SOLUCIONARIO SIMULACRO MT

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1 SOLUCIONARIO SIMULACRO MT

2 1. La alternativa correcta es E Razones, proporciones, porcentajes e interés El porcentaje de asistencia se calcula de la siguiente forma: asistentes 100 total invitados Entonces, en este caso: = 100 = 90% La alternativa correcta es B Potencias y raíces 1 + = = 9 1 = 9 4. La alternativa correcta es A Razones, proporciones, porcentajes e interés Si una secretaria escribe 15 certificados en cuatro horas, entonces 6 secretarias escriben 15 6 certificados en el mismo tiempo, es decir, 90 certificados, por lo tanto seis secretarias demoran 4 horas en escribir 90 certificados.

3 4. La alternativa correcta es A Razones, proporciones, porcentajes e interés Peras = k Naranjas = k Entonces: k + k = 00 5k = 00 / :5 k = 40 Por lo tanto, hay 80 peras y 10 naranjas. Existen varias maneras distintas de convertir la razón en otra, pero nos debemos atener a las alternativas que nos ofrecen, por lo tanto, según la alternativa A, si se agregan 100 peras, tendríamos 180 peras y 10 naranjas, al ver la razón: 180 al simplificar por 60 queda, por lo tanto la alternativa correcta es la A La alternativa correcta es E Conjuntos numéricos Comprensión En la secuencia, se observa que en la potencia del numerador se mantiene la base y se la va sumando 1 al exponente y en la potencia del denominador se mantiene la base y se la va 1 restando 1 al exponente, por lo tanto si el cuarto término es 0, entonces el quinto término será: = = = 1

4 6. La alternativa correcta es B Razones, proporciones, porcentajes e interés En primer lugar sumamos los porcentajes que reciben Pilar y Claudia y lo descontamos de 100, para saber cuál es el porcentaje del total que le corresponde a Karin. Entre Pilar y Claudia tienen un 54%, por lo tanto a Karin le corresponde un 46%, lo que equivale a chocolates, por lo tanto si llamamos x al total de chocolates se tiene: x 100 = x = = La alternativa correcta es C Razones, proporciones, porcentajes e interés Daniel = 6 1 del trabajo Rodrigo = + = del trabajo Ambos = + = del trabajo La parte que falta por hacer corresponde a lo que le falta a 1 5 para completar un entero, es decir, queda por hacer 1 7 del trabajo 8. La alternativa correcta es E Relaciones y funciones. Función lineal Como las cuadras son de igual medida, entonces: I. Verdadera, ya que desde H hasta M hay cuadras y desde H hasta T hay cuadras. II. Falsa, ya que desde S hasta G hay 5 cuadras y desde S hasta H hay 4 cuadras. 4

5 III. Verdadera, ya que desde F hasta H hay 5 cuadras y desde F hasta T hay 5 cuadras. 9. La alternativa correcta es D Álgebra Comprensión Si el lado del cuadrado es (x - y), entonces su área es: x y = x xy + y ( ) 10. La alternativa correcta es E Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 5 t = 16 t = 16 5 t = 1/ : t = La alternativa correcta es B Conjuntos numéricos Según el enunciado, se tiene: ( * ) + (4 * 1) - ( * 16) = ( ) + (4 + 1) - ( 16) = = - 6 5

6 1. La alternativa correcta es D Potencias y raíces Por propiedad de la división de potencias de igual base, se tiene que: ( a + b) 5 ( a + b) = a + b 5 ( ) ( 7 ) = ( a + b) 7 1. La alternativa correcta es D Potencias y raíces = = La alternativa correcta es A Potencias y raíces a = / ( ) a = 9 / ( ) a = La alternativa correcta es B Álgebra Conocimiento (a + b)(a b) = ( a b ) = a b 6

