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1 883 Aálisis matemático para Igeiería. M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA CAPÍTULO 3 Métodos uméricos de u paso El objetivo de este capítulo es itroducir los métodos uméricos de resolució de ua ecuació diferecial o de u sistema de ecuacioes difereciales de u solo paso, mietras que e el siguiete capítulo se estudiará los métodos multipaso. U sistema de ecuacioes difereciales o ua ecuació diferecial de orde superior siempre puede ser expresados como u sistema de primer orde, y de esta forma resolver uméricamete el problema de valor iicial: y = f(x, y) y(x 0 ) = y dode y, y, y0 R so vectores -dimesioales, f: R + R, mietras que x y 0 x 0 so escalares. Ua solució está defiida e u itervalo [x 0, b] dode x 0 y b so fiitos. Se supoe que se verifica las ipótesis del teorema de existecia y uicidad de Picard-Lidelöf por lo que se puede garatizar que existe ua úica solució y = y(x) del problema de valor iicial. Todo método umérico lleva cosigo la idea de discretizació, esto es, el itervalo cotiuo [x0, b] de x es reemplazado por u cojuto discreto de putos {x } defiidos por x = x 0 +, = 0,,,..., N = (b x 0 )/. El parámetro se

2 884 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA deomia logitud de paso, que e u pricipio se cosidera que es costate, auque la potecia de los moderos algoritmos deriva de su abilidad para cambiar automáticamete e el proceso de computació. E este capítulo (y e el siguiete) se deota por y(x) a la solució exacta de la ecuació diferecial y por z al valor aproximado de la solució e x. El objetivo es ecotrar u cojuto de valores {z} que se aproxime a la solució e el cojuto discreto de putos {x }, z y(x ). Esta sucesió se deomia solució umérica del problema de valor iicial. U método umérico es por tato ua ecuació e diferecias que permita computar los z. Existe algoritmos que implemeta estos métodos permitiedo estimar el error, seleccioar el tamaño de paso más coveiete y decidir qué método emplear e cada etapa de la búsqueda de la solució. Pero resulta como cajas egras poco aprovecables para compreder el proceso. El propósito de este capítulo y del siguiete es, precisamete, eteder su comportamieto y coocer sus propiedades. Existe ua gra diversidad de métodos uméricos para la resolució de u problema de valor iicial, co distitas características. Estos métodos se agrupa e dos familias: los métodos de u paso y los métodos lieales multipaso. Los métodos de u paso, que se preseta e este capítulo, se caracteriza porque el valor aproximado z de la solució e el puto x se obtiee a partir del valor z - obteido e la etapa aterior. Los métodos lieales multipaso, que se estudia e el capítulo siguiete,

3 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 885 utiliza para el cálculo del valor aproximado z o sólo el valor z - obteido e la etapa aterior, sio tambié los valores z -,..., z -j obteidos e etapas previas. La utilizació de estos valores previos ace que el comportamieto de los dos grupos de métodos uméricos sea muy diferete, co características específicas para cada grupo, lo que ace preciso u estudio difereciado de cada ua de las familias. El coteido de este capítulo es el siguiete: E primer lugar y co el fi de eteder como fucioa los métodos uméricos se comieza estudiado el más secillo, el método de Euler, que sirve como modelo comú de comportamieto de los métodos uméricos, tato para los métodos de u paso como para los métodos lieales multipaso. A cotiuació se itroduce los métodos de u paso, etre los que se destaca especialmete los métodos de Taylor y los métodos de Ruge-Kutta, y se estudia sus propiedades. Al aalizar de forma geeral los métodos de u paso se estudia la maera de evaluar el error cometido, o de coocer si es de esperar que el resultado obteido se ajusta bie a la solució exacta de la ecuació diferecial, es decir, si el método es covergete.

4 886 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 3.. EL MÉTODO DE EULER E el estudio de las solucioes aproximadas de ecuacioes difereciales se comieza estudiado u método clásico, el método de Euler, (o de las poligoales de Euler), desarrollado por Leoard Euler por lo que lleva su ombre. Tiee u iterés especial desde el puto de vista didáctico porque sirve como puto de partida para itroducir los coceptos y aalizar los problemas que va a aparecer e el resto de los métodos uméricos. Su estudio sirve, pues, como modelo para ivestigar las dificultades que se preseta e cualquier método umérico y para aalizar los distitos tipos de error que se geera. Sumiistra tambié ua secilla iterpretació geométrica pues se aproxima la solució del problema de valor iicial mediate la tagete a dica solució. Se cosidera el problema de valor iicial y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, del que se supoe que es u problema bie propuesto, es decir, se sabe que tiee ua úica solució e u itervalo (x 0, x 0 + ). Para ecotrar ua solució aproximada de y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, se toma como valor iicial z 0 ; etoces f(x 0, z 0 ) es la pediete de la recta tagete e el puto de partida (x 0, z 0 ), por lo que se puede obteer como valor z el que toma la recta que pasa por (x 0, z 0 ) y tiee como pediete f(x 0, z 0 ) e el puto de abscisa x : z = z 0 + f(x 0, z 0 ) A cotiuació se repite el proceso desde el puto (x, z ) aproximado la solució por la recta tagete que pasa por dico puto. Por tato la expresió geeral del método de Euler resulta:

5 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 887 z + = z + f(x, z ). La solució umérica resultate aparece como ua poligoal formada por trazos de rectas tagetes. (x, y ) (x 0, y 0 ) (x, y ) Figura 3.: Poligoal de Euler Defiició 3..: Se deomia método de Euler al método umérico de expresió: z + = z + f(x, z ). Se puede utilizar cuatro putos de vista distitos para explicar el método de Euler: U puto de vista geométrico, utilizado la idea de recta tagete de pediete y (x) = f(x, y(x)). Utilizar el desarrollo de Taylor, lo que permite además valorar el orde del error cometido: y(x + ) = y(x) + y (x) + ( /) y (x) ( p /p!) y p) (x) +... pudiédose cosiderar el método de Euler como el método de Taylor de

6 888 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA orde uo, cuado se corta e: y(x + ) = y(x) + y (x). El error cometido al calcular el valor aproximado de y(x + ), e u solo paso, etre x y x +, es del orde del térmio complemetario: y (c) dode c es u puto compredido etre x y x +, por lo que si se puede acotar y (c) etoces se dice que este error es del orde de O( ). Otros métodos, los métodos de Taylor, se obtedrá cortado el desarrollo de Taylor e distitos térmios. Aplicar la defiició de derivada o el teorema del valor medio: y (x) y( x + ) y( x ) y(x + ) y(x) y (x), teiedo e cueta que y (x) = f(x, y) se obtiee que y(x + ) y(x ) + f(x, y(x )), por lo tato z+ = z + f(x, z ). Otros métodos se obtedrá buscado mejores estimacioes para la derivada y (x). Itegrar la ecuació diferecial etre dos putos cosecutivos de la red, por ejemplo etre x y x + :

