En el análisis de la regresión, utilizando la norma L o de Tchebychev para el modelo lineal

Transcripción

1 LA DISTRIBUCION DE CAUCHY, SU UTILIZACION EN EL ANALISIS DE LA REGRESION CON LA NORMA L RESUMEN: Carlos Narciso Bouza Herrera Uiversidad de La Habaa, Cuba Luis Carlos Martiez Uiversidad de A Coruña, Esaña E el aálisis de la regresió, utilizado la orma L o de Tchebychev ara el modelo lieal Y = A+ε, esta última comoete que es aleatoria, e el caso ótimo se distribuye segú ua distribució de Cauchy. Su utilizació e el modelo es útil si queremos, or eemlo, estudiar el icremeto del valor de las accioes motivado or determiados feómeos aturales y sociales que afecta a la ecoomía, cosiderados como choques, e los que si usamos la distribució ormal, la robabilidad de ocurrecia es rácticamete ula, debido a la delgadez de sus colas. Ua vez efectuado el auste, trataremos de ver si los errores se uede cosiderar que se distribuye segú ua distribució de Cauchy. Dicho roblema os lleva a cosiderar las diversas estimacioes de los arámetros de la distribució de Cauchy. La estimació de dichos arámetros os coduce a resolver u sistema de ecuacioes, or lo tato coviee estudiar otros métodos alterativos. Su alicació e u eemlo ecoómico es la base de éste trabao. Palabras clave: Regresio de Tchebychev Norma L- ifiito Norma de Tchebychev Distribucioes Alfa estables Máima verosimilitud

2 Esta fució es tambié llamada Distribució de Loretz o Distribució de Breit-Wiger. Ua iterretació ecoómica que odemos dar se basa e el estudio del icremeto del valor de las accioes motivado or determiados feómeos aturales y sociales que afecta a la ecoomía cosiderados como choques, e la que si usamos la distribució ormal, su robabilidad de ocurrecia rácticamete sería ula, debido a la delgadez de sus colas, or lo tato trataremos de que e u auste del tio Y = A + ε, esta ultima comoete ε que es aleatoria se distribuya segú ua distribució de Cauchy, e cuyo caso el auste que debo emlear ara ser ótimo es mediate la orma L o orma de Tchebychev. Su fució de desidad es de la forma f (, θ, λ) = ( πλ ) - [+{(-θ)/λ} ] - ara λ>. Su fució de distribució es F(, θ, λ) = ½ + π ta - [(-θ)/λ Los mometos diverge ara or lo que o odemos estimar los arámetros λ, θ or el método de los mometos. La distribució de Cauchy es u caso articular de ua familia de distribucioes coocidas como α -estables, que so ua geeralizació de ua distribució de Gauss. El coceto de leyes estables fue itroducido e 95 or el matemático fracés Paul Lévy, (886-97) como resultado de obteer la suma de variables aleatorias idéticamete distribuidas, que de acuerdo co el Teorema Geeralizado del Límite, la suma de u gra úmero de v.a. idéticamete distribuidas debe ser ua distribució estable, Zolatorev (986). Defiició. Ua v.a. cotiua se llama estable si y solamete si y toda familia,, idéticamete distribuidos co la misma distribució que, si a > y b reales, tales que + + d a + b Cuado b = se llama estrictamete estable. Cosecuecias. Se uede demostrar que eiste ua costate α, < α, tal que a = α + ara todo N. Puede verse la demostració detallada e Feller (97, ag 7-7). Teorema. Ua v.a. cotiua es el límite e distribució de la v.a. cotiua ( + Λ + ) d b, a >, si y solo si es estable. La demostració uede a verse e Shiryayev (984, ags ). La fució característica de estas distribucioes viee eresada a artir del siguiete corolario. Corolario. (Lévy-Khichi) Si es ua distribució estable, etoces su fució característica se escribe: = e = e iµ t γ t + iβsig ( t) l t π α απ iµ t γ t iβsig ( t) tg,, si α = siα. La demostració uede verse e Gedeo y Kolmogorov (968). Ua distribució α - estable, llamada tambié de Lévy, deede de cuatro arámetros

