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1 Rvista Bistua ISSN Univrsidad d Pamplona, Pamplona-Colombia Estudio D La Variana Al Cambio D Escala Y Al Dsplaaminto En El Plano En Un JTC D Ordn Fraccional José Luis Aguilar Siado 1, y Yid Torrs Morno 1 1 GOTS, Grupo d Óptica y Trataminto d Sñals, Facultad d Cincias, Escula d Física, Univrsidad Industrial d Santandr, A.A. 678, Bucaramanga, Colombia. Facultad d Ingniría, Univrsidad dl Magdalna, A.A. 731, Santa Marta, Colombia; RESUMEN Con l uso d una dfinición altrnativa para la convolución y la corrlación d ordn fraccional y utiliando un disño y su implmntación xprimntal para llvar a cabo un procso óptico digital d corrlación conjunta fraccional (JTC fraccional), s analia la corrlación n l plano fraccional d dos imágns bidimnsionals. S valúan los rsultados para dos imágns similars, lugo s hac la valuación variando l tamaño d una d las imágns, con l fin d valuar su variana al cambio d scala. S hac también l análisis variando la posición d una d llas con rspcto al j óptico, studio d la variana al dsplaaminto. La sparación ntr imágns a la ntrada, corrspond con un único ordn fraccional. Para la construcción dl corrlador s utilia un bi-prisma d Frsnl junto a las imágns a corrlacionar, st proporciona una fas linal a dichas imágns. Los picos d corrlación fraccional son analiados mdiant simulación computacional y postriormnt son comparados con los rsultados obtnidos n l procsador óptico digital implmntado n l laboratorio. Palabras Clav: Corrlador Híbrido, Procsaminto d Sñals, Transformada d Fourir fraccional, Transformada d Fourir. ABSTRACT By using of an altrnativ dfinition for th fractional convolution and corrlation, using xprimntal dsign and implmntation which prform an optical digital procss of fractional joint corrlation (JTC fractional), it is analid corrlation for two bidimnsional imags on th fractional plan. Rsults ar valud for two similar imags, thn valuation is ralid varying th si of an imag only, in ordr to assss thir varianc to chang of scal. Analysis is don too by varying an imag position rspct of th optical axis, study of varianc to shifting (spatial varianc). Sparation btwn imags on ntry, corrspond to a singl fractional ordr. For th construction of corrlator it is using a biprism of Frsnl just in front to imags to corrlat, which provids a linar phas to imags. Th fractional corrlation paks ar analyd by computr simulation and thn comopard with thos obtaind in th optical digital procssor implmntd in laboratory. Kywords: Hybrid Corrlator, Signal Procssing, Fractional Fourir Transform, Fourir Transform. 1. INTRODUCCIÓN La corrlación s una hrraminta muy utiliada n difrnts aplicacions, tals como l rconociminto d patrons, la xtracción d las caractrísticas o formas d la imagn, la localiación d objtos, tc. Considrando cuidadosamnt la propidad d variana al corriminto 1 d la transformada d Fourir fraccional, y la flxibilidad qu brindan los squmas propustos hoy n día, al corriminto spacial n l plano d ntrada, s ncsario un procso d corrlación d imágns, con miras a tnr a disposición un sistma capa d corrlacionar cualquir tipo d imagn bidimnsional. S ilustrará l squma transformador d Fourir fraccional a utiliar; l mismo qu nos prmitirá llvar a cabo un procso d Corrlación d Fourir Fraccional Conjunta (JTC Fraccional) d las imágns, y qu srá dscrito paso a paso durant l dsarrollo dl trabajo. Tal squma mncionado brinda una transformación d Fourir fraccional xacta. La corrlación fraccional tin la propidad d sr variant al corriminto, lo cual no simpr s dsvntaja ya qu s utiliabl, por jmplo, si s dsa qu un objto sa rconocido cuando stá posicionado n cirta ára, y rchaado o dschado si no lo stá. Usando una nuva dfinición d corrlación fraccional, s raliará un filtraj n l dominio

