OSCILADOR ARMÓNICO ÍNDICE

Transcripción

1 ÍNDICE OSCILDOR RMÓNICO 1. Moviiento periódico. Moviiento arónico siple (MS) 3. Cineática del MS 4. uerza y energía del MS 5. Ecuación básica del MS 6. Oscilaciones aortiguadas 7. Oscilaciones forzadas 8. Péndulo siple y péndulo físico 9. Elasticidad en sólidos BIBLIOGRÍ: Caps. 1 y 14 del Tipler Mosca, vol. 1, 5ª ed. Caps. 1 y 15 del Serway Jewett, vol. 1, 7ª ed. Caps. 14 y 15 del Gettys-rederick-Keller.

2 1. MOVIMIENTO PERIÓDICO Un oviiento periódico es el tipo de evolución teporal que presenta un sistea cuyo estado se repite eactaente a intervalos regulares de tiepo. Si S(t) representa el estado del sistea, para un oviiento oscilatorio se tiene que: S( t) S( t T), t Ejeplos Moviiento de un objeto unido a un uelle. La oscilación de un péndulo en un plano. La Tierra girando alrededor del Sol. Partícula oviéndose en una superficie cóncava bajo la acción de la gravedad.

3 . MOVIMIENTO RMÓNICO SIMPLE (MS) El Moviiento rónico Siple (MS) es el ás coún e iportante de todos los oviientos periódicos. Ejeplo (objeto unido a un uelle) k Si sujetaos un objeto a un uelle y lo soltaos en la vertical, el objeto epieza a oscilar. deás, si la oscilación es pequeña, el tipo de oviiento que realiza es un MS. La k de la fórula = -k es la constante elástica del uelle y sus unidades S.I. son N/. El signo enos indica que se trata de una fuerza recuperadora: el sentido de la fuerza tiende a recuperar la longitud inicial, de fora que se opone al desplazaiento inicial.

4 3. CINEMÁTIC DEL MS Ecuación del MS ( t) cos t desplazaiento respecto aplitud frecuencia angular fase inicial Periodo T f recuencia 1 T

5 ( t) cos t 3. CINEMÁTIC DEL MS T t ( t) cos( t ) t ( t) cos( t ) sen( t) t

6 3. CINEMÁTIC DEL MS ( t) Posición cos t t v d dt Velocidad sen t v t a dv dt celeración cos t a t

7 3. CINEMÁTIC DEL MS Ejeplo Un objeto se ueve efectuando un MS coo el indicado en la figura. Qué signo tienen la velocidad y aceleración del objeto en los puntos señalados? (t) C B O D E t

8 3. CINEMÁTIC DEL MS Ejeplo Una partícula efectúa el MS indicado en la figura. Hallar las ecuaciones para la posición, velocidad y aceleración de la partícula frente al tiepo. Posición () Tiepo (s)

9 4. UERZ Y ENERGÍ DEL MS En un MS, la fuerza es proporcional y opuesta al desplazaiento de la partícula (en el caso del uelle, la fuerza viene dada por la Ley de Hooke, = -k). k a t a cos cin 1 1 ) ( sen 1 1 k t v E pot 1 1 ) ( cos 1 d k t E total 1 1 k E ENERGÍ

10 4. UERZ Y ENERGÍ DEL MS Ejeplo Un objeto de 5 kg oscila sobre un uelle con una aplitud de 1 c. La aceleración áia es de 5 /s. Deterinar la energía total.

11 5. ECUCIÓN BÁSIC DEL MS k a t dt d cos dt d a k k dt d k

12 5. ECUCIÓN BÁSIC DEL MS Ejeplo Se coloca un objeto en el etreo de un uelle que cuelga verticalente de un techo, de fora que se estira 5 c. Estando el objeto en reposo con el uelle estirado, se perturba ligeraente (se estira nuevaente el uelle) de anera que el objeto coienza a oscilar. Cuál es el periodo del oviiento?

13 5. ECUCIÓN BÁSIC DEL MS Ejeplo l situar la pesa sobre el platillo el uelle se alarga c. Se hace oscilar el sistea con aplitud de 4 c. a) Cuál es la frecuencia del oviiento? b) Cuál es la fuerza neta sobre la pesa en el punto ás alto? c) Cuál es la áia aplitud para que la pesa peranezca sobre el platillo? Masa pesa = 5 g Masa platillo = 1 g

14 6. OSCILCIONES MORTIGUDS Se producen cuando adeás de la fuerza elástica eiste una fuerza de aortiguaiento. Nos centrareos en fuerzas de aortiguaiento de la fora: roz bv donde b es la constante de aortiguaiento elas roz a kbv d dt d dt k b v e b t cos t Solución b k b t Ee t E( t) E e b La energía ecánica no se conserva! Constante de tiepo actor de calidad Q b E E ciclo

15 6. OSCILCIONES MORTIGUDS Problea Un objeto de 5 kg está unido a un uelle de constante k = 5 N/ y oscila con una aplitud inicial de 5 c. Hallar: a) El periodo del oviiento. b) La energía inicial total. Si el valor de Q (factor de calidad) es de 1, cuál es el valor de la constante de aortiguaiento (b) y la disinución relativa de energía por ciclo (ΔE/E)?

