MATRICES - DETERMINATES

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1 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES TACHIRA Dr. Pedro Rincón Gutiérrez DEPARTAMENTO DE CIENCIAS AREA DE CALCULO CATEDRA: MATEMATICA MATERIAL EN REVISION Mteril Instruccionl pr ser utilizdo eclusivmente por estudintes cursntes de l signtur Mtemátic de l Crrer de Administrción de l Universidd de los Andes Táchir. MATRICES - DETERMINATES Prof. Alfonso Sánchez Sn Cristóbl, Junio de

2 Mtrices y Determinntes PRIMERA EDICION Alfonso Sánchez Universidd de los Andes - Táchir Revisión Técnic Miguel Angel Ver Alvro Moreno Dory Contrers Angel Mor Universidd de los Andes Táchir Arcángel Becerr Universidd Pedgógic Libertdor Instituto Pedgógico de Crcs Publicciones de l Universidd de los Andes - Táchir Deprtmento de Reproducción Sn Cristóbl - Edo. Táchir

3 Álgebr de Mtrices Definición de Mtriz Notción de Mtrices Iguldd de Mtrices Clsificción de Mtrices Operciones con Mtrices Determinntes Propieddes Regl de Srrus Regl de Crmer Sistems de Ecuciones Método de Guss Introducción Uno de los métodos más recientes, de grn utilidd práctic en l mtemátic plicd son los métodos mtriciles. En diverss áres de l cienci (Economí, Ingenierí, Sicologí, Sociologí, Administrción, etc.); sí como en rms de l mtemátic como los conjuntos, l lógic proposicionl y ls estructurs lgebrics, nos encontrmos con un serie de operciones ls cules requieren ser formulds en términos de mtrices medinte métodos mtemáticos. Independientemente de l disciplin donde se utilicen, ls mtrices nos proporcionn un serie de ventjs práctics y de representción notcionl pr permitir formulr problems y cptr nálisis, los cules quedrín fuer de nuestro lcnce debido l complejidd nturl de l notción lgebric convencionl con l cul son presentdos. L introducción de ls mtrices l conocimiento mtemático es un mérito el cul rece en l personlidd de tres () grndes pensdores: Willim R. Hmilton, irlndés (8 86), Jmes J. Sylvester, inglés (8 897) quien invent ls mtrices, Arthur Cyley, inglés (8 89), quien utilizó el término mtriz por primer vez, pr designr un rreglo rectngulr de números, y desrrolló el cálculo con mtrices prtir de ls cules se pueden formr determinntes. Igulmente, desrrolló l teorí de mtrices pr epresr de modo conveniente los sistems de ecuciones lineles. Ls Mtrices y los Determinntes corresponden dos ctegorís mtemátics distints: el determinnte es un número y l mtriz es un conjunto de números, lo cul indic que entre los elementos de un mtriz dd, no se debe relizr ningun operción lgebric. En este mteril tmbién hremos referenc i los determinntes de un mtriz cudrd y lguns de sus propieddes, hciendo más énfsis en sus plicciones que en sus demostrciones. Por lo tnto, el presente mteril instruccionl debe considerrse como un recurso de trbjo el cul debe complementrse con l guí de ejercicios. Adicionl ello, debemos contr con l persevernci, responsbilidd, dedicción y trbjo en equipo pr lcnzr el objetivo previsto: su prendizje y plicbilidd en su entorno.

4 ÁLGEBRA DE MATRICES MATRIZ. Elementos de un mtriz. Frecuentemente, encontrmos conjuntos de números colocdos en fils y columns formndo un rectángulo. Por ejemplo, en el curso de Cálculo, luego de vlorr el ejercicio escrito relizdo por los estudintes, se presentó el siguiente resultdo: ALUMNOS APROBADOS NO APROBADOS INASISTENTES Vrones 8 Hembrs 9 En dich tbl se indic el número de lumnos (vrones y hembrs), probdos y no probdos en el ejercicio escrito. Si omitimos l fil y l column de títulos y dirigimos nuestr tención l disposición de los números y los encerrmos dentro de un préntesis o corchete, podemos obtener un rreglo rectngulr de números reles que reciben el nombre de mtriz. 8 9 ó 8 9 Fils Columns Donde ls línes horizontles reciben el nombre de Fils y ls línes verticles el nombre de Columns. En nuestro ejemplo l primer fil es ( ) 8 y l segund ( ) column L primer column es, l segund 9 y l tercer