7 16. La alternativa correcta es D Función cuadrática Si se tiene que x = es una solución de la ecuación, entonces para encontrar el valor de m, se debe reemplazar el x de la ecuación por su valor, es decir y luego resolver, entonces: x 5x + m = m = m = m = 0 m = 6 ( Reemplazando) 17. La alternativa correcta es E Conjuntos numéricos n + n + + n + 4 = 6n + 6 = 6( n + 1) I. Verdadera. II. Verdadera. III. Verdadera. 18. La alternativa correcta es D Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Conocimiento Para que el producto entre dos factores dé como resultado un número distinto de cero, el único valor que no puede tomar ninguno de los factores es el cero debido a la propiedad absorbente de dicho elemento. 7

8 19. La alternativa correcta es A Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Como se hicieron 50 goles en total, de los cuales 5 fueron de penal, entonces 45 no fueron de penal. El pago por los goles es el siguiente: De penal = 5 (M ) No de penal = 45 M Por lo tanto, el pago total se representa como: 45M + 5(M ) = M + 5M = M = / :50 M = $ La alternativa correcta es C Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Comprensión Como t + 5 es igual a -, entonces al reemplazar dicho valor en ( t + 5) 5 5 = = 5 ( t + 5) 5, queda: 1. La alternativa correcta es D Álgebra x xy + y ( x y) = (Desarrollando el cuadrado de binomio) x xy + y x + xy y = 0 (Reduciendo términos semejantes) 8

9 . La alternativa correcta es B Función de variable real 4 x +10 = ( Igualandobases) ( ) x +10 = 6x +0 = 6x + 0 = 6x = 1 / : 6 x =. La alternativa correcta es C Razones, proporciones, porcentajes e interés Si a aumenta en un 50%, entonces Si b disminuye en un 50%, entonces a = 50 b = 100 Por lo tanto, el producto con el nuevo valor de las variables será: 1 a b = ab 4 Como a b = p, entonces al reemplazar, el nuevo producto es p 4 a 1 b 9

10 4. La alternativa correcta es C I. Verdadera, ya que: 1 log 15 = = = = 5 5 Función de variable real (Aplicando definición de logaritmo) II. Verdadera, ya que: log 11 x = (Aplicando definición de logaritmo) ( 11) = x 11 = x III. Falsa, ya que: log x 7 = (Aplicando definición de logaritmo) x = 7 1 = 7 x 1 = x / 7 1 = x 10

11 5. La alternativa correcta es D Relaciones y funciones. Función lineal I. Verdadera, ya que ambas rectas tiene pendiente negativa. II. Falsa, ya que: y y1 m = x x1 5 0 m = m = 5 m = 1 Pendiente de L = 1, Coeficiente de posición = 5 Entonces: Ecuación de L es y = x + 5 III. Verdadera, ya que el punto de intersección de la recta con el eje Y es (0, 5). 6. La alternativa correcta es B Ecuaciones y sistemas de ecuaciones p q 1 = pq 1 q a) p + q 1 = 16 pq +1 = 16 q 11

12 p q 1 b) = 144 q ( pq + 1)( pq 1) = 144 q pq + 1 pq 1 = 144 q q pq 1 16 = 144 q pq = q 16 pq 1 = 9 q (Reemplazando) 7. La alternativa correcta es A Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Respecto de las cantidades dadas en el enunciado, se puede decir que la mitad de la capacidad de la bodega equivale a sacos de trigo y 1.50 sacos de porotos, por lo tanto: = sacos de trigo y = 750 sacos de porotos 8. La alternativa correcta es D Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Si llamamos x a la cantidad de páginas leídas, entonces se puede establecer la siguiente relación: a x = 1a x = 1a a x = 4a 1

