Funciones Reales de Varias Variables

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1 Funciones Reales de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica II Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 54

2 CONTENIDO Funciones de Varias Variables Introducción Función real de varias variables Dominio y Rango Grafica de funciones de varias variables Algebra de Funciones Conjuntos Abiertos y Cerrados Límites de una función de varias variables Continuidad de funciones de varias variables Derivadas Parciales Derivadas Parciales de Orden Superior Derivación Parcial Implícita Diferenciabilidad y Diferencial Total Hermes Pantoja Carhuavilca 2 de 54

3 NOTA HISTÓRICA Sonya Kovalevsky ( ). Gran parte de la terminología usada para definir limites y continuidad de una función de dos o tres variables la introdujo el matemático alemán Karl Weierstrass ( ). El enfoque riguroso de Weierstrass a los límites y a otros temas en cálculo le valió la reputación de padre del análisis moderno. Weierstrass era un maestro excelente. Una de sus alumnas fue la matemática rusa Sonya, quien aplicó muchas de las técnicas de Weierstrass a problemas de la física matemática y se convirtió en una de las primeras mujeres aceptada como investigadora matemática. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 3 de 54

4 FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES La temperatura T en un punto en la superficie terrestre en cualquier tiempo depende de la latitud x y la longitud y del punto. Podemos considerar T = f (x, y) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 4 de 54

5 Definición Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x, y) de un conjunto D, un número real único denotado por f (x, y) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 5 de 54

6 FUNCIÓN REAL DE n VARIABLES Definición Sea U R n un conjunto de n-uplas. Si a cada n-upla de U diferente le corresponde un número real w, entonces se dice que f es función de x f : U R n R x w w = f (x) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 6 de 54

7 DOMINIO Definición (Dominio) Ejemplo Dom(f ) = {x U R n / w R w = f (x)} Hallar el dominio de la siguiente función f (x, y) = x ln(y 2 x) Solución: Dom(f ) = {(x, y) R 2 / x < y 2 } Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 7 de 54

8 RANGO Definición (Rango) Ranf (f ) = {z = f (x, y) R / (x, y) Dom(f )} Ejemplo Hallar el rango de la siguiente función f (x, y) = Solución: 0 x 2 + y 2 x 2 y x 2 y x 2 y x 2 y 2 3 }{{} f (x,y) Rang(f ) = [0, 3] 9 x 2 y 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 8 de 54

9 EJERCICIOS Hallar el dominio de las funciones 1. f (x, y) = 1 xy 2. g(x, y) = 1 4x 2 y 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 9 de 54

10 Definición Si f : D R 2 R, el gráfico de f es un conjunto de puntos de R 3 : Gr(f ) = {(x, y, z) R 3 \ (x, y) D z = f (x, y)} Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 10 de 54

11 Ejemplo Graficar f (x, y) = 18 x 2 y 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 11 de 54

12 CURVAS DE NIVEL Suponga que la superficie z = f (x, y) se intersecta con el plano z = c, y que la curva de intersección se proyecta sobre el plano XY. Esta curva proyectada tiene a f (x, y) = c como su ecuación, y la curva se denomina curva de nivel de la función f en c. Cada punto de la curva de nivel corresponde a sólo un punto de la superficie que se encuentra a c unidades de ella. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 12 de 54

13 CURVAS DE NIVEL Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 13 de 54

14 Ejemplo Graficar las curvas de nivel de la función z = f (x, y) = sin( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 14 de 54

15 EJERCICIOS Hallar las curvas de nivel de las superficies 1. z = 2x + y 1 2. z = x2 4 + y2 9 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 15 de 54

16 SUPERFICIE DE NIVEL El concepto de curva de nivel puede extenderse una dimensión para definir una superficie de nivel. Si f es una función de tres variables y c es una constante, la gráfica de la ecuación f (x, y, z) = c es una superficie de nivel de la función f. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 16 de 54

