Resumen de funciones y ejercicios resueltos de cuadráticas

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Claudia Chávez Herrero
hace 6 años
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1 Resumen de funciones y ejercicios resueltos de cuadráticas 1. Definición Llamaremos ecuaciones cuadráticas o ecuaciones de segundo grado a las ecuaciones que pueden reducirse a la forma ax 2 + bx + c = 0 (con a 0). Las soluciones de esta ecuación pueden ser: dos, reales y distintas una real (que en realidad es doble, lo veremos más adelante) dos, complejas conjugadas y distintas Decimos que una ecuación cuadrática es incompleta cuando alguno de los coeficientes b o c o ambos son nulos. Observemos cómo resolver algunas ecuaciones cuadráticas incompletas. Si b = 0: Si c = 0: x 2 = 0 x 2 = x 2 = aplico raíz a ambos miembros x = 2 x 1 = 2, x = ±2 x 2 = 2 son las soluciones de la ecuación 3x 2 +6x = 0 x ( 3x+6) = 0 saco factor comúnx Es unamultiplicación así quesi x = 0 ya se cumple. También puedepasar que 3x+6 = 0. Entonces nos quedan dos soluciones posibles. x ( 3x+6) }{{} = 0 Ejercicios resueltos: Problema 1: Resuelvan los siguientes ejercicios a) x 2 9 = 0 b) x 2 + = 0 c) 1 x 2 = 0 d) 5x x 2 = 0 Soluciones x 1 = 0 3x+6 = 0 3x = 6 x = 6 3 x = 2 x 2 = 2 1

2 a) x 2 9 = 0 x 2 = 9 x 2 = 9 x = 3 x 1 = 3, x = ±3 x 2 = 3 En lugar de x reemplazo por los valores que obtuve = = 0 b) ( 3) 2 9 = = 0 x 2 + = 0 x 2 = Cualquier número que pertenece a los reales elevado al cuadrado da positivo o cero. Entonces las soluciones no pertenecen a los reales, sino al campo de los complejos. (2i) 2 + = i 2 + = 0 x 2 + = 0 x 2 = x 2 = i x = 2i x 1 = 2i, x = ±2i x 2 = 2i ( 1)+ = 0 sabemos del capítulo 1 que i 2 = 1 + = 0 ( 2i) 2 + = 0 ( 2) 2 i 2 + = 0 ( 1)+ = 0 sabemos del capítulo 1 que i 2 = 1 + = 0 2

3 c) 1 x 2 = 0 x 2 = 1 x 2 = 1 multiplico por (-1) ambos miembros x 2 = 1 x = 1 x 1 = 1, x = ±1 x 2 = = = 0 1 ( 1) 2 = = 0 d) 5x x 2 = 0 x (5 x) }{{} x 1 = 0 5 x = 0 x 2 = 5 = 0 saco factor común x x = 5 x = 5 multiplico por (-1) ambos miembros = = = 0 3

4 2. Resolución de ecuaciones cuadráticas completas Las soluciones x 1 y x 2 de cualquier ecuación cuadrática, una vez reducida a la forma ax 2 + bx+c = 0 (con a 0), se pueden obtener mediante la fórmula resolvente: x 1,2 = b± b 2 a c Esta fórmula no se obtiene mágicamente,puede ser deducida, como se hace en el cuadernillo. Ejemplo: Encontremos las raíces de 2x 2 +x 5 = 0, entonces a = 2, b = 1 y c = 5, reemplacemos en la fórmula: x 1 = 1+ 1 Ejercicios resueltos: Problema 2: Resuelvan los siguientes ejercicios. a) 2x 2 12x+10 = 0 b) 2x 2 x = 10 c) x 2 +x+ = 0 x 1,2 = b± b 2 a c x 1,2 = 1± ( 5) 2 2 x 1,2 = 1± 1+0 x 1,2 = 1± 1, x 2 = 1 1 (1) (2) Solución a) 2x 2 12x+10 = 0 a = 2, b = 12 y c = 10 x 1 = 12+8 x 1,2 = b± b 2 a c x 1,2 = ( 12)± ( 12) x 1,2 = 12± 1 80 x 1,2 = 12± 6 x 1,2 = 12±8, x 2 = 12 8 x 1 = 20, x 2 = x 1 = 5, x 2 = 1

5 = = = = = = 0 b) 2x 2 x = 10, la llevamos a la forma general 2x 2 x+10 = 0 a = 2, b =, c = 10 x 1,2 = b± b 2 a c x 1,2 = ( )± ( ) x 1,2 = ± x 1,2 = ± 6 La solución es compleja x 1,2 = ± 6 i x 1,2 = ±8i x 1 = +8i, x 2 = 8i x 1 = + 8i, x 2 = 8i x 1 = 1+2i, x 2 = 1 2i 2 (1+2i) 2 (1+2i) = 10 2 ( i+(2i) 2) 8i = 10 2 (1+i+2 2 i 2) 8i = 10 2 (1+i+ ( 1)) 8i = 10 2 (1+i ) 8i = 10 2 (i 3) 8i = 10 8i 6 8i = = 10 5

