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1 E.E.I. CÁLCULO II Y ECUACIONE IFEENCIALE Curso Lección 13 (Lunes 13 mar 2017) Teorema de la ivergencia (o de Gauss) y la Ecuación de ifusión. 1. Teorema de la ivergencia (o Teorema de Gauss). 2. Consecuencias y significado físico del teorema de la divergencia. 3. emostración del Teorema de la ivergencia. 4. El teorema de la divergencia y la Ecuación de ifusión. 5. Ejercicios. 1. Teorema de la ivergencia (o Teorema de Gauss). La divergencia de un campo vectorial en el espacio se puede definir de una forma totalmente análoga a la divergencia de un campo vectorial en el plano, pero utilizando el operador nabla de tres dimensiones, = así que si F = (M, N, P ) entonces su divergencia es: ( x, y, ), div F = F = M x + N y +. El principal interés de esta cantidad es el hecho de que cumple un teorema que es la versión en el espacio del teorema de Green para flujo y es conocido como Teorema de Gauss o Teorema de la divergencia: Teorema 1 (Teorema de la divergencia o de Gauss) i es una región del espacio en la que está definido y es diferenciable un campo vectorial F, entonces el flujo de F a través de la superficie cerrada = que es la frontera de, orientada mediante el vector unitario que apunta hacia afuera de, es igual a la integral triple sobre de la divergencia de F: F d = div FdV. Veremos en la siguiente sección un ejemplo de aplicación de este teorema. 2. Consecuencias y significado físico del teorema de la divergencia. Consideremos de nuevo el ejmplo del flujo del campo F(x, y, z) = (0, 0, z) a través de la superficie de la esfera de centro en el origen y radio a. i aplicamos el teorema de Gauss, podemos calcular el flujo de este campo a través de esta esfera integrando sobre el volumen de la esfera la cantidad div F = 0 x + 0 y + = = 1, O sea, Flujo = 1dV = dv = Vol. de la esfera. Así pues, no fué casualidad que el flujo en este ejemplo fuese igual a 4 3 πa3, que es la fórmula del volumen de la esfera. 1

2 Lección 13 Teorema de la ivergencia (o de Gauss) y la Ecuación de ifusión. Curso Podemos decir más; según el teorema de Gauss: i F es un campo con divergencia igual a 1 (como, por ejemplo (x, 0, 0), (x, y, z) o (4, 0, z)) entonces para cualquier región, del espacio, el volumen de es igual al flujo de F a través de la superficie frontera de. El teorema de Gauss nos da también la interpretación física de la divergencia ya que según dicho teorema: La divergencia de un campo mide en cada punto la cantidad de flujo por unidad de volumen que atravesaría una pequeña superficie cerrada que englobase a ese punto. En otra palabras, la divergencia de un campo vectorial en el espacio puede definirse de la siguiente forma, que, por el teorema de la divergencia, es equivalente a la dada más arriba: ( ) F d div F (P ) = lím ɛ 0 Vol ( ɛ (P ) ) donde ɛ (P ) es una región que contiene una esfera centrada en P y que está contenida en una esfera de radio ɛ, y = ɛ (P ) es la frontera de ɛ (P ). 3. emostración del Teorema de la ivergencia. En la sección anterior vimos el enunciado del Teorema de la divergencia, también llamado Teorema de Gauss porque es la base de la llamada Ley de Gauss que tiene importantes aplicaciones en electrostática: i es una región del espacio en la que está definido y es diferenciable un campo vectorial F, entonces el flujo de F a través de la superficie cerrada = que es la frontera de, orientada mediante el vector unitario que apunta hacia afuera de, es igual a la integral triple sobre de la divergencia de F: F d = div FdV. Vamos a ver a continuación cómo se puede demostrar este teorema. e forma análoga a la demostración del teorema de Green, usaremos dos simplificaciones similares a las que allí usamos: Primera implificación: Basta demostrar el teorema para un campo que sólo tenga una componente, por ejemplo F = (0, 0, P ), ya que si se demuestra el teorema en este caso, es decir: (0, 0, P ) d = dv, entonces, de igual forma se podrán demostrar los casos: M (M, 0, 0) d = x dv y y sumando los tres resultados tendremos: (M, N, P ) d = que es el teorema en el caso general. (0, N, 0) d = ( M x + N y + ) dv, N y dv. egunda implificación: Vamos a demostrar el teorema en el caso de que la región sea verticalmente simple (o simple en la dirección del eje z, lo cual significa que es la región del espacio que está sobre una región del plano xy y comprendida entre las gráficas de dos funciones z min (x, y) y z max (x, y) definidas en los puntos (x, y) y tales que z min (x, y) z max (x, y)). Luego veremos cómo ésto es suficiente para deducir el caso general. 2