17 Ejemplo Encontrar las superficies de nivel de la función f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 Solución: Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 17 de 54

18 ALGEBRA DE FUNCIONES Sean f : U R n R g : V R n R Con dominios U y V respectivamente, definimos 1. (f ± g)(x) = f (x) ± g(x) Dom(f ± g) = U V 2. (f.g)(x) = f (x).g(x) Dom(f.g) = U V 3. (f /g)(x) = f (x)/g(x) Dom(f /g) = U V {x / g(x) = 0} Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 18 de 54

19 CONCEPTOS PREVIOS Si x 0 = (x 1, x 2,..., x n ) R n y δ > 0, el conjunto B(x 0 ; δ) = {P R n / P x 0 < δ} se llama bola abierta de centro x 0 y radio δ. El conjunto B (x 0 ; δ) = {P R n / P x 0 < δ} {x 0 } Se llama bola abierta reducida. El conjunto Se llama bola cerrada. B(x 0 ; δ) = {P R n / P x 0 δ} Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 19 de 54

20 CONCEPTOS PREVIOS Definición Un conjunto D R n es abierto x D, δ > 0 / B(x, δ) D Definición Un conjunto S R n es cerrado el complemento de S es abierto. Definición Sea D R n ; el punto x 0 R n es un punto de acumulación de D si ɛ > 0, B (x 0, δ) D Φ Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 20 de 54

21 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 21 de 54

22 LÍMITES DE UNA FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES Sea f : D R n R una función, x 0 R n punto de acumulación de D y L un número real. Se dice que el límite en x 0 es L. lím x x 0 f (x) = L ɛ > 0, δ > 0 tal que 0 < x x 0 < δ f (x) L < ɛ Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 22 de 54

23 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 23 de 54

24 Ejemplo Demostrar (a) lím (x,y) (1,1) (x2 + y 2 ) = 2 (b) lím (c) lím (x,y) (1,2) y2 = 8 (x,y) (0,0) xy 2 x 2 + y 2 = 0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 24 de 54

25 Teorema Sea S 1 y S 2 conjuntos en R 2 que tienen al punto (x 0, y 0 ) como un punto de acumulación y si lím (x, y) (x 0, y 0 ) (P S 1 ) f (x, y) lím (x, y) (x 0, y 0 ) (P S 2 ) f (x, y) entonces lím f (x, y) no existe. (x,y) (x 0,y 0 ) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 25 de 54

26 Ejemplo Determinar si existe Ejemplo Determinar si existe lím (x,y) (0,0) lím (x,y) (0,0) x 2 y 2 x 4 + y 4 x 2 y 2 x 2 + y 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 26 de 54

27 PROPIEDADES DE LÍMITES Sean f : U R n R g : V R n R Con dominios U y V respectivamente, tal que lím f (x) y x x0 lím g(x) existen y si x0 es un punto de acumulación de U V, x x0 entonces 1. lím (f ± g)(x) = lím f (x) ± lím g(x) x x0 x x0 x x0 2. lím (f.g)(x) = lím f (x). lím g(x) x x0 x x0 x x0 3. lím (f /g)(x) = lím f (x)/ lím g(x) Si lím (g)(x) 0 x x0 x x0 x x0 x x0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 27 de 54

28 Teorema Sean g, f y h funciones de n variables definidas en una bola abierta B(x0; r), excepto tal vez en x0 mismo, tal que g(x) f (x) h(x) x B(x0; r) y si lím g(x) = L = lím h(x) entonces, lím f (x) existe y x x0 x x0 x x0 lím f (x) = L x x0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 28 de 54

29 Ejemplo Sea Hallar Ejemplo Sea Hallar f (x, y) = lím f (x, y) si existe. (x,y) (0,0) lím f (x, y) si existe. (x,y) (0,0) xy2 x 2 + y 2 f (x, y) = x4 y + 4x 2 y 3 y 5 (x 2 + y 2 ) 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 29 de 54