6 2 (1 2i) 2 (1 2i) = 10 2 ( i+(2i) 2) +8i = 10 2 (1 i+2 2 i 2) +8i = 10 2 (1 i+ ( 1)) +8i = 10 2 (1 i ) +8i = 10 2 ( i 3) +8i = 10 8i 6 +8i = = 10 c) x 2 +x+ = 0 a = 1, b =, c = x 1,2 = b± b 2 a c x 1,2 = ± x 1,2 = ± x 1,2 = ± 0 tiene una sola solución 2 x = 2 x = 2 x = = 0 8+ = 0 3. El discriminante Se llama discriminante a la expresión b 2 ac, se denota con la letra griega mayúscula (delta), = b 2 ac. Reemplazando en la fórmula para encontrar las raíces de las ecuaciones cuadráticas x 1,2 = b± (3) Calculando primero cuál es el valor de podemos saber cuántas y qué tipo de soluciones podemos obtener Si lo pensamos un poco es lógico. 6

7 Condición Tipo de raíces > 0 Tiene dos raíces reales distintas = 0 Tiene una sola raíz real < 0 Tiene dos raíces imaginarias conjugadas diferentes Si = 0 entonces: tiene una sola solución x 1,2 = b± 0 x 1,2 = b±0 x = b 2a Si < 0 entonces: x 1,2 = b± () lo que está dentro de la raíz es negativo y por lo tanto la solución no pertenece a los reales. Así que es compleja. Si > 0entonces lo queestá dentrode la raíz es positivo porlo tanto la solución pertenece a los reales y son diferentes. Ejercicios resueltos: Problema 3: Sin calcular las raíces indicar la cantidad de soluciones y decir si son reales o compleja. a) x 2 +2x 1 = 0 b) 8x 2 3x+1 = 0 c) x 2 +2x+1 = 0 Soluciones a) x 2 +2x 1 = 0 a = 1, b = 2 y c = 1 b) 8x 2 3x+1 = 0 a = 8, b = 3 y c = 1 = b 2 ac = ( 1) = + = 8 > 0 Tiene dos soluciones reales distintas = b 2 ac = ( 3) = 9 32 = 23 < 0 Tiene dos soluciones complejas distintas 7

8 c) x 2 +2x+1 = 0 a = 1, b = 2 y c = 1 = b 2 ac = = = 0 = 0 Tiene una solución real Problema : Encontrar los posibles valores de k para el cual la ecuación x 2 +kx+ = 0 tiene una sola raíz. Solución Para que las ecuaciones tengan una sola raíz tienen que cumplir que = 0 En este caso a = 1, b = k y c =. = 0 b 2 ac = 0 k 2 1 = 0 k 2 16 = 0 Me queda una ecuación cuadrática que depende de k, tenemos que resolverla para poder saber el valor de k. k 2 16 = 0 k 2 = 16 k 2 = 16 k = k 1 =, k = ± k 2 = 2 16 = = 0 ( ) 2 16 = = 0 Respuesta: Para que la ecuación x 2 +kx+ = 0 tenga una sola raíz, k puede valer o -. 8

9 . Forma factorizada de la función cuadrática Una función cuadrática con raíces x 1 y x 2, ya sean reales, iguales o distintas, o complejas conjugadas, tiene una fórmula que puede ser expresarse en forma factorizada, así: ax 2 +bx+c = 0 a(x x 1 )(x x 2 ) = 0 (5) 5. Relaciones entre las raíces y los coeficientes Las raíces x 1 y x 2 de una función cuadrática se relacionan con los coeficientes a, b y c: ax 2 +bx+c = 0 x 1 +x 2 = b a, x 1 x 2 = c a (6) En el cuadernillo se demuestran estas relaciones. Problema 5: Hallar la forma factorizada de la ecuación de segundo grado, cuyo coeficiente principal es 1, la suma de sus raíces es 3 y el producto es 0. Solución Quiero encontrar la forma factorizada de la ecuación cuadrática: a(x x 1 )(x x 2 ) = 0 Así que necesitamos saber el valor de a, el de las dos raíces. El coeficiente principal es 1, así que a = 1. Luego: x 1 +x 2 = 3 y x 1 x 2 = 0 De la primera ecuación despejo x 1 reemplazo en la segunda x 1 +x 2 = 3 x 1 = 3 x 2, Si x 2 = 0, entonces: x 1 x 2 = 0 (3 x 2 ) }{{} x 2 = 0 3 x 2 = 0, x 2 = 0 x 2 = 3 (7) x 2 = 3 (8) x 2 = 3 (9) x 1 = 3 En este caso la forma factorizada sería: x 1 = 3 x 2 x 1 = 3 0 9

10 a(x x 1 )(x x 2 ) = 0 1(x 3)(x 0) = 0 (x 3)x = 0 Si x 2 = 3, entonces: x 1 = 0 x 1 = 3 x 2 x 1 = 3 3 En este caso la forma factorizada sería: a(x x 1 )(x x 2 ) = 0 1(x 0)(x 3) = 0 x(x 3) = 0 De esta manera, de las dos formas obtenemos la misma forma factorizada. Completar cuadrados Para completar cuadrados ver las diapositivas que colgamos. 10

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