B l A T. d A F Q T P S

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1 puntes sobre la ar bola: u eici n seg n rqu ees y otras propieaes Introucci n uchas veces habr n o o que rqu ees fue el precursor el c lculo ate tico, açraci n basaa en que, hacia el a o 240.C., obtuvo la eici n e cualquier segento parab lico. unque este resultao arca un hito funaental en el esarrollo e las ate ticas, la açraci n e que rqu ees fue çel inventorç el c lculo es un tanto teeraria. eg n l iso, este esarrollo suyo seapoya en lo hecho por çlos antiguos griegosç, reçri nose uy posibleente a los esarrollos que conujeron a los libros e Euclies, alreeor e 200 a os.c.. Recoreos, por ejeplo, que en estos libros se presenta el too e exhauci n para la eici n el c rculo. or supuesto, rqu ees viv a en icilia, Italia, lugar en one la cultura griega era bien conocia 1. C o hizo rqu ees para eir el segento parab lico, si no ispon a e coorenaas cartesianas, y por lo tanto tapoco e funciones çpara integrarç?. La respuesta es que l ten a un conociiento profuno e las propieaes e la par bola y, claro, una inteligencia superior. En estas notas nos proponeos estuiar algunas e las propieaes e la par bola, a partir e su eçnici n, y llegar a la reconstrucci n e la eici n e un segento parab lico seg n rqu ees. Usareos las herraientas e las que ispon a rqu ees, es ecir no usareos construcciones basaas en geoetr a anal tica o integrales, sino que usareos esencialente la regla y el cop s. erinareos con otros resultaos interesantes, algunos uy sencillos, otros no tanto, y coparano con las herraientas s çnuevasç coo geoetr a anal tica y c lculo. En el transcurso ireos ejano preguntas y probleas para el lector inquieto, pero è atenci n reolones!è no son ecisivos para la obtenci n e los resultaos principales. Una anera uy interesante e trabajar con este aterial es usar software coo Cabri G o tre, ya que perite over los çobjetos b sicosç estacano las propieaes subyacentes en las çguras geo tricas. No obstante, las çguras que aqu presentaos est n hechas con el software atheatica 2. ero epeceos por el principio ::: 1. La eçnici n cl sica e la par bola y su construcci n Una par bola es un objeto geo trico en el plano, eçnio a partir e un punto llaao foco, al que en este art culo noralente inicareos por, y una recta llaaa irectriz, a la que inicareos coo. ara eçnirla necesitaos las nociones e istancia entre os puntos èen realia poer coparar la istancia entre pares e puntosè, y la istancia e un punto a una recta. Recoreos que la istancia e 1 En realia, fue un solao roano quien asesin a rqu ees cuano los roanos, luego e un largo sitio, toaron iracusa. or otra parte, es posible que rqu ees hubiera sio isc pulo irecto e Euclies. 2 El autor agraece a la Olip aa ate tica rgentina el apoyo brinao, y en particular el uso e las faciliaes e coputaci n para el esarrollo e este art culo.

