Tema 2: Series numéricas

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1 Igeiería Iformática. Escuela Técica Superior de Igeiería Iformática Tema 2: Series uméricas 3 de octubre de 2002 E el tema aterior dejamos abierta la cuestió de cuáles so los úmeros reales. Todos los cojutos uméricos se costruye para corregir algua carecia del cojuto aterior, pero cuál es la carecia de los úmeros racioales que se corrige co los reales? El cojuto de los úmeros reales se defie como: R es el úico cuerpo ordeado y completo que extiede a Q. La defiició de cuerpo ordeado la recordamos e el tema aterior y la de cuerpo completo la damos a cotiuació: U cuerpo ordeado se dice completo si verifica la siguiete propiedad: todo cojuto o vacio acotado superiormete tiee ua cota superior míima o supremo. Si embargo, esta defiició o respode a la preguta que haciamos ateriormete: cómo so los úmeros reales que o so racioales? E realidad o podemos describir lo úmeros reales de la misma forma que describimos los úmeros racioales a partir de los eteros o los complejos a partir de los reales, sio que la represetació se hace a través de la oció de ite de sucesioes. La propiedad de completitud se puede euciar como: u cuerpo es completo si toda sucesió moótoa y acotada e el cuerpo es covergete; de esta forma, los úmeros reales se defie como los ites de cualquier sucesió moótoa y acotada de úmeros racioales. Por ejemplo, afirmar que existe u úmero real a tal que a 2 = 2 equivale a demostrar que existe ua sucesió x tal que x = a y a 2 = 2, lo cual es cierto para la sucesió defiida recursivamete por x 0 = 2, x + = x +. 2 x La sucesió a = + ) es u ejemplo bastate iteresate; esta sucesió es creciete y acotada y por lo tato represeta a u úmero real. Si embargo, este úmero real NO puede ser descrito de ua forma alterativa y por ello lo represetamos co ua letra: el úmero e se defie como el ite de esta sucesió. Existe otras forma de defiir los úmeros reales; por ejemplo, utilizado la represetació decimal, u úmero etero y ua secuecia de decimales describe u úmero real. Si la secuecia es fiita o ifiita periódica, el úmero es racioal, pero sí la secuecia es ifiita o periódica, el úmero es irracioal. Esta defiició es equivalete a la aterior, ya que la secuecia de decimales determia ua sucesió covergete. La siguiete sucesió a 0 = 2 4, a = 2 4, a 2 = 2 44, a 3 = 2 442, a 4 = 2 442, a 5 = , a 6 = ,... es ua sucesió covergete a 2, auque el problema es determiar el térmio geeral e fució de o de forma recursiva. Otra posible forma de describir los úmeros reales es mediate costruccioes geométricas. El cojuto de los úmeros reales se puede represetar como ua recta e la que se destaca u puto, el correspodiete al úmero 0; a la izquierda de él se represeta los reales egativos y a la derecha los positivos. Cualquier distacia o logitud de segmeto correspode a u úmero real, auque o seamos capaces de calcularla algebraicamete; por ejemplo, el úmero 2 correspode a la logitud de la diagoal de u cuadrado de lado. De la misma forma, la logitud de ua semicircuferecia de radio debe correspoder a u úmero real, si embargo, esta logitud o es u úmero racioal i puede ser determiada de forma algebraica; sabemos que esta Curso 2002/03. Cálculo para la Computació. Tema 2.

2 logitud está dada por u úmero irracioal que represetamos por π. El objetivo fial de este tema y el siguiete es apreder a trabajar co sucesioes y apreder a obteer sucesioes que represete a las magitudes reales co las que trabajamos habitualmete. Empezamos este tema recordado la oció de sucesió umérica y el cocepto de ite, para posteriormete estudiar u tipo particular de sucesió: las series uméricas.. Sucesioes uméricas Defiició Ua sucesió de úmeros reales es ua aplicació a: N R. Las imagees de la aplicació se deota a y se deomia térmios de la sucesió. Defiició 2 Sea a ua sucesió de úmeros reales:. Decimos que a está acotada si el cojuto {a } N está acotado; es decir, si existe u úmero real positivo M tal que a M para todo. 2. Decimos que a es creciete si a a + para todo ; y decimos que es estrictamete creciete si a < a + para todo. 3. Decimos que a es decreciete si a a + para todo ; y decimos que es estrictamete decreciete si a > a + para todo. Defiició 3 Sea a ua sucesió.. Decimos que l R es el ite de la sucesió a si: Para todo ε > 0, existe u úmero atural N tal que a l < ε para todo N. E tal caso escribimos a = a = l y decimos que a es covergete y coverge a l. Si la sucesió o es covergete decimos que es divergete. 2. Decimos que + es el ite de la sucesió a si: Para todo M R, existe u úmero atural N tal que a > M para todo N. E tal caso decimos que la sucesió diverge a + y escribimos a = Decimos que es el ite de la sucesió a si: Para todo M R, existe u úmero atural N tal que a < M para todo N. E tal caso decimos que la sucesió diverge a y escribimos a =. E adelate utilizaremos la siguiete otació: R = R {, + }; este cojuto se deomia R ampliado. Proposició 4 Sea a y b dos sucesioes covergetes a l y m respectivamete; etoces:. a + b ) = l + m 2. a b = l m 3. Si b 0 para todo y m 0, etoces b = m. 4. Si b > 0 para todo N y m = 0, etoces b = + 5. Si b < 0 para todo N y m = 0, etoces b = Esta proposició se geeraliza a limites ifiitos co la proposició siguiete. E el euciado de la misma vamos a utilizar varias expresioes dode se utiliza el símbolo ; tales expresioes debe cosiderarse como abreviaturas; por ejemplo, + + l = + debe leerse como sigue: el ite de ua sucesió que es suma de ua sucesió divergete a + y otra covergete a l, es +. Proposició 5 La siguietes igualdades simbólicas so válidas:. ± + l = ± 2. + ) + + ) = + ), ) + ) = ) )+ ) = +, ) ) = +, + ) ) =. Curso 2002/03. Cálculo para la Computació. Tema 2. 2

