V ECTORI. încât. de-al doilea. REGULA. al vectorului. reprezentan. v se aleg. la va fi. va avea T R A I A N

Transcripción

1 REGULA TRIUNGHIULUI (regula conturului poligonal) Fie u i v doi vectori din al vectorului sum u plan. Pentru a construi un reprezentant v se aleg reprezentani ai celor doi vectori astfel încât extremitateaa primului s coincid cu Reprezentantul vectorului sum s originea celui u v de-al doilea. va avea Origine: originea primului vector Extremitate: extremitatea celui de al doilea vector REGULA PARALELOGRAMULUI V ECTORI Fie u i v do sum u oi vectori din plan. Pentru a construi un reprezentan al vectorului v se aleg reprezentani ai celor doi vectori astfel încât originea celor doi vectori s coincid. Se construiesc prin extremitile celor doi vectori, do dreptelee suport ale celor doi vectori. Reprezentantul vectorului sum s ou paralele u v la va fi diagonala paralelogramului obinut i va avea Origine: originea în A Extremitate: extremitatea în C 1

2 REGULA LUI CHASLES ÎN ABC AB BC BC BA Reinem: AB 1. Dac AM este median în ABC atunci AM 2 BM AB k 2. Fie ABC i M BC. Dac k atunci AM MC k 1 BMM AB c babc. Dac AM este bisectoare în ABC atunci deci AM MCC b b c 4. Vectorii AB, CD su unt paraleli sau coliniari AB kcd 5. Dac G centru de greutate în MAMBMC MGG ABC i M este un punct oarecare atunci. 6. G centru de greutatee în ABC GA GBB GC 0 7. Dac H ortocentru, G centru de greutate i O centru cer atunci punctele H, GO, sunt coliniare i HG 2GO rcului circumscris în ABC,. ( Euler). 2

3 u PROBLEME 8. Dac H ortocentru,g i O centru cercului circumscris în ABC, atunci HAHBHC 2HO i OA OB OC OH ( Sylvester) 9. Triunghiurile ABC i l l l A BC au acelai centru de greutate AA l BB l CC l 0 Observaii: Folosim în probleme teorema lui Thales, reciproca teoremei lui Thales, teorema lui Ceva,... 1) Determinai vectorul sum în urmtoarele cazur folosind regula contutului : v u v u v v u 2) Determinai vectorul sum în urmtoarele cazuri folosind regula paralelogramului : v u u u u v v v

4 ) Fie patrulaterul ABCD. Efectuai: a) AB CDCADCBA b) BB c) ABBDDC 4) Fie paralelogramul ABCD. Calculai : a) AB CB ; b) DC AD ; c) BO DC d) DO AO AB i M mijlocul lui. Calculai în funcie de vectorul MB : a) i. AM MB ii. MA MB iii. AM MB iv. MA MB b) i. AM BM ii. MA BM iii. AM BM iv. MA BM c) i. AM AB ii. AM BA iii. AB AM iv. BA AM 5) Se d segmentul AB i M mijlocul lui. Calculai: AM MA AM MA a) i. ii. iii. iv. MB MB BM BM BM MB BM MB b) i. ii. iii. iv. MB AM AM MA AB BA AB BA c) i. ii. iii. iv. AM AM MA MA 6) Se d segmentul A B D A O D v C C B 4