3 α : Es el arámetro ricial o ídice de estabilidad o ídice de cola o eoete de cola o eoete característico <α, que determia la razó mediate la cual las colas de la distribució dismiuye. Cuato más dismiuyeα mas esadas o gordas so las colas. Esto es or lo que se llama α -estables. µ : Es el arámetro de localizació, la media de la distribució (si α > ) γ : Es el arámetro de disersió. Por eemlo, si α = es la mitad de la variaza. β : Es el arámetro de simetría, o cofudir co simétrica resecto al orige. Si β=, la distribució es simétrica resecto a µ. - β. Si β es ositivo, la distribució es asimétrica a la derecha, esto es la cola de la derecha es más desa. Si β es egativo es asimétrica a la izquierda. Si lo alicamos a la distribució Normal y a la distribució de Cauchy, teemos: E el caso de la distribució Normal, α = y Obteiedo distribució de Cauchy, α =, β = al oer γ = λ y µ = θ itµ λ t σ itµ t = e y e el caso de la = e. Sabemos que el arámetro de disersió λ o es la variaza, ya que o la tiee. Dada la fució de desidad de Cauchy f (, θ, λ) = ( πλ ) - [+{(-θ)/λ} ] -, e el caso estádar e que θ =, λ =, su fució de desidad queda: f ( ) = π ( + ). E el caso mas secillo f()= π ( + ) es ua t de Studet co grado de libertad, si la comaramos co la N(,) otamos sus diferecias. Comarádola co la distribució Normal ésta tiee las colas mas gruesas. Así al comarar el valor de F() e 4, que e la distribució ormal rácticamete es, e la distribució de Cauchy obteemos el valor de es 3 ara obteer la robabilidad de,9999.este mayor eso o grueso de las colas se ve muy bie e la siguiete reresetació gráfica de las fucioes de desidad Normal (,) y Cauchy (,) sueruestas, como se ve e la figura. NormalH,L CauchyH,L -4-4 Fig. Vamos a hallar secillas estimacioes de λ. Para lo cual os referimos a la figura e dode vemos ua distribució de Cauchy uto a ua ormal (;.5). Si queremos estimar λ, rocedemos del modo siguiete: Hallamos la altura máima y la dividimos or, que resulta e la figura igual a,383. Hallamos la royecció sobre el ee de este valor e la fució. La abscisa de este uto es la estimació deseada, e uestro caso λ =.5. La ustificació de esto es la siguiete: 3

4 Sea Y má = πλ y má λ que ocurre e =, = = f ( ) =, πλ π ( + λ ) De dode deseado de la ecuació - λ + λ = da como solució doble = λ, que es dicha estimació. Maimo =,6366 Medio-maimo =,383 l =.5 Fig. Esto ermite hacer la estimació utilizado u histograma co u úmero suficietemete grade de itervalos. Otra forma de estimarlo es a artir de la fució de distribució: F( ) = θ + arc tg( ), e uestro caso θ = y = λ, or lo tato obteemos: λ π F( ) = + arc tg = + =. 75,que es el ercetil 75 el que corresode a = λ. Si π 4 hubiese u orige θ, el ercetil 75 corresodería a θ + λ. Tambié odemos hacer esto mediate el ael Cauchy-Uiforme. Cauc hy Uiforme F(θ+λ)=,75 F (θ+,73λ)=, ,7 93,9 9,56 9,8 9,89 89,76 88,3 86,4 83,86 8,6 75, 67, 56,8 43,7 3,8 5, 9,74 6,4 3,58,69,4 9, 8,9 7,44 6,8 6,8 Otras estimacioes de los arámetros de θ y λ. de la distribució de Cauchy. La estimació de arámetros or máima verosimilitud os coduce a resolver las ecuacioes del sistema: [ + {( ˆ) θ / ˆ} λ ] = [ + {( θ ) / λ } ] = = = ˆ θ 4