3 4. /± ) = 0 Como se puede ver, las siguietes situacioes o está cotempladas e la proposició aterior y, por tato, o puede resolverse directamete: ), ) 0, 0 ), + ) + )) 0 Si, e ua primera evaluació, os ecotramos co uo de estos casos, diremos que el ite está idetermiado a priori); e estos casos ecesitaremos realizar ua serie de trasformacioes algebraicas o aplicar algua técica que covierta la expresió de la sucesió e otra que sí permita calcular el ite; este tipo de problemas se cooce como cálculo de ites y e el resto de la secció vamos a profudizar e su estudio... Mootoía y covergecia Proposició 6 Las siguietes propiedades relacioa las codicioes de mootoia y de covergecia.. Ua sucesió covergete tiee u úico ite. 2. Toda sucesió covergete está acotada. 3. Toda sucesió creciete y acotada superiormete) es covergete. 4. Toda sucesió decreciete y acotada iferiormete) es covergete. 5. Toda sucesió creciete y o acotada superiormete) diverge a Toda sucesió decreciete y o acotada iferiormete) diverge a. Ejemplos:. La sucesió a = es creciete y o acotada y por tato, = La sucesió a = es decreciete y acotada iferiormete y e cosecuecia covergete. Por la proposició 4 podemos afirmar que: = La sucesió a = + ) es ua sucesió creciete y acotada; e cosecuecia, la sucesió es covergete. El ite de esta sucesió es u úmero irracioal y trascedete es decir, o es raíz de igú poliomio de coeficietes racioales) y se deota por e siedo su valor aproximado De esta forma se defie el úmero e, base del logaritmo eperiao y de la fució expoecial). E geeral se verifica que, si x es ua sucesió divergete a ±, etoces + ) x = e x 4. La sucesió a = log es ua sucesió decreciete y acotada y, e cosecuecia, covergete. El ite se deomia costate de Euler, se deota por γ y su valor aproximado es ; o se sabe aú si este úmero es irracioal. La costate de Euler se utiliza e el cálculos de ites mediate la siguiete igualdad: = γ + log + x dode x es ua sucesió covergete a 0. Por ejemplo, podemos demostrar que: log = Teorema 7 Teorema de Compresió). Sea a, b y c tres sucesioes tales que a c b y a = b = l R; etoces, c = l. 2. Sea a ua sucesió covergete a 0 y b ua sucesió acotada; etoces, a b = Límites de sucesioes y ites de fucioes Los coceptos de ite de sucesió y ite de fució está estrechamete relacioados. De hecho, la Curso 2002/03. Cálculo para la Computació. Tema 2. 3

4 covergecía de fucioes se puede defiir e térmios de ites de sucesioes: Teorema 8 Caracterizació secuecial) Cosideremos ua fució f : D R R y a R. x a fx) = l R si y solo si: para toda sucesió x tal que - {x } D, - x a para todo, y - x = a, se verifica que fx ) = l. Este resultado tiee importates cosecuecias prácticas:. Dada ua fució f co domiio D, solo podemos estudiar la covergecia de f e a si existe ua sucesió coteida e D y covergete hacia a. U úmero a co está propiedad se deomia puto de acumulació de D. 2. Respecto del cálculo de ites, el teorema aterior se puede utilizar e dos direccioes. Por ua parte, lo podemos utilizar para calcular ites de sucesioes utilizado las propiedades de cotiuidad de las fucioes: se π = se π 3 3 = 2 E este ejemplo, hacemos uso de que se x = x π/3 se π por ser la fució seo ua fució cotiua 3 e R. 3. Por otra parte, podemos utilizar el teorema aterior para probar que ua fució o es covergete, ecotrado dos sucesioes e las hipótesis del teorema pero cuyas imágees o tega el mismo ite. Por ejemplo, vamos a probar que: La fució se x NO tiee limite e +, es decir, se x o existe x + Para ello, haciedo uso del teorema aterior, vamos a tomar dos sucesioes divergetes a + : Dado que: x = 2π y = π 2 + 2π se x = 0 = 0 = = se y podemos cocluir que la fució se x o tiee ite e +. El teorema que recordamos a cotiuació juto co la observació 2 aterior, so de gra ayuda e el cálculo de ites. Teorema 9. Todas las fucioes elemetales so cotiuas e su domiio. 2. Si ua fució está determiada por operacioes algebraicas suma, producto, cociete y composició) etre fucioes elemetales e u etoro de u puto a etoro e Domf)), etoces la fució es cotiua e a. U tipo de expresioes que o hemos cotemplado hasta ahora so aquellas de la forma a = x y ; para trabajar co ellas usaremos siempre la siguiete igualdad: y x y log x = e Teiedo e cueta que la fució expoecial es cotiua e R y que x + ex = +, x ex = 0, podemos escribir que: y x y log x) = e E este tipo sucesioes surge tres uevos tipos de idetermiacioes, que se reduce, por la igualdad aterior, a la idetermiació Ifiitésimos e ifiitos equivaletes Defiició 0 Decimos que la fució fx) es u ifiitésimo e a si fx) = 0 y fx) 0 e u etoro x a reducido de a. Curso 2002/03. Cálculo para la Computació. Tema 2. 4