5 L definición que vmos trbjr h sido selecciond más por su comprensión descriptiv que por su precisión. DEFINICION : Se llm mtriz rel un conjunto de números reles colocdos en fils y columns en disposición rectngulr, encerrdos entre préntesis o corchetes. Ejemplo: ;, En ocsiones nos referimos un mtriz, sin necesidd de indicr los números que contiene; pero sí dándole un nombre el cul suele constr sencillmente de un letr myúscul. Así, l primer mtriz del ejemplo nterior podrímos llmrl A y l segund B. DEFINICION : Se llmn elementos de un mtriz rel los números reles que l integrn. Ejemplo: l mtriz C 7, Const de seis (6) elementos:,,7,, y. Pr referirnos culquier elemento lo hcemos indicndo l fil y l column que ocup. En l mtriz C, el elemento 7 está ddo por el punto de encuentro de l fil dos y l column uno. Cundo el vlor concreto de lgún elemento de un mtriz es desconocido o no es preciso indicrlo, se puede representr por l letr minúscul correspondiente l nombre de l mtriz fectd de dos () subíndices: el primero

6 indicrá l fil y el segundo l column que ocup ese elemento. Así, en l mtriz C, en el elemento C, el indic l fil tres y el l column dos. En generl un mtriz se puede representr sí: A. m. m n n. mn : corresponde l fil y column ; : : corresponde l fil y column corresponde l fil y column ; : corresponde l fil i y column j ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de un mtriz rel está ddo por el número de fils y columns que l formn. Pr indicr el orden de un mtriz se escribe primero el número de fils y después el número de columns, seprds entre sí por el signo. No debe confundirse el signo con el signo de multiplicción utilizdo en ls operciones con números reles. En nuestro ejemplo nterior, l mtriz C tiene tres () fils y dos () columns, luego es de orden ( por ) DEFINICION : Se dice que un mtriz A es de orden mn, y se escribe Amn, cundo A tiene m fils y n columns. Al orden de un mtriz tmbién se le llm tmño o dimensión de l mtriz. Ejemplo: Sen A y B ls mtrices: 6

7 A ; 6 B 6 6 Entonces, se puede firmr que l mtriz A es de orden, y escribimos A, y que B es de orden y escribimos B. A mner de Resumen...! Pr efectos de unificr criterios en cunto l simbolismo utilizdo en el trbjo con ls mtrices, convendremos en:. Representr ls mtrices medinte letrs myúsculs: A, B,.... Encerrr los elementos entre préntesis o corchetes.. Indicr el orden de l mtriz como subíndice de l letr myúscul utilizd: A mn, M, o en el mrgen inferior derecho del préntesis o corchete.. Los elementos de l mtriz se representrán con letrs ltins minúsculs con un pr de subíndices que indicn l fil y l column correspondiente cd elemento.. Otr notción que es usul utilizr pr representr ls mtrices es: C. Ejemplo: En l mtriz A e π k, tenemos que: el elemento ( intersección fil y l column ) el elemento k ( intersección fil y l column ) el elemento e ( intersección fil y l column ) 7

8 IGUALDAD DE MATRICES DEFINICION : Dos mtrices son igules cundo son del mismo orden y los elementos que ocupn idéntic posición en mbs mtrices son igules. Se escribe: A B. Ejemplo: consideremos ls mtrices: A, B, C, D A es igul B, pero no es igul C, y que b c. Ni C es igul D, pués no son del mismo orden. L iguldd y ls dos desigulddes se epresn sí: A B, B C, C D. A D, B D. CLASIFICACION DE MATRICES El conjunto de ls mtrices es muy numeroso, pr efectos del presente curso, se destcrán lguns de ells cuys crcterístics ls hn hecho creedors de nombres especiles. Atendiendo l Orden. Mtriz Rectngulr: Es quell mtriz donde el número de fils es diferente l número de columns ( mtriz de orden mn, con m n ). Ejemplo: A, Mtriz de orden Csos prticulres de mtrices rectngulres. Mtriz de un Fil ( Vector Fil ): es un mtriz de orden n (mtriz que const de un sol fil). Ejemplo: B (... m n ) n 8