16 7. OSCILCIONES ORZDS Se producen cuando adeás de las fuerzas elástica y de aortiguaiento, se añade una nueva fuerza eterna sinusoidal de frecuencia ω : elas roz et t a kbv cos La solución es sua de una parte transitoria y una parte estacionaria. La solución estacionaria viene dada por la siguiente ecuación: b b cos t En estado estacionario, el sistea oscila a la frecuencia de la fuerza eterna. deás, si ω = ω se produce la resonancia, caracterizada porque la aplitud es áia al ser áia la transferencia de energía. Si el aortiguaiento es relativaente pequeño: 1 Q (,) Δω 1 Δω Δω 3 d dt ortiguaiento pequeño b pequeño ortiguaiento grande (b grande)

17 7. OSCILCIONES ORZDS Problea La figura uestra la aplitud () en función de la frecuencia ipulsora (ω) para tres osciladores forzados (azul, rojo y verde). Cuáles son los valores de la frecuencia de resonancia y factor de calidad (Q) para cada uno de ellos? Cuál tiene ayor pérdida de energía por ciclo?..15 () (rad/s)

18 8. PÉNDULO SIMPLE Y PÉNDULO ÍSICO El péndulo siple está copuesto de una asa puntual que cuelga de un hilo inetensible y sin asa. d d gsen a g sen l dt dt g l O ángulos pequeños, sen Ecuación de un MS, cuya solución es: ( t) acos( t ) T donde g l. El periodo es T l g El periodo del oviiento depende de la longitud, pero no depende de la asa ni de la aplitud (pequeñas oscilaciones). g

19 8. PÉNDULO SIMPLE Y PÉNDULO ÍSICO Ejeplo Inicialente, el péndulo (siple) se deja caer desde la altura indicada (lenteja azul). 1) Qué trayectoria sigue lalenteja si se corta lacuerda cuando alcanza el punto? ) Y si se corta cuando alcanza el punto B? B

20 8. PÉNDULO SIMPLE Y PÉNDULO ÍSICO El péndulo físico o copuesto es cualquier sólido rígido que pueda oscilar libreente alrededor de un eje que no pase por su centro de gravedad. En el caso de un sólido rígido, el punto de aplicación del peso es el c.d.. Este peso da lugar a un oento respecto al eje de giro: M O d dt Mgdsen I Mgd I O d dt d sen dt O I O Mgd O d Ejeplo Mgd I O IO T Mgd cos( t ) I G Md Mgd G G Mg Barra delgada de asa M y longitud L que oscila alrededor de un eje que pasa por uno de sus etreos.

21 8. PÉNDULO SIMPLE Y PÉNDULO ÍSICO Ejeplo Calcular el periodo del oviiento de una barra delgada de asa M y longitud L oscilando alrededor de un eje que pasa por uno de sus etreos. Qué sucede si la barra tiene idénticas diensiones y pesa el doble?

22 Tensión 9. ELSTICIDD EN SÓLIDOS Elasticidad por tracción/copresión Tensión L Deforación L Módulo de Young Se define coo el cociente entre la tensión y la deforación en la zona lineal del diagraa tensión-deforación: Y Tensión Deforación / L / L Y N / O B Ley de Hooke Deforación C Líite elástico Líite lineal Punto de rotura (Resistencia a la tracción) O- Ley de Hooke: MS -B Zona elástica no lineal B-C Zona plástica

23 9. ELSTICIDD EN SÓLIDOS Copresibilidad Elasticidad por fleión V V P K K: Módulo de copresibilidad c Elasticidad por cizalla Elasticidad por torsión S G S L L G : Módulo de cizalla L R GR M L 4 θ en radianes

24 9. ELSTICIDD EN SÓLIDOS Ejeplo Una barra en fora de cilindro de radio R = 3 y longitud L = está sujeta por un etreo, ientras que por el etreo libre se le aplica una fuerza de fora que se produce una cizalla (ver figura). La asa del bloque que cuelga es de = 1 kg y produce un giro de β = 7 grados sobre la cara libre. Cuál es el ódulo de torsión del aterial que copone la barra? L R Base fija