TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media

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1 TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media Alicia Nieto Reyes BIOESTADÍSTICA Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 1 / 14

2 Introducción al Contraste de Hipótesis Vamos a dar respuesta a preguntas del tipo: Es realmente cierto que la incidencia media de la sarcoidosis es baja en España? Tenemos un tratamiento beneficioso para la hipertensión severa, es también beneficioso para la hipertensión moderada? [Smith et al. 1979] En un problema de contraste de hipótesis: Existe una teoría preconcebida relativa a una característica de la población Entonces hay 2 teorías implicitas: 1 La que propone el experimentador 2 La negación de esta hipótesis Las denotamos por 1 H a, la hipótesis alternativa 2 H 0, la hipótesis nula Objetivo: Poder rechazar H 0 y, como consecuencia, aceptar H a Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 2 / 14

3 Introducción al Contraste de Hipótesis Ejemplo: Tenemos cierto tratamiento que es beneficioso para la hipertensión severa; pero que en principio no lo es para la hipertensión moderada Una persona afirma que si es beneficioso para la hipertensión moderada Como no queremos lanzar al mercado un producto a menos que estemos seguros de sus efectos positivos H 0 : el tratamiento no tiene ningun efecto positivo en pacientes con hipertensión moderada H a : el tratamiento contribuye a disminuir la tensión en pacientes con hipertensión moderada Población: pacientes con hipertensión moderada Variable: tensión después de 12 meses de tratamiento menos tensión al inicio del tratamiento. Suponemos que sigue una distribución normal de media µ y varianza σ 2, desconocidas. Entonces: H 0 : µ 0 H a : µ < 0 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 3 / 14

4 Error de tipo I y II Las decisiones posibles que se pueden tomar una vez seleccionada una muestra son: Estado real H 0 cierta H a cierta Decisión Rechazar H 0 Error de tipo I Decisión correcta tomada Dejar de rechazar H 0 Decisión correcta Error de tipo II Si pretendemos anular uno de los dos errores, pasamos a no poder controlar el otro Solución: Encontrar un equilibrio Ejemplo: Queremos que el error de tipo I sea bajo porque no queremos concluir que el tratamiento funciona cuando no lo hace Fijamos que la probabilidad de que ocurra un error de tipo I sea 0,05 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 4 / 14

5 Error de tipo I y II Densidades H 0 H a ETI en rojo y ETII en verde En un determinado estudio H 0 y H a son como en el dibujo. Tomamos una muestra y operando obtenemos un valor z: si z (, 2] [2, + ), rechazamos H 0 si z ( 2, 2), dejamos de rechazar H 0 Nota: Se toma el valor 2 con probabilidad cero cometemos ETI si H 0 es cierta y z (, 2] [2, + ) cometemos ETII si H a es cierta y z ( 2, 2) Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 5 / 14

6 Antes de llevar a cabo el experimento uno tiene una idea preconcebida sobre el valor de la media Denotamos por µ 0 a este valor preconcebido Nos podemos encontrar ante tres tipos de casos: H 0 : µ µ 0 H 0 : µ µ 0 H 0 : µ = µ 0 H a : µ < µ 0 H a : µ > µ 0 H a : µ µ 0 Ejemplo 1: Tenemos cierto tratamiento que es beneficioso para la hipertensión severa y queremos ver si lo es para la hipertensión moderada H 0 : µ 0 H a : µ < 0 Ejemplo 2: La incidencia media de la sarcoidosis es de 19 casos por cada habitantes en mujeres. Se cree que en Suecia esta incidencia es mayor. Para demostralo hay que contrastar: H 0 : µ = 0, 19 H a : µ > 0, 19 Ejemplo 3: El promedio de proteínas en sangre de un adulto sano es de 7,25g/dl. En un análisis de sangre el técnico esta contrastando H 0 : µ = 7, 25 H a : µ 7, 25 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 6 / 14

