OPCIÓN A. Ejercicio 1. (Mj11) (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función real de variable real dada por: a f. si x 1. x x 2 b 4.

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1 I.E.S. JOSÉ HIERRO EXAMEN DE ANÁLISIS Curso MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CC.SOCIALES II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN INSTRUCCIONES: El eamen presenta dos opciones: A y B. El alumno deberá elegir una de ellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción. Para la realización de esta prueba puede utilizarse calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico. TIEMPO MÁXIMO: Una hora. CALIFICACIÓN: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máima. OPCIÓN A Ejercicio 1. (Mj11) (Puntuación máima: puntos) Se considera la función real de variable real dada por: a f ()={ b si 1 si > 1 a) Calcúlese a, b para que f sea continua y derivable en = 1. (1,5 puntos) b) Para a = 1, b =, represéntese gráficamente la función f. (1,5 puntos) c) Calcúlese el valor de b para que 0 f ()d=6. Ejercicio. (Mm11) (Puntuación máima: puntos) Una empresa produce cable de fibra óptica, que vende a un precio de euros por metro. Se estima que la venta diaria de cable (en miles de metros) se epresa en términos del precio mediante la función: D()= 6 +1 a) Obténgase la función I() que determina los ingresos diarios de la empresa en función del precio. (0,5 puntos) b) Calcúlese el precio que ha de fijarse para que el ingreso diario sea máimo y calcúlese dicho ingreso máimo. (1,5 puntos) c) Determínense las asíntotas de I() y esbócese la gráfica de la función I(). (1,5 puntos) Ejercicio. (MUj11) (Puntuación máima: puntos) Dada la curva de ecuación y = calcular: a) El dominio de definición. (0, puntos) b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. (0,9 puntos) c) Los máimos y los mínimos. (0,9 puntos) Ejercicio. (ARj11) (Puntuación máima: puntos) Derive las funciones f ()=ln ( 1+ 1 ), g()= 1 1+e 1/

2 OPCIÓN B Ejercicio 1. (Ms11) (Puntuación máima: puntos) Se considera un rectángulo R, de lados, y. a) Si el perímetro de R es igual a 1m, calcúlense, y para que el área de R sea máima y calcúlese el valor de dicha área máima. b) Si el área de R es igual a 6m, calcúlense, y para que el perímetro de R sea mínimo y calcúlese el valor de dicho perímetro mínimo. Ejercicio. (CMs10) (Puntuación máima: puntos) Un conductor decide, a los seis minutos de iniciada la marcha (t = 6 ) de su vehículo poner en funcionamiento el ordenador de a bordo para comprobar en cada instante el consumo de gasóleo. A los veinte minutos (t = 0 ) de iniciada la marcha, desconecta el ordenador, realiza los cálculos pertinentes y comprueba que el consumo de combustible epresado en litros/100 km se ajusta a la función C(t) = 0.t (6 t) 19 en donde t [6, 0]. Se pide: a) Cuál es el consumo en el instante en que se pone en funcionamiento el ordenador de a bordo? (0,5 puntos) b) Intervalo de tiempo en el que el consumo de combustible aumenta. (0,75 puntos) c) Intervalo de tiempo en el que el consumo de combustible disminuye. (0,75 puntos) d) Instante en el que el consumo es máimo. Cuál es este consumo? (0,75 puntos) e) Puede haber alguna relación entre los resultados obtenidos y un posible trazado de la vía por donde circula el vehículo? Razona la respuesta.(0,5 puntos) Ejercicio. (PAj11FG) (Puntuación máima: puntos) Un proveedor cobra el aceite según el volumen del pedido. Así, la función que relaciona el importe del pedido con el volumen del mismo es ( f() representa el importe, en euros, de un pedido de litros de aceite): f ()= { si 0<<0 +0 si 0 a) Es el importe una función continua del volumen del pedido? b) Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y represéntala gráficamente. Ejercicio. (ARj11) (Puntuación máima: puntos) Calcule las derivadas de las funciones f ()=ln +, g()= 1

3 Ejercicio 1. (Mj11) f ()={a =a 1 b si 1 si > 1 OPCIÓN A f '()={ a = a 0 = a) f es continua en = 1 si lim f ()= lim f ()=f ( 1) lim f ()= a 1 1 = a - lim f ()= ( 1) b = 1 b 1 + f ( 1)= a 1 = a f es derivable en = 1 si es continua y además lim f '()= a 1 - ( 1) = a } lim f '()= ( 1) 1 = 1 + } si < 1 si > 1 1 b f () es continua en = 1 si a= lim f '()= lim f ' () f () es derivable en =-1 si a= Por tanto la función es continua y derivable en = 1 si a= 1 y b= b) Para a = 1, b =, 1 f ()={ si 1 si > 1 es una función en dos trozos. {a= 1 1 =1 b b= Dominio de f()= R puesto que 1/ solo tiene problemas si = 0 y ha de ser 1 en ese trozo. Cada trozo es continuo en su dominio, por ser ramas de hipérbola y parábola respectivamente. lim f ()= = 1 } - lim f ()= ( 1) = 1 = 1 f () no es continua en = 1 No hay asíntota vertical. Discontinuidad de salto finito + f ( 1)= 1 1 = 1 No hay asíntota horizontal ni oblicua en + por ser una parábola, pero en 1 lim f ()= lim = 1 =0 Hay una asíntota horizontal cuando de ecuación y = 0