5 Defiició Decimos que dos fucioes f y g, so equivaletes e a si fx) x a gx) = La equivalecia de fucioes es realmete importate e los casos e que las dos fucioes so ifiitésimos e a o las fucioes so divergetes a ± e a, ya que e ellos la defiició de equivalecia da idetermiacioes del tipo 0 0 y respectivamete. E el teorema siguiete vemos como se puede utilizar la equivalecia de ifiitésimos e el cálculo de ites de fucioes; la caracterizació secuecial de ites de fucioes, hace que esta técica sea igualmete útil para el cálculo de ites de sucesioes. Teorema 2 Sea f y g dos ifiitésimos equivaletes e a y hx) otra fució defiida e u etoro de a. Etoces:. fx)hx) existe si y solo si gx)hx) existe, x a x a y e tal caso coicide. hx) hx) 2. existe si y solo si existe, y e x a fx) x a gx) tal caso coicide. 3. log x a r fx)hx) existe si y solo si log x a r gx)hx) existe, y e tal caso coicide. hx) 4. log x a r existe si y solo si fx) log hx) x a r gx) existe, y e tal caso coicide. 5. hx) fx) existe si y solo si hx) gx) x a x a existe, y e tal caso coicide. que el teorema recoge las úicas sustitucioes geerales que podemos realizar y que por lo tato, o debemos sustituir ifiitésimos e otras situacioes. Las equivalecias fudametales so: se x x e 0 tg x x e 0 cos x x2 e 0 2 arc se x x e 0 arc tg x x e 0 e x x e 0 logx + ) x e 0 A partir de estas se puede obteer muchas otras co los siguietes resultados: Teorema 3 Sea f y g dos ifiitésimos equivaletes e a y sea hx) cotiua e b y tal que hb) = a. Etoces, f h y g h so ifiitésimos equivaletes e b. Queda implícito que las composicioes se puede realizar e u etoro de b). Proposició 4 Si f y g so ifiitésimos equivaletes e a y λ R, etoces λf y λg tambié so ifiitésimos equivaletes e a. Por ejemplo: tgx 2 ) x 2 e a x x log a e 0 log x x e.3.. Sucesioes equivaletes 6. hx) existe si y solo si x a fx) x a e tal caso coicide. hx) existe, y gx) Defiició 5 Decimos que dos sucesioes a y b, so equivaletes e a si Este teorema resume la técica que se cooce como sustitució de ifiitésimos equivaletes ya que, e la práctica, las equivalecias dadas e el euciado, se covierte e igualdades. Por ejemplo, e el cálculo de u ite aplicaríamos el apartado 2 escribiedo hx) x a fx) = hx) ua vez verificadas las hipótesis x a gx) del teorema. Por otra parte, debemos teer e cueta a b = Defiició 6 Decimos que la sucesió a es u ifiitésimo e a si a = 0 y a 0 para todo N. La caracterizació secuecial de ite de fució, permite crear equivalecias etre sucesioes ifiitesimales. Curso 2002/03. Cálculo para la Computació. Tema 2. 5