7 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 889 y(x + ) = y(x ) + x x + f(x,y( x )) dx Si la fució f(x, y(x)) se toma como la costate f(x, z ), se obtiee: x + y(x+) = y(x ) + f(x, z ) dx = y(x ) + f(x, z ) x Por lo tato: z+ = z + f(x, z ). Otros métodos, los métodos multipaso, se obtiee dado mejores estimacioes para la fució f(x, y(x)). Estos cuatro diferetes putos de vista volverá a ser utilizados para obteer el resto de los métodos. Por ejemplo se obtedrá los métodos de Ruge-Kutta por el º, los métodos multipaso y especialmete los predictor-corrector mediate el 4º, las ecuacioes difereciales stiff y el método del puto medio utilizará el 3º, y e todos ellos se buscará ua iterpretació geométrica co promedios de la tagete. Para termiar, es importate señalar que el método de Euler rara vez se utiliza e la práctica debido a que, a pesar de su secillez a la ora de implemetarlo, su covergecia es leta, como se comprobará eseguida, de maera que se puede ecesitar mucos pasos e su ejecució para obteer ua buea aproximació del valor buscado. Su iterés fudametal es por tato didáctico. Debido a su secillez, se utiliza tambié para obteer valores iiciadores que permita aplicar métodos lieales multipaso como los que se estudiará e el capítulo siguiete.

8 890 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ejemplos resueltos Ejemplo 3..: Aplicar el método de Euler para estimar u valor aproximado de la solució e x =,5 de y = x + y, y() = 0, siedo z 0 = 0 y el tamaño de paso 0,; 0,05 y 0,05. Para = 0,, bie a mao o co ua oja de cálculo, se costruye ua tabla para evaluar z+ = z + f(x, z ), siedo x = x 0 +. Así,,5 = + 0,, por lo que = 5. x z f(x, z ) 0 0, 0,,, 0,,445 3,3 0,33545,458 4,4 0, , ,5 0, Ya que, por ejemplo, z = z 0 + f(x 0, z 0 ) = z 0 + (x 0 + z 0 ) = 0 + 0,() = 0,; z = z + f(x, z ) = z + (x + z ) = 0, + 0,(, + 0, ) = 0, + 0,(,) = 0, y así sucesivamete, asta z 5 = 0, y(,5). Para = 0,05, a mao o co ua oja de cálculo, se costruye ua tabla para evaluar z+ = z + f(x, z ), siedo x = x 0 +. Así,,5 = + 0,05, por lo que = 0.

9 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 89 x z f(x, z ) 0 0,05 0,05,055, 0,065, ,5 0,58559, , 0,6909, ,5 0,79545, ,3 0, , ,35 0,46675, ,4 0,498064, ,45 0, , ,5 0, Aora z 0 = 0, y(,5). Para = 0,05 se tiee que = 0 y: x z f(x, z ) 0 0,05 0,05,0565,05 0, , ,075 0, , , 0, ,0838

10 89 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 5,5 0,374807, ,5 0,603070, ,75 0, , , 0,9974, ,5 0,58383, ,5 0,833866, ,75 0, , ,3 0,350544, ,35 0, , ,35 0,434675, ,375 0, , ,4 0,504048, ,45 0, , ,45 0, , ,475 0, , ,5 0, Aora z 0 = 0, y(,5). Ejemplo 3..: Aplicar el método de Euler para estimar la solució e x = de y = x + 4y, y(0) =, siedo z0 = y los tamaños de paso siguietes: 0,; 0,05, 0,05, 0,05. Resolver la ecuació diferecial. Valorar el error cometido y compararlo co el tamaño de paso utilizado

11 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 893 Resultados de aplicar el método de Euler co distitos tamaños de paso a: y = x + 4y, y(0) =, para aproximar la solució e x = X = 0, = 0,05 = 0,05 = 0,05 Exacto 34, , , , , Error global 30, ,309..., ,86... Se observa que al dismiuir los tamaños del paso a la mitad los errores cometidos se reduce cada vez aproximadamete a la mitad. E este setido se dice que el orde del error es similar a, el tamaño de paso. Pero los errores cometidos so excesivamete grades lo que explica que se deba estudiar mejores métodos. Ejemplo 3..3: Aplicar el método de Euler para estimar la solució de y = y, y(0) =, siedo z 0 = y el tamaño de paso resolviedo la ecuació e diferecias. Comprobar si el límite de la estimació obteida cuado el tamaño de paso tiede a cero coicide co la solució exacta. El estudio de las ecuacioes e diferecias aparece como u apédice, 3.7. Apédice: Ecuacioes e diferecias, al fial de este capítulo. Para u tamaño de paso y para z + = z + f(x, z ), siedo x 0 = 0, x = x 0 +, f(x, z ) = z se tiee z + = z + (z ) = ( + ) z, por lo que la ecuació característica asociada es: r = +, y la solució de la ecuació omogéea es: z H = C ( + ). Se busca ua solució particular parecida al térmio idepediete que es ua costate,, por lo que se prueba co z P = a, que al sustituir e la ecuació e diferecias:

12 894 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA a = ( + ) a = a a = zp = z = z H + z P = C ( + ) +. Para calcular C se impoe que z 0 =. z0 = = C ( + ) 0 + = C + C = z = ( + ) +. La solució exacta de y = y, y(0) =, es y(x) = ( + e x ). Se calcula el límite: 0 lím x = x0 + z = 0 lím x = x0 + ( + ) + = lím x = x0 + x ( + ( + ) ) = ( + e x ) que coicide co la solució exacta. Ejercicios 3.. Calcular el valor aproximado e x = 0,5 de la solució del problema de valor iicial y = x + y, y(0) = 0 usado el método de Euler co = 0, y z 0 = 0. (Solució: z 3.. Calcular el valor aproximado e x = 0, de la solució del problema de valor iicial y = x + y, y(0) = 0 usado el método de Euler co = 0,05 y z 0 5 = 0,05) = 0. (Solució: z4 = 0,055065)

13 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos Aplicar el método de Euler para calcular el valor aproximado e x = de la solució del problema de valor iicial y = y + x, y(0) = 0 usado como z 0 = 0 y tamaños de paso = 0,, = 0, = 0,05. Comparar los errores globales. (Solució: La solució exacta es: y( x ) x = ; y() = 0,4; z 0 = 0, ; + x e(0,) = 0, ; z 0 = 0,4049; e(0,) = 0,0049; z 40 = 0,407; e(0,05) = 0,007)

