y multiplicación por un escalar 3 4 a) (W + ) es un subespacio de R? b) Si la respuesta a la pregunta anterior es: ) Si, encuentre la dimensión de W. ) No, encuentre el cardinal de W: 3. Sea S el conjunto los vectores del espacio P 3 formado por p (x) ax 3 + x + x + p (x) x 3 + ax + x + a p 3 (x) x 3 + x + ax + a p 4 (x) x 3 + x + ax + a) Encontrar los valores de a, para que la dimensión del subespacio generado por S sea 3. b) Determine si p 3 (x) x 3 + x + 3x + pertenece al subespacio generado por p (x) y p 3 (x) cuando a : 4. Encontrar el subespacio generado por el conjunto S a) S f( 3 4) (4 3 ) ( )g R 4 : b) S ft 3 t + t + t 3 t + t t 3t 4g P 3 : 8 9 c) S : 4 4 R : d) S f( 3) (4 3 ) ( ) ( 3)g R 3 : 5. Dado el vector 4x 3 + 3x + x + 6 P 3 : Hallar para cuales valores de R se cumple que es un elemento del subespacio generado por el conjunto S x 3 + x + x + x 3 + x + 3x + x 3 + x + x + 3x 3 + x + x + :

12 6. Determinar si los siguientes subespacio W y W son iguales a) Si W es generado por 8 S : y W es generado por 8 S 7 7 : b) Si y 8 9 W a b : 4c 5a d a + 4b 3d : c d 8 9 4x y 4y x W : x y R : 5x 5y c) Si W es generado por 8 9 S : 3 3 y 8 9 4x y 4y x W : x y R : 5x 5y d) Si W es generado por 8 9 S : 3 4 y 8 9 7a b 3b a W : a b R : a b 7. Hallar una base y la dimensión del subespacio W ax 3 + bx + cx + d P : a + b + 3c + 4d a + 3b + 4c + 5d

13 8. Determinar una base y la dimensión para el espacio vectorial a) V f(x y z t w) R 5 x + y + z + t w x y + z t + 3w g : 8 9 x + y z 4x y 3z b) V x y z R : 3x + y x + 4y 5z : c) V fat 3 + bt + ct + da + 3b + c d a + 3b + c d 5a + 9b + 5c 4d g : 8 9 d) V : 3 3 O 3 3 : 8 9 > a a b > e) V 33 c d e >: 33 O 3 y T raza ( 33 ) > a + b e d c n f ) V p (x) ax 4 bx 3 + cx + dx ep () R o p (x) dx p ( ) : g) V [( 3 4) ( 3 4 5) (3 4) ( 7 4)] : h) V [ x 3 x + x + x 3 x + 3x + x 3 x + 4x + x 3 x + x + ] : 3 i) V : Sea el conjunto de vectores f( 3) ( ) ( k )g a) Determine para que valores de k el conjunto es una base de R 3 : b) Si v (6 3 k + 8) encuentre los valores de k para los cuáles v pertrenece al subespacio generado por :. Sea V el espacio de las matrices con las operaciones suma y multiplicación por un escalar usuales y W el subconjunto : Determinar el subespacio generado por W.. Encontrar para cada una de las matrices siguientes matrices el subespacio F () generado por las las de la matriz, determinar para F () una base y su dimensión: 3

14 a) b) c) Encontrar para cada una de las matrices siguientes el subespacio () generado por las las de la matriz, determinar para () una base y su dimensión: a) 5 6 b) c) Determine todos los subespacios de R 3 de dimensión a) cero, b) uno, c) dos, d) tres. 4. Encontrar una base y la dimensión del subespacio solución del sistema a) 8 > >: x + y z + s t 3x y + 3z + s 4t 5x + y + z t s b) 8 > >: x + y z + s t x y z + s 4t 4x + y + z + t s Sea una base del espacio : vectorial R. Determine a) Las coordenadas del vectores 3 4 respecto a la base. b) El vector cuyas coordenadas son () ( 3) : c) Las coordenadas del vectores cuyas coordenadas respecto a la base, son () ( 3) 4