2 spacio-frcuncia spacial. El plano d ntrada stará acompañado por un biprisma l cual nos va a prmitir qu tanto la scna como la rfrncia tngan l factor d fas adcuado para lograr obtnr una corrlación por transformación d Fourir fraccional conjunta. Un dtctor cuadrático (cámara CCD) srá usado ntoncs para l rgistro n intnsidad d la información qu ha sido transformada fraccionalmnt n un ordn, para lugo continuar l procso digitalmnt. Las imágns a utiliar srán variadas d posición, una con rspcto a la otra, rspcto dl j óptico, con l fin d valuar la propidad d variana al corriminto d la transformada d Fourir fraccional y n conscuncia d la corrlación fraccional; d igual manra s cambiará l tamaño d una d las imágns, con rspcto a la otra, valuando así la propidad d scalaminto d la transformada d Fourir fraccional. Las vntajas d sta nuva dfinición d corrlación fraccional, principalmnt, s qu cumpl con todas las propidads qu han prmitido qu la corrlación sa una d las más intrsants, opracionalmnt, n todo l análisis d Fourir. Esta dfinición admás nos prmit llvar a cabo ópticamnt un procso d corrlación fraccional a un bajo costo n l laboratorio n dond fácilmnt pud adicionars un factor d fas constant tanto a la scna como a la rfrncia, usando un biprisma 4 d Frsnl.. DIFRACCIÓN DE FRESNEL Y LA TRANSFORMADA DE FOURIER FRACCIONAL Considrando l caso gnral, l cual s d intrés para l dsarrollo d st trabajo, n dond s toma n lugar d misors y rcptors planos, misors y rcptors sféricos 3, s analia la rlación xistnt ntr los campos lctromagnéticos monocromáticos n stas suprficis, y l fnómno d difracción o propagación ocurrido ntr stas. Tnindo n cunta qu la amplitud producida por una funt puntual monocromática sobr una suprfici sférica cntrada n la funt, s constant, s pud asumir por normaliación, qu sta amplitud tin como valor la unidad. Bajo stas considracions s pud llgar a la xprsión d la transfrncia dl campo ntr las dos suprficis 3. Es conocido admás qu la forma intgral 1 d la transformada d Fourir fraccional d ordn d una función f s: i í i [ f ]( ) xp[ i ] xp[ i ]xp[ ] f ( ) d (1) sn R sn Exprsando la difracción d Frsnl (transfrncia dl campo ntr dos suprficis cualsquira) n forma d una transformación d Fourir fraccional s obtin una xprsión para l ordn, d la siguint forma: 1, () dond x f y dond x s la distancia d obsrvación sobr l j óptico, y f s la distancia focal d la lnt. s un númro ral difrnt d cro, qu dpnd d la longitud d onda d la iluminación y dl radio d curvatura dl misor. También dpnd d la variabl rducida dada por: r f (3). CORRELACIÓN.1. Corrlación Convncional S ha dfinido la corrlación convncional d las funcions f y g como: * C ( ) f g ( ) f ( u) g ( u ) du Es fácil obsrvar d sta xprsión qu la función g dsplaada al intrior d la intgral pud sr xprsada como la corrlación d lla misma cntrada, con una distribución d Dirac dsplaada... Corrlación Fraccional S ha dfinido rcintmnt la convolución fraccional, introducindo una curvatura adicional apropiada n l filtro, (4) Pág. d 6

3 i x' f * g ( ) f g, (5) prmitindo obtnr una xprsión n forma d intgral similar a la corrlación fraccional, y qu dnotarmos, o n forma quivalnt, i ( u ) f g ( ) f ( u) g ( u ) du, (6) CRF ) f g ( ) f ( u) g * ( u ) ( u) du ( (7) En forma quivalnt a la cuación (4), obsrvamos n sta última xprsión, dntro d la intgral, qu la función g stá corrlacionada, fraccionalmnt, con una distribución d Dirac dsplaada. Esto mustra qu para l dsplaaminto d la función, sólo basta convolucionar sta fraccionalmnt con una distribución d Dirac. La xprsión (7) srá usada para la implmntación dl squma óptico a utiliar. 3. IMPLEMENTACIÓN ÓPTICA i u El término d mayor intrés s l cual corrspond a la fas linal qu db introducirs a las imágns a corrlacionar, para así tnr un procso d corrlación fraccional para satisfacr la cuación (6). S utilia ntoncs un prisma qu nos prmita adicionar una fas linal a cada función a corrlacionar, Fig. 1, hacindo corrspondr dicha fas con la fas linal d la dfinición (6) dl análisis prcdnt. Tnindo n cunta las variabls rducidas y la cuación (), s obtin un ordn para la transformación fraccional adcuada a un dsplaaminto spacial spcífico y una distancia d obsrvacion x, rspctivamnt: fsn cos, x f 1 cos (8) '' fsn El ángulo, qu s la inclinación introducida sobr l ha incidnt, s una cantidad qu dpnd dl valor dl ángulo d inclinación dl biprisma. S pud afirmar qu dando un corriminto adcuado, s obtin un ordn fraccional único para s corriminto y una ubicación única d la lnt y l plano d dtcción. S analia ntoncs lo qu la cámara rgistrará. Llammos h() a la función d ntrada al sistma, la cual stá xprsada por: h ( ) f * ( ) ( ) g * ( ) ( ) (9) Transformando fraccionalmnt la función h(), s ubica una CCD n l plano d salida, y al rgistro sobr sta, i ' db multiplicars por un término d fas cuadrática d la forma, para satisfacr la condición d filtro curvo. Postriormnt s aplica una transformación d Fourir fraccional digital d ordn -, obtnindo los trs términos dl corrlador : CRF ( )* i ' C 0( ) g ( ') f ( ') (10) ( ) f g ( ) (11) Pág. 3 d 6