13 9. La alternativa correcta es D Función cuadrática Para obtener una ecuación de segundo grado a partir de sus raíces, los valores de x se deben reemplazar en ( x x1 )( x x ) = 0, entonces al reemplazar los valores dados en el enunciado, se tiene: x 6 x = 0 ( ( ))( ) ( x + 6)( x ) = 0 x + 4x 1 = 0 La condición para que a partir de la ecuación se pueda encontrar la función, es que su vértice esté en el segundo cuadrante o lo que también significa que la parábola sea abierta hacia abajo (cóncava), para lo cual el coeficiente a debe ser un número negativo, lo que nos obliga a multiplicar la ecuación encontrada por -1 para lograr la función, entonces: f x = x 4x + ( ) 1 0. La alternativa correcta es C Relaciones y funciones. Función lineal Al expresar de la forma principal la ecuación de la recta, ésta queda: y = x + 5, lo que significa que tiene pendiente igual a e intersecta al eje Y en el punto (0, 5), por lo tanto: I. Verdadera II. Verdadera 5 III. Falsa, ya que intersecta al eje X cuando y es cero, es decir en el punto, 0 1

14 1. La alternativa correcta es B Función cuadrática Para encontrar la gráfica correcta se debe hacer un análisis de parábola, en este caso basta con encontrar su concavidad (coeficiente a) y los puntos de intersección con el eje X. Como en la función f x ( ) = x + x 4, se tiene que a = 1 (mayor que cero), entonces la parábola es abierta hacia arriba. Para encontrar las intersecciones con el eje X se debe hacer la función igual a cero y resolver: x + x 4 = 0 ( x + 4)( x 1) x x 1 = 4 = 1 = 0 Por lo tanto, la gráfica correspondiente es la de la alternativa B. La alternativa correcta es A Relaciones y funciones. Función lineal La función buscada se conoce como la función identidad, lo que significa que para cada valor de x, y toma exactamente el mismo valor. La gráfica que muestra ese comportamiento es la de la alternativa A. La alternativa correcta es D Conjuntos numéricos I. El resultado es impar. II. El resultado es par, ya que cualquier número multiplicado por un par da resultado par y la suma de dos pares es par. 14

15 III. El resultado es par, ya que ya que cualquier número multiplicado por un par da resultado par. 4. La alternativa correcta es A Función cuadrática Para que se cumpla la razón dada, se tiene que x =, se sabe que: 1 x x 1 x = c a x x = 8 x = 4 x = ± Como: b x + x = 1 a x + x = q ± = q ± 6 = q ( Re emplazando) 5. La alternativa correcta es D Álgebra 7(x y ) = x y 7( x + y)( x y) x y 7( x + y) = 7x + 7y = 15

16 6. La alternativa correcta es D Geometría de proporción Conocimiento Dos triángulos son congruentes cuando son idénticos, es decir si se pudiera sobreponer uno en el otro, calzaría exactamente. Para que suceda esto se deben tener datos suficientes para inferir que sus tres lados son respectivamente iguales, por lo tanto la alternativa correcta es la D. 7. La alternativa correcta es C Trigonometría Conocimiento 1 Se sabe que por funciones recíprocas senα =, por lo tanto si se eleva al cuadrado cosecα queda: sen 1 1 α = cos ecα = cosec α 8. La alternativa correcta es E Trigonometría 4 cat. op. senα = 0,8 = =, entonces para seguir calculando valores de las funciones 5 hipotenusa trigonométricas, se le puede dar al cateto opuesto el valor 4 y a la hipotenusa el valor 5 5 C 4 (Se sabe que el cateto adyacente mide por trío pitagórico) A α B Se busca el valor de secα en el mismo triángulo, entonces: 16

17 sec hipotenusa α = cat. ady. = 5 9. La alternativa correcta es C Ángulos y triángulos. Polígonos Si se busca el opuesto por el vértice de m y se trabaja con el siguiente triángulo 5 m Obtenemos: m = 180 m = m = La alternativa correcta es E Geometría analítica Según el enunciado se tiene: BC = AD, entonces si llamamos x a AD, se tiene que: AD = x BC = x. Como en el trapecio AD y BC son bases y la altura AE mide 5, entonces respecto del área que mide 0 cm se tiene: Mediana altura = Área 17