2 g. 2 puntes sobre la ar bola un punto a una recta es la enor istancia el punto a cualquier punto e la recta, y se obtiene toano la proyecci n perpenicular el punto sobre la recta. hora s : aos el foco y la irectriz, =2, la par bola asociaa es el lugar geo trico e toos los puntos que est n a igual istancia e y. En la igura 1 veos el gr çco e una par bola con foco y irectriz, que e aqu en s inicareos coo è; è. Veos en esa çgura a un punto sobre la par bola y su proyecci n perpenicular, 0, sobre. Heos sobreao con gris oscuro la regi n que llaareos çinteriorç e la par bola, copuesta por los puntos que est n s cerca e que e, y con gris claro su parte çexteriorç, o sea, los puntos que est n s cerca e que e. abi n heos se alao en la igura 1 el eje e la par bola, e, que es la recta por y perpenicular a, y que constituye un eje e sietr a. e igura 1 Una fora e construir un punto sobre la par bola es consierar que el punto a ibujar se encuentra a una istancia r e y. Entonces est en una circunferencia e centro y raio r, y en una recta paralela a a istancia r, por lo tanto en la intersecci n e esa circunferencia y recta. Necesitareos que r no sea enor que la ita e la istancia entre y para que esa intersecci n exista, y habr en general os puntos en la intersecci n, se alaos por y en la igura 2. r r igura 2 2. angentes a la par bola y otra construcci n posible oeos hacer una construcci n un tanto istinta: si es un punto sobre la par bola è; è y 0 es su proyecci n perpenicular sobre, entonces la eiatriz el segento 0 pasa por, pues la eiatriz es el conjunto e puntos que est n a igual istancia e y e 0. ens nolo al rev s, poeos asignar a caa punto 0 sobre un punto sobre la par bola toano la intersecci n e la perpenicular a por 0 y la eiatriz el segento 0 coo se inica en la igura 3. partir e este gr çco parece que la eiatriz es tangente a la par bola por. Claro que para ver esto foralente eber aos tener una eçnici n e tangente a una curva. igura 3 unque no es aecuaa para cualquier curva, ac nos bastar con tener la iea intuitiva e tangente a una curva coo çla recta que interseca la curva y la eja a un laoç. Esta conici n es satisfecha por porque 1è 2 y2èivie al plano en os seiplanos, uno e los cuales contiene a toos los puntos que est n s cerca e 0 que e ècoo el punto en la igura 3è, y entonces toos estos puntos est n en el exterior e la par bola, pues la istancia e estos puntos a es ayor que la istancia a 0 queesasuvez ayor o igual que la istancia a, por lo que ciertaente çeja a la curva aun laoç. s concretaente, por aos ecir que el interior e la par bola est copletaente contenio en uno e los seiplanos eterinaos por, y que salvo el iso punto e tangencia, la tangente est copletaente contenia en el exterior e la par bola.

3 3. ropieaes e la tangente y la noral g. 3 roblea 2.1: Otra fora e eçnir la tangente a una curva es coo çla recta que interseca la curva en un solo puntoç. Ver que es el nico punto e que est en la par bola. ireos ahora a la igura 4, one heos enotao por al punto eio el segento 0 ypor 0 a la proyecci n e sobre. or ser el punto one la eiatriz corta al segento, el ngulo es recto. Claro que pertenece a la recta r paralela a que pasa por el punto eio el segento 0. El siguiente problea es una expresi n e esta iea. veces, en vez e trazar las rectas, se ponen hilos, ètal vez e istintos coloresè con chinches, ano por resultao ibujos atractivos. igura 4 r roblea 2.2: En una esa se pone un tarugo y se çja una regla bien larga. e apoya un cateto e una escuara sobre el tarugo y el v rtice recto sobre laregla. e trazan las rectas aas por el otro cateto e la escuara para varias posiciones e la escuara, resultano una serie e rectas envolventes a una curva. Cu l es esa curva?. èuna envolvente e una failia e rectas es un objeto tal que too punto e ese objeto pertenece a alguna e las rectas e la failia, y esa recta a la que pertenece esprecisaente la tangente al objeto por el puntoè. 