7. [2013] [JUN-A] a) Pueden existir vectores u y v tales que u = 2, v = 3 y u v = 8? Justifique la respuesta.

Transcripción

1 1. [014] [EXT-A] a) Determine el valor o valores de m, si existen, para que la recta r: mx+y = x+ mz = : x-y-z+6 = 0. b) Determine la distancia del punto P= (,1,1) a la recta r cuando m =. sea paralela al plano x = + -. [014] [EXT-B] a) Estudie la posición relativa de los planos: : x-y-z = 0 ; ': y = z = b) Determine la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por el punto P= (1,0,1). Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos. -x +z -1 = 0. [014] [JUN-A] Dados el punto P (1,-1,0) y la recta: s: x -y - = 0 a) Determine la ecuación general del plano (Ax+By+Cz+D = 0) que contiene al punto P y a la recta s. b) Determine el águlo que forman el plano : x+y-z+1 = 0 y la recta s. x-4z = 4. [014] [JUN-B] Considere las rectas: r: x+y+z = 1 ; z: x = y+ a = z-(1/) 1 a) Deteremine la posición relativa de dichas rectas, según los diferentes valores de a. b) Si a =, determine el ángulo que forman las rectas r y s. x = + 5. [01] [EXT-A] a) Estudie la posición relativa de los planos: : x+y-z = 1 ; ': y = 1- z = b) Encuentre la recta que pasa por el punto P=(0,1,1) y es perpendicular al plano '. Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos. 6. [01] [EXT-B] Dadas las rectas: r: x-1 k = y- = ẕ 1, con k 0 y s: x-y-z = 0 x-y = 1 a) Estudie las posiciones relativas de las rectas según los diversos valores de k. b) Existen valores de k para los que las rectas son perpendiculares? 7. [01] [JUN-A] a) Pueden existir vectores u y v tales que u =, v = y u v = 8? Justifique la respuesta. b) Determine todos los posibles vectores u = (a,0,b) que tengan módulo 8 y sean perpendiculares a la recta r: x+y+z = 0 x-y+z- = 0 8. [01] [JUN-B] Dadas las rectas: r: x = y = z 1 y s: a) Determine su posición relativa. b) Calcule la distancia del punto P = (,,1) a la recta s. x = - y = 1+ z = -+ x = [01] [EXT-A] Dado el punto P=(1,0,6) y la recta r: y = --6 z = a) Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por el punto P y corta a la recta r. b) Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0) del plano que contiene a la recta r anterior y a la recta r': x-z = 0 x-y-z = [01] [EXT-B] a) Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0) del plano que es paralelo a la recta r: x-1 = y = z- 4 y que contiene los puntos P=(1,1,1) y Q=(,5,0). 17 de julio de 015 Página 1 de 5

2 b) Calcule el ángulo que forman las dos rectas siguientes: r: x-y = -1 x- ; r': x-z = -4 = y-4-1 = z [01] [JUN-A] a) Hallar el plano que contiene a la recta v de ecuación paramétrica v: (,1,) + t(,1,0), y es perpendicular al plano de ecuación x+z =. b) Probar que los vectores {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} forman una base de y dar las coordenadas del vector (1,-,0) en la base anterior. 1. [01] [JUN-B] Sea el haz de planos de ecuación (1+ )x-y- z = 0, con parámetro real. a) Hallar los planos del haz que pasan por el punto P=(1,1,1). b) Hallar los planos del haz cuya distancia al punto Q=(,-,1) es. c) Hallar los planos del haz que cumplen que el ángulo que forman con el eje OY tiene por seno el valor [011] [EXT-A] a) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto A(-1,-1,1) y es perpendicular al vector v = (1,-,-1). 1 x-y-z = 0 b) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta r que se obtiene como intersección de los planos z-1 = 0. c) Estudiar si son linealmente independientes los vectores v 1 = (,1,0), v = (0,-,0), v = (0,1,1). x = 1+t 14. [011] [EXT-B] Hallar el punto D de la recta r y = t que esté a la misma distancia de los puntos C=(1,-1,) y B=(1,1,). z = 1 Razonar si la recta es perpendicular o no al plano -x+y+z = [011] [JUN-A] a) Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas de ecuaciones r -x = y = z+1, s x-y+z = - -x+y+z = 1 por el punto A(1,1,). b) Calcular el ángulo que forman los vectores u = (,1,1) y v = (-1,1,1). Obtener su producto vectorial. y que pasa 16. [011] [JUN-B] a) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,-,4), B(0,,) y es paralelo a la recta x-1 4 = y- = z+1 1. b) En caso de que sea posible, escribir el vector v = (1,,4) como combinación lineal de los vectores a = (1,0,1), b = (1,1,0), c = (0,1,1). 17. [010] [EXT-A] a) Calcular el plano determinado por los puntos (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). b) Determinar el ángulo que forman los planos 1 x+y+z = y z = 0. c) Obtener el producto vectorial de a = (,0,1) y b = (1,-1,). 18. [010] [EXT-B] Estudiar la posición relativa de la recta r x+1 = y- = z y el plano determinado por los puntos A(1,,), B(,0,1) y C(1,4,). Son perpendiculares? Hallar la distancia del punto P 4 5,1 5,6 5 a la recta r. x+y = [010] [JUN-A] Dadas las rectas r y+z = 4, s x-1 = y = z+1 a) Justificar si son o no perpendiculares. b) Calcular la distancia del punto P(16,0,0) a la recta r. 0. [010] [JUN-B] a) Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,1,1), (,-,) y es perpendicular al 17 de julio de 015 Página de 5

