Fundamentos de Programación Entera

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1 Fundamentos de Programación Entera Carlos Testuri Germán Ferrari Departamento de Investigación Operativa. Instituto de Computación. Facultad de Ingeniería. Universidad de la República Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 1/26

2 Contenido 1 Introducción Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 2/26

3 Definición de programación entera Trata del modelado y resolución de problemas con variables discretas: enteras (indivisibilidad) y binarias (decisiones). Características: Formulaciones representativas y flexibles del problema Explosión combinatoria de soluciones factibles Resolución más difícil que programación lineal; no se conoce método eficiente general de resolución. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 3/26

4 Aplicaciones de programación entera Operación: despacho de actividades entre recursos compartidos Planificación: producción a partir de insumos y procesos Diseño: instalación de capacidades a partir de componentes y sus propiedades Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 4/26

5 Los modelos permiten la comprensión y la resolución de problemas. Implican abstracciones que reflejan interacciones relevantes de las entidades del problema, donde la simplificación insuficiente implica costos extras o incapacidad de resolución, y excesiva acarrea inviabilidad debido a falta de realismo. El proceso de modelado conlleva ciertas etapas: comprensión del problema, formulación simbólica de modelo (algebraico), resolución de modelo (computacional), e interpretación de resultados. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 5/26

6 Componentes de modelo Para establecer un modelo algebraico, a partir de un problema, se deben determinar los parámetros (datos), las variables (decisiones), las restricciones (sobre las decisiones), y el objetivo (función de las decisiones). La determinación de variables puede tener diferentes alternativas, (proceso más elaborado que el de programación lineal). Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 6/26

7 Optimización (Programación matemática) Problema de maximizar una función objetivo de variables de decisión, las cuales están sujetas a restricciones en los valores que pueden tomar, maximizar f (x) sujeto a g(x) 0 x X. Solución factible: instancia de variable de decisión que satisface todas las restricciones. Conjunto/región factible: el conjunto de todas las soluciones factibles. Solución óptima: solución factible que maximiza la función objetivo. Valor óptimo: valor de la función objetivo en la solución óptima. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 7/26

8 Problema de programación entera (lineal) Dados los parámetros: matriz A R m n, y los vectores columnas b R m y c R n y la variable de decisión: vector columna x Z n. Caso variables enteras (IP: integer program), max s.a. c τ x Ax b x 0 y entero. Caso variables binarias (BIP: binary integer program), max s.a. c τ x Ax b x {0, 1} n. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 8/26

9 Problema de programación entera mixta (lineal) Dados, además, los parámetros: matriz E R m p y vector columna d R p, y la variable de decisión: vector columna y R p. Caso variables enteras y reales (MIP: mixed integer program). max s.a. c τ x + d τ y Ax + Ey b x 0 y entero, y 0. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 9/26

10 Formulación básica Decisión con dos alternativas (binaria): x {0, 1} Decisión con conjunto discreto de alternativas: x {a 1,..., a m } Decisiones binarias dependientes La decisión x puede tomarse (x = 1) solo si la decisión y es tomada (y = 1): x y. Relaciones entre variables binarias y i, i = 1,..., m : m i=1 y i 1, m i=1 y i = 1. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 10/26

11 Formulación básica: conjunto de valores discretos Se requiere que la variable x varíe en el conjunto {a 1,..., a m }. Dadas las variables binarias y i, i = 1,..., m: x = m i=1 a iy i, m i=1 y i = 1, y i {0, 1}, i = 1,..., m. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 11/26

12 Formulación básica: ejemplo Dados ciertos cursos, identificados por i = 1,..., 5, se requiere modelar las siguientes decisiones sobre elección para cursarlos mediante las variables binarias y i (y i = 1, si se elige el curso i), Elegir al menos uno de los cursos: 5 i=1 y i 1 Elegir a lo sumo cuatro de ellos? Si se elige el curso 2, se debe elegir el curso 5? Si se elige el curso 1, no se debe elegir el curso 3? Se deben elegir los cursos 4 y 5, o ninguno de ellos? Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 12/26

13 Formulación básica: restricciones disyuntivas Dadas las decisiones x R n, con x 0, se tienen los casos Base: Al menos una de las restricciones a τ x b, c τ x d, debe cumplirse, donde a, c 0: a τ x by, c τ x d(1 y), y {0, 1}. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 13/26

14 Formulación básica: restricciones disyuntivas Dadas las decisiones x R n, con x 0, se tienen los casos Base: Al menos una de las restricciones a τ x b, c τ x d, debe cumplirse, donde a, c 0: a τ x by, c τ x d(1 y), y {0, 1}. General: Al menos k de las restricciones a τ i x b i, i = 1,..., m, deben cumplirse, donde a i 0, i = 1,..., m: a τ i x i b i y i, m i=1 y i k, y i {0, 1}, i = 1,..., m. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 13/26