3. ropieaes e la tangente y la noral En la igura 5 agregaos el segento. Veos que hay varios ngulos iguales. En efecto, agregano los puntos y para estacar los ngulos, veos que = 0, pues est sobre la eiatriz el segento 0. abi n 0 =, pues son ngulos opuestos por el v rtice, por lo que =. Esto nos a la propiea e reçexi n e la par bola: si arrojaos una pelota èo un rayo e luzè ese hacia, la pelota èo rayoè rebotar coo si la par bola fuera la tangente, y se irigir hacia, es ecir, paralela al eje e la par bola. abi n poeos pensar al rev s: si un rayo e luz o pelota viene paralelaente al eje e la par bola por su interior, entonces rebotar en irecci n al foco. Coo sabeos, esta propiea e reçexi n es usaa para la construcci n e linternas y antenas satelitales. igura 5 roblea 3.1: u pasa si el rayo o pelota viene en irecci n paralela al eje e la par bola pero ese el exterior?. Y si viene ese el exterior hacia el foco? roblea 3.2: Los espejos e las linternas tienen la fora e una par bola rotaas sobre su eje y luego truncaa. Cuano proyectaos el haz e luz sobre una pare, veos que se çconcentraç si nos acercaos a la pare y se çifuneç si nos alejaos. C o puee ser, si los rayos eben reçejarse paralelaente al eje e la par bola, y por lo tanto el haz e luz eber a ser un çcilinroç? La recta noral en el punto e la par bola, enotaa por n en la igura 6, es la recta por perpenicular a la tangente a la par bola por. En esa çgura tabi n heos agregao otros eleentos: el punto, intersecci n e n con el eje e; el punto, proyecci n perpenicular e sobre e; elpunto, intersecci n e la tangente y e; as coo el punto 0, proyecci n e sobre. Veos que es paralelo a 0 èabos son perpeniculares a è, 0 es paralelo a èabos son perpeniculares a è, y es paralelo a 0 0 èabos son perpeniculares a eè, e lo que poeos obtener varios resultaos: n igura 6 e

4 g. 4 puntes sobre la ar bola Resultao 3.3: Con las notaciones anteriores, la longitu e es la çistancia caracter sticaç e la par bola, es ecir, la longitu el segento 0. Deostraci n: asta observar que los tri ngulos y 4 son iguales. 2 Resultao 3.4: Con las notaciones anteriores, el punto eio e es. Deostraci n: es el punto eio el segento, pues es punto eio e 0 è es su eiatrizè, y sieno 0 paralelo a, los tri ngulos 4 0 y 4 son iguales èpor una reçexi n respecto e è. Entonces es base eia el tri ngulo 4, pues es paralelo a, lo que iplica el resultao. 2 roblea 3.5: Deostrar que el cuaril tero 0 es un paralelograo. En particular, 0 y tienen la isa longitu. 4. angente ese un punto exterior Repaseos: ao un punto sobre la par bola è; è, poeos trazar la tangente toano la eiatriz el segento 0 one 0 es la proyecci n perpenicular e sobre. Nos preguntaos ahora c o trazar una tangente a la par bola que pase por cualquier punto ao que no est sobre la par bola. Es claro que el punto ao ebe estar en el exterior, pues la tangente nunca tiene puntos interiores. upongaos que es el punto ao, y que ya heos construio una recta tangente t que toca a la par bola en el punto que tiene proyecci n 0 sobre, coo en la igura 7 aè. Entonces, ao que est en la eiatriz e 0, los segentos y 0 tienen igual longitu, o en otras palabras, 0 est en una circunferencia e centro que pasa por. En realia, esta circunferencia corta a la recta en os puntos, llaaos 0 y 0 en la igura 7 bè. partir e estos puntos sobre es posible construir los puntos y sobre la par bola, coo en la construcci n e la igura 2. Es ecir, cualquier punto exterior a la par bola pertenece exactaente a os tangentes. igura 7 a En realia, tabi n heos eostrao: igura 7 b Resultao 4.1: i y son os puntos e la par bola, cuyas proyecciones sobre son 0 y 0 èrespectivaenteè y las tangentes por y se cortan en, entonces es el circuncentro el tri ngulo roblea 4.2: abeos que la intersecci n e una circunferencia y una recta es o bien os puntos, o uno, o ninguno. or qu açraos que si el punto es exterior a la par bola, la circunferencia e centro que pasa por corta a en os puntos?. Cu les son los puntos para los cuales esa circunferencia corta a en exactaente un punto?. Y en ninguno? roblea 4.3: Encontrar el lugar geo trico e los puntos ese los cuales se ve la par bola a 90 æ. ugerencia: i es intersecci n e las eiatrices e 0 y 0, el ngulo en forao por las eiatrices es igual al ngulo 0 0. e s, un tri ngulo es rect ngulo en si y s lo si 0 0 es i etro e la circunferencia circunscripta. Recorar que para eostrar que un objeto es un lugar geo trico e puntos, hay que eostrar os inclusionesè.