3 plano x-y-z = 0. b) Estudiar si los vectores a = (1,-1,-1), b = (0,1,1), c = (0,0,1) son linealmente independientes. 1. [009] [EXT] a) Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos A(5,1,0), B(4,1,0) y es paralelo a la recta r b) Estudiar si los vectores u = (1,-1,1), v = (1,0,0) y w = (,-,1) son linealmente independientes. x-y+z = 0 x+y-z = 5.. [009] [EXT] a) Hallar el punto simétrico de A(,0,1) respecto del plano x+y+z =. x+y+z = b) Obtener las ecuaciones de la recta r en forma paramétrica y en forma continua. x-y-z = 1. [009] [JUN] Sean los vectores u = (1,-1,), v = (-,,1), w = (,-,5). Calcular: a) u v+w. b) u v-w. c) La ecuación del plano que pasa por el punto P(0,0,1) y es perpendicular al vector u. d) El ángulo que forman u y v. 4. [009] [JUN] a) Estudiar la posición relativa de los planos 1 x-y+z = 0 y x-y-z =. b) Considerar la recta r: origen. x-y-z = 1. Analizar si el punto P(6,,) se halla o no sobre la recta paralela a la anterior que paa por el x-y+z = 5 5. [008] [EXT] Se considera la recta r y los planos 1 y siguientes: r a) Determinar la posición relativa de los dos planos. b) Calcular la distancia de r a. x = - y = 1+ z = 4- ; 1 -x+y-z = 0 +x+y-z = 0 6. [008] [EXT] a) Obtener los valores de y para los cuales el vector de componentes (,,0) tiene módulo y esperpendicular x = - a la recta r y = 1-. z = -1 b) Estudiar si los vectores a = (,1,), b = (0,1,1), c = (0,1,-1) son linealmente independientes. c) Calcular el ángulo que forman dos rectas cuyos vectores directores son b y c respectivamente. 7. [008] [JUN] Considerar la recta r x-1 = y+5-5 = z+ y el plano x+4y+4z = 5. 4 (a) Estudiar la posición relativa de r y. (b) Calcular la ecuación implícita de un plano 1 que es perpendicular a y contiene a r. 8. [008] [JUN] (a) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano x+y+z =. Obtener el punto de corte de la recta con el plano. x = (b) Hallar el punto de la recta r y = - z = 1+ cuya distancia al punto P(1,0,) sea [007] [EXT-A] Dadas las rectas r a) Comprobar que se cortan. b) Hallar el ángulo que forman. x+y+z = 0 y s x = y+4 = z-8: x-z+4 = 0 17 de julio de 015 Página de 5

4 x+y = 7 0. [007] [EXT-B] Se consideran la recta r y el punto P= 1,,. y+z = 4 Calcular la ecuación del plano que es perpendicular a la recta r y contiene al punto P. 1. [007] [JUN-A] Escribir las ecuaciones implícitas de una recta con la dirección del vector 1,-1,0 y que pasa por P', siendo P' el simétrico de P= 0,-,0 respecto al plano : x+y+z = 5.. [007] [JUN-B] Determinar la posición relativa de las siguientes rectas: r 1 : 7x+5y-7z-1 = 0 x+z+11 = 0 ; r : 5x-5y-z-16 = 0 x-y-7 = 0. [006] [EXT-A] Para qué valores del parámetro m la recta x = y+1 = 11-mz es paralela al plano x+y+z = 9? Determinar el punto de intersección de la recta y el plano para m =. 4. [006] [EXT-B] Dados los planos 1 : x-y+z+1 = 0 y : x+y-5z-1 = 0, determinar el ángulo que forman. 5. [006] [JUN-A] Calcular la distancia entre las rectas r y s, donde r: x = +k y = 1-k, s: z = +k x = -1+k y = -1+k. z = 4-k 6. [006] [JUN-B] Son el plano : x+y+z+1 = 0 y la recta r: x-1 - = y = z ortogonales? Justificar la respuesta [005] [EXT-A] Determinar le punto simétrico del (,-8,4) respecto del plano x-y+z = 7. x+y-z = 8. [005] [EXT-B] Sea r la intersección de los dos planos x-y+z = 1 (a) Determinar el plano que contiene a la recta r y pasa por el origen de coordenadas. (b) Escribir la ecuación de la recta perpendicular a y que pasa por el punto (1,0,1). 9. [005] [JUN-A] Escribir la ecuación de la circunferencia con centro (,-1) y cuyo radio es, y luego determinar los puntos de esta circunferencia que equidistan de los ejes. 40. [005] [JUN-B] Sea el plano : x-y+z = 1 y el punto A(5,-5,4). (a) Determinar el punto simétrico de A respecto de. (b) Volumen de la figura del espacio limitado por el plano y los tres planos cartesianos. 41. [004] [EXT-A] La recta x = 1-y = -z corta a los tres planos coordenados en tres puntos. Determinar las coordenadas de estos puntos, la distancia existente entre cada par de ellos e indicar cuál es el que se encuentra en medio de los otros dos. 4. [004] [EXT-B] Sea la recta r que pasa por los puntos (1,,) y (-1,0,). a) Determinar las ecuaciones de los planos y que son perpendiculares a la recta r y que pasan respectivamente por los puntos (4,-,-1) y (,-1,-). b) Calcular la distancia que hay entre ambos planos y. 4. [004] [JUN-A] Sean los puntos A(,,0) y B(-,1,4). Determinar: (a) Ecuación del plano mediatriz del segmento AB. (b) El volumen del tetraedro formado por y losa tres planos coordenados. 17 de julio de 015 Página 4 de 5

