Material Suplementario

Transcripción

1 Material Suplementario Introducción a la teoría de conjuntos Universidad de Puerto Rico en Arecibo Departamento de Matemáticas Original: Prof. Yuitza T. Humarán Martínez Adaptación: Prof. Caroline Rodríguez crodzmateupra.wordpress.com

2 Conjunto Un conjunto es una colección bien definida de objetos. Bien definida se refiere a que para cualquier elemento que consideramos, podemos determinar si está o no, en el conjunto. Esto es, hay que evitar definir conjuntos que dependan de opiniones o preferencias.

3 Ejemplos Conjuntos bien definido El conjunto de las vocales del alfabeto españon. El conjunto de los profesores de matemáticas de la UPRA durante el primer semestre del Conjunto que NO está bien definido El conjunto de los mejores sabores de mantecado El conjunto de los actores más guapos de Hollywood

4 Elementos A los objetos que forman un conjunto se les llama elementos. Se dice que un elemento pertenece al conjunto o que es miembro del conjunto. Por ejemplo, a es elemento del conjunto de vocales de la lengua española. azul es elemento del conjunto de los colores primarios.

5 Notación de lista para conjuntos Un conjunto puede representarse haciendo la lista de sus elementos separados por comas y entre llaves. Esta notación se conoce como forma de listado o lista. Por ejemplo: 1. El conjunto de las vocales de la lengua española se denota {a, e, i, o, u}. 2. El conjunto de los colores primarios se denota {azul, rojo, amarillo}.

6 Notación de conjuntos Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, C,, para denotar o representar conjuntos. Por ejemplo: El conjunto de las vocales de la lengua española se puede denotar, V = {a, e, i, o, u} El conjunto de los colores primarios se puede denotar, C = {azul, rojo, amarillo}.

7 Notación de elementos Un elemento cualquiera de un conjunto se denotan con una letra minúscula. Para un conjunto A, escribimos a A si a es elemento de A (a pertenece al conjunto A). Si b NO es elemento de A, escribimos b A. Por ejemplo: Sea B = {,,, } entonces, B

8 Conjunto vacío El conjunto vacío o nulo, es el conjunto que no contiene elementos. Se denota como { } o Ø. Por ejemplo: El conjunto de los estudiantes de este salón que han ido al satélite de la Tierra, la luna.

9 Naturales Números de conteo {1, 2, 3, 4, 5, 6, } A este conjunto se le asigna la letra N. N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } Nota: La elipsis,, se utiliza para denotar que el conjunto continúa, siempre y cuando se entienda cuál es el patrón que genera los elementos.

10 Notación constructiva para conjuntos Otra representación para un conjunto es la forma constructiva o generadora de conjuntos. Al igual que en forma de listado se utilizan llaves. Ejemplo: El conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5,, 10} en notación descriptiva se puede escribir, A = { a a es un natural menor que 11} ó A = { a a es un natural menor o igual a 10} A = {a N a < 11} A = {a N a 10}

11 Notación de lista a constructiva Ejemplo: Escriba el conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,, 100} en notación constructiva. C = {x N x < 101} C = {x x N y x < 101} C = {x N x 100} C = {x x N y x 100} Observación: D = {x x 100}, es un conjunto distinto, ya que D contiene TODOS los números menores o iguales a 100. Por ejemplo, 0 D pero 0 C; -50 D pero -50 C; ½ D pero ½ C 2 D pero 2 C D pero C

12 Notación descriptiva a lista Ejemplo: Escriba el conjunto en forma descriptiva usando notación de conjuntos y en forma de lista: El conjunto de los naturales entre 5 y 10 Solución: forma generadora: {x N 5 < x < 10} forma de lista: {6, 7, 8, 9}

13 Subconjunto C es subconjunto de D y escribimos C D si cada elemento de C es también un elemento del conjunto D. Por ejemplo: Sea D = {1, 2, 3, %, 0} y C = {%, 1} entonces, C D. D es subconjunto de D?

14 Ejemplo Si A = {lunes, martes, jueves} y B = {lunes, martes, viernes} entonces B no es subconjunto de A. Por qué? Porque B tiene un elemento(viernes) que no es elemento de A. Si B no es subconjunto de A, escribimos B A.