9 9. Mtriz de un Column ( Vector column ): es un mtriz de orden m ( mtriz que const de un sol column). Ejemplo: m m.... C. Mtriz Cudrd: Es quell mtriz que tiene igul número de fils y columns ( mtriz de orden mn, con mn ). Ejemplo: c e B, Mtriz de orden Cundo tenemos un mtriz cudrd de orden mn, decimos simplemente que tl mtriz es de orden n. Csos prticulres de mtrices cudrds. Mtriz Digonl: Un mtriz cudrd es digonl si se cumple que: R k j i si k j i si, Ejemplo: c D, Mtriz de orden. Mtriz Esclr: Un mtriz digonl es esclr, cundo los elementos no nulos son igules. Ejemplo: E, Mtriz de orden

10 . Mtriz Unidd o Identidd: Un mtriz esclr es identidd, cundo los elementos no nulos tomn el vlor de. Ejemplo: E, Mtriz de orden. Generlmente se represent por I n.. Mtriz tringulr superior: Es un mtriz cudrd en l que todos los elementos por debjo de l digonl principl son cero. De mner similr, es tringulr inferior si todos los elementos por encim de l digonl principl son cero. Atendiendo sus Elementos. Mtriz Nul: Es quell mtriz donde todos sus elementos son cero ( ), i, j. Generlmente se represent por mn, ó { } Ejemplo: N, Mtriz de orden. Mtriz Opuest: Dd un mtriz A { } mn de A, l mtriz A cuyos elementos son {., se denomin mtriz opuest } mn Ejemplo: A, Mtriz de orden Su mtriz opuest es l mtriz: A. Mtriz Trnspuest: Dd un mtriz A se denomin mtriz trnspuest de A, (se denot A t ) l mtriz que se obtiene l cmbir en l mtriz A, ls fils por columns.

11 Ejemplo: A, Mtriz de orden Su trnspuest es l mtriz: t A, Mtriz de orden Importnte...! Si A es de orden mn, entonces A t es de orden nm. 6. Mtriz Simétric: Es l mtriz cudrd A, tl que A A t. Ejemplo: A, Mtriz de orden Su mtriz trnspuest es: A t, y que A A t. TRABAJO PROPUESTO (I) En cd uno de los plntemientos debe justificr su respuest. Dds ls mtrices A,B, C y D. Indicr su orden y clsificrls. A, B, C, D.) Indique su fech de ncimiento medinte un mtriz. Cuál es su orden?. Cuál es su trnspuest?.) L trnspuest de un mtriz esclr, es otr mtriz esclr?.) Construir un mtriz de orden, donde i -.

12 .) Escrib l mtriz, si se sbe que: j i..) Dds ls ecuciones lineles y- ; -y y y-. Escrib un mtriz cuy primer column se los coeficientes de, l segund column los coeficientes de y, y l tercer column los términos independientes. 6.) Dds ls mtrices y A, t c B, qué vlor deben sumir l vribles:, y,, c y t, pr que A B. 7.) Cuáles de ls siguientes mtrices son igules: A, ( ) B ( ) C, D. 8.) Determine el vlor de ls vribles y y pr que se verifiquen ls siguientes igulddes:.) y y b) 7 8 y y ) Encontrr el vlor de α, φ y β pr que ls siguientes mtrices sen igules: α β β α csc tg sen cos ; ϖ ϖ φ φ cos sen csc tg