5 5. angente paralela a una recta aa g angente paralela a una recta aa cabaos e ver c o encontrar una recta èla tangenteè ao un punto sobre ella, encontrano la peniente e esa recta èen el caso anterior hab a os posibiliaesè. Otra posibilia es ar la peniente y encontrar el punto: aa una recta l èque no tiene porqu cortar a la par bolaè, encontrar una recta t paralela a l y tangente a la par bola è; è. upongaos que ya heos encontrao t yelpunto e tangencia 2 t, que tiene proyecci n 0 sobre, coo en la igura 8 aè. abeos que t es la eiatriz el segento 0 y por lo tanto la recta l ha e ser perpenicular a este segento, en otras palabras, aos è; è y l poeos encontrar 0 coo la intersecci n e la perpenicular a l que pasa por. Coo ya heos visto, ahora poeos construir la eiatriz t y espu s. roblea 5.1: u pasa si la recta l es perpenicular a? i inicaos con y los puntos e intersecci n e la recta l con la par bola, y con 0 y 0 las corresponientes proyecciones sobre, coo en la igura 8 bè, irano con atenci n observaos que el punto 0 parece ser justaente el punto eio e 0 0. l t l igura 8 a ue esto es as siepre es nuestro pr xio resultao: igura 8 b Resultao 5.2: Con las notaciones anteriores, el punto 0 es el punto eio el segento 0 0. Deostraci n: i trazaos os circunferencias con centros y èrespectivaenteè, que pasan por, ellas son tangentes a. i R es la otra intersecci n e estas circunferencias èuna es è, la potencia el punto 0 respecto a la circunferencia con centro en èver por ejeplo antal ë2ëè, es el proucto e las longitues e los segentos 0 y 0 R e igual al cuarao e la longitu el segento 0 0. Coo esa potencia es igual a la potencia e 0 respecto a la circunferencia con centro en, obteneos que los segentos 0 0 y 0 0 tienen igual longitu. 2 De aqu parece natural plantearse el siguiente: roblea 5.3: Encontrar, con regla y cop s, la intersecci n e una recta l con la par bola è; è. èo sea aos los gr çcos e las rectas l y y el punto, encontrar los puntos y e la igura 8 bèè. ugerencia: Encontrar el punto 0, el punto R si trico e respecto a l que es el otro punto e intersecci n e las circunferencias e la igura 8 bè, y la eia geo trica e los segentos 0 y 0 R para eterinar 0 y El ri ngulo e rqu ees Consiereos ahora los puntos y sobre la par bola, que eterinan la recta l. En este caso las tangentes respectivas, que son las eiatrices e los segentos eterinaos por y las proyecciones corresponientes 0 y 0 se cortan en un punto. El tri ngulo 4, que ostraos sobreao con gris en la igura 9, es particularente interesante, y uchas veces se lo llaa tri ngulo e rqu ees. abeos construir un punto sobre la par bola tal que la tangente corresponiente es paralela a l: 0 es la intersecci n e la perpenicular r a l por, y la perpenicular a por 0, que ya sabeos es la eiatriz e 0 0, contiene al punto. abi n ya sabeos que est en la eiatriz el segento 0 0. s a n: si es el punto eio e, entonces por ser 0, 0 y 0 paralelos, tabi n estar en esta eiatriz. Resuios estos resultaos:

6 g. 6 puntes sobre la ar bola Resultao 6.1: Con las notaciones anteriores, los puntos,, y r est n en la eiatriz e l R l t igura 9 igura 10 En la igura 9, poeos ver que es aproxiaaente el punto eio e. El pr xio resultao ice que esto es siepre as : Resultao 6.2: Con las notaciones anteriores, es el punto eio el segento. Deostraci n: Nos valeos e la igura 10. ll heos construio el punto, intersecci n e las tangentes por y por èa la que llaaos tè. abi n heos construio el punto 0, pie e la perpenicular a por. Coo sabeos, t es paralela a l, y 0 es el punto eio el segento 0 0. s a n, coo los segentos 0, 0 y 0 son paralelos, por ales sabeos que es el punto eio el segento èa n en el caso extreo en que = 0. Otra vez por ales, ahora irano al tri ngulo 4, poeos ver que es el punto eio el segento. 2 abi n en el transcurso e la eostraci n heos visto: Resultao 6.3: Con las notaciones anteriores el punto, intersecci n e las tangentes por ypor, es punto eio el segento. uesto que hay tantos puntos eios ano vueltas, poeos relacionar las reas e varios e los tri ngulos que aparecen, en particular nos interesa: Resultao 6.4: Con las isas notaciones, si y son las intersecciones e la tangente por con las tangentes por y respectivaente, entonces aè çareaè4 è= 1 2 çareaè4è. bè çareaè4 è+çareaè4è = 1 2 çareaè4 è= 1 4 çareaè4è. Deostraci n: Ilustraos con la igura 11. ieno paralelo a, y el punto eio e, too tri ngulo con çbaseç y tercer v rtice en tiene rea igual a la ita el rea e 4, en particular vale aè. ara bè, observaos que iè çareaè4 è=çareaè4 è+çareaè4 è: iiè es eiana e 4, e oo que çareaè4 è=çareaè4 è= 1 2 çareaè4rè: iiiè es eiana e 4, e oo que çareaè4 è= 1 çareaè4 è: 2 iv è De iiè y iiiè obteneos çareaè4 è= 1 4 çareaè4è: igura 11 vè n logaente, çareaè4è = 1 4 çareaè4è. viè De iè, ivè y vè obteneos bè. 2

7 7. La eici n el segento parab lico seg n rqu ees g La eici n el segento parab lico seg n rqu ees iguieno con las isas notaciones, aos los puntos y en la par bola è; è, elsegento parab lico entre y es el conjunto e puntos en el interior e la par bola liitaos por el segento, coo se inica con gris oscuro en la igura 12. En esa isa çgura, heos arcao con gris claro el tri ngulo e rqu ees 4, al que ya conoceos. El resultao e rqu ees es: Resultao 7.1 èeorea e rqu eesè: El rea el segento parab lico entre y es exactaente las os terceras partes el rea el tri ngulo 4. La iea e la eostraci n es aproxiar lo ejor posible el rea el segento parab lico por tri ngulos que lo vayan encerrano. or ejeplo, el lector por ver el siguiente igura 12 roblea 7.2: Deostrar que, con las notaciones e la igura 11, el tri ngulo 4 es el tri ngulo e enor rea que tiene base y contiene al segento parab lico entre y. De oo siilar, el tri ngulo 4 es el que tiene ayor rea entre los tri ngulos con base que est n contenios en el segento parab lico entre y. Deostraci n el eorea e rqu ees è7.1è: Nos ayuaos con la igura 13, one esta vez no incluios la par bola para poer istinguir los puntos en la çgura. i s es el rea el segento parab lico, por inclusiones es claro que çareaè4 è ç s ç 2çareaè4 è i quitaos el tri ngulo 4 el segento parab lico, nos quean os nuevos segentos parab licos: entre y, y entre y, y repetios el arguento con estos nuevos segentos parab licos. ara ello a aios los puntos U y V, que son los puntos e la par bola para los que las tangentes son paralelas, respectivaente, a los segentos y. Obteneos U igura 13 çareaè4 è+çareaè4u è+çareaè4v è ç s ç çareaè4 è+çareaè4 è+çareaè4 è expresi n que poeos sipliçcar, usano el resultao anterior, puesto que V y çareaè4u è+çareaè4v è = 1 2 èçareaè4 è+çareaè4 èè = 1 4 çareaè4 è çareaè4 è+çareaè4 è= 1 çareaè4 2 è Entonces è1 + 1 èçareaè4 4 è ç s ç è1 + 1 èçareaè4 2 è Continuano con este proceso n veces, llegareos a algo coo hora è æææ+ 1 4 nèçareaè4 è ç s ç è æææ+ 1 4 n, æææ+ 1 1, 1 4 = 4 n+1 n 1, 1 4 = 4 3 ç1, 1 4 n+1 ç 2 nèçareaè4 è