14 896 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 3.. ESTUDIO GENERAL DE LOS MÉTODOS DE UN PASO El método de Euler es u caso particular de los métodos de u paso, que se defie de forma geeral a cotiuació. Defiició 3..: Los métodos de u paso tiee como expresió geeral: z + = z + Φ(x, z, z +, ). Se deomia fució icremeto a Φ(x, z, z +, ), dode se supoe que Φ verifica todas las codicioes que sea precisas: cotiuidad, difereciabilidad... Si la variable z + o aparece e el segudo miembro se trata de u método explícito y es u método implícito e caso cotrario. z ). El método de Euler es u método explícito de u paso co Φ(x, z, ) = f(x, 3... Cotrol del error: error de redodeo, error de trucamieto, error local y error global E todo método umérico es imprescidible cotrolar el error cometido. Hay dos fuetes fudametales de error al resolver u problema de valor iicial: ua ierete al método, debida a la fórmula utilizada, y otra, que se deomia error de redodeo, debida al úmero de dígitos que utilice el ordeador, a la secuecia

15 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 897 co la que se realice los cálculos... El error global está acotado por la suma de los valores absolutos de los errores de fórmula y de redodeo. El error de redodeo se debe a las cifras decimales que desprecia el ordeador utilizado. Tiee u gra iterés, como se aalizará al estudiar la estabilidad, pero e esta primera aproximació a los métodos uméricos o se va a estudiar co profudidad. Si embargo, auque o se estudie aquí, es fudametal señalar que el error de redodeo tiee iterés porque mucas veces o es suficiete dismiuir el tamaño del paso para reducir el error global, pues se puede llegar a u límite e el que aumeta los errores debidos al redodeo, siedo importate e estos casos deducir el tamaño de paso óptimo y crítico. Otra reflexió a destacar es que, e ocasioes, métodos que so peores pero mejor programados, puede aproximar mejor la solució, al dismiuir este error. Se estudia a cotiuació los siguietes tipos de error: Error global. Error de trucamieto. Error local. Defiició 3..: Dado u método, z + = z + Φ(x, z, z +, ), que se aplica a u problema de valor iicial bie defiido, y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, se deomia error global a la diferecia etre el valor exacto de la solució y el valor que sumiistra el método: e() = y(x) z(xn),

16 898 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA co x = x N = x 0 + N. E geeral, si o se cooce la solució, es decir, si o se sabe resolver la ecuació diferecial, o es posible calcular ese error. Ua forma de medir la eficacia de u método umérico es aplicarlo a ecuacioes difereciales de solució coocida, evaluar dico error y aalizar de este modo el comportamieto del método. Debido a que geeralmete o es posible coocer el error global, lo que usualmete se utiliza es el error de trucamieto o, co más precisió, el orde del error de trucamieto. El error de trucamieto es el que se produce e u paso al aplicar el método, supoiedo que e los pasos precedetes o a existido igú error. Es decir, es la diferecia e el paso + etre el valor que asiga la solució exacta y el valor calculado por el método umérico supoiedo que z se cooce de forma exacta y es posible sustituirlo por y(x ). Defiició 3..: Si se tiee u método, z + = z + Φ(x, z, z +, ), que se aplica a u problema de valor iicial bie defiido, y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, se deomia error de trucamieto a: T+ = y(x + ) [y(x ) + Φ(x, y(x ), y(x + ), )] dode y(x) es la solució exacta. Para evaluar el error de trucamieto e la abscisa x + se usa el desarrollo de Taylor, por lo que se sabe que:

17 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos k y(x + ) = y(x) + y (x) ( ) y k) k (x) + ( k! (k + )! ) y k+) (c) (3..) dode c es algú puto etre x y x +. Se observa que, segú la defiició aterior, para calcular el error de trucamieto para u problema de valor iicial dado es preciso, tambié, coocer la solució exacta de la ecuació diferecial. Si embargo, es posible evaluar el orde del error de trucamieto cometido. Defiició 3..3: Dado el método, z + = z + Φ(x, z, z +, ), se dice que tiee error de trucamieto de orde p si: T+ = y(x + ) [y(x )+ Φ(x, y(x ), y(x + ), )] = O( p ). dode y(x ) es ua solució geérica de cualquier problema de valor iicial bie propuesto al que se aplique el método. Cálculo del orde del error de trucamieto para el método de Euler: x + E la expresió 3.. si k es igual a uo, x es igual a x y x + = x + = se tiee: y(x+) = y(x ) + y (x ) + y (c). Si se supoe que z es exacto y por tato igual a y(x ), como y (x ) = f(x, y(x )) = f(x, z ) se obtiee:

18 900 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA z + = y(x ) + f(x, z ), por tato la diferecia etre el valor exacto e x+ y el que sumiistra el método si e la abscisa aterior e lugar de teer z se coociera como valor la solució teórica es: T+ = y(x + ) z + = y (c). dode ua cota superior del valor absoluto de ese error es M = O( ) siedo M = máx < x < x x + y' ' ( x ). Por tato se dice que el error de trucamieto del método de Euler es de orde. Defiició 3..4: Dado el método, z + = z + Φ(x, z, z +, ), que se aplica a u problema de valor iicial bie defiido, y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. Si u(x) es la solució del problema de valor iicial que verifica u = f(x, u), u(x ) = z, se defie como error local e x + a la diferecia etre el valor que toma dica solució e x +, u(x + ), y el valor, z +,obteido co el método: el+ = u(x + ) z +. E el caso del método de Euler el error local resulta igual al térmio complemetario de la fórmula de Taylor aplicada a u(x). Para obteer el error local se busca la solució de la ecuació diferecial que pasa por el puto (x, z ), y se calcula el error que se comete al pasar a x +

19 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 90 mediate el método. Si u método tiee u error de trucamieto de orde O( p+ ) la ituició sugiere que el orde del error local es tambié O( p+ ). Usualmete el error local y el error de trucamieto toma valores parecidos pues la solució u(x) debe estar próxima a y(x) salvo casos especiales. Para calcular el error global se tiee que teer e cueta tres factores: Los errores de partida, errores de medida e el valor iicial... El error que se comete e cada paso, La forma e que esos errores se propaga, Desgraciadamete el error local está afectado por los errores de partida. E el caso del método de Euler el error de trucamieto es proporcioal al cuadrado del tamaño de paso y a la seguda derivada de la solució e u puto itermedio, por lo que para estimar este error coviee ecotrar ua cota del valor absoluto de esta derivada. Se observa que este error es el cometido etre el paso y el +, por lo que tambié iteresa estimar el error acumulado, aú más difícil de calcular, pero que se puede estimar de forma ituitiva, e la que o se está teiedo e cueta el efecto que el error e u paso tedrá e los pasos que le sigue, si más que multiplicar por el úmero de pasos la estimació aterior, co lo que se obtiee que este error es proporcioal al tamaño de paso. Se puede probar que sobre cualquier itervalo fiito este error es, e el método de Euler, meor que ua costate por el tamaño de paso. Y e geeral es cierto que si el error de trucamieto es proporcioal a p+ etoces para u itervalo fiito, el