18 x + x 5 = 0 x = 6/ : x = Por lo tanto, AD = x = y BC = x = 9, entonces las coordenadas del punto D son (0,) y del punto B son (5, -5) Por lo tanto, las afirmaciones son verdaderas 41. La alternativa correcta es D Geometría analítica y 8 x I. Verdadera, ya que: La recta no tiene inclinación con respecto al eje X. II. Verdadera, ya que: La recta corresponde a una función constante, entonces ( 9,8) pertenece a la recta. III. Falsa, ya que la ecuación de la recta es y = 8. 18

19 4. La alternativa correcta es A Circunferencia y círculo Aplicando el teorema de la tangente y la secante, donde PQ = PB PA, queda: 16 = x ( ) 56 = x 19 = 8x/ :8 4 = x AB = 4 Q 16 x P 8 A B 4. La alternativa correcta es C Cuadriláteros Este ejercicio lo resolveremos tomando las áreas como la cantidad de cuadrados que abarcan, así nos damos cuenta que: Área P = 1 cuadrado Área Q = cuadrados Área R = 1 cuadrado, entonces: I. Verdadera, ya que: Área P + Área Q = cuadrados = Área SBCT II. Falsa, ya que: Área P + Área Q = cuadrados 1 Área RSTU ( cuadrados) III. Verdadera, ya que: Área P + Área R = cuadrados = 1 Área EFCD 19

20 44. La alternativa correcta es A Geometría analítica Punto medio entre (4, ) y (4, 8) =, = (4,5) 45. La alternativa correcta es A Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies I. Falsa, ya que: Al aplicar una rotación negativa de 70º en torno al origen el punto P, equivale a aplicarle una rotación de 90º, es decir, sus coordenadas serán (-y,x), por lo tanto, se obtiene el punto (, 5) II. Verdadera, ya que: y x P - P` 5 5 Si el eje de simetría es el eje Y, entonces al trazar una perpendicular desde P al eje de simetría, la distancia es 5. Por lo tanto, la distancia de la perpendicular desde el eje de simetría hasta P` también debe ser 5, entonces el punto simétrico de P es P`, cuyas coordenadas son (5, ). III. Verdadera, ya que: Al trasladar el punto P, 6 unidades a la derecha y hacia abajo, equivale al vector de traslación T(6, ), entonces: P( 5, ) P`( 5 + 6, + ) = P`(1, 5) 0

21 T(6, ) 46. La alternativa correcta es D Geometría de proporción En I) x = 4. Aplicando teorema de Thales: 16 x = 16 x = x = 4 En II) x 4. Aplicando teorema de Thales: 1 0 = 16 x 16 0 x = 1 x = 40 En III) x = 4. Aplicando teorema de Thales: x 6 = 6 x = x = 4 1

22 47. La alternativa correcta es A Geometría de proporción Según la proporción del enunciado, se deduce que D y E son puntos medios, por lo tanto el segmento DE es mediana, entonces al completar los datos en la figura, esta queda: C 4 A 5 B Por las medidas de los lados, el triángulo es rectángulo (por trío pitagórico) 48. La alternativa correcta es E Ángulos y triángulos. Polígonos Completando los ángulos de la figura, se tiene: D A I. Verdadera. 0 II. Verdadera. C B P III. Verdadera, ya que AC = CB y CB = CD, por lo tanto AC = CD

23 49. La alternativa correcta es B Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies Rotación de 90 Traslación T(5, -) Punto inicial (-y, x) Resultado (x + 5, y - ) Punto final A (, ) (-, ) (, 0) B (, -4) (4, ) (9, 0) C (6, -1) (1, 6) (6, 4) 50. La alternativa correcta es C Geometría de proporción Llevando la razón entre los segmentos a la figura, ésta queda: 7x Como AB = 6 cm, entonces 4x = 6 cm x = 9 cm En resumen: AB = 4x = 6cm BP = x = 7cm AP = 7x = 6cm 4x x A B P