6 Proposició 7 Sea f y g dos ifiitésimos equivaletes e a y a ua sucesió covergete a a y coteida e u etoro reducido de a. Etoces, fa ) y gb ) so ifiitésimos equivaletes. Por ejemplo: se log Ifiitos equivaletes + Todo lo dicho e las seccioes ateriores para ifiitésimos equivaletes es válido para ifiitos equivaletes. Las dos equivalecias de sucesioes divergetes a ifiito más utilizadas so las siguietes: =. Mas adelate demostraremos que efectivamete el ite de la sucesió del log umerador es +. Fórmula de Stirlig: e 2π!.4. Criterio de Stöltz-Cesaro = Teorema 8 Criterio de Stöltz-Cesaro) Sea b ua sucesió creciete y divergete a + y sea a otra sucesió: si el ite a + a b + b existe, etoces el ite a b coicide. tambié existe y ambos Este resultado se suele aplicar e forma de igualdad: a b = a + a b + b ; pero debemos teer e cueta que, si al estudiar el limite del segudo miembro deducimos que o existe, etoces o podemos cocluir que el ite del primer miembro tampoco exista; e estas situacioes debemos desestimar el uso de este criterio e itetar otro método. Ejemplo: Sea a = ) y b = b es creciete y divergete a + ); e este caso, la sucesió a + a b + b es la sucesió { 2, 2, 2,... } que es NO CONVER- GENTE. Si embargo, la sucesió a = ) es covergete a b 0. Corolario 9 Criterio del cociete) Sea x ua sucesió de térmios positivos tal que x + x = l, etoces, x = l Igual que ates, este resultado se escribe e forma de igualdad: x = x + x Nuevamete, puede existir el ite del primer miembro y o existir el ite del segudo..5. Subsucesioes Hemos visto ateriormete que la relació etre ites de sucesioes y ites de fucioes es de gra utilidad para cocluir que ua fució o es covergete e u puto. Las subsucesioes so la herramieta más práctica para la resolució del mismo problema e sucesioes. Defiició 20 Decimos que la sucesió b es ua subsucesió de a si existe ua aplicació f : N N creciete tal que: b = a f). Teorema 2 Ua sucesió a coverge a l R si y solo si toda subsucesió coverge a l. Corolario 22 Supogamos que dos subsucesioes b y c de a verifica que b c ; etoces, la sucesió a o es covergete. 2. Series Numéricas Defiició 23 Sea {a } ua sucesió de úmeros reales. Cosideremos la sucesió {S } dada por: S = a + + a. A esta sucesió {S } se la deomia serie umérica asociada a {a } y se deota a. El Curso 2002/03. Cálculo para la Computació. Tema 2. 6

7 úmero a se deomia térmio -esimo de la serie y S es la -esima suma parcial. Deomiaremos suma de la serie al ite, si existe, de la sucesió de sumas parciales; si este ite es l, escribiremos a = a + +a + = l. Si este ite es u úmero real, diremos que la serie es covergete, e caso cotrario diremos que es divergete; si el ite es + o, diremos que la serie diverge a + o respectivamete. La covergecia o divergecia de ua serie se deomia carácter de la serie. 2.. Propiedades elemetales. Ejemplos Proposició 24 Si la sucesió {b } se obtiee a partir de la sucesió {a } añadiedo, elimiado o modificado u cojuto fiito de térmios, etoces las series asociadas tiee el mismo carácter. E particular, si a = b m para todo N y para todo m N 2, etoces las series asociadas a a y b tiee el mismo carácter. U ejemplo imediato dode se ve la importacia de esta propiedad es el siguiete: las series a y a tiee el mismo carácter. =5 Atediedo a esta propiedad, e adelate, cuado simplemete estemos estudiado el carácter de ua serie, o será ecesario idicar cuál es el primer térmio de la misma escribiedo simplemete: a. Si embargo, a la hora de calcular la suma de ua serie sí es ecesario coocer el primer térmio. Teorema 25 Codició Necesaria) Si ua serie a es covergete etoces a = 0. Equivaletemete, si a 0, etoces a es divergete. Teorema 26 Serie Geométrica) Si a 0, la serie ar = a + ar + ar ar +... se deomia serie geométrica de térmio iicial a y razó r. Esta serie verifica: ar coverge a a si r < = r diverge si r > Corolario 27 E geeral, decimos que la serie =N es geométrica si a + /a = r R para todo. Esta serie coverge si y solo si r < y e tal caso a = a N r. Ejemplos: =N 3 +2 : = = r; es decir, la serie es 3 geométrica de razó / 3 y primer térmio / 27 ; por tato, la serie es covergete y su suma es / : = 8 = r; por tato la serie es 7 geométrica de razó 8 / 7 y e cosecuecia divergete a +. ) + 5 : la serie es geométrica de razó / 5 y primer térmio y por lo tato, es covergete y su suma es 5 / 6. Teorema 28 Serie armóica) La serie se deomia serie armóica y es divergete a +. Dado que la sucesió de sumas parciales es creciete, para demostrar el teorema basta comprobar que algua subsucesió diverge a + ; sea S la sucesió de sumas parciales y cosideremos la subsucesió S 2 : ) S 2 = ) ) ) ) 2 ) ) ) ) ) 2 ) ) ) ) = ) = + 2 Dado que la sucesió miorate diverge a +, la sucesió S 2 tambié. a Curso 2002/03. Cálculo para la Computació. Tema 2. 7