13 ) Determine el vlor de, y, u y v, de tl mner que se cumpl l siguiente iguldd de mtrices. u y ( v ) 6 9 v ; y u ) Tod mtriz nul es cudrd? ) Tod mtriz opuest es cudrd? ) L trnspuest de un mtriz tiene orden. Cuál es el orden de l mtriz originl?. ) L trnspuest de un mtriz tiene orden. Cuál es el orden de l mtriz origin? ) L trnspuest de un mtriz identidd, es otr mtriz identidd? 6) L trnspuest de l trnspuest de un mtriz, es l mism mtriz? 7) Un mtriz simétric puede ser rectngulr? OPERACIONES CON MATRICES En ls págins nteriores hemos trbjdo los elementos necesrios que se mnejn pr inicir el estudio del cálculo mtricil. Al igul que en los conjuntos numéricos (N, Z, Q, I, R, C) desrrolldos en los cursos nteriores, en este nuevo cmpo mtemático vmos definir ls operciones básics, pero enfocds desde el punto de vist de ls mtrices, con lo cul nos iniciremos en el estudio del Álgebr Mtricil.

14 SUMA DE MATRICES DEFINICION : Dds dos mtrices del mismo orden, A ( ) y ( b ) B, entonces l mtriz sum A B, se define como l mtriz del mismo orden, cuys componentes se obtienen sumndo los elementos correspondientes de mbs. ( ) ( b ) ( b ) A B, i, j Ejemplo: A y B, entonces l mtriz sum es: PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES L operción que cbmos de definir pr el conjunto de ls mtrices del mismo orden, poseen cutro propieddes (teorems) que grntizn su trbjo decudo en el cálculo mtricil. Propiedd : L sum de mtrices es socitiv. Se A, B, y C mtrices de orden mn. Entonces se verific que: (A B) C A (B C) Demostrción: [ ], [( b) c] ( b) c ( b c ) ( b c) A ( B C) Ejemplo: comprobemos l socitividd con ls siguientes mtrices: A ; B ; C Clculemos por seprdo ls dos sums: (AB)C y A(BC), y verifiquemos que sus resultdos son idénticos.

15 ( ) 6 C B A ( ) 6 C B A Propiedd : L sum de mtrices es conmuttiv. Sen A y B mtrices de orden mn. Entonces se verific que: A B B A Demostrción: ( ) ( ) A B B A b b b b, Ejemplo: comprobemos l conmuttividd con ls siguientes mtrices: A ; B AB BA Propiedd : Eistenci del elemento neutro pr l sum. Recordemos l definición de l mtriz nul dd nteriormente y demostremos que es mtriz es el elemento neutro de l sum. DEFINICION 6: Se llm mtriz nul de orden mn un mtriz mn cuyos elementos son todos nulos. Demostrción: Se A un mtriz de orden mn

16 ( o) o o A A, Ejemplo: comprobemos l eistenci del elemento neutro. A, entonces: A Propiedd : Tod mtriz tiene opuesto pr l sum. En primer lugr, dd un mtriz A definiremos otr mtriz, que designremos por A. Después demostrremos que es nuev mtriz es l opuest pr l sum. DEFINICION 7: Se A un mtriz de orden mn. Se llm A otr mtriz del mismo orden cuyos elementos verificn ( ),. Los elementos de l mtriz A son los elementos opuestos de l mtriz A pr l sum de números reles. Demostrción: ; [ ( ) ] ( ) ( ) A ( A) Ejemplo: Se l mtriz A, l mtriz A Si convenimos en llmr M mn l conjunto de mtrices de orden mn, ls cutro propieddes de l sum de mtrices que hemos considerdo y trbjdo se pueden resumir en un sol epresión: ( M mn,) es un grupo belino. SUSTRACCION DE MATRICES Restr B de A, es decir, clculr A - B, no es otr cos que sumrle l mtriz A, l mtriz opuest de B. 6