5 el cual tiee solucioes. Si el valor de λ es coocido, etoces, θˆ satisface la ecuació: ( = ˆ) θ [ + {( ˆ) θ / λ} ] = Otro estimador isesgado de θ es la mediaa.vamos a utilizar la orma es ótima si los errores se distribuye segú ua distribució de Cauchy La orma L o de Tchebyshev, se defie como: L, que se sabe que : (,,, ) R (,,, ) = má{,,, } = má, i i=,..., Miimizado la Norma- es equivalete a miimizar el máimo elemeto, u otimizació mi-ma. o mii miimizació del máimo de las desviacioes absolutas o (MINMAAD).Alicádolo al roblema de la regresió lieal os resultaría u roblema de rogramació lieal. Podemos cosiderar el roblema de la siguiete forma: Se disoe del modelo: Y = β + ε y i = β + β i + β i + +β i + ε i, ε i = y i - β - β i - - β i - -β i = y i - = β Dicho míimo de d = ma yi β i, lo calculamos cosideramos la i i siguiete trasformació d = b y es equivalete a Maimizar b sueto al sistema: by i + b i + wi =, i, wi, = = los arámetros del lao austado viee dados or β = db β = db β = db Como alicació de las distitas ormas se ha tomado del INE (Istituto Nacioal de Estadística de Esaña ), los datos del Gasto e Cosumo Fial Nacioal de los Hogares Esañoles a recios costates( eresada e milloes de, que se ha tomado como variable deediete Y que es fució de = Producto Iterior Bruto a recios costates e milloes de. y de = Emleo or rama de actividad (Ocuados) e miles de ersoas, durate el eríodo 99-3 (rimer trimestre).se austó el modelo lieal obteiedo = Y ˆ = 37, , , 77 Z=- 37, , ,77 Y i 8 z y Cómo fucioó la regresió L? 5

6 Primeramete obtuvimos los errores, y estimamos los arámetros λ y θ de la distribució de Cauchy, ya que sabemos que los errores e el auste L so ótimos si la distribució es de Cauchy. Por último efectuaremos ua rueba de la bodad del auste. Emezaremos or la estimació de θ y de λ mediate el sistema de ecuacioes: = = [ + {( ˆ) θ / ˆ} λ ] [ + {( θ ) / λ } ] = = ˆ θ sabemos que tiee ecuacioes. Se ha hecho estimacioes, bie utilizado la hoa de cálculo Ecel, mediate tateo, variado los arámetros hasta obteer valores róimos a cero e la ecuació aterior, y tambié utilizado las ecuacioes ~ λ = ½( ˆ ˆ ) ta( π ( )) ~ co =,8 > ½ y - =, < ½ obteemos ara θ = ½( ˆ + ˆ ) = 53, como estimacioes ˆ θ = 74,967 y ˆ λ = 79, 3 Vemos que esta solució o os satisface, ues como otro estimador de θ es la mediaa esta será aroimada a 947,5636. Hacemos otra estimació y obteemos: Cauc hy Uiforme F(θ+λ)=,75 F (θ+,73λ)=, ,7 93,9 9,56 9,8 9,89 89,76 88,3 86,4 83,86 8,6 75, 67, 56,8 43,7 3,8 5, 9,74 6,4 3,58,69,4 9, 8,9 7,44 6,8 6,8 E este último grafico se ha agruado los N= 53 errores e 7 itervalos de clase, de acuerdo co la eresió debida a Sturges, que da el úmero de itervalos : 3 l N 3,979 = E + = E,5 + = E l,6935 ( 7,79) = 7, dode E es la arte etera. De dode obteemos χ = 3,59 que rechazamos a cualquier ivel usual de sigificació el que los errores se distribuya segú ua distribució de Cauchy. Se observa u mayor eso e el último itervalo, que es bueo que ocurra, ya que la distribució es simétrica. Haciedo las modificacioes e la escala suerior, obteemos: Que os da lugar al gráfico aterior. De dicho gráfico obteemos las estimacioes: ~ ~ ~ ~ θ = 645 y λ + θ = 5 de dode λ = 45 Por otra arte utilizado el ael Cauchy-aritmético, ero co las observacioes idividuales, obteemos el siguiete gráfico, de dode observamos tambié el mayor eso e el etremo derecho, o dado lugar a ua recta. Si reresetamos las frecuecias acumuladas relativas e u gráfico Gauso- 6

7 aritmético, dode e el ee vertical está la fució de distribució de la Normal (,), teemos ua reresetació mas lieal (recta de Hery), de dode cocluimos que dichos errores o se muy bie a la distribució de Cauchy, e cambio si se austa meor a ua distribució ormal. Coclusioes: Los métodos gráficos co el ael Cauchy-uiforme arece cofirmar su raidez e el cálculo de las estimacioes. Referecias: Norma L. Johso & Samuel Kotz: Cotiuous uivariate distributios- y. Joh Wiley & Sos. Ney Yor T. S. Arthaari & Yadolah Dodge: Mathematical Programmig i Statistics Joh Wiley & Sos. New Yor 7