15 Conjunto universo El conjunto universo es el conjunto que contiene todos los elementos de los conjuntos bajo consideración. Se denota U. Por ejemplo: A = {1, 2, 3, 5, 7} B = {2, 4, 6, 8} C = {2, 5, 10} El conjunto universo más pequeño para estos conjuntos es: U={1, 2, 3,4,5,6,7,8,10} Otro conjunto universo podría ser: U={1, 2, 3,4,5,6,7,8,9,10}

16 Operación de conjuntos: Complemento El complemento de un conjunto A, denotado A o A, es el conjunto de todos los elementos del conjunto universo, U, que no pertenecen al conjunto A. Ejemplo: Sea U={1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} y (1) A = {1, 2, 4, 10} entonces, A = {3, 6, 7, 8, 9} (2) B = { 2, 4, 6, 8, 10} B = {1, 3, 7, 9}

17 Operación de conjuntos: Unión Para los conjuntos A y B la unión de A y B está dada por: A B = {x x A o x B}. Este conjunto contiene a los elementos en A o en B o en ambos.

18 Ejemplo Si A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {6, 8, 10, 12, 14} y C = {14, 16, 18}, determine: A B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} A B C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}

19 Ejemplo Sea C = conjunto de los números Cardinales. Entonces, C se puede definir como C = N {0} ya que C = {0, 1, 2, 3, 4, }

20 Operación de conjuntos: Intersección Para A, B la intersección de A y B está dada por: A B = {x x A y x B}. Este conjunto contiene todos los elementos que están en A y en B simultáneamente.

21 Ejemplo Si A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {6, 8, 10, 12, 14} y C = {2, 16, 18}, determine: 1. A B = 2. A C = 3. B C = {6, 8, 10} {2} { }

22 Conjuntos disyuntos Si A B = Ø entonces A y B son conjuntos disyuntos. Dos conjuntos son disyuntos si no tienen elementos en común. Por ejemplo, Si A= {Jesús, María, José} y B = {Juan, Esther, Angel} Entonces A y B son disyuntos. Si A= {1, 2, 3} y B = {1.1, 1.2, 1.3} Entonces A y B son disyuntos.

23 Práctica Determinar si los siguientes conjuntos son disyuntos o no. 1. el conjunto de los números naturales impares y el conjunto de los números naturales pares 2. F = { tiza, profesor, regla} E = { pizarrón, tiza, borrador} 3. V = {v 6 < v 12} W = {w 12 < w 20} 4. N = conjunto de los números naturales C = conjunto de los números cardinales

24 Práctica 1 En los ejercicios siguientes si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A= {1, 2, 4, 5, 8} B = {2, 3, 4, 6} Determine: a) B = {1, 5, 7, 8} b) A B = {1, 5, 8} c) A (A B) = 3, 6, 7 {2,4} = 2, 3, 4, 6, 7 d) (A U B) = ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}) ={7}

25 Práctica 2 En los ejercicios siguientes si U = {0,1, 2, 3, 4, 5, } A= {1, 2, 3, 4, } B = {4, 8, 12, 16, } C= {2, 4, 6, 8, } Determine: a) A B = Examimenos: A={1,2,3,4, 7,8,9, 11,12,13 15,16,17, } B = {4, 8, 12, 16, } Como cada elemento de B es natural, B A. Por lo tanto, A B = A

26 Práctica 2- continucación En los ejercicios siguientes si U = {0,1, 2, 3, 4, 5, } A= {1, 2, 3, 4, } B = {4, 8, 12, 16, } C= {2, 4, 6, 8, } Determine: c) A C = Examimenos: A ={0} C = {2, 4, 6, 8, } Por lo tanto, A C = 0 2, 4, 6, 8 =

27 Práctica 2- continucación En los ejercicios siguientes si U = {0,1, 2, 3, 4, 5, } A= {1, 2, 3, 4, } B = {4, 8, 12, 16, } C= {2, 4, 6, 8, } Determine: c) (B U C) U C= Examimenos: C= {2, 4, 6, 8,,10, 12, 14, 16 } B = {4, 8, 12, 16, } Note B C, por lo tanto (B U C) = C Y por definición de complemento, C U C = U