17 Ejemplo: Sí A y B, l diferenci A - B se puede obtener sí: A B A ( B) Como puede deducirse, l sustrcción de mtrices se reduce un sum, por lo que resultrí redundnte dr un definición específic pr l sustrcción de mtrices. Sin embrgo, desde el punto de vist práctico resultrí útil disponer de un regl sencill que permit restr dos mtrices sin entrr en considerciones lgebrics. Tl regl puede ser l siguiente: cmbir los signos de los elementos de l segund mtriz y proceder sumrlos lgebricmente con sus correspondientes de l primer mtriz. PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR DEFINICION 8: Llmremos esclres los números reles, y pr distinguirlos de ls mtrices los designremos con letrs griegs. DEFINICION 9: El producto de un mtriz por un esclr o de un esclr por un mtriz, se obtiene multiplicndo el esclr por cd elemento de l mtriz. sí: Ejemplo: Multiplicr el esclr por l mtriz A, el producto A se obtiene A ( ) ( ) 6 ( ). 8 6 Si el esclr se multiplic por l derech, se procede de form nálog. Así:. A DEFINICION : Se A un mtriz de orden mn, A otr mtriz de orden mn cuyos elementos verificn:. ( ) λ, λ R. Entonces λ A es λ. 7

18 PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES POR UN ESCALAR El siguiente teorem recoge ls crcterístics más importntes del producto de un esclr por un mtriz, que tmbién se etiende l producto de un mtriz por un esclr, puesto que, Aλ λa, según se desprende de l definición nterior. Propiedd : Sen A y B dos mtrices de orden mn y λ, υ dos esclres. Entonces:.).A A Demostrción:.) λ ( A B) λa λb.) ( λ υ) A λa υa.) λ ( υa) ( λυ )A.), ( ) A A [ ] λ( b) λ( b ) λ λb ( λ λb) λ( A B).), λ( b) λa λb.), ( υ ).), ( λυ) [ λ ] ( λ υ ) λ υ ( λ υ ) ( λ υ ) A λa υa [ ] ( λυ) λ( υ ) λ( υ) λ( υ) [ ] ( λυ) A λ( υa) Ls propieddes del producto esclr por un mtriz, junto con ls y indicds pr l sum, se pueden condensr en un enuncido: ( M mn,,.) es un Espcio Vectoril sobre R. PRODUCTO DE MATRICES L multiplicción de mtrices no present l nturlidd de l sum o del producto de un mtriz por un esclr. Pr que l definición se más precid 8

19 vmos introducir primero lgunos csos especiles de multiplicción de mtrices, como el producto de un vector fil por un esclr, el cul permite ilustrr ciertos spectos importntes de est operción..) Producto de un vector fil por un vector column Se F un vector fil y C un vector column. Pr comprender l operción que se reliz, consideremos ls siguientes mtrices: [ ] F y, C entonces el producto FC, se obtiene sí: 6 FC [ ] 6 [...6] [ ] Observemos que l mtriz producto FC d como resultdo un mtriz de orden. Así pues, el producto de un vector fil por un vector column, mbos con el mismo número de elementos, se obtiene sumndo los productos de los elem entos correspondientes. DEFINICION : Se A un vector fil con n elementos, y B un vector column con n elementos. El producto de A por B viene ddo por l siguiente epresión: [ b b b n ]... n.) Producto de un vector column por un vector fil Consideremos ls mtrices del ejemplo nterior: CF [ ]

20 Observemos que l mtriz producto CF d como resultdo otr mtriz. Se puede corroborr que FC CF (El producto de mtrices no es conmuttiv). Pr efectur el producto AB de dos mtrices, debemos tener presente que:.) El número de columns de l mtriz A, debe ser igul l número de fils de l mtriz B..) L mtriz producto CA.B, debe tener el mismo número de fils que l mtriz A y el mismo número de columns que l mtriz B..) Producto de un mtriz por otr Consideremos hor el cso en que A y B son mtrices culesquier. Por ejemplo: 7 8 A y, B 6 9 Pr clculr l mtriz producto AB, considerremos cd fil de A como un vector fil y cd column de B como un vector column. Entonces cd elemento del producto AB se obtendrá multiplicndo un vector fil de A por un vector column de B. Es decir, el elemento de AB se obtiene multiplicndo l fil i de A por l column j de B. 7 8 AB [ ] [ ] [ ] [ ] [ 6] [ 6] Obsérvese que en el procedimiento, seguido en el ejemplo, pr multiplicr mbs mtrices fue necesrio que el número de columns de l primer mtriz A fuese igul l número de fils de l segund mtriz B. En cso contrrio, no