8 g. 8 y æææ+ 1 4 n, n = æææ+ 1 puntes sobre la ar bola ç ç1, n 4 = 4 1 n 3 4 n n Es claro que a eia que n crece, el rea buscaa s quea eterinaa por el valor s = 4 3 çareaè4 è= 2 3 çareaè4è 2 8. Otras propieaes el tri ngulo e rqu ees iguieno con las notaciones anteriores, el tri ngulo e rqu ees, 4 en la igura 14, tiene otras propieaes interesantes. or ejeplo, los ngulos y coincien. Veaos esto: por ser la recta por y eiatriz e 0, el copleentario e es 0 = 0. or otra parte, coo 0 es perpenicular a, tabi n 0 0 es copleentario e 0,yporlotanto = 0 0 pues tienen igual copleento. Ya sabeos que es el circuncentro e 4 0 0, por lo que e la relaci n ngulo inscripto y central, 0 = ieno la recta por y eiatriz e 0, resulta = 0 = 0 0, por lo que = 0 0 =. roblea 8.1: Ver que los tri ngulos 4 y 4 e la igura 14 son seejantes. En particular, biseca al ngulo. Claro que si C es otro punto e la par bola y es el punto e intersecci n e las tangentes por y C, tenreos = C èver igura 15è. i ahora R es el punto e intersecci n e las tangentes por y C, tenreos R = = = = C = R Entonces, el cuaril tero R se puee inscribir en una circunferencia, coo se inica en la çgura, es ecir obteneos: Resultao 8.2: La circunferencia circunscripta al tri ngulo 4R, forao por la intersecci n e tres tangentes a la par bola, contiene al foco elapar bola. igura 14 igura 15 R C 9. s sobre rectas secantes a la par bola Ya heos visto c o construir una tangente con peniente aa, y heos visto que la noral y la perpenicular al eje eterinan sobre el eje la çistancia caracter sticaç. oeos ahora os puntos sobre la par bola, la recta que pasa por ellos y la eiatriz el segento que los une. ensano que cuano abos puntos coincien la recta se convierte en tangente y la eiatriz en noral, es natural el siguiente resultao:

9 10. Un poco e geoetr a anal tica y c lculo g. 9 Resultao 9.1: ean y os puntos sobre la par bola, y respectivaente eiatriz y punto eio e. ea la intersecci n e con el eje e, y sea la proyecci n e sobre e. Entonces la istancia entre y es la istancia caracter stica elapar bola. Deostraci n: Ilustraos con la igura 16. ea el punto e la par bola cuya tangente es paralela a, R la intersecci n e la noral por con e, la proyecci n e sobre e. Entonces, coo sabeos, R = 0 = çistancia caracter sticaç. El tri ngulo 4 es igual a 4R, pues y est n sobre una paralela a e, y R es paralelo a èson perpeniculares a la recta por y y a la tangente por è. or lo tanto, los segentos, R y 0 tienen igual longitu. 2 R e Ya sabeos que si os rectas secantes son paralelas, los puntos eios e las cueras est n sobre una isa perpenicular a la irectriz. El resultao anterior nos ice qu pasa cuano los puntos eios e las cueras est n sobre una isa perpenicular al eje: igura 16 Resultao 9.2: ean,, C y D cuatro puntos sobre lapar bola, y n eiatrices e y CD, y N sus puntos eios, respectivaente. i y N est n sobre una isa perpenicular al eje e, entonces y n cortan a e en un iso punto èver igura 17è. Deostraci n: Es ineiata a partir el resultao anterior. 2 El lector por preguntarse c o hacer para ibujar la igura 17. La respuesta est en el pr xio problea y en que, por un problea anterior, ya sabeos construir la intersecci n e una recta y una par bola. roblea 9.3: ean y os puntos sobre la par bola, eiatriz e y su punto eio. ea la intersecci n e con el eje e yseanun punto sobre laperpenicular a e por que est en el interior e la par bola. Entonces N es punto eio e CD, one C y D est n sobre lapar bola y la eiatriz e CD contiene al segento N. ugerencia: razar la recta perpenicular a N por N. Esta recta corta a la par bola en C y D. i es el punto eio e CD,ver que = N usano el resultao anterior. 