15 Problema del mochilero Existe la posibilidad de llevar i = 1,..., n objetos de valor c i y tamaño a i en una mochila de capacidad b. Se desea saber cuales objetos llevar de forma de maximizar el valor de lo transportado en la mochila. Variable x i = 1 si el objeto i es transportado, y x i = 0 en caso contrario. Restricciones No se puede exceder la capacidad: n i=1 a ix i b. Variables binarias: x i {0, 1}, i = 1,..., n. Función objetivo: maximizar el valor de lo transportado: max n i=1 c ix i. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 14/26

16 Problema de asignación Dadas n personas y n tareas, se debe asignar una tarea a cada persona. Si a la persona i se le asigna la tarea j se incurre en un costo c ij. El objetivo es establecer la asignación de costo mínimo. Variable x ij = 1 si a la persona i se asigna la tarea j, y x ij = 0 en otro caso (o.c.) Restricciones cada persona realiza una tarea: n j=1 x ij = 1, i = 1,..., n, cada tarea es realizada por una persona: n i=1 x ij = 1, j = 1,..., n, variables binarias: x ij {0, 1}, i = 1,..., n, j = 1,..., n. Función objetivo minimizar el costo de la asignación: min n i=1 n j=1 c ijx ij. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 15/26

17 Problema del vendedor viajero (TSP) (1/2) Un vendedor debe visitar las ciudades N = {1,..., n} una única vez y retornar a la de partida. El costo de viajar de la ciudad i a la j es c ij. Se busca encontrar el orden, de menor costo, en que se recorren. Variable x ij = 1 si el vendedor va de la ciudad i a la j, i j, y x ij = 0 o.c. Restricciones se parte de la ciudad i una única vez: n j=1:j i x ij = 1, i = 1,..., n, se arriba a la ciudad j una única vez: n i=1:i j x ij = 1, j = 1,..., n, Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 16/26

18 Problema del vendedor viajero (TSP) (1/2) Un vendedor debe visitar las ciudades N = {1,..., n} una única vez y retornar a la de partida. El costo de viajar de la ciudad i a la j es c ij. Se busca encontrar el orden, de menor costo, en que se recorren. Variable x ij = 1 si el vendedor va de la ciudad i a la j, i j, y x ij = 0 o.c. Restricciones se parte de la ciudad i una única vez: n j=1:j i x ij = 1, i = 1,..., n, se arriba a la ciudad j una única vez: n i=1:i j x ij = 1, j = 1,..., n, Solo estas restric. generan soluciones de ciclos disconexos (subtours). Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 16/26

19 Problema del vendedor viajero (TSP) (2/2) Se necesitan restricciones adicionales que eliminen ciclos (formulación subtour), x ij S 1, S N, S, N; i S j S o alternativamente, se necesitan restricciones que impongan conectividad (formulación cut-set), x ij 1, S N, S, N. i S j/ S variables binarias: x ij {0, 1}, i = 1,..., n, j = 1,..., n, i j. Función objetivo minimizar el costo del viaje: min n n i=1 j=1 c ijx ij. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 17/26

20 Problema de optimización combinatoria Dado el conjunto finito N = {1,..., n}, coeficientes c i para cada i N, y un conjunto F de subconjuntos factibles de N. El problema de encontrar un subconjunto factible con el mínimo valor, { } min S N c i : S F, i S es un problema de optimización combinatoria (COP: combinatorial optimization problem). Generalmente estas formulaciones pueden convertirse a programación entera. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 18/26

21 Ejemplo de problema de cobertura Planificación de servicios para atender a usuarios. A partir de un conjunto de servicios posibles se debe decidir cuales instalar para atender los usuarios. De cada servicio se conocen que usuarios se podrían atender y el costo correspondiente de su instalación. El objetivo es cubrir la atención de todos los usuarios a mínimo costo de instalación de los servicios. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 19/26

22 Problemas de cobertura, empaque y partición de conjunto (1/3) Dados los conjuntos M = {1,..., m} y N = {1,..., n}. Sean M j subconjuntos de M, con valor c j asociado, j N. Dado S subconjunto de N, S se dice cobertura de M si j S M j = M S se dice empaque de M si M j Mk =, j, k S, j k S se dice partición si es cobertura y empaque Valor del subconjunto S : j S c j. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 20/26

23 Problemas de cobertura, empaque y partición de conjunto (2/3) Especificado según programación entera: Dados la matriz de incidencia A B m n de {M j : j N}, { 1, si i Mj a ij = 0, o.c., y la variable de decisión x j, la cual vale 1 si j S y 0 en o.c. Entonces S es una cobertura, empaque o partición si y solo si n j=1 a ijx j 1, n j=1 a ijx j 1 ó n j=1 a ijx j = 1, respectivamente. para i = 1,..., m. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 21/26