5 (c) Ecuación de la recta perpendicular a que pasa por el origen. 44. [004] [JUN-B] Sea el plano de ecuación x-5y+z+ = 0 y sean r y s las rectas de ecuaciones: r: x- = y- = z-4 x+1 ; s: = y = z+. Determinar: (a) Los puntos de intersección del plano con cada una de las dos rectas. (b) El área y el perímetro del triángulo formado por los dos puntos anteriores y el origen de coordenadas. 45. [00] [EXT-A] Sea C una circunferencia cuyo centro es el punto (1,1) y que es tangente a los dos ejes coordenados. a) Escribir su ecuación general. b) Determinar los puntos de C donde la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. 46. [00] [EXT-B] Sea el triángulo de vértices A(4,), B(1,5) y C(6,6). a) Hallar la ecuación de la altura que pasa por el vértice C. b) Calcular la longitud de los dos segmentos en que la altura anterior corta al lado AB. 47. [00] [JUN-A] Sean los puntos A(,) y B(5,). Calcular: a) Ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto B y tiene su centro en A. b) Ecuación de la tangente a esta circunferencia en B. c) Área del triángulo formado por la tangente anterior y los ejes coordenados. 48. [00] [JUN-B] Sea el plano : x-y+4z = 1 y el punto P(,-1,1). a) Hallar la distancia entre el plano y el punto P. b) Hallar la ecuación de un plano paralelo a y distinto del mismo, que también diste de P la misma distancia. c) Calcular el volumen de la figura limitada por el plano y los tres planos coordenados. Soluciones x = 1 9. a) y = z = 6+ b) 8x-y-7z-10 = a) 17x-10y+6z+1 = 0 b) 6º6'44'' 11. a) x-y-z+ = 0 b) (0,-,) 1. a) todos b) 1x-5y-16z = 0; y-z = 0 c) x+y-z = 0; x = 1+ x-y-z = 0 1. a) x-y-z = 0 b) y = c) l.i. 14. (1,0,1); no 15. a) 15x-7y+11z-0 = 0 b) 90º; (0,-,) 16. a) 4x-y-7z+0 = 0 b) a- 1 b+5 c 17. a) x+y+z-1 = 0 z = 1 b) 60º c) (1,-5,-) 18. se cortan; no; a) si b) x = a) x+y+z- = 0 b) si 1. a) 5y-7z-5 = 0 b) l.i.. a) 1,-,7 b) y = 7-5 ; x = y-7-5 = z+4 z = -4+. a) 19 b) (-8,-11,-1) c) x-y+z- = 0 d)95º46'5'' 4. a) se cortan en una recta b) no 5. a) se cortan en una recta b) 6 6. a) 1,-1 ; -1,1 b) si c) 90º 7. (a) paralelos (b) x-z-5 = 0 8. (a) x = k x+y-6 = 0 y = k ; A(1,1,1) (b) (1,,) 9. a) se cortan en P 0,-4,4 b) 8º10'44'' 0. 4x-y+z- = 0 1. z- = 0 z = k. se cruzan. m = x = 1+5-1; 0,-1, º5'4'' 5. se cortan en 0,, 6. si 7. (-1,4,-4) 8. (a) 5x-5y+4z = 0 (b) y = x +y -x+y-4 = 0 ; -1,-1,,, z = ,-, x+y+z+1 = 0; 4 -, ,- 40. (a) (-,7,0) (b) (a) 8x+4y-8z+7 = 0 (b) (c) x = y = z = A(1,-,0), B 1,0,4 46. a) x+y-4 = 0 b) 10, a) x +y -6x-4y+8 = 0 b) y = -x+1 c) , C(0,1,); d(a,b)=, d(b,c)= 14, d(c,a)= 14 ; B 4. x+y+z- = 0; 44. (a) (,,4), (-1,0,-) (b) A= 6 P= a) (x-1) +(y-1) = 1 b) +,- 48. a) b) x-y+4z-4 = 0 c) 6, 17 de julio de 015 Página 5 de 5