21 hubiese sido posible relizr el producto AB. Tmbién, se puede observr que el número de fils de l mtriz A y el número de columns de l mtriz B determinn, respectivmente, el número de fils y columns de l mtriz producto AB. A mner de Resumen...! A mn B np Igules Orden de AB: mp DEFINICION : Se A un mtriz de orden mn, y B un mtriz de orden np. L mtriz producto de A por B es otr mtriz, AB mp, cuyos elementos verificn: ( ) n k ik b kj, PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES El producto de mtrices que considermos en el prtdo nterior present lguns propieddes importntes: Propiedd 6: El producto de mtrices es socitivo. Sen ls mtrices A mn, B np, C pq. Entonces: (A B) C A (B C) Demostrción:, p p n k r ir rk kj [( b) c] ( b) c b c k ik kj p n k r b c ir rk kj

22 p k kj c rk b n r ir ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) A BC C AB bc n r rj bc ir. Est propiedd nos indic que el orden en el cul se efectúen los productos prciles no influye en el producto totl. Por tnto, se puede omitir los préntesis y escribir ABC. Ejemplo: Verifiquemos l socitividd con ls mtrices: A ; B, C, Clculemos por seprdo: ( ) C AB 6. ( ) BC A Por lo cul podemos firmr que: ( A B ) C A ( B C ) Propiedd 7: El producto de mtrices no es conmuttivo Si A es un mtriz de orden mn, y B es un mtriz de orden np, se podrí clculr el producto AB, pero en generl no se puede esperr que éste se igul l producto BA. Por dos rzones:

23 .)L primer es que BA pued no estr definido, situción presente cundo p m. b.)l segund, plicble cundo l ser p m se puede obtener el producto BA, en que éste puede ser distinto del producto AB. Un ejemplo de est segund se puede comprobr con ls mtrices: A y B, cumpliéndose que AB BA AB BA. Así pues, no siempre AB BA, por tnto, hy que decir que el producto de mtrices no es conmuttivo. Propiedd 8: Elemento neutro pr l multiplicción Si A es un mtriz cudrd de orden n, entonces eiste un mtriz que l multiplicrl por l derech o por l izquierd por A, d como resultdo l mism mtriz A. L mtriz con ess crcterístics es l mtriz identidd de orden n, definid nteriormente, y recibe el nombre de elemento neutro pr l multiplicción: I.A A.I A Demostrción: Si A es un mtriz cudrd culquier de orden n e I n l mtriz identidd de orden n: Entonces:

24 ( ) A AI I I n k kj ik, Ejemplo: Consideremos l mtriz cudrd de orden : A, y multipliquémosl por l mtriz Ι : Ι A Si clculmos A Ι, el resultdo es el mismo, Es decir, A. (Verifíclo...! ) Propiedd 9: El elemento simétrico no siempre eiste Hciendo nuevmente l restricción pr ls mtrices cudrds, cbe decir que no tod mtriz tiene opuest pr l multiplicción. Por ejemplo l mtriz: A, No puede tener simétric, pues si ést eistier serí de l form: s r q p V, y deberí verificrse que AV Ι, pero esto es bsurdo, y que: Ι AV. s r q p

25 q q p p q p q p, lo cul es imposible Así pues, l mtriz A no puede tener simétric. Otrs mtrices, sin embrgo, si tienen simétric. Es el cso de l mtriz: B, cuy simétric pr l multiplicción es: T En efecto: BT. TB. Cundo un mtriz A posee simétric, ést recibe el nombre de invers de A. Definición : Se A un mtriz cudrd de orden n. Se llm invers de A otr mtriz, A - que verific: A -.A A.A - n Ι Ms delnte, l estudir los determinntes, trtremos dos cuestiones inevitbles sobre l invers:.) Cómo verigur, sin utilizr el zr o tnteo, si un mtriz cudrd tiene invers? b.) En cso de sber que l invers de un mtriz dd eiste, Cómo se clcul?