3 Lección 13 Teorema de la ivergencia (o de Gauss) y la Ecuación de ifusión. Curso Así que nos proponemos demostrar (0, 0, P ) d = dv, (1) suponiendo que la región es verticalmente simple sobre y comprendida entre las gráficas de las funciones z min (x, y) y z max (x, y). Bajo estas hipótesis, la integral triple en el miembro de la derecha de (1) se reduce a: dv = = zmax(x,y) (x, y, z)dz dxdy z min(x,y) ( P ( x, y, z max (x, y) ) P ( x, y, z min (x, y) )) dxdy, Por otro lado tenemos la integral de flujo del miembro de la izquierda de (1). En esta integral, la superficie, que es la frontera de, consiste en tres partes: La tapa superior que es la gráfica de la función z max (x, y), la tapa inferior que es la gráfica de la función z min (x, y) y la superficie lateral, que es vertical y en la cual el vector normal es perpendicular al eje z y por tanto al campo (0, 0, P ). El flujo a través de es la suma de los flujos a través de estas tres partes. Evidentemente, el flujo a través de la parte lateral es cero porque en ella el campo es tangente a la superficie. En consecuencia el flujo total es igual a la suma: (0, 0, P ) d = (0, 0, P ) d + (0, 0, P ) d tapa sup. tapa inf. Veamos ahora cómo es el elemento de superficie en cada uno de esos dos sumandos. Por un lado, en la tapa superior, definida por la ecuación z = z max (x, y), el vector normal que apunta hacia afuera de es N = ( max x, max y, 1), por tanto en esa parte tenemos: d = Ndxdy y (0, 0, P ) d = (0, 0, P ) Ndxdy = P dxdy (0, 0, P ) d = P ( x, y, z max (x, y) ) dxdy. tapa sup. Por otra parte, en la tapa inferior, definida por la ecuación z = z min (x, y), el vector normal que apunta hacia afuera de es N = ( min x, min y, 1), por tanto en esa parte tenemos: d = Ndxdy y (0, 0, P ) d = (0, 0, P ) Ndxdy = P dxdy (0, 0, P ) d = P ( x, y, z min (x, y) ) dxdy tapa inf. con lo cual queda demostrado el teorema en este caso. 4. El teorema de la divergencia y la Ecuación de ifusión. Una de las importantes consecuencias del teorema de la divergencia es la ecuación que gobierna la difusión de un gas dentro de otro, la difusión del humo en el aire tranquilo, la difusión de una gota de tinta en el agua inmóvil e incluso la difusión del calor en un medio homogéneo e isótropo que tiene una conductividad térmica dada. La ecuación de difusión, o ecuación del calor, es una ecuación diferencial de la forma: u ( 2 t = k div u = k u x u y u ) 2 donde k es una constante de proporcionalidad dada y u(x, y, z, t), la incógnita, es una función de las tres coordenadas espaciales x, y, z y del tiempo, t, y representa la concentración de una sustancia que se difunde en un medio; es decir, u(x, y, z, t) nos daría la concentración que hay en el punto de coordenadas (x, y, z) (2) 3