30 CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Definición Sea f : U R n R una función definida en U, se dice f es continua en x 0 U si cumple las siguientes condiciones 1. f (x 0 ) existe 2. lím x x0 f (x) existe 3. lím x x0 f (x) = f (x 0 ) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 30 de 54

31 EJEMPLOS Ejemplo Analizar la continuidad de xy f (x, y) = x 2 ; (x, y) (0, 0) + y2 0 (x, y) = (0, 0) En el punto (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 31 de 54

32 EJEMPLOS Ejemplo Analizar la continuidad de 3x 2 y f (x, y) = x 2 ; (x, y) (0, 0) + y2 0 (x, y) = (0, 0) En el punto (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 32 de 54

33 EJERCICIO Analizar la continuidad de x 4 f (x, y) = x(x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) ) 0 (x, y) = (0, 0) En el punto (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 33 de 54

34 Definición (Continuidad en un Intervalo) Sea f : U R n R. Se dice que f es continua en todo U si solo si es continua en cada punto de U. Teorema Si f y g son continuas en x 0, entonces también son continuas; f ± g, f.g y f g (g(x 0) 0). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 34 de 54

35 DERIVADAS PARCIALES f (x + x, y) f (x, y) D 1 f (x, y) = lím x 0 x D 2 f (x, y) = lím y 0 f (x, y + y) f (x, y) y Las derivadas parciales existen siempre que sus límites existan. Notación: D 1 f = f x = f 1 = f x, D 2 f = f y = f 2 = f y Nota: La existencia de las derivadas parciales en un punto no garantiza la continuidad en dicho punto. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 35 de 54

36 Ejemplo Si f (x, y) = x 2 y 3, obtener f x y f y Ejemplo xy Sea f (x, y) = x 2 ; (x, y) (0, 0) + y2 0 (x, y) = (0, 0). Hallar f x (0, 0) y f y (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 36 de 54

37 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA PARCIAL Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 37 de 54

38 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 38 de 54

39 Ejemplo Hallar las pendientes de la superficie dada por f (x, y) = 1 (x 1) 2 (y 2) 2 en el punto (1, 2, 1), en las direcciones de x y de y. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 39 de 54

40 DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES O MÁS VARIABLES f (x + x, y, z) f (x, y, z) f x (x, y, z) = lím x 0 x f (x, y + y, z) f (x, y, z) f y (x, y, z) = lím y 0 f z (x, y, z) = lím z 0 y f (x, y, z + z) f (x, y, z) z En general, si w = f (x 1, x 2,..., x n ), hay n derivadas parciales denotadas por w x k = f xk (x 1, x 2,..., x n ), k = 1, 2,..., n Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 40 de 54

41 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Derivar dos veces con respecto a x ( ) f = 2 f x x x 2 = f xx = f 11 Derivar dos veces con respecto a y ( ) f = 2 f y y y 2 = f yy = f 22 Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y ( ) f = 2 f y x y x = f xy = f 12 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 41 de 54

42 Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x ( ) f = 2 f x y x y = f yx = f 21 Ejemplo Hallar las derivadas parciales de segundo orden de f (x, y) = 3xy 2 2y + 5x 2 y 2 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 42 de 54

43 Ejemplo 2xy Sea f (x, y) = x 2 ; (x, y) (0, 0) + y2 0 (x, y) = (0, 0) Calcular D 12 f (0, 0) y D 21 f (0, 0) Ejercicio x 2 y 2 Sea f (x, y) = x 4 ; (x, y) (0, 0) + y4 0 (x, y) = (0, 0) Calcular D 12 f (0, 0) y D 21 f (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 43 de 54

44 Teorema Si f es una función de x e y tal que f xy y f yx son continuas en un disco abierto R, entonces, para todo (x, y) en R f xy (x, y) = f yx (x, y) Ejemplo xy(x 2 y 2 ) Sea f (x, y) = x 2 + y 2 ; (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Calcular D 12 f (0, 0) y D 21 f (0, 0) si existen. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 44 de 54

