1 Unidad II. Tópicos del algebra

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1 Unidad II. Tópicos del algebra. Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una expresión matemática abstracta como 5xy 4 z x2 y 0 Cada expresión algebraica está constituida por elementos (denominados términos) que se asocian por operaciones de suma o resta. Las partes constituyentes de cada término son: coe ciente y parte literal; la parte literal a su vez se constituye por variables y exponentes. Example La expresión 5xy 4 z x2 y 0 está constituida por Expresión Término Coef. P. literal Var. Exp. 5xy 4 z 2 5 xy 4 z 2 x; y; z ; 4; 2 5xy 4 z x2 y 0 2 x2 y 2 x 2 y x; y 2; 0 0 Exercise 2 Identi que las partes de la expresión algebraica 2 x3 yz 2 +4xy 2 z 3 + 9wt 4 Expresión Término Coef. P. literal Var. Exp. 2 x3 yz 2 2 x 3 yz 2 x; y; z 3; ; 2 2 x3 yz 2 + 4xy 2 z 3 + 9wt 4 4xy 2 z 3 4 xy 2 z 3 x; y; z ; 2 ; 3 9wt 4 9 wt 4 w; t ; 4.2 Leyes de los exponentes y de los radicales Sean x; y; m; n números reales.. x m x n = x m+n Example = 4 8 = = = 2 5 = (x m ) n = x mn Example 4 (3 2 ) 3 = (9) 3 = 729 (3 2 ) 3 = 3 6 = (xy) n = x n y n Example 5 (3 2) 2 = (6) 2 = 36 (3 2) 2 = = 9 4 = 36

2 Observación (x + y) 2 6= x 2 + y 2 (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 4. ( x y )n = xn y n ; y 6= 0 Example 6 ( 4 2 )3 = (2) 3 = 8 5. x m x n = x m n ; x 6= 0 ( 4 2 )3 = = 64 8 = 8 Example = = 6 6. x n = x n ; x 6= = 64 3 = 6 = 6 Example = 3 2 = 9 Example = 25 Example = ( 5) = = x 0 = ; x 6= 0 = = 24 4 = np xm = x m n Example 3p 2 6 = 3p 64 = 4 3p 26 = = 2 2 = 4 Example 2 Aplicando las leyes de los exponentes y radicales simpli que las siguientes expresiones:. x 3 x 6 = x 3+6 = x 9 2. ( 2x 2 ) 3 = ( 2) 3 (x 2 ) 3 = 8x 6 3. (3x 3 y 2 z 2 ) 2 = (3) 2 (x 3 ) 2 (y 2 ) 2 (z 2 ) 2 = 9x 6 y 4 z 2

3 4. ( 2y3 3z 4 t )4 = ( 2y3 ) 4 (3z 4 t) 4 = 6y2 8z 6 t x 4 y 6 4xy = 2x4 x y 6 y = 2x3 y 2 4 = 2 x3 y 2 6. x 2 t 3 = x 2 t 3 x 7. 4 x = x 4 4 = x 0 = 4 q 3 8. x 3 y 2 t 4 = (x 3 y 2 t 4 ) 3 = (x 3 ) 3 (y 2 ) 3 (t 4 ) 3 = xy 2 3 t 2 Exercise 3 Simpli que la expresión y elimine cualquier exponente negativo.. t 7 t 2 = t 5 2. (4x 2 )(6x 7 ) = 24x 9 3. (2x 2 y 4 )( 2 x5 y) = 6x 7 y 5 4. (6y) 3 = 26y 3 5. x 9 (2x) 4 x 3 = 6x 0 a 6. 3 b 4 a 5 b = a 3 a 5 b 4 b 5 = a 2 b = a2 5 b 7. b 4 ( 3 b2 )(2b 8 ) = 4 b 2 8. (2s 3 t )( 4 s6 )(6t 4 ) = 8s 3 t 3 9. (rs) 3 (2s) 2 (4r) 4 = (rs)3 (4r) 4 (2s) 2 = r3 s 3 (256r 4 ) 4s 2 = 256r7 s 3 4s 2 = 64r 7 s 3 2 = 64r 7 s 0. (2u 2 v 3 ) 3 (3u 3 v) 2 = (2u2 v 3 ) 3 (3u 3 v) 2 = 8 9 v7 Tarea. Simpli que las siguientes expresiones (6y 3 ) 4 2y 5 = (2x 3 ) 2 (3x 4 ) (x 3 ) 4 = (x 2 y 3 ) 4 (xy 4 ) 3 x 2 y = 4. ( c4 d 3 cd 2 )( d2 c 3 ) 3 = 5. (xy 2 z 3 ) 4 (x 3 y 2 z) 3 = 6. ( xy 2 z 3 x 2 y 3 z 4 ) 3 = 7. ( q rs 2 q 8 r 5 s ) = 3