4 CRF ( )* ( ) f g ( Las dos últimas xprsions corrspondn a las corrlacions fraccionals cruadas (la una compljo conjugada d la otra). Conocindo ya las variabls rducidas y l ordn d transformación, s cra la matri para obtnr l factor d fas cuadrática i '.S trabaja con un tamaño d matri d 481x481. Fig.. 3. RESULTADOS EXPERIMENTALES S ha utiliado para la iluminación un lásr d Hlio Nón con una longitud d onda d 63,8nm y 60mW; sguido d un filtrado spacial, objtivo-pinhol, y un sistma d colimación; la ubicación d la scna d ntrada stá sobr una lámina d actato, justo sguido por un biprisma d Frsnl. El ángulo dl biprisma s calculado usando l ángulo d inclinación dl ha proporcionado por ést cuando s iluminado por un ha d lu plano. El valor ncontrado para st ángulo d inclinación s d 0,4 o ; La lnt utiliada para la a transformación d Fourir d ordn fraccional d la scna d ntrada s una lnt d Fourir d focal 380mm; la cámara CCD para la adquisición d la intnsidad a la salida dl dispositivo óptico, dl ordn fraccional, d la scna d ntrada, tin como tamaño d píxl 8,4um(H) y 9,8um(V). Esta cámara stá conctada a un computador a partir dl cual s llvará a cabo la sgunda transformación d ordn fraccional =-0,9. En st xprimnto s usó l valor d =0,9. Con l uso d st valor, s calculó la distancia x =31,cm ilustrada n la figura (1), comprndida ntr la ubicación d la scna d ntrada y la ubicación d la lnt, la cual corrspond también a la distancia ntr la lnt y la cámara CCD. En la Fig. 3a s pud obsrvar la intnsidad d la transformada d la scna (dos caractrs LL similars d tamaño 4mm) para l ordn mncionado. Con l rgistro n intnsidad s procd a multiplicar st rgistro con la matri (función chirp bidimnsional) d la Fig. y lugo s llva a cabo, digitalmnt, la transformada d Fourir d ordn fraccional =-0,9 d st rsultado; s obtin una vista tridimnsional d la autocorrlación fraccional n la Fig. 3b. La Fig. 3c nos mustra la autocorrlación compltamnt digital. En la Fig. 4 s mustra la autocorrlación fraccional d los caractrs n la ntrada, con uno d los caractrs scalado micrométricamnt (50µm por lado): a. Intnsidad d la transformada, para un ordn 0,9; b. Cort transvrsal d la transformada d ordn -0,9 d la imagn n a; c. Autocorrlación compltamnt digital. En la Fig. 5 s obsrva: a. La intnsidad d la transformada d ordn fraccional 0,9 d la scna d ntrada (corriminto100µm); b. Una vista tridimnsional d la autocorrlación fraccional d la scna; c. Autocorrlación fraccional compltamnt digital. Es claro d los rsultados qu para un scalaminto o un corriminto d uno d los dos caractrs, can por complto los picos d autocorrlación fraccional para l ordn ncontrado. Esto pud tomars como fortala dl sistma n l momnto d idntificar con prcisión la ubicación, o cambios dimnsionals, d cualquir caráctr dntro d la scna d ntrada. Los rsultados xprimntals stán acord con los rsultados compltamnt digitals. Un sistma d corrlación fraccional como l dsarrollado n st trabajo, pud sr aplicado para l uso d rconociminto d patrons, como un dispositivo oprativo d sguridad n la idntificación d un objto n particular, ubicando a la ntrada, como n nustro caso, objtos o imágns bidimnsionals. ) (1) REFERENCIAS 1. H. M. Oaktas, Z. Zalvsky, M. A. Kutay, Th Fractional Fourir Transform, pp , JOHN WILEY & SONS LTD, England, R. torrs, Z. Liarao, Y. Torrs, Formulación matmática gnral para la corrlación fraccional, VIII Encuntro Nacional d Óptica, Popayán, Colombia, (00). 3. P. Pllat-Fint, Lccions d Óptica d Fourir, pp. 6-8, 59-60, Springr-Vrlag, Univrsidad Industrial d Santandr, Bucaramanga, Colombia, 0 d Mayo d 003. Pág. 4 d 6

5 4. J. W. Goodman, Introduction to Fourir Optics, pp. 10, Ed., McGraw-Hill, Stanford Univrsity (1996). Figura 1. Configuración óptica para l cálculo d la corrlación fraccional por transformación d Fourir fraccional conjunta. Figura. Matri (función chirp bidimnsional) qu multiplica la imagn capturada por la CCD (a) (b) (c) Figura 3. (a) Intnsidad d la transformada para un ordn 0.9; (b) Transformación digital d ordn -0,9 d la imagn n (a); (c) Autocorrlación fraccional compltamnt digital (a) (b) (c) Figura 4. (a) Intnsidad d la transformada, para un ordn 0,9; (b) Cort transvrsal d la transformada d ordn -0,9 d la imagn n (a); (c) Autocorrlación fraccional compltamnt digital (a) (b) (c) Figura 5. (a) Intnsidad d la transformada d ordn 0,9; (b) Autocorrlación fraccional d la scna d ntrada; (c) Autocorrlación fraccional, compltamnt digital, d la scna d ntrada. Pág. 5 d 6

6 Pág. 6 d 6

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