20 90 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA error acumulado está acotado por ua costate multiplicado por p. De forma simplista se podría pesar que para reducir el error global basta co dismiuir el tamaño de paso, pero desafortuadamete etoces puede ocurrir que aumete los errores acumulados de redodeo, por lo que, se puede probar, existe ua elecció óptima del tamaño de paso Covergecia y cosistecia e los métodos de u paso E esta secció se defie los coceptos de covergecia, cosistecia y estabilidad de u método. Se dice que u método es covergete si, al aplicarlo a cualquier problema de valor iicial bie propuesto, la solució aproximada obteida co el método coverge, cuado tiede a cero, siedo = x x 0, a la solució exacta del problema, e todos los putos x de la partició del itervalo [a, b], siempre que el error e el paso iicial tieda a cero co el tamaño del paso,. Defiició 3..5: U método umérico de u paso es covergete e [a, b] si para todo problema de valor iicial bie defiido, y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, y para todo x* [a, b], se verifica que: lím 0 = x* x0 y( x*) z = 0 cuado lím z0 0 = y0. Al o ser posible evaluar el método e todo problema de valor iicial resulta

21 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 903 difícil probar de forma directa la covergecia de u método, por lo que se debe utilizar otro camio. Defiició 3..6: U método umérico de u paso es cosistete de orde p si para toda fució ψ cotiua y suficietemete regular (derivable asta el orde que requiera el método) se verifica que: ψ(x + ) [ψ(x )+ Φ(x, ψ(x ), ψ(x + ), )] = O( p+ ). Se observa que etoces el error de trucamieto es de orde p +. Defiició 3..7:. Se dice que u método es cosistete si su orde de cosistecia es p, p Defiició 3..8: U método es estable si ay depedecia cotiua de los valores iiciales. Los métodos de u paso que so cosistetes, so estables. Teorema 3..: z Dado el método umérico de u paso, z + = z + Φ(x, z, ), tal que Φ(x,, ) es lipsciziaa respecto de la seguda variable, se tiee que, el método es covergete si y sólo si es cosistete. E los métodos de u paso la cosistecia es ua codició ecesaria y suficiete para la covergecia, pues estos métodos so siempre estables. Los métodos de u paso, y por tato los métodos Ruge-Kutta, so estables como

22 904 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA cosecuecia de la estabilidad del problema cotiuo. Basta que la fució f(x, y) verifique la codició de Lipscitz co costate de Lipscitz L para que la fució Φ(x, y, ) verifique tambié la codició de Lipscitz co costate Λ(L). Ejemplos resueltos Ejemplo 3..: Calcular el valor aproximado e x = de la solució del problema de valor iicial y = y + x +, y(0) = co = 0 y co z 0 = utilizado el método de Euler. Calcular el error global, el error local y el error de trucamieto. Como = 0, x =, x0 = 0 x = x 0 + = = 0, x = 0,. El método de Euler: z+ = z + f(x, z ) = z + ( z + x + ) = z + 0, ( z + 0, + ) = 0,9z + 0,0 + 0,. Se resuelve la ecuació e diferecias: z = 0,9 + 0, z 0 =, y() z =,4380 y(,). Cálculo del error global: Para obteer la solució exacta de la ecuació diferecial se calcula la solució geeral: y(x) = x + Ce -x. Como y(0) = se tiee que C = y la solució del problema de valor iicial es y(x) = x + e -x y() =, y(,) =,4387. El error global es: e(0,) = y() z 0 = 0,090. Cálculo del error local:

23 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 905 Para calcular el error local e el paso +, se obtiee la solució que pasa por el puto (x, z ). Se impoe que la solució pase por (x, z ) z = x + C e x C z = x u(x + ) = x x x e x z e x e =, +, e, e =, + 0, 0,348678e =, El error local es: el + = u(x + ) z + =,454969,4380 = 0, Cálculo del error de trucamieto: defiició: Para calcular el error de trucamieto e el paso +, se aplica la T + = y(x + ) [y(x )+ Φ(x, y(x ), y(x + ), )] = y(,) (y() + f(x, y()) = y(,) (y() + ( y() + x + )) =,4387 (, ,(, ) =,4387,4309 = 0, El error de trucamieto es: T + = 0, Ejemplo 3..: Estudiar la covergecia del método: z+ = z + (f(x +, z ) f(x, z )). Aplicar el método para calcular el valor aproximado de la solució del problema: y = x y; y( ) = e, e los putos x = y x =, co u tamaño de paso = 0,. So bueas las aproximacioes obteidas? Estudio del orde de cosistecia del método: ψ(x + ) [ψ(x )+ Φ(x, ψ(x ), ψ(x + ), )] = ψ(x + ) [ψ(x )+ (f(x +,

24 906 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA ψ(x )) f(x, ψ(x ))] = (ψ(x ) + ψ (x ) + ψ (x ) +...) [ψ(x )+ ((ψ (x ) + ( f x ) +...) ψ (x )] = ψ(x ) ( ) + ψ (x ) ( ) + = ψ (x ) + = O(). El orde de cosistecia p = 0 <, por lo que el método o es cosistete y por tato o es covergete. La solució exacta es: x y ( x ) = e y() =, y() = 7, Se aplica el método: Como f(x, y) = x y etoces z + = z + (f(x +, z ) f(x, z )) = z + (x + z x z ) = z + (z ) = z ( + ) z = C ( + ). Al ser z 0 = e = C z = e ( + ). x = x 0 + = + 0, = 30 z 30 = 9, e = y() z 30 = 8,30. = + 0, = 40 z40 =, e = y() z 40 = 3,6. So malas aproximacioes de la solució exacta. Ejemplo 3..3: Calcular α, α, β y γ para que el método: z+ = z + (α f(x + β, z ) + α f(x, z + γ)) + γ α f y (x, z ) {f(x, z ) } tega orde de cosistecia máximo, dode f y represeta la derivada parcial de f respecto de la seguda variable. Para calcular el orde de cosistecia se supoe ua fució cualquiera ψ