4 8. (3ab 2 c)( 2a2 b c 3 ) 2 = 9. x 2 3 x 5 = 0. ( 2a 3 4 )(5a 3 2 ) =. (4b) 2 (8b 2 5 ) = 2. (8x 6 ) 2 3 = 3. (c 2 d 3 ) 3 = 4. (4x 6 y 8 ) 3 2 = 5. (y 3 4 ) 2 3 = 6. (a 2 5 ) 3 4 = 7. (2x 4 y 4 5 ) 3 (8y 2 ) 2 3 = 8. (x 5 y 3 z 0 ) 3 5 = 9. ( x6 y y 4 ) 5 2 = 20. ( 2x 3 ) 4 = y 2 z 6 2. ( 3a 2 ) = 4b (y 0 z 5 ) 5 (y 2 z 3 ) 3 (9st) 3 2 (27s 3 t 4 ) 2 3 = = 24. ( a2 b 3 x y ) 3 ( x 2 b ) = 2 a 3 2 y p x4 = p 3 x3 y 6 = p 3 x3 y = 28. p x 4 y 4 = p a6 b 7 = 3p a2 b 3p a 4 b = pp 3 64x6 = p 4 x4 y 2 z 2 = 4

5 .3 Operaciones entre expresiones algebraicas Adición. La adición de dos más expresiones algebraicas se limita a la simpli - cación de términos semejantes, es decir, aquellos terminos que tienen la misma parte literal Example 4 Sumar las expresiones ( 4x 5 2x 4 + 6x 3 x 2 + 0x 2) y (x 5 + 2x 4 3x 3 + 7x 2 2x + 5) ( 4x 5 2x 4 + 6x 3 x 2 + 0x 2) + (x 5 + 2x 4 3x 3 + 7x 2 2x + 5) = 3x 5 + 3x 3 + 6x 2 + 8x 7 Sustracción. La sustracción se de ne entre dos expresiones algebraicas denominadas minuendo y sustraendo; este último es la expresión sustraida a la primera. Example 5 Sustraer (3x 4 4x 3 +0x 2 3 x+7) de ( x4 +3x 3 4x x 3) (3x 4 4x 3 + 0x 2 3 x + 7) ( x4 + 3x 3 4x x 3) = 3x 4 4x 3 + 0x 2 3 x x4 3x 3 + 4x x + 3 = 4x 4 7x x x + 20 Multiplicación. La multiplicación se de ne entre dos expresiones algebraicas denominadas factores. Se procede de forma que cada término de un factor sea multiplicado por todos y cada uno de los términos del otro factor. Example 6 Multiplicar las expresiones ( 2x 4 4x 3 6x 2 4x + 3) y (4x 2) ( 2x 4 4x 3 6x 2 4x + 3)(4x 2) = 8x 5 + 4x 4 6x 4 + 8x 3 24x 3 + 2x 2 6x 2 + 8x + 2x 6 = 8x 5 2x 4 6x 3 4x x 6 Exercise 7 Realice las siguentes operaciones algebraicas. (2x 5 +3x 4 4x 3 +7x 2 +x )(x+2) = x+5x 2 x 3 +2x 4 +7x 5 +2x (x + 3) 2 = (x + 3)(x + 3) = 6x + x (x ) 3 = (x 2 2x+)(x ) = x 3 x 2 2x 2 +2x+x = x 3 3x 2 +3x 4. (3x 4 2 x3 + 2x 2 x + 3) ( 2 x4 + 4x 3 3 x2 + 4x + 2 ) = 7 3 x2 5x 9 2 x x División. La división se de ne entre dos expresiones algebraicas denominadas dividendo y divisor. 5