10. Un poco e geoetr a anal tica y c lculo D N igura 17 i bien estaos jugano a que no vaos a usar coorenaas ni c lculo, es interesante ver ese este punto e vista las construcciones que estaos realizano. abeos que si isponeos e ejes cartesianos, y la irectriz es paralela al eje e las x's, entonces la par bola puee escribirse con la ecuaci n y = f èxè =ax 2 + bx + c, para constantes a, b y c aecuaas, a 6= 0. or ejeplo, si los puntos =èx ;y è y =èx ;y è est n sobre la par bola, entonces el punto eio entre y, que heos llaao en la igura 10, tiene por coorenaas =èx ;y è one C n e x x + x = ; 2 y = y + y 2 = 1 2 aèx2 + x2 è+ 1 2 èx +x è+c s a n, si usaos c lculo, sabeos que la recta tangente a la par bola en el punto èx; yè tiene peniente aa por la erivaa, y 0 = f 0 èxè =2ax + b. or ejeplo, las tangentes por los puntos y

10 g. 10 puntes sobre la ar bola tienen ecuaciones: t : y, y =è2ax + bèèx,x è t :y,y =è2ax + bèèx,x è y se cortan en el punto =èx ;y è. ara encontrar estas nuevas coorenaas poeos, por ejeplo, espejar prieraente y, obtenieno è2ax èèx,x è+ax 2 + bx + c =è2ax èèx,x è+ax 2 + bx + c e one resulta, con un poco e lgebra, que x =èx +x è=2, es ecir, x = x, coo ya vios. abi n el punto e la igura 10 es el previsto por el eorea e Rolle: aos x y x, existe ç entre x y x tal que lo que aqu se trauce en que existe ç tal que f 0 èçè = fèx è,fèx è x,x f 0 èçè =2aç + b = aèx2, x2 è+bèx,x è x,x =aèx +x è+b Despejano, resulta ç =èx +x è=2. eg n nuestras notaciones, ç es la coorenaa x e,yse euce que, y tienen toos la isa coorenaa x. roblea 10.1: En base a las ecuaciones anteriores, eostrar que es el punto eio e y. roblea 10.2: in usar c lculo, encontrar la peniente e la recta tangente èes ecir la erivaaè en t rinos e los coeçcientes a, b y c, usano que la tangente a la par bola en un punto es una eiatriz. 11. Construcci n e la par bola a partir e otros eleentos igaos con el uso e coorenaas, con la irectriz paralela al eje e las x's. i conoceos tres puntos sobre la par bola, poeos encontrar su ecuaci n y eterinarla copletaente èen general, para un polinoio e grao n necesitaos n +1 puntosè. enr aos tres ecuaciones que foran un sistea lineal èe Van er oneè y tres inc gnitas, a, b y c. Estar aos tentaos a ecir que la par bola tiene çtres graos e libertaç: los coeçcientes a, b y c. ero nos estar aos olviano que teneos otro ato: es paralela al eje e las x's, es ecir teneos ae s la peniente e. s bien ebeos pensar que teneos çcuatro graos e libertaç: para necesitaos os coorenaas, y para necesitaos tabi n os, por ejeplo su peniente y la intersecci n con el eje e las y's èhay que tener en cuenta el caso en que es paralela al eje y, pero ::: è. or supuesto que esto e los çgraos e libertaç es un tanto abiguo, pues para los tres puntos e la par bola necesitaos ya seis atos, os coorenaas por punto. in ebargo, siguieno con la iea e çcuatro graos e libertaç, ebeos pensar que conocer un punto e la par bola es un grao, as coo conocer la tangente en un punto, y as coo conocer la peniente e, o que pasa por cierto punto. En particular, aos 4 puntos e la par bola poeos reconstruirla, es ecir, encontrar el foco y irectriz èresultao ebio a Newton, ver por ejeplo D rrie ë1ëè. En este sentio, la par bola es a n s sencilla que un cuaril tero: con 4 puntos no alcanzaos a