25 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 907 suficietemete regular, a la que se aplica el método, co lo que se tiee que: ψ(x + ) [ψ(x )+ Φ(x, ψ(x ), ψ(x + ), )] = ψ(x + ) [ψ(x )+ (α f(x + β, ψ(x )) + α f(x, ψ(x + γ ))) + γ α f y (x, ψ(x )) {f(x, ψ(x )) }] (3..) utilizado el desarrollo de Taylor: ψ(x + ) = ψ(x ) + ψ (x ) + ψ (x ) +... Se aplica a u problema de valor iicial y = f(x, y), y(x0) = y 0, deomiado f = f(x, ψ(x )), f x f = = x f (x, ψ(x )), f y x f = = y f f (x, ψ(x )), f xx = = y x x f f (x, ψ(x )), f xy = = x y f f (x, ψ(x )), f yy = = x y y f y (x, ψ(x )),... 3 ψ(x+) = ψ(x ) + f + (f x + f y f ) + (f xx + f xy f + f yy f + f y f x + 6 (f y ) f ) +... Utilizado el desarrollo de Taylor para fucioes de dos variables: α f(x + β, ψ(x )) = α (f + β f x + (β ) f xx +... ) α f(x, ψ(x + γ )) = α (f + γ f y + (γ ) f yy +... ) γ α f y (x, ψ(x )) {f(x, ψ(x )) } = γ α f y {f } Se sustituye estas expresioes e la expresió 3.., y se ace operacioes sacado factor comú las potecias del tamaño de paso, co lo que

26 908 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA se obtiee que: f ( α α ) + [f x ( α β) + f y f ( α γ) + f y ( α γ + α γ)] + 3 [f xx ( α β ) + f xy f + f yy f f y f x (f y ) f f yy γ α ] +... Por tato si α α = 0 se tiee que el orde de cosistecia p es mayor o igual que. Si α β = 0 y α γ = 0, etoces el orde de cosistecia p es mayor o igual que. Si embargo el coeficiete de 3 es imposible de aular siedo ψ ua fució cualquiera, pues por ejemplo, el coeficiete de f y f x es 6 distito de cero. E cosecuecia, el orde de cosistecia máximo que es posible coseguir es p =, aciedo α + α =, β =, γ = α α. Se tiee ua familia uiparamétrica de solucioes. Ua solució posible es: α = α =, β = γ =. Ejercicios 3.4. Estudiar la covergecia del método: z + = z + f(x +, z ). Aplicar el método para calcular el valor aproximado de la solució del problema: y = xy; y( ) = e, e el puto x =, co u tamaño de paso = 0,0. So bueas las aproximacioes obteidas? (Solució: Covergete, z300 =,648638; y() =,6487; Buea aproximació)

27 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos Aplicar el método z + = z + ( f(x +, z ) + f(x, z )) al problema y = y, y( ) = e -, para obteer la solució aproximada e x =, tomado como tamaño de paso = 0,0. Calcular el orde de cosistecia del método. (Solució: z = e - ( + ) ; z 00 =,665...; y() = e =,78...; p = ) Aplicar el método z + = z + ( f(x +, z ) + f(x, z + )) + f y (x, z ) {f(x, z ) } al problema y = x +, y(0) =, para obteer la solució aproximada e x = 3, tomado como tamaño de paso = 0,. Calcular el error de trucamieto. (Solució: z = + + () ; z 30 = 3 = y(3). T + = 0. La solució exacta es u poliomio de segudo grado: y = x + x +) Calcular el orde de cosistecia del método: } si z + = z + (α f(x + β, z ) + α f(x, z + γ) + γ α f y (x, z ) {f(x, z ) a) α = α =, β = γ =. (Solució: p = ) b) α =, α =, β =, γ = 0. (Solució: p = 0)

28 90 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 3 c) α =, α =, β =, γ = 0. (Solució: p = ) MÉTODOS DE TAYLOR Al itetar mejorar la solució obteida co la aplicació del método de Euler aparece de maera atural los métodos de Taylor. Desde u puto de vista teórico los métodos de Taylor so secillos y permite obteer ua mayor precisió si más que aumetar coveietemete el grado del desarrollo. Para obteer los métodos de Taylor se debe aplicar a la solució de la ecuació diferecial u desarrollo de Taylor de orde k e cada puto x = x 0 +, co lo que se obtiee la fórmula: y+ y + y +! y k k! y (k. Por tato, para poder aplicar u método de Taylor de orde k se tiee el icoveiete de teer que evaluar, e cada paso, las primeras k derivadas de la fució f(x, y) que defie la ecuació diferecial, lo que actualmete se realiza si dificultad mediate programas de cálculo simbólico, auque se debe teer e cueta que dica fució debe teer derivadas parciales sucesivas e la regió del plao e la que se evalúe la curva solució. Como y (x) = f(x, y(x)), derivado se obtiee que y = f(x, y(x )): d dx y = f f dy (x, y(x)) + (x, y(x)) = fx + f y f x y dx

29 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 9 d 3 dx y 3 = x f f (x, y(x)) + (x, y(x)) f(x, y(x)) + x y f y (x, y(x)) f(x, y(x)) f + (x, y y(x)) f f (x, y(x)) + ( (x, y(x))) f(x, y(x)) = f xx + f xy f + f yy f + f y f x + f y f, x y y así sucesivamete, por lo tato al aumetar el orde se complica la expresió de la derivada k d y. k dx De esta forma se obtiee que: 3 z + = z + f +! (f x + f y f ) + 3! (f xx +f xy f + f yy (f ) + f y f x + (f y ) f ) +... = 3 z + f(x,z ) +! (f x (x,z ) + f y (x,z ) f(x,z )) + 3! (f xx (x,z ) + f xy (x,z ) f(x,z ) + f yy (x,z ) (f(x,z )) + f y (x,z ) f x (x,z ) + (f y (x,z )) f(x,z )) +... siedo el térmio complemetario: p+ p+ ) T + = y (c ) ( p + )! que se iterpreta como la diferecia etre el valor calculado por el método y el valor de la solució exacta e x + supoiedo que fuera coocida así como sus derivadas asta el orde p e x. Como se puede esperar por la costrucció, el método de Taylor de orde p tiee u error de trucamieto O( p+ ) y el orde del error de cosistecia es p,

30 9 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA siedo, por tato el orde del error ierete al método O( p ). Ejemplos resueltos Ejemplo 3.3.: Aplicar el método de Euler y los métodos de Taylor de orde dos y cuatro a y = + x y, y(0) =, co tamaño de paso 0,, para aproximar la solució e x =, tomado como valor iicial. Obteer la solució exacta de la ecuació y calcular e cada caso el error global cometido. Aalizar el orde del error. x 0 = 0; = 0,; x = = x 0 + = = 0, = 0. Método de Euler: z + = z + f(x, z ) Como f = f(x, z ) = + x z resulta que: z+ = z + ( + x z ) = ( ) z + ( + ). Método de Taylor dos: y+ y + y + (y )! z+ = z + f + (f x + f y f )! Como y = f(x, y) = + x y y = y = y x: z + = z + ( + x z ) +! (z x )) = (! ) z + ( + ) +

