T.P.N 4: Vectores en el plano

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1 T.P.N 4: Vectores en el plano Matemática - Tercer Año Piensa que, por casualidad, te encuentras sentado junto a un físico durante una larga travesía en micro. Supón además que el físico tiene ganas de charlar y que te cuenta algunas de las cosas que hace en su trabajo. Para explicártelas quizás tu compañero se pondría a realizar unos bosquejos en papel. A los físicos les encanta usar dibujos para explicar ideas. Einstein era famoso por esa costumbre. Quizás verías que el dibujo tiene algunas flechas. Estas flechas representarían tal vez la magnitud (cuánto) y la dirección (hacia dónde) de alguna cantidad. La cantidad podría ser la corriente eléctrica necesaria para poner en marcha un minicomputador, la velocidad orbital de un satélite de telecomunicaciones o la enorme fuerza que se requiere para que se eleve un cohete. Cuando la longitud de una flecha representa la magnitud de alguna cantidad y la dirección de la flecha representa la dirección de dicha cantidad, la flecha representa un vector. En la figura que sigue, se muestra un caballo tirando de un carro y a un hombre que empuja el carro desde atrás. El diagrama muestra los vectores que representan estas dos fuerzas que se ejercen sobre el carro. El hombre empuja con una fuerza de 00 N y el caballo tira con una fuerza de 200 N. Como las fuerzas se ejercen en la misma dirección, la fuerza resultante es igual a la suma de ambas y actúa en la misma dirección. Esta fuerza total se llama resultante de ambas fuerzas. En el esquema de la derecha, en cambio, la resultante es igual a la diferencia de sus magnitudes, o sea, 200 N 00 N = 00 N, y se ejerce en la dirección de la fuerza mayor. La rapidez es una medida de qué tan aprisa se mueve un objeto; puede tener cualquier dirección. Cuando tomamos en cuenta la dirección de movimiento además de la rapidez, estamos hablando de la velocidad. La velocidad, al igual que la fuerza, es una cantidad vectorial. Considera un avión que vuela hacia el norte a 00 km/h respecto al aire que lo rodea. El viento sopla hacia el norte con una velocidad de 20 km/h. Representamos este ejemplo por medio de vectores en la figura utilizando una escala en la que cm representa 20 km/h. Así, la velocidad de 00 km/h del avión queda representada por un vector de 5 cm de longitud y la velocidad de 20 km/h del viento por un vector de cm de longitud. La velocidad resultante Magnitud Fuerza Fórmula Unidad (Sistema internacional de unidades) F ma 2 N kg m s

2 será de 20 km/h. Si no soplara el viento, el avión recorrería en una hora 00 km respecto de la Tierra. Con el viento, recorrerá 20 km en una hora. En cambio, si el viento sopla hacia el sur de tal modo que el avión vuela contra el viento y no con él, los vectores velocidad son ahora opuestos. Su resultante es 00 km/h 20 km/h = 80 km/h. Volando contra un viento de 20 km/h el avión recorrería sólo 80 km respecto a la Tierra en una hora. Un vector, v, es un segmento orientado que consta de los siguientes elementos: Módulo, norma o intensidad, v, que representa la medida del vector y se expresa mediante un valor numérico con su correspondiente unidad. Dirección, es la recta sobre la que se apoya el vector. Sentido, indicado por una flecha entre los dos posibles. Origen o punto de aplicación, que es el punto donde comienza el vector. ) Dados los puntos A(2; ) y B(5;) gráficamente y calcular AB. hallar el vector AB con origen en el (0;0). Representar 2) Dadas las fuerzas coplanares F (2; ) y F2 (4;2) con origen en el (0;0) calcular analítica y gráficamente la fuerza resultante. ) Hallar el vector suma en cada uno de los siguientes casos por la Regla del Paralelogramo y por el Método de la Poligonal. 2

3 4) Dados los vectores a ; 2, b ;2 y c 0; 5, calcular m y n de modo que: c ma nb. 5 5 Rta: m, n 4 4 5) Sean los vectores v (6;2) y los puntos A( 6, 2) y B (2;4). Determinar el ángulo entre los vectores v y w. Rta: 5 6) Hallar x para que el vector w = (x; 6) sea perpendicular a v = ( 2; ). Representar gráficamente. 7) Se sabe que el ángulo determinado por los vectores a y b es 20. Si a = (m; 2) y b = (; 4), hallar m. 8) Calcular x, de modo que el producto escalar de ( ; 5) a y x;2 b sea igual a 7. Rta: 7 x

4 9) Dado el vector u 5; k a) u sea ortogonal a 4; 2 v. b) La norma de u sea igual a 4. calcular k de modo que: Matemática - Tercer Año 0) Hallar las coordenadas de un vector v x; y, ortogonal a u ;4 que u. Rta: Rta: a ) k 0, b) k y que mida el doble v 8;6. (El problema tiene dos posibles soluciones tales que v v2 ). ) La fuerza F (peso de un cuerpo) se encuentra aplicada como indica cada una de las figuras. Determinar las tensiones de los hilos que sostienen el cuerpo. 50 Rta: T T2 ; T 28,27, T2,65; T 60, T2 60 2) Dados a 2; y 6;2 b, hallar un vector v tal que v a v b. ) Hallar el ángulo que forman los siguientes pares de vectores: a) m 4;6, n ; 2 m ;6, n ; 2 b) 4) Calcular x para que los vectores (7; ) a y b ; x formen un ángulo de 45. Rta: v ; Rta: a) 90, b) 80. Rta: x 4, x 2 4 5) Cuál es la velocidad resultante de un avión que vuela a 80 km/h con un viento cruzado que sopla a 60 km/h respecto a la Tierra? Graficar. 4

5 Rta: 6) La velocidad de un móvil, cuyo módulo vale 72ms, forma un ángulo 0 con el eje x. Calcular sus componentes cartesianas. Rta: 6ms ;62,4ms 7) Un peso cuelga de dos cuerdas sujetas a dos postes verticales tal como se ve en la figura. Las cuerdas forman con los postes ángulos de 60 y 45 respectivamente. a) Sabiendo que T = 58 N, calcular T. 2 b) Si la distancia entre los postes es de 0 m y una cuerda está 2 m más alta que la otra, calcular las longitudes de las cuerdas. Rta: a) T 2 = 49,27 N, b) L =,8 m y L 2 = 8,79 m. 5

6 8) Un peso de 500 N está soportado por dos cables de acero, según muestra la figura. Determinar las fuerzas que realizan los cables para equilibrar el sistema. 6

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