4 Lección 13 Teorema de la ivergencia (o de Gauss) y la Ecuación de ifusión. Curso en el instante t. Por ejemplo, en el caso de la gota de tinta o del humo, u sería la densidad de tinta o de humo medida como número de partículas por unidad de volumen. Esto significa que la cantidad total de sustancia contenida dentro de una región del espacio en un instante dado está dada por la integral triple: ( ) dentro de = u dv. (3) Para deducir la ecuación de difusión, vamos a considerar el campo vectorial F, asociado con la concentración u, y que representa la velocidad de las partículas en cada punto del espacio en un instante dado, de forma que el flujo de F a través de una superficie será igual a la cantidad total de sustancia que atraviesa la superficie por unidad de tiempo: Cantidad de sustancia Flujo = F d = que atraviesa la sup.. (4) por unidad de tiempo upongamos ahora que es una superficie cerrada que delimita una región del espacio. Entonces, el Teorema de la ivergencia, combinado con (4), implica que: Cantidad de sustancia que sale de por unidad de = F d = div F dv. (5) tiempo a través de la sup. A partir de las ecuaciones (3) y (5) es inmediato deducir la ecuación de difusión, (2), basándonos en la ecuación (6), que relaciona el campo F con la concentración u. icha ecuación se deduce de un análisis físico de la situación, que nos lleva a concluir que bajo las condiciones adecuadas la difusión se produce al moverse las partículas de sustancia de donde hay más a donde hay menos, es decir, que la dirección del movimiento de una partícula dada en un instante dado es igual y opuesta al valor que el gradiente de la concentración tiene en ese instante en el punto posición de la partícula. En consecuencia, al menos en un primer orden de aproximación, es razonable suponer que la velocidad de las partículas (campo F) es proporcional y opuesta al gradiente u, lo que simbólicamente se expresa mediante la siguiente ecuación: F = k u, (6) donde k es una constante de proporcionalidad positiva llamada la constante de difusión. Ahora bien, si la cantidad total de sustancia se conserva en el tiempo, es decir, si no hay aporte nuevo de sustancia ni desaparición de la misma, entonces hay una relación entre la velocidad con que cambia la cantidad total de sustancia dentro de y la cantidad de sustancia que entra o sale de, a través de la superficie, por unidad de tiempo. Esta relación se expresa mediante la ecuación Cantidad de sustancia que Velocidad de aumento de entra en por unidad de = la cantidad total de sustancia dentro de = d ( ) dentro de, (7) dt tiempo a través de la sup. así que tenemos: Cantidad de sustancia que div F dv = sale de por unidad de (Por la ec. (5)) tiempo a través de la sup. = d ( ) dentro de (Por la ec. (7)) dt = d u dv. (Por la ec. (3)) dt = u t dv. (La variable t es indep. de x, y, z.) e esta ecuación se deduce que los valores medios de las funciones div F y u t en cualquier región del espacio son iguales. Ahora bien, si la región ɛ es una esfera con centro en un punto P y radio ɛ, el 4

5 Lección 13 Teorema de la ivergencia (o de Gauss) y la Ecuación de ifusión. Curso límite cuando ɛ tiende a cero del valor medio en ɛ de cualquier función continua es igual al valor de la función en el punto P. En consecuencia, las funciones div F y u t son iguales en cada punto del espacio y por tanto obtenemos la ecuación de difusión: 5. Ejercicios. u ( 2 t = div F = div ( k u) = k div u = k u x u y u ) emuestra que el volumen V de una región del espacio encerrada por la superficie orientada = con vector unitario normal ˆn cumple la identidad, V = 1 r d, 3 donde r es el vector posición del punto (x, y, z) de. olución: La clave es: div r = 3 2. Calcula el flujo del ejercicio 1 de la lección anterior usando el teorema de la divergencia de la siguiente forma: Considera la región del espacio delimitada por nuestra superficie,, los planos z = 0, z = 4 y los planos x = 1, y = 0. El flujo hacia afuera de a través de nuestra superficie es igual a la integral triple, sobre este volumen, de la divergencia de F, menos los flujos hacia afuera de a través de las caras planas de dicha región. Así pues: a) Calcula div FdV. b) Calcula el flujo hacia afuera de de F a través de la cara que está en el plano z = 0. c) Calcula el flujo hacia afuera de de F a través de la cara que está en el plano z = 4. d) Calcula el flujo hacia afuera de de F a través de la cara que está en el plano x = 1. e) Calcula el flujo hacia afuera de de F a través de la cara que está en el plano y = 0. f ) Halla el balance de los flujos anteriores y halla el flujo hacia afuera de (esto es, hacia adentro del cilindro) de F a través de. olución: a) 16. b) 0. c) 16. d) 4. e) 2. f )

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