eterinar el cuaril tero que lo contiene, salvo que sepaos que son los v rtices o que tienen alguna otra particularia. abi n poeos relacionar con otras c nicas: para una circunferencia necesitaos 3 graos e liberta: el centro èequivalente al foco en la par bola: os graosè y el raio èotro graoè, pero tabi n poeos obtener la circunferencia a partir e 3 puntos sobre ella. En general, para una c nica necesitaos 5 atos èo graos e libertaè, resultao asociao a los nobres e ascal, rianchon y Desargues y a la geoetr a proyectiva. s, aos 5 puntos sobre una c nica poeos eterinarla copletaente, pero si sabeos que es una par bola bastan 4 y si sabeos que es una circunferencia bastan 3. Nuestro prop sito en esta secci n es presentar algunos e estos probleas, basaos en la iea e los çcuatro atosç, ejano algunas inicaciones para el lector ipaciente. or otra parte, el lector inquieto seguraente pensar en otras alternativas.

11 Referencias g. 11 roblea 11.1: Construir con reglaycop s el foco aos la irectriz y os puntos sobre lapar bola. Nota: en general hay os soluciones. ugerencia: trazar los pies y circunferencias. roblea 11.2: Construir con reglaycop s la irectriz aos el foco y os puntos sobre lapar bola. Nota: hay os soluciones. ugerencia: c o se traza una tangente exterior a os circunferencias? roblea 11.3: Construir con reglaycop s la irectriz aos el foco y os rectas tangentes. Nota: no se an los puntos e tangencia. ugerencia: Encontrar si tricos e respecto a las rectas aas. roblea 11.4: Construir con regla y cop s la irectriz aos el foco, un punto sobre lapar bola y su tangente. Repetir para elcaso en que la tangente no pasa por el punto ao. Nota: En el prier caso hay una soluci n, en el otro, os. ugerencia: aè trazar el si trico e respecto e la tangente, bè c o se traza la tangente a una circunferencia que pasa por un punto? roblea 11.5: Construir con regla y cop s la irectriz aos el foco, el eje y un punto sobre la par bola. Nota: Observar que en este caso el foco y el eje an s lo ços graos e libertaç. ugerencia: razar una circunferencia con centro y raio èel punto ao sobre la par bolaè, cortano al eje en os puntos. roblea 11.6: Construir con regla y cop s la irectriz y el foco aos os puntos e la par bola y sus respectivas tangentes. ugerencia: Usar probleas anteriores y que es punto eio e las intersecciones e la tangenteyla noral por un punto e la par bola con el eje ètrazar rectas e çpuntos eiosçè. roblea 11.7: Construir con reglaycop s la irectriz y el foco aos os puntos sobre lapar bola y el eje. Nota: Los puntos no eben ser si tricos uno el otro respecto el eje. ugerencia: Consierar el punto eio entre y, los puntos e la par bola. Las intersecciones e la eiatriz por y la perpenicular al eje por eterinan el çistancia caracter sticaç e la par bola. Con este par etro y una perpenicular al eje por se pueen construir la tangente y la noral por, y se reuce a un problea anterior. roblea 11.8: Construir con reglaycop s el foco ylairectriz e la par bola, aas cuatro rectas tangentes. Nota: Observar que no se an los puntos e tangencia, s lo las rectas. ugerencia: Usar que tri ngulos foraos por la intersecci n e tangentes tienen circunferencias circunscriptas que pasan por. Referencias ë1ë H. D rrie: 100 Great robles of Eleentary atheatics. heir History an olution. Dover, ë2ë L.. antal : La Geoetr a en la Ense anza e los rofesores. Eitorial Re Ol pica, 1993.

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