5 7) Se d segmentul AB i M AB astfel încât. Calculai în funcie de vectorul BM 2 MB : a) i. AM MB ii. MA MB iii. AM MB iv. MA MB b) i. AM BM ii. MA BM iii. AM BM iv. MA BM c) i. AM AB ii. AM BA iii. AB AM iv. BA AM AB i M AB astfel încât BM 2. Calculai: AM MA AM MA a) i. ii. iii. iv. MB MB BM BM BM MB BM MB b) i. ii. iii. iv. MB AM AM MA AB BA AB BA c) i. ii. iii. iv. AM AM MA MA AB i M AB astfel încât AM k. Calculai în funcie de vectorul MB BM : a) i. AM MB ii. MA MB iii. AM MB iv. MA MB b) i. AM BM ii. MA BM iii. AM BM iv. MA BM c) i. AM AB ii. AM BA iii. AB AM iv. BA AM 8) Se d segmentul 9) Se d segmentul 10) Se d segmentul AB i M AB astfel încât AM k BM. Calculai: AM MA AM MA a) i. ii. iii. iv. MB MB BM BM BM MB BM MB b) i. ii. iii. iv. MB AM AM MA AB BA AB BA c) i. ii. iii. iv. AM AM MA MA AM, BN, CP mediane care se intersecteaz în G. Calculai : a) i. AG GM ii. GA GM iii. AG GM iv. GA GM b) i. BG NG ii. GB NG iii. BG NG iv. GB NG c) i. CP CG ii. PC CG iii. CP CG iv. PC CG 11) Se d triunghiul ABC i AM BN CP mediane care se intersecteaz în G. Calculai : AG GA AM GA MA a) i. ii. iii. iv. GM GM GM GM BG GB BN GB NB b) i. ii. iii. iv. NG NG GN NG 12) Se d triunghiul ABC i,, 5

6 c) CP PC GP PC PG i. ii. iii. iv. CG CG GC GC 1) Se d triunghiul ABC i M BC. Artai c: AB AB 2 a) i. AM dac BM MC ii. AM dac BM 2MC 2 AB 2 BM 2 b) i. AM dac 5 MC AB 4 BM 4 ii. AM dac 7 MC AB12 BM 12 c) i. AM dac 1 BC 1 AB k ii AM dac BM k k 1 MC 14) Fie triunghiul ABC se consider punctele M AB, N, P MN i BQ AP BC Q. S se determine valoarea raportului dac: QC a) MB 4 AN 2 NC MP 1 PN 6 b) AN MP 2, i MB 5 NC 4 PN 7 c) MB AN 4 NC 5 MP 2 PN 7 15) Se d triunghiul ABC i G centru de greutate. Artai c: AB a) AG BA BC b) BG CB CA c) CG BC,, AB i G centru de greutate. 16) Se d triunghiul ABC, M,N,P mijloacele laturilor Artai c: a) AM BN CP 0 b) GA GB GC 0 c) GM GN GP 0 M AB, N. Artai c: 1 1 a) MN BC dac AM AB i AN 2 b) MN BC dac AM AB i AN 2NC 1 1 c) MN BC dac AM AB i AN NC 4 17) Fie triunghiul ABC, 6

7 18) Se d triunghiul ABC i vectorii u BA, v BC.Pe laturile AB,, BC se consider punctele M,N,P astfel încât MA, NC, PC. MB NA PB 9 a) S se calculeze BN în funcie de u, v b) S se calculeze BN în funcie de BM, BP c) S se arate c punctele M,N,P sunt coliniare. l l l 19) Fie triunghiul ABC cu ABc, BC a, bi bisectoarele AA, BB, CC. Artai c: l babc a) AA b c l abacbc b) BB a c l aca bcb c) CC a b l l l 20) Fie triunghiul ABC cu ABc, BC a, bi bisectoarele AA, BB, CC concurente în I. Artai c: babc a) AI abc abacbc b) BI abc aca bcb c) CI abc 21) Fie ptratul ABCD. Calculai: a) AB AD dac AB 10 b) BABCBD dac AB 2 c) DA DB DC dac AB ) Fie dreptunghiul ABCD. Calculai: a) AB AD dac AB, BC 4 b) BABCBD dac AB 5, BC 12 c) DA DB DC dac AB, BC 2) Se d patrulaterul convex ABCD în care E, F sunt mijloacele diagonalelor [] i [BD]. S se arate c: a) 2BE DE BA DA BC DC 2 AF CF ABCB ADCD b) c) AB AD CB CD 4EF 7