31 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 93 3!. Método de Taylor cuatro: 3 4 y + y + y +! (y ) + 3! (y ) + 4! (y iv) ) Como y = y = x y; y iv) = y = y x 3 4 z+ = z + ( + x z ) + (z x )) + (x z ) + (z x ) = (! 3! 4! +! 3 3! + 4 4! ) z + ( + ( +! 3 3! 4 4! )). Resultados de aplicar el método de Euler y métodos de Taylor de orde dos y cuatro co tamaño de paso 0, a: y = + x y, y(0) =, para aproximar la solució e x = Exacto Euler Error Taylor de Error Taylor de Error orde dos orde cuatro, , ,09, ,000666, ,33x0-7 Al comparar los distitos errores globales cometidos se observa que dismiuye al aumetar el orde de cosistecia del método siedo el error e el método de Euler igual a 0,09, el error e el método de Taylor dos igual a 0, y el error e el método de Taylor cuatro igual a 0, Ejemplo 3.3.: Resolver por el método de Euler y por el método de Taylor dos la ecuació diferecial de orde superior del pédulo:

32 94 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA d θ = se θ dt Se obtiee el sistema asociado, itroduciedo las uevas variables: x = θ, y = x ; que depede de la variable idepediete t, co lo que se tiee el sistema: dx = x = y; dt dy = y = se x dt Si se cooce u valor iicial e el puto t 0, x(t 0 ) = x 0, y(t 0 ) = y 0 y > 0 es el tamaño del paso se tiee aplicado el método de Euler a ambas ecuacioes: t+ = t + x+ = x + y ; y+ = y se(x ); Para aplicar el método de Taylor dos: z+ = z + z + z, se obtiee! las derivadas: x = y x = y = se x y = se x y = (cos x) x = (cos x) y Por tato: x + = x + x +! x = x + y se(x );

33 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 95 y + = y + y +! y = y se(x ) cos(x ) y ; Ejemplo 3.3.3: Aplicar el método de Taylor dos a: y' y' 0 y = x y 0 +, y(0) = 0 co tamaño de paso = 0,, para aproximar la solució e x = 0,, tomado como valor iicial z 0 =. 0 Método de Taylor dos: z + = z + z +! z = z + f +! (f x + f y f ) dode: f(x, z ) = 0 z x z 0 +, f x (x, z ) = 0 0 z 0, z 0 f y (x, z ) =, x z = z 0 + f(x 0, z 0 ) + (f x (x 0, z 0 ) + f y (x 0, z 0 ) f(x 0, z 0 ))! f(x0, z 0 ) = + =, 0 0

34 96 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA f x (x 0, z 0 ) = =, f y (x 0, z 0 ) =, 0 z 0 = + + 0! ( + ) = ! ( ) = , 0, , = 0, y(0,). Ejercicios 3.. Aplicar el método de Taylor de orde dos a y = + y, y( 4) =, co tamaño de paso 0, y 0,05 para aproximar la solució e x =, tomado como valor iicial z 0 =. Obteer la solució exacta de la ecuació y calcular e cada caso el error global cometido. Comparar el error cometido e ambos casos. (Solució: z = + ( + + ) ; z 50 = 459,9..., z 00 = 43375, , y() = 4405, , e(0,) = 460,..., e(0,05) = 676,...). 3.. Aplicar el método de Taylor de orde tres a y = + y, y( 4) =, co tamaño de paso 0, y 0,05 para aproximar la solució e x =, tomado como valor iicial z0 =. Obteer la solució exacta de la ecuació y calcular e cada caso el error global cometido. Comparar el error

35 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 97 cometido e ambos casos. (Solució: z = + ( ) ; z 50 = 4396, , z 00 3 = 4034, , y() = 4405, , e(0,) = 5,..., e(0,05) = 7,...) Resolver por el método de Euler y por el método de Taylor dos la ecuació diferecial de orde superior del pédulo liealizada: θ = θ, que tiee como sistema lieal asociado: x' 0 = y' x. 0 y

36 98 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA 3.4. MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA Los métodos de Taylor de orde superior proporcioa ua covergecia rápida, pero su implemetació es complicada, ya que es preciso calcular los valores aproximados de las derivadas sucesivas de la solució. El método de Euler e cambio es muy secillo de aplicar, pero si embargo su covergecia es leta. Es iteresate etoces obteer métodos uméricos mas secillos que los de Taylor, pero cuya covergecia sea rápida. Si la fució f depede sólo de la variable x, f(x, y) = f(x), existe fórmulas uméricas, ateriores icluso a la fórmula de Euler, que tiee ua covergecia mas rápida que la que se obtiee co el método de Euler. Así, si el problema que se quiere aproximar es y = y( x f ( x ), ) = 0 y 0 la solució que se busca se puede expresar de la forma x y( x ) = y0 + f (s )ds. Para obteer u valor aproximado e u puto x 0 x*, se puede aplicar, por ejemplo, la regla del puto medio del cálculo itegral: z + = z + f ( x + ). E este caso el error global que se comete es de orde, co lo cual auque la fórmula es ta secilla como la de Euler, la covergecia es mejor. El problema e esta fórmula es obteer el valor de y( x + ). Ruge pesó que se podría sustituir este valor por el valor aproximado obteido al aplicar la

37 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 99 fórmula de Euler co u tamaño del paso que fuera la mitad del valor de, de maera que y( x + ) se sustituyera por: z + f ( x,z ), co lo cual la fórmula resultate obteida es: z + = z + f ( x +,z + f ( x,z )). Otra fórmula del mismo tipo es: z + = z + [ f ( x,z ) + f ( x +,z + f ( x,z ))]. E este caso se a sustituido e la fórmula de Euler el valor de la fució f e el puto (x, z ) por la media aritmética de los valores de f e los putos (x, z ) y (x +, z + ). Las dos fórmulas ateriores tiee ua covergecia mas rápida que la del método de Euler, ya que e ambos casos la covergecia es de orde. La geeralizació de estas fórmulas co vistas a la obteció de algoritmos co orde de covergecia mayor evitado el cálculo de las derivadas dio lugar al desarrollo, desde fiales del siglo XIX, de los métodos de Ruge-Kutta, e los que el cálculo de las derivadas se sustituye por distitas evaluacioes de la fució f(x, y), más fáciles de programar. Defiició 3.4.: expresió: Se deomia método de Ruge-Kutta de s etapas a u método de

38 90 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA z s s + = z + b j k j ; siedo k j = f ( x + c j, z + a ji ki ), j =, j = i =..., s Se impoe a estos coeficietes las codicioes ecesarias para que el error de trucamieto sea del orde que se quiere coseguir. Los coeficietes b j, c j, y a ij se represeta abreviadamete mediate lo que se deomia tablero de Butcer del método correspodiete: c T A b dode c = (c,..., c s ), b = (b,..., b s ) y A = (a ij ), i, j =,..., s. Si A es triagular iferior el método es explícito y e caso cotrario, implícito. Se estudia co deteimieto a cotiuació los métodos de Ruge-Kutta explícitos. La expresió geeral de u método explícito de s etapas es: z + = z + [b k + b k + + b s k s ] co k = f(x, z ) k = f(x + c, z + a k ) k s = f(x + c s, z + (a s k + a s k + + a s s- k s- )) Las fórmulas de Ruge-Kutta so pues fórmulas de u paso e las que la fució Φ(x, z, ) es ua media poderada de los valores que toma la fució f(x, y) e s putos de R.