8 Teorema 29 Serie telescópica) Sea b ua sucesió. La serie b b + ) se deomia serie te- =N lescópica. Esta serie coverge si y solo si la sucesió b coverge y e tal caso, b b + ) = b N b +. Ejemplo: =2 log + =N = log + ) log ) = =2 log 2 + log + ) = + Teorema 30 Si b coverge a b, etoces a coverge a a y =N =N a + b ) coverge a a + b y =N c a coverge a c a, para todo c R. =N 2.2. Series de térmios positivos Estudiar la covergecia de ua serie utilizado las sumas parciales o siempre será secillo; ecotrar ua expresió para las sumas parciales que permita calcular su ite es, e geeral, u problema bastate difícil. Por esta razó, el estudio de las series se hará e dos etapas: e primer lugar, se estudiará solamete el carácter de la serie; e segudo lugar, si la serie es covergete, afrotaremos el cálculo de su suma o bie aproximaremos su valor. E esta secció vamos a estudiar las series de térmios positivos. Este estudio ayudará e la siguiete secció a estudiar las series de térmio geeral co sigo arbitrario. Proposició 3 Si {a } es ua sucesió de térmios positivos, la sucesió de sumas parciales asociada a ella es creciete y e cosecuecia, la serie a es o bie covergete o bie divergete a +. Corolario 33 Series p-armóicas) Las series para p > 0 se deomia p armóicas. Estas p series verifica: si 0 < p, es divergete; si p > es covergete. Por el criterio de codesació, la serie p armóica p tiee el mismo carácter que 2 k 2 kp = 2 kp ) ; esta serie geométrica coverge si y solo si p >. La importacia de las series p armóicas está e que permite estudiar muchas otras utilizado los criterios de comparació. Teorema 34 Criterio de comparació) Sea a y b dos series tales que 0 a b para todo N.. Si b coverge etoces a tambié coverge. 2. Si a diverge etoces b tambié diverge. Ejemplo: La serie + 2 es covergete ya que y la serie 2 es covergete. Teorema 35 Criterio de comparació por paso al it Sea a y b dos series de térmios positivos y tal que b 0 para todo. Sea l = a b ; etoces:. Si l > 0 ambas series tiee el mismo carácter. 2. Si l = 0 y b coverge, etoces a tambié coverge. 3. Si l = y a coverge, etoces b tambié coverge. Ejemplo: La serie se 2 o es covergete ya que Teorema 32 Criterio de codesació) Sea {a } ua sucesió decreciete de térmios positivos. Etoces a y 2 k a 2 k tiee el mismo carácter. y la serie se 2 = / es divergete. se 2 / 2 = Curso 2002/03. Cálculo para la Computació. Tema 2. 8

9 Teorema 36 Criterio de la raíz) Sea a ua serie de térmios positivos y cosideremos el ite l = a ; etoces:. Si l < la serie coverge. 2. Si l > la serie diverge. 3. Si l = o podemos deducir ada: y 2 verifica que el ite de la codició vale para ambas series y, si embargo, la primera es divergete y la seguda es covergete. Ua importate característica de las series de térmios positivos es que las sumas parciales permite aproximar, por defecto, la suma de la serie. Para poder utilizar estas aproximacioes es ecesario estimar el error cometido. Si determiamos la covergecia de ua serie utilizado el criterio de la raíz, podemos estimar este error utilizado el siguiete resultado: Proposició 37 Sea a ua serie tal que 0 < l = a <, S su sucesió de sumas parciales y S su suma; etoces, para todo N N: S S N ln+ l a Corolario 38 Criterio del cociete) Sea ua serie de térmios positivos y cosideremos el ite l = a + a ; etoces, para todo N N:. Si l < la serie coverge. 2. Si l > la serie diverge. 3. Si l = o podemos deducir ada: y 2 verifica que el ite de la codició vale para ambas series y, si embargo, la primera es divergete y la seguda es covergete. Proposició 39 Sea a ua serie tal que 0 < l = a + a suma; etoces: <, S su sucesió de sumas parciales y S su S S N a N l l Teorema 40 Criterio de Raabe) Sea a ua serie de térmios positivos y cosideremos el ite l = a ) + ; etoces, para todo N N: a. Si l > la serie coverge. 2. Si l < la serie diverge. 3. Si l = o podemos deducir ada: para, el ite de la codició de Raabe vale y es divergete; para la serie log ) 2 el ite de la codició es y la serie es covergete. a Proposició 4 Sea a ua serie tal que l = a ) + >, S su sucesió de sumas parciales y S su suma; etoces: S S N Na N l El criterio de Raabe se aplica siempre después del criterio del cociete e el caso e que este o decida ada. Debemos teer e cueta que las simplificacioes realizadas al aplicar el criterio del cociete puede ser útiles al aplicar el criterio de Raabe, pero o las posibles sustitucioes de ifiitésimos Determiació del carácter El siguiete esquema resume los criterios que hemos itroducido e el orde más adecuado para su aplicació.. Comprobar si es ua serie coocida: geométrica, armóica, cociete de poliomios, telescópica,... A lo largo del tema se irá estudiado distitos tipos de series; teer e cueta las series ya coocidas puede ahorrar mucho trabajo). 2. Codició ecesaria. Esta es la primera comprobació que debe hacerse si el ite es fácil de calcular. 3. Criterios del cociete Raabe o criterio de la raíz. El criterio del cociete o el de la raíz so los primeros Curso 2002/03. Cálculo para la Computació. Tema 2. 9