6 Example 8 Dividir (x 2 + x 20) entre (x + 5) (x 2 + x 20) (x + 5) = x 4 Example 9 Dividir (x 5 + 2x 2 5x) entre (x 2 2x + 5) (x 5 + 2x 2 5x) (x 2 2x + 5) = 2x 2 x + x 3 Exercise 20 Dividir (x 4 x 2 2x ) entre (x 2 x ) (x 4 x 2 2x ) (x 2 x ) Exercise 2 Ordenar y dividir (4x 9x 2 + x 3 5x 4 3x 5 ) entre (2x 2 x + x 3 ) (4x 9x 2 + x 3 5x 4 3x 5 ) (x 3 + 2x 2 x) En general, en una divisón entre dos expresiones algebraicas debe cumplirse p(x) r(x) = c(x) + q(x) q(x) donde c(x) se denimina cociente y r(x) residuo. Example 22 Dividir (8x 3 x 2 4x + 3) entre (x 2 ) (8x 3 x 2 4x + 3) (x 2 ) = 8x + 4x + 2 x 2 Example 23 Dividir (x 5 + 3x 4 2x 3 + 5x 2 x + 8) entre (2x 3 + x 2 6x + 2) (x 5 + 3x 4 2x 3 + 5x 2 x + 8) (2x 3 + x 2 6x + 2) = 5 4 x + 2 x x x x 2 6x + 2x División sintética Polinomio de grado n expresión algebraica de la forma P n (x) = a n x n + a n x n + :::: + a x + a 0 donde a n ; a n ; ::::; a x; a 0 son los coe cientes del polinomio. La división sintética se realiza cuando se divide un polinomio de grado n entre un polinomio de grado Example 24 Dividir (9x + x 2 5x 3 + 5x 4 0x 5 + 4x 6 + 2) (x 2) = x 3 3x 2 5x 2x 4 + 4x 5 Example 25 Dividir (x + 9x 3 + 9x 4 x 5 0x 6 3x 7 + 3) (x + 3) = 3x 3 + 2x 4 x 5 3x 6 + Exercise 26 Dividir (6x + x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 3x 6 20x 7 + 5x 8 40) (x 4) = x 3x 3 6x 4 3x 5 + 5x

7 Exercise 27 Dividir ( 2 3 x 2 x2 + 3x x4 2 4 x5 + 2 x6 3 ) (x 2 ) = x 2 4x 3 5x x Exercise 28 Dividir (x 3x 3 + 5x 4 x 5 3x 7 + 4) (x + 2) = 30x 65x 2 + 3x 3 3x 4 + 6x 5 3x x+2 Tarea 2. Realice las siguentes operaciones y simpli que el resultado. (x 2 + 9x 5 2 x + 6x3 0) + (2x + 3x 4 7x x 5 ) (8x 4 3 x2 + 3x x 3 ) = 2. (2x + 3) 2 (x 2 + 8x 2) = 3. (x )(x 2 + x + ) = q q 2xy 4. ( 7 + 7xz)( 2xy 7 7xz) = 5. (x 2 4)(x+3) x 2 = 6. (5x x2 2x 9 2 x4 x 5 + 2x 7 + 0) (3x 2 ) = 7. (x 3 3x 2 + 9) (x + 2 ) = 8. (3x 3 + 2x 2 4x + ) (x 3 ) = 9. (x 3 3x 2 + 5x 6x 4 2 x5 + x 7 8) (7x 5 + 4x 2 3x + 4) = 0. (x 20x 2 +2x 3 +x 4 3x 5 30)(x 2) (x+3) = 7

8 .4 Productos notables Binomios conjugados (x y)(x + y) = x 2 y 2. (4t 8)(4t + 8) = (4t) = 6t ( p 3x 3 y + 7y)( p 3x 3 y 7y) = ( p 3x 3 y) 2 (7y) 2 = 3x 3 y 49y 2 3. ( 2xy 2 3w + 5x y )( 2xy 2 3w 4x 2 y 25x 2 9w 2 y 2. (3t x)(3t + x) = 9t 2 x 2 2. ( 2 3 x2 y )( 2 3 x2 y + ) = 4 9 x4 y 2 3. ( p xy t )(p xy t ) = 4 9t 2 xy 3 Binomio al cuadrado 5x y ) = ( 2xy 2 3w )2 ( 5x y )2 = 4x2 (y 2 ) 2 9w 2 25x 2 y 2 = (x + y) 2 = (x + y)(x + y) = x 2 + xy + xy + y 2 = x 2 + 2xy + y 2. (x + 3) 2 = x 2 + 2(x)(3) + (3) 2 = x 2 + 6x (3xy + 2t) 2 = (3xy) 2 + 2(3xy)(2t) + (2t) 2 = 9x 2 y 2 + 2xyt + 4t 2 3. (2 p yt ) 2 = (2 p yt) 2 + 2(2 p yt)( ) + ( ) 2 = 2 2 ( p yt) 2 4 p yt + = 4yt 4 p yt +. (x 2 + 4) 2 = 8x 2 + x ( 2 3 yz 3 + 2t) 2 = 4t ty 3p z y2 z ( p 8x 3 t 2 ) 2 = t + 8x3 4 p t p 2 p x 3 4. (x + 2y z) 2 = 4xy 2xz 4yz + x 2 + 4y 2 + z 2 Binomio al cubo (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3. (x + ) 3 = x 3 + 3x 2 () + 3x() = x 3 + 3x 2 + 3x + 2. ( 2 + x p t) 3 = ( 2) 3 + 3( 2) 2 (x p t) + 3( 2)(x p t) 2 + (x p t) 3 = 8 + 2x p t 6x 2 t + x 3 t ( 3p 2xw 2 2 u)3 = 3p 2w 2 x 3 8 u3 3 2 u 3p 2w 2 x u2 3p 2w 2 x. (2x + 3) 3 = 54x + 36x 2 + 8x (3x 2 2 t)3 = 27x 6 8 t tx t2 x 2 3. ( 3p x + 3p y) 3 = x + 3 3p x 3p y p x 2 3 p y + y 8