7 Los 3 ejemplos pueden realizarse para varianza conocida o desconocida Supongamos que en los siguientes ejemplos es desconocida Ejemplo 1:Tenemos cierto tratamiento que es beneficioso para la hipertensión severa y queremos ver si lo es para la hipertensión moderada H 0 : µ 0 H a : µ < 0 Para realizar este test utlizamos el hecho de que bajo H 0, n( X µ 0 ) el estadístico t n 1 S Tomamos una muestra con n = 171; obtenemos X = 9, 85 y S = 11, ( 9, 85 0) Entonces, = , 52 Es este valor inusualmente pequeño? Se denomina p valor a la probabilidad de observar un valor tan extremo o más que aquel realmente obtenido: p = P[t ] = < 0, 001 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 7 / 14

8 p = P[t ] = < 0, 001 Como P[t ] = 0, 001, la Región de Rechazo es (, ] t 170 t 170 Dendidad Dendidad En rojo el 0,1% del área En rojo el 5% del área Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 8 / 14

9 Rechazamos la hipótesis nula al nivel de significación α = 0, 001 Recuerda: el nivel de confianza es 1-α Para rechaxar H 0 bastaría que nos hubiesemos fijado en uno de los dos siguientes hechos: p < 0, (, ] I.e., Afirmamos que el tratamiento tiene efectos beneficiosos para la hipertensión leve al nivel de significación α = 0, 001 No decimos que H 0 sea falsa, pero si es cierta, hemos obtenido una muestra que solo se obtiene 1 de cada 1000 veces Si p 0, 05 no se rechaza H 0 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 9 / 14

10 Ejemplo 2: La incidencia media de la sarcoidosis es de 19 casos por cada habitantes en mujeres. Se cree que en Suecia esta incidencia es mayor. Para demostralo hay que contrastar: H 0 : µ = 0, 19 H a : µ > 0, 19 Tomada una muestra de tamaño 15, supongamos que obtenemos X = 60 S = 1, 1 El valor observado del estadístico es n( X µ 0 ) 15(60 19) = S 1, 1 n( X µ 0 ) Nota que t 14 S Entonces: p = P[t , 357] 0 = 144, 357 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 10 / 14

11 t 14 Densidad Como p = P[t , 357] 0 Rechazamos H 0 (a nivel 0,001) Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 11 / 14

12 Ejemplo 3: El promedio de proteínas en sangre de un adulto sano es de 7,25g/dl. En un análisis de sangre el técnico esta contrastando H 0 : µ = 7, 25 H a : µ 7, 25 Se realizan 10 análisis de sangre sobre un determinado paciente a lo largo de varios días 7, 215 7, 276 7, 241 7, 265 7, 308 7, 245 7, 283 7, 307 7, 273 7, 219 Obtenemos: X = 7, 263 S = 0, 033 El valor observado del estadístico es n( X µ 0 ) S = 10(7, 263 7, 25) 0, 033 = 1, 246 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 12 / 14

13 Recuerda n( X µ 0 ) S = 1, 246 t 9 t 9 Dendidad Dendidad En rojo el 1% del área En rojo el 5% del área Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 13 / 14

14 Tenemos que P[ 4, 781 t 9 4, 781] = 1 0, 001 Región de rechazo (, 4, 781] [4, 781, ) No tenemos evidencia suficiente para rechazar H 0 a nivel α = 0, 001 P[ 3, 250 t 9 3, 250] = 1 0, 01; Región de rechazo (, 3, 250] [3, 250, ) No tenemos evidencia suficiente para rechazar H 0 a nivel α = 0, 01 P[ 2, 262 t 9 2, 262] = 1 0, 05; Región de rechazo (, 2, 262] [2, 262, ) No tenemos evidencia suficiente para rechazar H 0 a nivel α = 0, 05 No tenemos evidencia suficiente para rechazar H 0 Alicia Nieto Reyes (BIOESTADÍSTICA) TEMA 8. Contraste de hipótesis de la media 14 / 14