10 que coviee utilizar; elegir uo u otro depede de la forma del térmio geeral de la serie. Optaremos preferiblemete por el criterio del cociete cuado sea posible y que permite utilizar posteriormete el de Raabe. 4. Criterio de codesació. Es coveiete utilizarlo, cuado sea posible, e series dode iterviee la fució logaritmo. 5. Comparació. Si iguo de los criterios ateriores decide el carácter de la serie, itetaremos buscar ua serie coocida co la que poder compararla; solo la práctica y la resolució de bastates problemas facilita esta etapa El cociete a + /a Como ya se habrá comprobado, el estudio del cociete a + a es de gra utilidad para la determiació del carácter de ua serie. E esta secció, recogemos toda la iformació que puede obteerse de dicho cociete. Siguiedo el esquema de la secció aterior, el estudio de este cociete se icluirá e el primer paso.. Si a + a geométrica. = r R etoces la serie es ua serie 2. Si a + = α + β co α, β, γ R la serie es hipergeométrica ver a α + γ ejercicios). 3. Si a > 0 y a + a > para todo > N, la sucesió {a } es creciete y por tato su ite o puede ser 0: la serie es divergete. 4. Si a > 0 y a + a {a } es decreciete Sucesioes decrecietes < para todo > N, la sucesió El criterio de codesació y el criterio de Leibiz que veremos e la secció siguiete) icluye etre sus codicioes el que ua sucesió sea decreciete. Para demostrar que ua sucesió es decreciete podemos utilizar los siguietes métodos:. Si a a + > 0, etoces a es decreciete. 2. Si a + a <, etoces a es decreciete. 3. Si f : [N, + ) R es ua fució decreciete tal que f) = a para todo N, etoces a es ua sucesió decreciete a partir de N. para determiar si ua fució es decreciete podemos utilizar su derivada). 4. Por último, podemos utilizar diversas propiedades algebraicas de las sucesioes y fucioes decrecietes ver ejercicio 23) Series alteradas Los teoremas dados e la secció aterior so válidos solamete para series de térmios positivos. E esta, vamos a ver dos resultados que permite estudiar alguas series co térmios de sigo arbitrario. Defiició 42 Decimos que ua serie a es absolutamete covergete si la serie a es covergete. Teorema 43 Toda serie absolutamete covergete es covergete. Ua serie covergete pero o absolutamete covergete se dice codicioalemete covergete. Defiició 44 Ua serie a se dice alterada si para todo se verifica que a /a + < 0; es decir, su térmio geeral es de la forma ) b o ) + b dode b es ua sucesió de térmios positivos. Teorema 45 Criterio de Leibiz) Sea ) a ua serie tal que. la sucesió a es decreciete y de térmios positivos, 2. a = 0, etoces, la serie es covergete. Obsérvese que, segú hemos visto, la codició a = 0 es ecesaria para cualquier serie.) Curso 2002/03. Cálculo para la Computació. Tema 2. 0

11 Proposició 46 Sea ) a ua serie e las codicioes del criterio de Leibiz, S su sucesió de sumas parciales y S su suma; etoces: S N S < a N+ E la acotació del error teemos que usar el valor absoluto porque e este caso el error puede ser por exceso o por defecto. 3. Suma de Series U vez que hemos determiado la covergecia de ua serie, podemos abordar el cálculo de su suma. Este tipo de problemas o es trivial y solo uos tipos determiados de series so fácilmete sumables. A cotiuació vamos a dar la relació de las series fudametales; a partir de ellas y de las propiedades algebraicas de las series uméricas y de potecias, podemos sumar muchas más.. Series geométricas: a, a + = r R; so covergetes solamete para r < y e tal caso su a =N suma vale: S = a N r 2. Series telescópicas: b b + ) = b N b + =N 3. Series aritmético-geométricas: a + b)r ; esta =N serie coverge si y solo si r < y e tal caso su suma es: a + b)r = =N 4. Series Hipergeométricas: a + a an + b)rn r + arn+ r) 2 =N a, a > 0 para todo > m, = α + β ; coverge si y solo si γ > α + β y e tal caso su suma es: S = α + γ a N αn ) + γ). γ α β 5. Series de Taylor. E el tema siguiete desarrollaremos la teoría ecesaria para justificar las siguietes igualdades: x! = ex, x R x = log x), x [, ) ) x2+ = se x, x R 2 + )! ) x2 = cos x, 2)! x R x 2+ = seh x, x R 2 + )! x 2 = cosh x, 2)! x R ) α x = + x) α, x, ) ) α ) = 0, α > 0 ) α = 2 α, α >, α 0 ) ) /2 x 2+ = arc se x, x 2 + 2)! 2!) ) x2+ = arc se x, x ) x2+ = arc tg x, x 2 + ) /2 x 2+ = argseh x, x < 2 + ) 2)! 2!) ) x2+ = argseh x, x < x 2+ = argtgh x, x < 2 + Recordemos que, si α R, α ) se defie como: ) α αα ) α + ) =! Curso 2002/03. Cálculo para la Computació. Tema 2.