24 51. La alternativa correcta es D Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies Para llegar de A hasta B se tienen los siguientes movimientos: Horizontal: 6 unidades hacia la derecha Vertical: 5 unidades hacia abajo Por lo tanto, el vector de traslación es: (6, -5) 5. La alternativa correcta es B Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies Un eje de simetría es aquel que divide a la figura en dos partes congruentes entre sí, en otras palabras, la corta en dos mitades. El único segmento que cumple con esto en el trapecio es aquél que pasa por los puntos medios de las dos bases, es decir el segmento HF de la figura. 5. La alternativa correcta es E Transformaciones isométricas. Volúmenes y superficies I. Verdadera. II. Verdadera, ya que se mueve seis unidades horizontalmente y cero vertical. III. Verdadera, ya que un giro de 90 con centro en el origen llega a (-y, x), entonces (,) llega a (-, ) 4

25 54. La alternativa correcta es B Probabilidad y combinatoria La probabilidad de que salga un número primo al lanzar un dado es: Casos favorables = Casos Posibles = 6 1 Probabilidad = = 6 I. Verdadera, ya que hay pares entre 6 posibilidades. II. Verdadera, ya que hay impares entre 6 posibilidades III. Falsa, ya que si se toma la opción cara o la opción sello, se toma la totalidad de posibilidades, por lo tanto, la probabilidad sería 1 (recordar que P(A ó B) = P(A) + P(B)) 55. La alternativa correcta es E Probabilidad y combinatoria Comprensión La probabilidad de la negación de un suceso, es uno menos la probabilidad de que suceda, entonces si la probabilidad de acierto es 0,0, la probabilidad de no acierto es: 1-0,0 = 0, La alternativa correcta es B Probabilidad y combinatoria Según el enunciado, se sabe que los del total de alumnos son hombres, entonces: 5 Cantidad de hombres = 45 = 7 5 Por lo tanto : 5

26 Cantidad de mujeres = 45-7 = La alternativa correcta es D Probabilidad y combinatoria En A.- Probabilidad de roja = En B.- Probabilidad de roja = En C.- Probabilidad de roja = 50 5 = = = 50 5 En D.- Probabilidad de roja = 0 = (Alternativa correcta) 50 5 En E.- Probabilidad de roja = 0 = La alternativa correcta es A Probabilidad y combinatoria I. Verdadera, ya que: Casos posibles: 0 Casos favorables: (7-14) Casos favorables P ( múltiplo de7) = (Reemplazando) Casos posibles 1 P( múltiplo de7) = =

27 II. Falsa, ya que: Casos posibles: 0 Casos favorables: 8 ( ) Casos favorables P ( número primo) = (Reemplazando) Casos posibles 8 P( número primo) = = 0 5 III. Falsa, ya que: Casos posibles: 0 Casos favorables: múltiplo de o múltiplo de 5: = 9 (Se resta1, ya que el 15 es un múltiplo común) Casos favorables P ( múltiplo de o múltiplo de5) = (Reemplazando) Casos posibles 9 P( múltiplo de o múltiplo de5) = La alternativa correcta es E f Estadística descriptiva número I. Verdadera, ya que el número que más se repitió fue el 5. II. Verdadera, ya que la frecuencia de 5 es 10. III. Verdadera, ya que: 7

28 El total de lanzamientos equivale a sumar las frecuencias, entonces: = 60. La alternativa correcta es B Estadística descriptiva Puntaje Frecuencia I. Falsa, ya que: Total de datos: 17 (Se obtiene al sumar las frecuencias) Posición de la mediana: 9 Entonces: Mediana = 550 II. Verdadera. III. Falsa, ya que la moda es La alternativa correcta es B Estadística descriptiva Sea x la edad buscada, entonces: x = x = 78 x = x = 0 8

29 6. La alternativa correcta es A Estadística descriptiva Según la tabla se puede extraer la siguiente información: Número de alumnos = = 45 Moda = 5 (dato con mayor frecuencia) Mediana = 5 (dato central, en este caso, dato número ) Por lo tanto, sólo I es verdadera. 6. La alternativa correcta es E Estadística descriptiva I. Verdadera, ya que: 1,70 + 1,80 = 1,75 II. Verdadera, ya que entre dos datos, el central será el promedio entre ellos. III. Verdadera, ya que si todos los datos tienen igual frecuencia, no existe moda. 9