24 Problemas de cobertura, empaque y partición de conjunto (3/3) encontrar una cobertura S de mínimo valor, min s.a. n j=1 c jx j, n j=1 a ijx j 1, i = 1,..., m, x j {0, 1}, j = 1,..., n. encontrar un empaque S de máximo valor, max s.a. n j=1 c jx j, n j=1 a ijx j 1, i = 1,..., m, x j {0, 1}, j = 1,..., n. encontrar una partición de S (puede ser min/max valor o problema de factibilidad) s.a. n j=1 a ijx j = 1, i = 1,..., m, x j {0, 1}, j = 1,..., n. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 22/26

25 Localización de instalación no-capacitada (1/2) Una empresa puede abrir plantas en ciertos lugares j = 1,..., n que operarían con costos fijo f j para atender la demanda de un producto por parte de sus clientes i = 1,..., m. Cada cliente puede ser suministrado, desde las plantas que se decide abrir, a un costo de transporte c ij por toda su demanda. Se busca determinar que plantas se abren y desde cuales de estas se atiende cada cliente de forma de minimizar los costos fijos y de transporte. Uncapacitated Facility Location problem (UFL) Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 23/26

26 Localización de instalación no-capacitada (2/2) Variables - determinación de uso de la planta j: y j = 1 si se usa, y j = 0 en o.c. - fracción de demanda del cliente i atendida por la planta j: x ij [0, 1] Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 24/26

27 Localización de instalación no-capacitada (2/2) Variables - determinación de uso de la planta j: y j = 1 si se usa, y j = 0 en o.c. - fracción de demanda del cliente i atendida por la planta j: x ij [0, 1] Restricciones - atención a la demanda de los clientes: n x ij = 1, i = 1,..., m. j=1 - activación del uso de las plantas: m x ij my j, j = 1,..., n. i=1 Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 24/26

28 Localización de instalación no-capacitada (2/2) Variables - determinación de uso de la planta j: y j = 1 si se usa, y j = 0 en o.c. - fracción de demanda del cliente i atendida por la planta j: x ij [0, 1] Restricciones - atención a la demanda de los clientes: n x ij = 1, i = 1,..., m. j=1 - activación del uso de las plantas: m x ij my j, j = 1,..., n. i=1 Función objetivo - minimizar el costo: min n j=1 f jy j + m i=1 n j=1 c ijx ij. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 24/26

29 Determinación de lotes no-capacitada (1/2) Consiste en decidir un plan de producción para atender la demanda de un producto durante t = 1,..., n períodos, teniendo en cuenta costos fijos y variables de producción, y costos de almacenamiento. Parámetros - f t es el costo fijo de producir en el período t, - p t es el costo unitario de producción en el período t, - h t es el costo unitario de almacenamiento en el período t, - d t es la demanda en el período t. Variables - x t es la cantidad producida en el período t, - s t es el inventario al final del período t, - y t = 1 si se produce en el período t, y t = 0 en o.c. Uncapacitated Lot-Sizing problem (ULS) Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 25/26

30 Determinación de lotes no-capacitada (2/2) Dado que no hay una cota de producción se asume un valor grande M para la activación de los costos fijos. n min t=1 p tx t + n t=1 h ts t + n t=1 f ty t s.a. s t 1 + x t = d t + s t, t = 1,..., n, x t My t, t = 1,..., n, s 0 = 0, s t 0, x t 0, y t {0, 1}, t = 1,..., n. Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 26/26

31 Determinación de lotes no-capacitada (2/2) Dado que no hay una cota de producción se asume un valor grande M para la activación de los costos fijos. n min t=1 p tx t + n t=1 h ts t + n t=1 f ty t s.a. s t 1 + x t = d t + s t, t = 1,..., n, x t My t, t = 1,..., n, s 0 = 0, s t 0, x t 0, y t {0, 1}, t = 1,..., n. Cómo se caracterizarán sus soluciones según varíen h t y f t? Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 26/26

32 Determinación de lotes no-capacitada (2/2) Dado que no hay una cota de producción se asume un valor grande M para la activación de los costos fijos. n min t=1 p tx t + n t=1 h ts t + n t=1 f ty t s.a. s t 1 + x t = d t + s t, t = 1,..., n, x t My t, t = 1,..., n, s 0 = 0, s t 0, x t 0, y t {0, 1}, t = 1,..., n. Cómo se caracterizarán sus soluciones según varíen h t y f t? Si se representara más de un producto: Cómo sería la formulación? Cómo se caracterizaría su resolución? Facultad de Ingeniería. UdelaR Fundamentos de Programación Entera 26/26

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