45 DERIVACIÓN PARCIAL IMPLÍCITA Teorema Si la ecuación F(x, y) = 0 define a y implícitamente como función derivable de x, entonces dy dx = F x(x, y) F y (x, y), F y(x, y) 0 Si la ecuación F(x, y, z) = 0 define a z implícitamente como función diferenciable de x e y, entonces z x = F x(x, y, z) F z (x, y, z) F z (x, y, z) 0 y z y = F y(x, y, z) F z (x, y, z) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 45 de 54

46 Ejemplo Encuentre y si x 3 + y 3 = 6xy Ejemplo Hallar z/ x, y z/ y, si x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz = 1 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 46 de 54

47 Ejercicio Hallar z/ x, y z/ y, si 3x 2 z x 2 y 2 + 2z 3 + 3yz 5 = 0 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 47 de 54

48 DIFERENCIABILIDAD Y DIFERENCIAL TOTAL Definición Si f es una función de las variables x e y, entonces el incremento de f en el punto (x 0, y 0 ), denotado por f (x 0, y 0 ), está dado por f (x 0, y 0 ) = f (x 0 + x, y 0 + y) f (x 0, y 0 ) Definición Si el incremento de una función se puede expresar como f (x 0, y 0 ) = D 1 f (x 0, y 0 ) x + D 2 f (x 0, y 0 ) y + ɛ 1 x + ɛ 2 y donde ɛ 1 = ɛ 1 ( x, y) y ɛ 2 = ɛ 2 ( x, y) lím ɛ 1 = 0 = lím ɛ 2 ( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0) entonces f es diferenciable en (x 0, y 0 ). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 48 de 54

49 Ejemplo Hallar una aproximación del valor 4,04 8,97 Solución: x = 0,04, y = 0,03, f (x, y) = xy f (x 0 + x, y 0 + y) f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 ) x + f y (x 0, y 0 ) y f x (x, y) = y 2 xy, f y(x, y) = x 2 xy f x (4, 9) = 3 4, f y(4, 9) = 1 3 f (4 + 0,04, 9 0,03) (0,04) + 1 ( 0,03) = 6,02 3 Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 49 de 54

50 Ejemplo Demuestre que la función f (x, y) = x 2 + 3y es diferenciable para cualquier punto (x, y) Teorema (Condición suficiente para la diferenciabilidad) Si f es una función x e y, para la que f x y f y son continuas en una región abierta R, entonces f es diferenciable en R. Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 50 de 54

51 Teorema Sea f : U R 2 R, f es diferenciable en (x 0, y 0 ) U, si sus derivadas parciales en (x 0, y 0 ) existen y si f (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) x f y (x 0, y 0 ) y lím = 0 ( x, y) (0,0) ( x) 2 + ( y) 2 donde f (x 0, y 0 ) = f (x 0 + x, y 0 + y) f (x 0, y 0 ) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 51 de 54

52 Ejemplo Demuestre que f (x, y) = x 2 + y 2 es diferenciable en todo (x 0, y 0 ). Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 52 de 54

53 Ejemplo Demuestre que la función f (x, y) = no es diferenciable en (0, 0). Ejemplo Averigue la diferenciabilidad en (0, 0) de la función x 2 y (x, y) (0, 0) f (x, y) = x 2 + y 2 0 (x, y) = (0, 0) 2xy x 2 + y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 53 de 54

54 Teorema Si f : U R 2 R, es diferenciable en (x 0, y 0 ) U, entonces es continua en (x 0, y 0 ) Ejemplo ( ) (x 2 + y 2 1 ) sin Sea f (x, y) = x 2 + y 2 (x, y) (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) Determinar si f es continua en (0, 0), determinando su diferenciabilidad en (0, 0) Funciones de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca 54 de 54

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