4 f ' ()={ 1 si < 1 si > 1 { 1 =0 1=0 Imposible si < 1 f '( )=0 =0 =0 si > signo de f '() + crecimiento de f () f() decrece en (, 1) ( 1, 0) y crece en (0, ) Tiene un mínimo en V =(0, ) c) Para ver cuando 0 f ()d=6 calculamos primero la integral indefinida en el trozo >-1: b d= 1 ( b)d= 1 ( ) b +C= 1 b +C 0 f ()d= [ 1 b ]0 = 7 1 b 9 b (0 0)= =6 9 b= b= 5 Ejercicio. (Mm11) (Puntuación máima: puntos) D()= 6 son los miles de metros de fibra óptica vendidos al día a un precio de euros por +1 metro. a) La función que determina los ingresos diarios será la cantidad vendida (en metros) por el precio por metro: I ()= = +1 euros, siendo el precio por metro (se supone > 0). +1 b) I ' ()= 6000( +1) 6000 = = ( +1) ( +1) ( +1) I ' ()= ( +1) = =0 =1 =±1 Estudiamos el signo de I'() en el dominio >0 mediante la tabla -1 1 signo (I') + crecimiento de I Por tanto, el ingreso tiene un máimo en =1 (al precio de un euro por metro). El ingreso máimo es de I (1)= =000 euros.

5 c) Dominio de I() = (, ) porque el denominador +1 no puede ser 0 ( +1=0 = 1 ) (En realidad, podemos suponer positivo por el conteto, pero no importa dibujar la función completa). La función es continua, por lo que no eisten asíntotas verticales lim I( )=lim +1 =lim =lim = 6000 =0 Hay asíntota horizontal de ecuación y = 0 cuando ± M Como vimos en el apartado b), la función decrece en (, 1) (1, ) y crece en ( 1,1) Eiste un mínimo A=( 1, 000) y un máimo M=(1, 000) Con todos esos datos, el esbozo de la gráfica es el de la derecha A Ejercicio. (MUj11) y = y' = 6 9 y'' = 6 6 a) Dominio = R por ser una función polinómica. b) y' = 0 6 9=0 = 6± = 6±1 6 6 { = posibles máimos o mínimos. = 1 Estudiamos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento con la tabla -1 y' + + crecimiento de y La función crece en (, 1) (, ) y decrece en ( 1,) c) Tiene un máimo en A = ( 1, ) y un mínimo en B = (, ) (calculando y( 1) e y() ) Ejercicio. (ARj11) (Puntuación máima: puntos) f ()=ln ( 1+ 1 ) f ' ()= D(ln) (0 1 ( ) 1 ) = 1 D(1/) D( ) +1 g( )= 1 g ' ()= 1 1+e 1/ (1+e 1/ ) ( 0+e1 / 1 ) = e 1/ (1+e 1/ ) 1 = 1 (1+ )

6 OPCIÓN B Ejercicio 1. (Ms11) Sea el rectángulo R, y a) Perímetro de R = 1m +y = 1 +y = 6 y = 6 Área = y = (6 ) = 6 A ()=6 A ' ()=6 A ' ' ()= A '()=0 6 =0 = { A ' ()=0 = es un máimo A ' ' ()= <0 El área es máima cuando = m y = 6 =m (el rectángulo es un cuadrado de lado m) b) Área = 6m y=6 y= 6 Perímetro = + y=+ 7 P ()=+ 7 P ' ()= 7 = 7 P ' '()= 1 P '()=0 7 { P '(6)=0 =0 =7 = 6=±6 P ' ' (6)= 1 es un mínimo >0 =6 6 El perímetro es mínimo cuando =6m y = 6/6=6m (un cuadrado de 6m de lado) Ejercicio. (CMs10) (Puntuación máima: puntos) C (t)=0, t (6 t ) 19 es el consumo de combustible en litros/100 km, con t [6, 0] minutos. a) C (6)=0, 6(6 6) 19=1, 0 19=5 Cuando se enciende el ordenador, el vehículo consume 5 litros cada 100km b) C ' (t)=0,(6 t)+0, t ( 1)=5, 0, t C ' (t)=0 5, 0,t=0 t= 5, 0, = C'(t) + Crecimiento C(t) El consumo de combustible aumenta entre los 6 y los 1 minutos de marcha del vehículo. c) Disminuye entre los 1 y los 0 minutos. d) El consumo es máimo en el minuto t = 1. C (1)=0, 1(6 1) 19=1,8 litros/100km e) Si el consumo aumenta entre los minutos 6 y 1 por culpa del trazado de la carretera, puede deberse a que ésta se hace más eigente para el trabajo del motor: va aumentando su pendiente o se va llenando de curvas que obligan a conducir con marchas más cortas. A partir del minuto 1, la carretera vuelve a permitir un consumo menor reduciendo su pendiente o el número de curvas poco a poco.

7 Ejercicio. (PAj11FG) (Puntuación máima: puntos) f ()= { si 0<<0 +0 si 0 es el importe, en euros, de un pedido de litros de aceite. a) La función es continua en (0, 0) y en (0, ) por ser polinómica de grado 1 en esos intervalos. Estudiamos =0 lim f ()= lim = 0= lim f ()= lim ( +0)= 0+0=90} f ( ) es continua en = f (0)= 0+0=90 Por tanto el importe es una función continua del pedido. b) f ' ()= { si 0< <0 si 0 siempre es positiva, luego la función siempre crece. Como los dos trozos de la función son funciones polinómicas de grado 1, sus gráficas son rectas que se cortan en el punto de continuidad (0, 90) y= y= Ejercicio. (ARj11) (Puntuación máima: puntos) f ()=ln + f ' ()= (+) + = + ( + ) ( +) Mucho más fácil aplicando las propiedades de logaritmos: f ()=ln = +1 (+) = +1 (+) + =ln (+) 1/ =ln +ln(+) 1/ = ln 1 ln(+) f '()= 1 (+) g()= 1 = ( 1 1 / ) ( / ) 1/ = / g'()= / 7/ = = 7