12 3.. Series del tipo P )/! Vamos a estudiar las series del tipo: P ) + q)! dode P es u poliomio de grado p y q Z. Por el criterio del cociete deducimos que este tipo de series so siempre covergetes; además, estas series so fácilmete sumables como sigue. Partimos de la siguiete descomposició del poliomio P : P ) = a p + q) + q ) + q p + ) + P ) dode P es u poliomio de grado meor o igual que p y que puede ser descompuesto de la misma forma) y a p es el coeficiete de p e P. Tal descomposició se obtiee fácilmete impoiedo la igualdad y acumulado e P, los térmios que o esté e el primer sumado. A partir de esta descomposició se obtiee que: P ) + q)! = a p + q p)! + P ) + q)! La primera serie se suma utilizado la serie de Taylor de la fució expoecial, como veremos a cotiuació, y la seguda es ua serie del mismo tipo iicial pero de tal forma que el poliomio del umerador tiee grado estrictamete meor. Si aplicamos la descomposició hasta coseguir que el poliomio del umerador se reduzca a ua costate, habremos reducido el problema a sumar varias series del tipo + k)! : + k)! = =N = =N+k! =N N+k! N+k! = e!

13 Igeiería Iformática Relació 2 de Cálculo para la computació Curso 200/02. Respoder las siguietes pregutas razoado las respuestas co precisió : a) Dadas dos sucesioes a y b cosideramos los cojutos de sus elemetos: A = {a }, B = {b }. Si A = B, podemos afirmar que a = b? b) Ua sucesió cuyo cojuto de elemetos tiee dos putos de acumulació distitos puede ser covergete? c) Es cierto que toda sucesió acotada es covergete? d) Es correcto escribir la igualdad simbólica 0 =? e) Si a + f ) a = se, podemos afirmar que el ite a o existe? Las sucesioes a = se y b = so ifiitésimos equivaletes? 2. Resolver los siguietes ites: log log 5 3 a )) ) 2 3 a si a > 0 log + 3) log 3 3 ) ) + a) + b) a a) 3. Decimos que dos sucesioes a y b so ifiitos equivaletes si a = b = y a b =. a) Demostrar que a = log + k), b = logk) y c = log so ifiitos equivaletes. b) Demostrar que si k p es el térmio de grado mayor e el poliomio P ), etoces a = P ) y b = k p so ifiitos equivaletes. c) Demostrar que a = + ) α α y b = α α so ifiitos equivaletes. 4. Calcular el ite P ) dode P y Q so poliomios. Teer especial cuidado e cotemplar todas las Q) posibles situacioes diferetes). 5. Dada la sucesió a = log ) 2 calcular el ite a ) +. a 6. Los siguietes ites se resuelve utilizado el criterio de Stöltz o el criterio del cociete: log + ) + 2)... + ) 2 + log )2 3 + )3 + 2) ) p + 2 p + + p ) ) p+, p N log 2 ) log

14 7. Calcular el ite α e para todo α R. Observar primero que para α < 0 el cálculo es trivial; para α > 0 utilizar el criterio de Stöltz). 8. Utilizar el teorema de acotació para calcular los siguietes ites:! )! + ) + 2)... + ) ) ) Calcular el ite 2 + ) ) + + ) 0. Utiliza la fórmula de Stirlig para calcular el ite!.. Los siguietes ites se resuelve utilizado la costate de Euler: e e 3 e... e 2 + log ) loglog ) ) Justificar que las siguietes sucesioes so covergetes y calcular sus ites a = 3 a = + a c = 2 c = 2 c b = 0 b 2 = b = b + b 2 2 d = a > 0 d = a + d ) 2 3. a) Demostrar que o existe igú úmero racioal cuyo cuadrado sea 2 es decir, 2 Q). b) Cosiderar la sucesió a defiida recursivamete por: a 0 = 2, a + = a 2 +. Demostrar que dicha a sucesió de úmeros racioales) es decreciete y acotada iferiormete y e cosecuecia covergete e R). Demostrar a cotiuació que el ite es Dar ua defiició recursiva de la siguiete sucesió y calcular su ite demostrado previamete que la sucesió es covergete): 5 5 4, 4 5 4, ,...

15 5. Sea a ua sucesió covergete a a. Hallar los siguietes ites: a + a a 2 log a + 2a a 2 ea + e a2/2 + + e a/ log + ) 6. Dar ua expresió geeral para las siguietes sucesioes y calcular sus ites 0 9, 0 99, 0 999, , , 0 33, 0 333, , Calcular el siguiete ite: ) ) 8. Decimos que la serie a es geométrica si a + /a = r R para todo y la deomiamos serie geométrica =N de razó r y térmio iicial a N : estudiar la covergecia de ua serie geométrica calculado su suma cuado sea posible. 9. Demostrar que o existe el ite: se. Estudiar la existecia de los ites x 0 x x se x x 0 x 2 + se x x 0 x se x 20. Razoar co exactitud sobre la veracidad de las siguietes afirmacioes: a) Si a ua serie le quitamos u cojuto fiito de térmios, la suma de la serie o varía. b) Si ua serie es covergete, el ite de su térmio geeral es 0. c) Si el ite de ua sucesió es 0, la serie asociada es covergete. d) Si a es ua serie de térmios positivos y covergete, etoces a 2 tambié es covergete. e) Si a es ua serie de térmios positivos y covergete, etoces a tambié es covergete. f ) Cosideremos la serie ) /; por el criterio de codesació, el carácter de esta serie coicide co el de la serie 2 k ) 2k 2 k = que es divergete. Por tato, la serie ) / es divergete. ) ) g) Cosideremos la serie ; dado que , si sumamos los 3 primeros térmios 5 5 de la serie, obtedremos ua aproximació de la misma co tres cifras decimales exactas, ya que el resto de los sumado tiee los tres primeros decimales ulos: ) ) 3 = Criterio de Prishgeim. Sea a ua sucesió de térmios positivos y supogamos que c a 0. Probar que: a) Si c > etoces, a coverge.