39 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 9 Si s =, la forma geeral es: z + = z + b f(x, z ). Para calcular el orde de cosistecia se supoe ua fució cualquiera ψ suficietemete regular tal que: ψ(x + ) (ψ(x ) + b f(x, ψ(x ))) = (ψ(x ) + ψ (x ) + ψ (x ) + ) (ψ(x ) + ψ (x ) b) = ( b) ψ (x ) + ψ (x ) + Se tiee etoces que el método es cosistete si y sólo si b =, es decir, el úico método de Ruge-Kutta de ua úica etapa resulta ser el método de Euler Métodos de Ruge-Kutta de dos etapas o métodos de Euler modificados La expresió geeral de los métodos de Ruge-Kutta de dos etapas es: z + = z + (b f(x, z ) + b f(x + c, z + a f(x, z ))), dode k = f(x, z ) y k = f(x + c, z + a f(x, z )). Se pretede obteer las relacioes etre los coeficietes b, b, c y a para obteer el máximo orde de cosistecia posible,. Para calcular el orde de cosistecia se supoe ua fució cualquiera ψ suficietemete regular tal que:

40 9 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA OC = ψ(x + ) [ψ(x ) + Φ(x, ψ(x ), ψ(x + ), )] = ψ(x+) [ψ(x ) + (b f(x, ψ(x )) + b f(x + c, ψ(x ) + a f(x, ψ(x )))] Utilizado el desarrollo de Taylor: ψ(x + ) = ψ(x ) + ψ (x ) + ψ (x ) +... = ψ(x ) + f + (f x + f y f ) (f xx + f xy f + f yy f + f y f x + (f y ) f ) +... siedo f = f(x, ψ(x )), f x = f x (x, ψ(x )),... ya que se supoe que se aplica a u problema de valor iicial y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. b f(x, ψ(x )) = b f b f(x + c, ψ(x ) + a f(x, ψ(x ))) = b [f + (f x c + f y a f )! + (f xx (c ) + f xy (c ) (a f )+ f yy (a f ) ) +...! Se ace operacioes sacado factor comú las potecias del tamaño de paso: OC = f ( b b ) + (f x ( b c ) + f y f ( b a ) + 3 [f xx ( 6 b c ) + f xy f ( b c a ) + f yy f ( b a ) + (f y f x + (f y ) f )] Por tato si b b = 0 se tiee que el orde de cosistecia p es mayor o igual que. Si además b c = 0 y b a = 0, etoces el orde de

41 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 93 cosistecia p es mayor o igual que. Si embargo el coeficiete de 3 es imposible de aular siedo ψ ua fució cualquiera, pues por ejemplo, el coeficiete de f y f x es 6 que es distito de cero. E cosecuecia, el orde de cosistecia máximo que es posible coseguir es p =, aciedo b + b = ; b c = ; b a =. Se tiee ua familia uiparamétrica de solucioes. Las fórmulas de Ruge-Kutta geerales de dos etapas se obtiee impoiedo que el orde de cosistecia sea p =, para lo que ay que resolver u sistema de tres ecuacioes y cuatro icógitas: b + b = ; b c = ; b a =. por lo que ay ifiitas solucioes. Se tiee etoces ua familia uiparamétrica de fórmulas de Ruge-Kutta. La primera ecuació b + b = asegura la cosistecia de la fórmula, y las dos restates garatiza que la cosistecia sea de orde. Tal y como se a ecotrado, se observa que estos métodos permite obteer u grado de aproximació equivalete a los métodos de Taylor si ecesidad de calcular la derivada de la fució. E estas fórmulas el orde del error de trucamieto es proporcioal al cubo del tamaño de paso, O( 3 ), y el error ierete al método e u itervalo fiito es proporcioal al cuadrado del tamaño

42 94 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA de paso O( ), pues so equivaletes al método de Taylor de orde dos. Segú los textos que se utilice los ombres de estos métodos varía de uos a otros: como método del puto medio, de Euler modificado, de Euler mejorado... Alguas de las fórmulas obteidas so: b = ; z + = z + (f(x, z ) + f(x +, z + f(x, z ))), b = ; z + = z + (f(x +, z + f(x, z ))), b 3 = ; z + = z + (f(x, z ) + 3f(x +, z + f(x, z ))) secció. Las dos primeras coicide co las itroducidas al comiezo de esta El método obteido para b = se cooce e alguos textos como método de Euler mejorado: z + = z + (f(x, z ) + f(x +, z + f(x, z ))) que, como ates se a idicado, cosiste e reemplazar e el método de Euler la fució f(x, z ) por el promedio de sus valores e los putos extremos, y tomar e x + como z + el valor que proporcioa el método de Euler. El segudo método obteido como resultado de tomar b = se cooce e ocasioes como el método de Euler modificado: z + = z + (f(x +, z + f(x, z ))), e el que se utiliza el valor de la fució f(x, y) evaluado e el puto

43 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 95 medio etre x y x + tomado e ese puto, x +, el valor obteido mediate el método de Euler. Por ejemplo, si se aplica el método de Euler mejorado y el método de Euler a u problema y se aaliza los errores, se obtiee: Resultados de aplicar el método de Euler y el método de Euler mejorado, co distitos tamaños de paso a: y = x + 4y, y(0) =, para aproximar la solució e x =. Método de Euler Método de Euler mejorado Exacto x = 0, = 0,05 = 0, = 0,05 34, , , , , Error global 30, , ,95958,47305 Se observa que los resultados obteidos so muco mejores co el método de Euler mejorado, icluso comparado Euler co u tamaño de paso de 0,05 co Euler mejorado co 0,, pero al comparar co el valor exacto los errores so todavía demasiado grades. Se observa tambié como al reducir a la mitad el tamaño de paso, el error se reduce e el método de Euler e algo aproximado a la mitad, mietras que e el método de Euler mejorado se reduce acia la cuarta parte: 4,959/4,5,4.