15 6. Sea fx 3 x + x + 3x x 3 + x x + 3g una base del espacio vectorial P 3. Determine: a) Las coordenadas del vectores x 3 x + 7x 7 respecto a la base. b) El vector cuyas coordenadas son () ( 3) : c) Las coordenadas del vectores cuyas coordenadas respecto a la base, son () ( 3) : 7. Sea f(4 ) ( 3 ) (3 )g una base del espacio vectorial R 4. Determine: a) Las coordenadas del vectores ( 4 9 5) respecto a la base. b) El vector cuyas coordenadas son () (3 ) : c) Las coordenadas del vectores cuyas coordenadas respecto a la base, son () ( ) : 8. Sea f( 3) (3 ) ( )g una base de R 3 determinar las coordenadas de los vectores ( 4 6) ( 4 ) 3 ( 4 3) a la vez, en un único proceso. 9. Sea W el subespacio vectorial del espacio vectorial de los polinomios P 4 W ax 4 + bx 3 + cx + dx + e : 3a + b + c d e a + 3b c + d e con las operaciones usuales de adición vectorial y multiplicación por un escalar. Determinar si es una base de W a) f5x 4 x 3 + x + x + 5 8x 4 5x 3 x + 3x + 579x 4 + 6x + 3x + 5g b) [ donde f8x 4 + 5x 3 x + 3x + 579x 4 + 6x + 3x + 5g f 5x 4 + x 3 + 5x + 4x 5 5x 4 x 3 + x + x + 5g 5

16 c) [ donde f 5x 4 + x 3 + 5x + 4x 5 9x 4 + 6x + 3x + 5g f5x 4 x 3 + x + x + 5 8x 4 5x 3 x + 3x + 57g 3. Sea V el espacio de las matrices con las operaciones suma y multiplicación por un escalar usuales y 8 9 W 3 : 3 4 Determinar: a) el subespacio H, generado por W. b) una base y la dimensión del subespacio H. c) si pertenece a H. 3 4 d) las coordenadas de 5 en la base encontrada onstruya una base de R 4 que contenga a los vectores ( ) y ( ). 3. Sea S f(a + 3) x + x + ax + (a ) x + 3 (a + ) x + ax + a + 3g tal que el subespacio generado por S es de dimensión. Hallar: a) El subespacio generado por S. b) Una base del subespacio generado por S: c) Las coordenadas del vector 3x + 6 en la base anterior. 33. Determine una base y la dimensión de la intersección de los subespacios de R 4 generados por U f( ) ( ) ( 3 )g y W f( ) ( 3 7)g. 6

17 34. Sólo uno de los siguientes conjuntos de vectores no es un subespacio de las matrices reales. uál es? a) W x y : x y z : z t b) W x y : x + y + t : z t c) W 3 x y : x + y 3 z : z t d) W 4 x y : x z + y : z t 35. Si W es un subespacio vectorial cualquiera de R 4 siempre podemos asegurar que uno de los siguientes vectores pertenece a W : a) ( 3 4) b) ( ) c) ( ) d) ( 3 ) e) ( ) 36. Sólo uno de los siguientes conjuntos de vectores no es un base de R 3 : uál es? > a) W >: > > b) W 3 > >: > 3 > > c) W 3 >: > > d) W 4 > >: > > 37. Sea f 3 g una base del espacio vectorial V y S f g V: En este caso siempre podemos asegurar que: a) S es linealmente independiente, b) S es linealmente dependiente c) S es una base de V d) S no genera a V e) S genera a V. 38. Sea el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a dos, de nido por S at + bt + c : a + b a b + c con las operaciones usuales. a) Demuestre que S es un subepacio Vectorial. b) Determine una base de S. 7

18 39. Encontrar un vector común a los subespacios generados por los conjuntos de W f( 3) (3 )g y W f(x y z) : z x g 4. Sea f(a a a) (a + a) ( a)g a) Encuentre los valores de a para que los vectores de no formen una base de R 3 : b) Para los valores de a hallados anteriormente encuentre la base y la dimensión de los subespacios generados por Demuestre que: W x y x + y + z + t : es un subespacio de las : z w x y + z t matrices de orden : Encuentre una base y la dimensión del subespacio W: 4. Sea fv v v 3 g un conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V: Determine los escalares de c c y c 3 para que el vector v V se pueda expresar como: v c v + c v + c 3 v 3 v (c c ) v + (c 3 c ) v + (c ) v onsidere el conjunto S 3 6 : de R : Determine el espacio generado por S e indique si se encuentra en dicho espacio. ESUEL DE INGENIERI INFORM TI: LULO IV: SEGUNDO EXMEN PRIL:. Dado el conjunto S ( p (x) ) 3X a k x k P 3 : a a k a) [ punto] Pruebe que S es un subespacio de P 3 : 8