16 b) Si c etoces, a o coverge. 22. Demostrar las propiedades de liealidad del operador : Si a coverge a a y =N coverge a c a. b coverge a b, etoces =N a + b ) coverge a a + b y =N c a 23. Sea f y g dos fucioes crecietes y estrictamete positivas e su domiio, h ua fució decreciete, c ua sucesió creciete y d ua sucesió decreciete; demostrar que, etoces: a) f + g es ua fució creciete. b) f g es ua fució creciete. c) /f es ua fució decreciete. d) f es ua fució decreciete. e) f g es ua fució creciete y f h es ua fució decreciete. f ) fc ) es ua sucesió creciete y fd ) es ua sucesió decreciete. g) hc ) es ua sucesió decreciete y hd ) es ua sucesió creciete. =N 24. Cosideremos la serie que etoces: P ) Q) dode P y Q so dos poliomios de grados p y q respectivamete; demostrar a) Si q p la serie diverge. b) Si q p > la serie coverge 25. Demostrar que la serie R)r, dode R es ua fució racioal y r, coverge si y solo si r <. Este resultado se demuestra fácilmete co el criterio del cociete; para r = estamos e el caso del ejercicio aterior y para r = demostrar el siguiete resultado: La serie ) P ) Q) dode P es u poliomio de grado p y Q u poliomio de grado q verifica: a) Si q p > la serie coverge absolutamete. b) Si q p = la serie coverge codicioalmete. c) Si q p < la serie diverge. 26. Probar que: si a y b so dos ifiitésimos equivaletes, etoces las series asociadas tiee el mismo carácter 27. A la serie a + b)r se la deomia aritmético-geométrica. Estudiar el carácter de estas series y hallar su suma e los casos que sea posible Idicació: seguir u método aálogo al utilizado para las series geométricas) 28. Ua serie a se dice hipergeométrica si verifica que a + estas series y hallar su suma e los casos que sea posible. a = α + β α + γ para α, β, γ R; estudiar el carácter de

17 29. Aproximar la suma de la serie ) log co u error meor que Aproximar la suma de la serie 2 co u error meor que El objetivo de este ejercicio es demostrar el criterio del cociete: sea a ua sucesió de térmios positivos y supogamos que a + /a = l < ; cosideremos ua costate k l, ) y sea S su sucesió de sumas parciales. a) Probar que existe u atural 0 tal que a + /a < k para todo 0 ; es decir, a + < ka para todo 0. b) De la desigualdad aterior deducir que S + a + a < ks y despejado S cocluir que S es ua sucesió acotada y por tato covergete que es lo que queriamos demostrar). c) Sea N u umero atural; demostrar que a < k N a N para todo > N y deducir que =N a < =N k N a N. Cocluir que: S S N < a N k k d) A partir del puto aterior, demostrar que S S N a N l l. 32. Estudiar el carácter de las siguietes series: se x 2 3 =2 2 se log =2 2! a! ) log log ) r =2 =2 ) ) log + =2 ) 4 2 log a + ) a + ) a! [ ) ) cos 2 π 3 2 si 3 4 )!! 2) se π 4 2 2! log ) 2 =2 ) + 2 log ) =2 a! ] ) ) 4/ cos 2 3 )!) 2 2)! ) ) + )

18 ) aa + )... a + ) bb + )... b + ) 9 a 2 ) !) c 3)! ) se + a ; a > 0 a ; a 0 a ) a + a )!) 3 a)! 33. Sumar las siguietes series: a) d) g) b) + ) + 2) + e) + ) 2 + ) + ) h) 2 + ) ) ) ) c) f) i) ) + ) 2 log + 2) ) + ) =2 log[ + ) + )] log + ) + ) log 34. Sumar las siguietes series: a) d) b) ) e) 2) 35. Sumar las siguietes series: 36. Sumar las siguietes series: aa + )... a + ) a) bb + )... b + ) 37. Sumar las siguietes series: a) + )! y b) b) 3 0 c) ! a + a) + 2a) + a) + )! c) 2! c) d) ) 5 =2 a + ) a + )! 2 + 3! 38. Utiliza la costate de Euler par calcular el ite de la sucesió de sumas parciales de la serie: 4 2 )