9 .5 Factorización Factorización por término común. xy 2 y 2 w = y 2 (x w) 2. 5xy 2 5y = 5y (xy 3) 3. 24a 3 b 2 2a 3 b 3 = 2b 2 a 3 (b 2) 4. 4xy 8xy 2 2xy 3 = 4yx (y + ) (3y ) 5. 6a 4 b 5 20a 3 b 2 24a 2 b 6 = 4b 2 a 2 5a + 6b 4 4a 2 b 3 6. x a+2 3x a+3 5x a = x a 3x 3 x x 2a y b 24x a+ y b+ + 2x a y 2b = 2x a y b (3x a 2xy + 2y b ) 2. x(a + 7) 5(a + 7) = (a + 7) (x 5) 3. 2x(a ) 3y(a ) = (2x 3y) (a ) 4. x(a + 9) a 9 = (a + 9) (x ) 5. x y + a(x + y) 6. (a + 5)(a + ) 2(a + ) = (a + 3) (a + ) 7. a 2 b 3 m 5 + a 2 b 3 x 2 m 5 x 2 3a 2 b 3 x + 3m 5 x = x 2 3x + a 2 b 3 m 5 Trinomio cuadrado perfecto x 2 + 2xy + y 2 = (x + y) 2. 9x 2 24x + 6 = (3x 4) x 2 30x + 25 = (3x 5) x 2 z 2 6xz + 4 = 4 (2xz ) 2. 8t 2 36t + 4 = (9t 2) y 4 2y 2 + = 6y t + 9t = (3t + 5) t 2 5t + 4 = Diferencia de cuadrados x 2 y 2 = (x + y)(x y). 4x 2 6 = (2x 2) (2x + 2) 9

10 2. 25y 2 9t 4 = 5y 3t 2 5y + 3t x 2 y 4 = 3xy 2 3xy u 4 36t 6 = 6t 3 + 7u 2 6t 3 + 7u t 4 + = ( 2t) (2t + ) 4t t 3 7 = ( p 5t 3 + p 7)( p p 5t 3 7) q q q x5 3 t = ( 3 4 x5 + 3 t)( 3 Trinomio de la forma. x 2 x 6 = (x + 2) (x 3) 2. x 2 x 2 = (x + 3) (x 4) q 4 x5 b = r + s c = rs 3. 7x + x = (x + 5) (x + 2). x 2 5x 24 = (x + 3) (x 8) 2. x 2 5x + 54 = (x 6) (x 9) 3. x 2 8x + 3 = x 2 8x t) x 2 + bx + c Trinomio de la forma ax 2 + bx + c; a 6=. 7x + 6x 2 3 = (2x + 3) (3x ) 2. 2x 2 5x 2 = (4x + ) (3x 2). x + 2x 2 3 = (2x + 3) (x ) 2. 5x 2 7x 2 = (5x + ) (3x 2) Suma de cubos a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ). 8x 3 + = 4x 2 2x + (2x + ) 2. 27x 6 y = 9x 4 y 2 2x 2 y + 6 3x 2 y x 3 = 4x 2 0x + 25 (2x + 5) u 6 y 3 + = 49u 4 y 2 7u 2 y + 7u 2 y + 0

11 3. 3x = ( 3p 3x 2 + 3p 2)(( 3p 3x 2 ) p 3x 2 3p 2 + ( 3p 2) 2 ) Diferencia de cubos a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ). 27t 3 8 = 8 (6t ) 6t + 36t x6 y 9 = 8 3x2 y 3 2 6x 2 y 3 + 9x 4 y Tarea 3. Desarrolla los siguientes productos notables. (x 2 y 5 )(x 2 + y 5 ) 2. (4x + 2) 2 3. ( 2 3 xt2 ) 3 4. ( 4 3 x t + 3)( 4 3 x t + 3) 5. (x + y ) 3 6. ( 3 2 t y)2 Factoriza las siguientes expresiones. 4x 2 + 2x + 9 = 2. 6x 4 9 = 3. x 2 2x 5 = 4. 6x 2 + 8x 8 = 5. 8x 6 = 6. 27x = 7. 4x + 24x x 3 + 8y x + 4x x 2 42xy + 49y 2

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