26 6 Al estudir los números reles, plntemos que l multiplicción es distributiv pr l sum de dichos números. (y z) y z Precismente, est propiedd es l bse fundmentl pr l demostrción de que l multiplicción de mtrices es distributiv pr l sum. Propiedd : L multiplicción es distributiv pr l sum.) A(BC) ABAC b.) (BC)D BDCD Demostrción:.) ( ) [ ] ( ) ( ) n k kj ik n k kj ik n k kj kj ik n k kj ik c b c b c b c b, ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) AC AB C A B c b c b b.) Se dej como ejercicio. Ejemplo: Verifiquemos el cumplimiento de l propiedd distributiv con ls mtrices: A ; B ; C A(BC) 8 6 ABAC El resultdo es idéntico en mbos csos: A (B C) AB AC

27 TRABAJO PROPUESTO (II) En cd uno de los plntemientos debe justificr su respuest. 8.) Medinte un ejemplo probr ls siguientes propieddes de ls mtrices:.) ( sa) ( rs)a r, A Mn, r, s R b.) ( r s) A ra sa, A M, n r, s R c.) r ( A B) ra rb, A, B M n, r R 9.) Dds ls mtrices A, B y C. Desrrolle, de ser posible, cd un de ls operciones indicds. (Justifique ls respuests). A, B 7, C.) AB 6.) (A t ) t A.) BC 7.) A( BA).) B t A 8.) A t C.) AA t 9.) (ka) t ka t.) (AB) t B t. At.) (AB) t A t B t.) Dds ls mtrices A,B y C. Verifique si se cumplen ls condiciones indicds: A, 6 B, C 8.) A B C c.) AB BA C b.) AC CA B d.) BC CB A.) Si A y B son mtrices del mismo orden, verifique si se cumple que: 7

28 .) (A B) A AB B b.) (A B) (A B) (A B).) De respuest cd un de ls siguientes interrogntes, justificndo ls respuests..) Tods ls mtrices cudrds tienen invers? b.) L mtriz nul tiene invers? c.) Cuál es l mtriz invers de A? d.) Si A y B son mtrices pr ls cules el producto AB está definido y AB dmite invers. Entonces A y B son inversibles? e.)un mtriz es simétric sí A t A y ntisimétric sí A t -A. Pruebe medinte un ejemplo l eistenci de mbos tipos de mtrices. f.) Pruebe medinte un ejemplo que: Sí A es un mtriz cudrd de orden n, entonces: AA t es simétric y A A t es ntisimétric. g.)tod mtriz A tl que A.A t A t.a I, se denomin mtriz ortogonl. Verifique si l mtriz ortogonl. SenA CosA A es un mtriz CosA SenA h.) Cuál es l invers de l mtriz identidd? i.) L opuest de un mtriz dmite invers?. Y l mtriz esclr?..) El señor Pedro compr un pote de leche condensd, tres lts de mntequill y cutro pquetes de gllets rzón de precio unitrio de 89 Bs, 67 Bs y Bs, respectivmente. Al dí siguiente se d cuent que pr hcer l tort requiere de myor cntidd de ingredientes, por lo cul dquiere los mismos productos los mismos precios. Cuánto gsto el Señor Pedro? 8

29 .) Escrib un sistem de tres ecuciones con tres vribles pr cd plntemiento y resuélvlo :.) Hugo tiene Bs. 7. en moneds de uno, cinco y diez bolívres. En totl tiene 9 moneds. Cinco, más l cntidd de moneds de uno, más l cntidd de moneds de cinco, más l de diez; es igul l doble de l cntidd de moneds de cinco. Cuánts moneds de cd denominción tiene?. b.) L sum de tres números es. El número myor es dos veces el número menor menos uno. Tres veces el número menor es igul l sum de los otros dos números, menos uno. Determine los tres números. c.) El tesorero de un club invirtió Bs. de los horros en tres cuents distints, intereses nules de 8%, 9% y %. El interés totl gndo en un ño fue de Bs. 6. L cntidd gnd por el deposito l % fue de Bs. más que l que gno l 9%. Cuánto se invirtió con cd ts de interés?. 9