Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2010

Transcripción

1 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 SÈRIE 1 Pregunta lim = 3. Per tant, y = 3 és asímptota horitzontal de f lim =. Per tant, = - és asímptota horitzontal de f. + En ser creient en tot el seu domini i correspondre = - a una asímptota vertical, lim =+ i lim + + =, La gràfica de la funció és: + Pregunta lim f() = b ; 0 cal que sigui b =. lim f() 0 e = + =. Si la funció ha de ser contínua en = 0, Per a valors positius de tenim f'() = e, que és estrictament negativ Per tant, f és decreient per a tots els valors positius de.

2 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina de 10 Pregunta 3 Cada llapis A costa 50. Per tant, cada llapis B costa = 45, i cada 100 llapis C costa = 30. Si anomenem al nombre de llapis de tipus A 100 que han venut, y al nombre de llapis de tipus B i z al nombre de llapis de tipus C, les dades del problema es tradueien algebraicament com: + y+ z = 5 + y+ z = y + 30z = o bé, y + 30z = Dividint per 5 la = (y+ z) y z = 0 segona equació i resolent pel mètode de Gauss tindrem: y + z = y + 4z = z = 5 d on obtenim z = 5, y = 50, = 150. Per tant, la botiga ha venut 150 llapis de tipus A, 50 de tipus B i 5 de tipus C. Pregunta 4 La funció cost mitjà serà, per tant, 5 0 Q(5) = = 8,5 ; Q(0) = = q 0 Q(q) q = + +. Per tant, q 0 3 q 1000 Q'(q) = =. Aquesta derivada s anul la quan q = q 50q Si q < 10, Q és negativ Si q > 10, Q és positiv Per tant, q = 10 correspon a un mínim, i el cost corresponent és Q(10) = 7.

3 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 3 de 10 Pregunta 5 La recta AC és =. La recta AB és y = 0. La recta BC és y = + 8. Per tant, les inequacions demanades són: y + 8. y 0 z(,4) = 8 ; z(,0) = 4 ; z(4,0) = 8. Per tant, el valor màim és 8, i s assolei en tots els punt del segment AC. Pregunta 6 Si el sistema ha de ser incompatible, la recta r ha de ser de la forma + y = k. Si ha de passar per l origen, cal que sigui k = 0. Les rectes r i r són paral leles. Si el sistema és compatible indeterminat significa que té tota una recta de solucions: les rectes r i s són, per tant, la mateia rect

4 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 4 de 10 SÈRIE 4 Pregunta 1 Anomenarem al nombre d ampolles d aigua, y al nombre d ampolles de llet i z al nombre d ampolles de suc que hem comprat. Aleshores les dades del problema es tradueien en: + y+ z = 40 0,5 + y + 1,5z = ,5y+ 1,5z = 34 Resolent-lo: y+ z = 0,5 1 1, y + z = ,5 1, ,5 0, z = 4 que, una vegada resolt, ens dóna = 1, y = 0, z = 8, és a dir, hem comprat 1 ampolles d aigua, 0 de llet i 8 de suc de fruites. Pregunta lim f() =. Per tant, la funció no té asímptota horitzontal. lim f() =. Per tant, la recta = -1 és asímptota vertical de f f'() = = 3 que, un cop ordenada, ens dóna ( + 1) + 3 = 0, d on obtenim = 1 i = -3. Per tant, com que f(1) = i f( 3) = 18, els dos punts són (1,-) i (-3,18). Pr Pregunta 3 f'() = e e = e (1 ). com que el primer factor és sempre positiu i el segon només s anul la a = 1 tenim que la funció és creient per a < 1 i decreient per a > 1. Per tant, = 1 correspon a un màim relatiu. f(0) = 0 i f '(0) = 1. Per tant, la recta demanada és y =.

5 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 5 de 10 Pregunta 4 Anomenarem al nombre de lots de tipus A, i y al nombre de lots de tipus B que venen. La traducció de les dades del problema és, aleshores, + 3y y ,y 0 La funció objectiu és la funció dels guanys: G(,y) = 0,7 + y. Si ara dibuiem la regió factible del problema obtindrem el gràfic adjunt. El vèrte A de la regió factible es determina com a intersecció de les dues rectes, i resulta ser el punt A(750,50). De la mateia manera obtenim B(1000,0), C(0,0), D(0,500). La funció de guanys en aquests punts és, doncs: G(750,50) = 775, G(1000,0) = 700,G(0,0) = 0,G(0,500) = 500, Per tant, els convé vendre 750 lots de tipus A i 50 lots de tipus B.

6 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 6 de 10 Pregunta A B ; ( A B) + = + = = D altra banda, A = = ; B = = A B = Per tant A + A B + B = = 5 6. No són iguals. ( ) P Q P P Q Q P Q + = + + +, que serà el matei que P + P Q+ Q quan es verifiqui P Q = Q P, és a dir, les matrius P i Q commutin. Pregunta 6 f(0) = 16, 0 = = ( 4 81) = ( 7)( + 3) = 7. En el moment de declarar-se l epidèmia hi havia 16 animals malalts. L epidèmia durarà 7 setmanes. f'() = ( 4) que s anul la per a = 1. Correspon a un màim ja que per a < 1 la derivada és positiva, i per a > 1 és positiv A més, f(1)=450. Per tant, el nombre més gran d animals afectats es donarà a la dotzena setmana, i n hi haurà 450.

7 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 7 de 10 SÈRIE 5 Pregunta y+ z = y 3z = = z+ Aïllant obtenim la solució general en funció de z:. 1 y = z Si fem z = obtenim = 3, y = -1. Pregunta Les dimensions de la finestra seran de dm. horitzontals per y dm. verticals. 100 D una banda tenim que y = 100 d on y =. Per tant, el cost de la 400 finestra serà C() = 6 +, funció de la que hem de trobar el seu mínim. 400 Tindrem C'() = 6. Aquesta derivada s anul la quan = 0, que correspon a un mínim ja que la funció C() és decreient quan < 0 i és creient quan > 0. Per tant, les dimensions de la finestra que la fan el més barata possible són de 0 dm. horitzontals per 5 dm. verticals.

8 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 8 de 10 Pregunta 3 Suposarem que el concessionari ven motos de 50 cc. i y motos de 15 cc. Aleshores els guanys del concessionari seran de G(,y) = y, i les restriccions de l enunciat es tradueien com: y 50 y 150. y 500 La representació gràfica de la regió factible és: Tindrem, doncs, G(150,150) = , G(500,150) = , G(500,50) = , G(50,50) = Per tant, els màims guanys es produiran quan venen 500 motos de 50 cc. i 150 motos de 15 cc.

9 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 9 de 10 Pregunta 4 ( 3) ( 3 + ) f'() = =. La recta + y = 5 té pendent Tindrem, doncs, 4 = = 0 = 1. Com que f(1) 3 = 0, el punt demanat és el (1,0). lim f() = 1: la recta y = 1 és asímptota horitzontal de la funció f. lim f() = : la recta = 0 és asímptota vertical de la funció f. 0 Pregunta 5 a La funció f és producte de dos factors que no són negatius per a cap valor de. Per tant, no eistei cap valor de tal que f() < 0. f(0)=0, i cap altre valor no ho pot verificar ja que, per a tot, e > 0. b f'() = e + e = e (+ ). 1 f'( 1) = e 1< 0: la funció és decreient en aquest punt. Si > 0 els tres factors de f són estrictament positius. Per tant, f és creient per a tot valor positiu de.

10 Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 10 de 10 Pregunta Tenim que 1 A = A Per tant, 1 3 B = A X B = C X = A C B = 0.