30 64. La alternativa correcta es D Conjuntos numéricos Evaluación De (1) por sí sola, sí se puede, ya que par par = par e impar impar = impar. Por lo tanto, q es par. De () por sí sola, sí se puede, ya que par + impar = impar e impar + impar = par. Por lo tanto, q es par. Conclusión: cada una por sí sola. 65. La alternativa correcta es D Razones, proporciones, porcentajes e interés Evaluación De (1) por sí sola, sí se puede, ya que se calcula que los restantes son menores de 8 0 años y si esta razón se amplifica por 100 se obtiene el porcentaje 100 = 7,5% 8 De () por sí sola, sí se puede, ya que de la proporción se puede deducir que la razón entre los menores de 0 años y el total es, por lo tanto se puede calcular el porcentaje (por lo 8 explicado en (1) ) Conclusión: cada una por sí sola. 66. La alternativa correcta es E Inecuaciones Evaluación De (1) por sí sola, no es suficiente, ya que no se dice nada acerca de r y de s. De () por sí sola, no es suficiente, ya que no se puede relacionar con la cantidad buscada, es decir t. 0

31 De (1) y () a la vez, no es suficiente, ya que en () se sabe que r - s es menor que cero y en (1) se sabe que t es mayor que r - s, pero también puede ser negativo. Conclusión: Se requiere información adicional. 67. La alternativa correcta es C Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Evaluación De (1) por sí sola, no es suficiente, ya que faltaría conocer el resultado de la división. De () por sí sola, no es suficiente, ya que sólo se puede conocer el resultado de la división que es. De (1) y () a la vez, sí se puede, ya que en (1) dan el dividendo y el resto y en () dan el resultado, por lo tanto, según los datos el divisor debe ser 0. Conclusión: ambas juntas. 68. La alternativa correcta es B Circunferencia y círculo Evaluación De (1) por sí sola, no es suficiente, ya que no existe ningún valor conocido. De () por sí sola, sí se puede, ya que según los datos, el triángulo ABC corresponde a un triángulo de ángulos 0, 60 y 90 (por relaciones métricas del triángulo rectángulo), por lo tanto corresponde a la mitad de un triángulo equilátero de lado y altura AB =, donde el radio de la circunferencia inscrita mide la tercera parte de la altura, es decir por lo tanto, con esta información se puede calcular el área del triángulo y el área del semicírculo y la diferencia entre ellas resulta el área buscada., Conclusión: () por sí sola. 1

32 69. La alternativa correcta es D Ángulos y triángulos. Polígonos Evaluación De (1) por sí sola, sí es suficiente, ya que según los datos de la figura y del enunciado, se desprende que el triángulo ABC es isósceles y rectángulo en C, por lo tanto se necesita conocer sólo uno de sus lados para determinar el área solicitada. De () por sí sola, sí es suficiente, ya que los triángulos ADC y BDC son isósceles rectángulos en D y congruentes y conociendo uno de sus lados se puede calcular el área, por lo tanto, si se suman ambas resulta el área total. Conclusión: cada una por sí sola. 70. La alternativa correcta es D Cuadriláteros Evaluación De (1) por sí sola, sí es suficiente, ya que al trazar la diagonal DB, la figura queda dividida en dos triángulos equiláteros congruentes (ABD y CBD) de área cm cada uno, como el área de un triángulo equilátero está en función del lado y los cuatro lados del rombo son iguales, entonces se puede calcular el perímetro del rombo. De () por sí sola, sí es suficiente, ya que el triángulo ABD es equilátero, entonces al dividir el perímetro en tres se obtiene la medida de su lado, la cual es también la medida del lado del rombo. Conclusión: cada una por sí sola.