19 b) [ punto] Encuentre una base y la dimensión de S c) [ punto] Encuentre las coordenadas de p (x) + 4x 3 en la base :. onsidere la transformación lineal T : R 3! P tal que T ( ) x x + T ( ) x + T ( ) x + x + 4 a) [3 puntos] Encuentre T (a b c) : b) [3 puntos] Determine la matriz asociada en las bases f( ) ( ) ( )g y x + (x + ) c) [3 puntos] Encuentre T ( ) usando la matriz asociada. 3. Dada la matriz a) [3 puntos] Determine los valores propios y las bases de los correspondientes espacios propios de : b) [3 puntos] alcule p usando la matriz diagonal: 9

20 Soluciones.. a) O T O! O S! S 6 b) S! T T! ( + ) T T + T ( + ) ) + S T a a a 3 a a a 3 a a a 3 a a a 3 a a a 3! a a a 3 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 a 33! a a a 33 a a a 3 a 3 a 3 a 3 a a 3 a a 3 a a 3 a + + a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a + a 3 + a > ase: >: >! dim S 3 >.. a) (a + b + c) x (b c) x + a + 3c x + x +! a + b + c b + c a + 3c!!! El sistema es :D: 3

21 N (T ) f( )g! dim N (T )! dim Im (T ) 3! T es biyectiva T (x 5x 7) (a b c)! x 5x 7 T (a b c)! x 5x 7 (a + b + c) x (b c) x + a + 3c a + b + c (b c) 5 a + 3c 7! a b c 3! T (x 5x 7) ( 3) b) T ( ) x x + T ( ) 3x + 4 T ( ) x ! 5 9! [T ] c)!! [T ] T T () + 4 (x ) + (x ) (x ) x x U. ESUEL DE INGENIERÍ INFORMÁTI: DEPRTMENTO DE MTEMÁTI. ÁLULO IV. SEGUNDO EXMEN PRIL. 3/6/4. [5 punto] onsidere el conjunto de los pares ordenados (x y) de números reales sobre el cuerpo R con las operaciones (x y) (a b) (x + a y + b + ) k (x y) (kx ky)

22 Determinar los axiomas de espacios vectoriales que se cumplen. Justi que.. Dado el conjunto S M : T a) [ punto] Probar que S es un subespacio de M : b) [ punto] Determinar un conjunto que sea base de S y la dimensión de S: c) [ punto] Encuentrar las coordenadas de 3 en la base : Dada la transformación lineal T : M! R 4 tal que + x T + + x + + y y + + a) [ puntos] Determinar para qué valores de x y y la transformación es lineal. b) [3 puntos] Hallar una base y la dimensión del núcleo y de la imagen de T: 4. onsidere la transformación lineal T : R 3! P tal que a T b a b + c (a c) x + (a 3b + c) x c a) [3 puntos] Encuentre la matriz asociada en las bases ordenadas f( ) ( ) ( )g y f x x + x x x g b) [ puntos] Determine si T es o no biyectiva. Justi que.

23 Soluciones:... (a) S! T T + T + T ( + ) T! + S (b) a b S! a b a c c d c d b d a b a c c d b d b c! b c c b a b a + b + d b d 8 9 El conjunto es l:i. y genera el espacio, : por tanto es una base de S: 3 (c) (a) x y 8 > + + (b) >: + +!!! 8 9 N (T ) : : dim (Im (T )) 3! dim (N (T ))! 3

24 ! dim (N (T ))! dim (Im (T )) ase de Im (T ) 8 > >: 9 > > 4. (a) ! Matriz asociada [T ] (b), [T ] 4 3 3! 5! ran [T ] No es sobreyectiva, por tanto tampoco es biyectiva. 4

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