44 96 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Métodos de Ruge-Kutta de tres etapas La expresió geeral de los métodos de Ruge-Kutta de tres etapas es: z + = z + (b k + b k + b 3 k 3 ), dode: k = f(x, z ), k = f(x + c, z + a k ) y k3 = f(x + c 3, z + a 3 k + a 3 k ). Se pretede obteer las relacioes etre los coeficietes b, b, b 3, c, c 3, a, a 3 y a 3 para obteer el máximo orde de cosistecia posible, 3. Se obtiee así 6 ecuacioes, co las que se debe calcular oco coeficietes; se obtiee así ua familia biparamétrica de fórmulas de Ruge-Kutta de tres etapas, co u orde de covergecia 3. De forma aáloga a las fórmulas de orde dos ya estudiadas, la ecuació: b + b + b 3 = garatiza la cosistecia de la fórmula, mietras que las ecuacioes de la forma: i c i = a ij i =, 3 j = asegura la cosistecia de orde. Los métodos de Ruge-Kutta de orde tres o se suele usar e la práctica. Los que algua vez se utiliza so:

45 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 97 z + = z + (k + k 3 ) + k, dode 6 3 k = f(x, z ), k = f(x +, z + k ), k 3 = f(x +, z + (k k )), y el método coocido como el método de Ruge-Kutta Heu: z + = z + (k + 3k 3 ), dode 4 k = f(x, z ), k = f(x +, z + k ), k 3 = f(x +, z + k ) Su tablero de Butcer es: 0 /3 /3 /3 0 /3 /4 0 3/4

46 98 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Métodos de Ruge-Kutta cuatro Los métodos de Ruge-Kutta de orde cuatro so muy utilizados porque so secillos de programar y porque posee ua relació exactitud-coste óptima. El desarrollo de estas fórmulas se iició co el trabajo de Carl Ruge e 895 y lo cotiuó M. Kutta e 90. La expresió geeral de los métodos de Ruge-Kutta de cuatro etapas es: z + = z + (b k + b k + b 3 k 3 + b 4 k 4 ), dode: k = f(x, z ), k = f(x + c, z + a k ), k3 = f(x + c 3, z + a 3 k + a 3 k ), k4 = f(x + c 4, z + a 4 k + a 4 k + a 43 k 3 ). Al platear e geeral u método de Ruge-Kutta de orde cuatro se tiee 3 icógitas: b, b, b 3, b 4, c, c 3, c 4, a, a 3, a 3, a 4, a 4 y a 43. y al impoer que el orde de cosistecia sea p = 4 se tiee ecuacioes. Se tiee etoces ua familia biparamétrica de métodos de Ruge-Kutta de cuatro etapas, co u orde de cosistecia 4. La fórmula se calcula tomado valores de la fució e cuatro putos diferetes y calculado u valor itermedio. La fórmula que más se utiliza, a la que se deomia Ruge-Kutta clásico, o simplemete método de Ruge-Kutta, que es uo de los métodos más utilizados y el de más éxito etre los métodos de u

47 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 99 paso, viee defiida por el siguiete tablero de Butcer: / / / 0 / 0 0 /6 /3 /3 /6 y se expresa: z + = z + (k + k + k 3 + k 4 ), dode 6 k = f(x, z ), k = f(x +, z + k ), k3 = f(x +, z + k ), k4 = f(x +, z + k 3 ). Su sigificado geométrico es obteer la pediete e cuatro ocasioes y estimar u promedio. La primera vez se estima k = f(x, z ), luego se estima la pediete e el puto medio etre x y x + calculado el valor mediate Euler e ese puto medio. La tercera estimació se ace tambié e el puto medio pero utilizado el valor k, recié obteido, y la cuarta se estima e el puto x +. Se observa que si f(x, y) sólo depede de x, el método coicide co la regla de Simpso para itegrar f(x) e el itervalo [x, x + ].

48 930 Métodos uméricos de u paso M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Es secillo, co ua simple oja de cálculo, utilizar este método. El error de trucamieto que se comete es proporcioal a 5 e cada paso; por tato, el error ierete al método es del orde O( 4 ). Se compara este método co los ateriores: Resultados de aplicar el método de Euler, el método de Euler mejorado, Taylor de orde dos y Ruge-Kutta 4 co distitos tamaños de paso a: y = x + 4y, y(0) = para aproximar la solució e x =. Euler Euler Taylor Ruge- Exacto mejorado Kutta 4 0, 34, , , , , ,05 45, , , , , ,05 53, , , , , ,0 60, , , , , Auque ya a pricipios de siglo XX se abía establecido las codicioes de orde para métodos de orde cuatro, o fue asta 957 cuado Butcer estableció las codicioes de orde para métodos de u úmero arbitrario de etapas. La demostració rigurosa supera el ivel de este curso. J. C. Butcer estableció la relació etre el úmero de evaluacioes por paso y el orde del error de trucamieto, y como cosecuecia observó que es preferible utilizar métodos de orde meor que cico co u tamaño de paso más pequeño, a métodos de orde mayor y tamaño de paso mayor. Butcer probó que o existe igú método de cico etapas co u orde de covergecia cico. Si p*(r) represeta el mayor orde de covergecia que se puede obteer para u método de Ruge-Kutta de R etapas, etoces: p*(r) = R, R =,, 3, 4; p*(5) = 4, p*(6) =

49 M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Capítulo 3: Métodos uméricos 93 5, p*(7) = 6, p*(8) = 6, p*(9) = 7, y e geeral p*(r) R para R = 0,... luego por esta razó los métodos de Ruge-Kutta de orde 4 so los más populares. E el ejemplo siguiete se compara el método de Ruge-Kutta 4 co u tamaño de paso = 0, co u método de Euler mejorado co u tamaño de paso de la mitad = 0,05 y co el método de Euler co u tamaño de paso de la mitad del aterior y la cuarta parte del primero, = 0,05, segú el estudio que se a realizado del error de trucamieto e los tres casos el error debería ser parecido, y si embargo se observa que el método de Ruge-Kutta 4 es claramete superior. Resultados de aplicar el método de Euler, el método de Euler mejorado y el método de Ruge-Kutta 4 co distitos tamaños de paso a: y = y, y(0) = 0, para aproximar la solució e x = 0,5. Euler Euler mejorado Ruge-Kutta 4 Valor real = 0,05 = 0,05 = 0, 0,3973 0, , , Hoy e día se costruye métodos de Ruge-Kutta co más etapas de las estrictamete ecesarias, pues al dispoer de más parámetros se puede mejorar otras propiedades del método como coeficietes de error, regioes de estabilidad absoluta, etc. E los métodos de Ruge-Kutta implícitos el úmero de etapas s y de orde o coicide ecesariamete. Los métodos explícitos auque tiee regioes de estabilidad lieal que aumeta co la precisió del método, o so adecuados para sistemas stiff ya que cubre porcioes pequeñas del semieje real egativo. Los más importates so: Métodos de Gauss, dode el orde es doble al úmero de etapas. Uo de los

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