FENOMENOS DE TRANSPORTE INTRODUCCIÓN

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1 FENOMENOS DE TRANSPORTE INTRODUCCIÓN Objetivos: -el estudio de los feómeos de trasporte sigue al estudio de la termodiámica. -la termodiámica mira a u sistema e equilibrio. -los feómeos de trasporte mira a u sistema que se ha apartado del equilibrio y trata de cuatificar el flujo de propiedades del sistema (eergía, cocetració de especies) que surge para tratar que el sistema vuelva a su codició de equilibrio. Las propiedades fudametales que se puede trasportar so tres: -Catidad de Movimieto -Catidad de Eergía -Catidad de Materia El trasporte puede ocurrir e el seo de fluidos o etre u fluido y u sólido. Por ejemplo: -) u fluido que circula a través de u coducto disipa eergía por rozamieto lo que se traduce e u trasporte de catidad de movimieto etre las regioes co distita velocidad. -2) u sistema co regioes a distitas temperaturas (diferetes cocetracioes de eergía) trasporta eergía desde la regió mas caliete hacia la mas fría. -3) ua mezcla de dos o mas compoetes co regioes co diferetes cocetracioes trasporta materia desde la zoa mas cocetrada hacia la meos cocetrada. Porque es ecesario estudiar los Feómeos de Trasporte? E Biotecología permite: -proyectar la mejora e el desempeño de los sistemas de agitació de bioreactores -diseñar correctamete sistema de esterilizació y pasteurizació -estimar tamaños de bioreactores E Tecología de Alimetos permite: -estimar tiempos de cocció.

2 -estimar tamaños de lechos de secado de legumbres -estudiar procesos de cogelació y descogelació E Medio Ambiete permite: -predecir cotamiacioes estudiado las corrietes atmosféricas. -diseñar equipos que permita la purificació de distitas corrietes de fluido. TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO -Se estudiará el movimieto de los fluidos y las fuerzas que lo produce. -Exceptuado las fuerzas que actúa a distacia (campo gravitatorio, campo eléctrico) las fuerzas que actúa sobre u fluido: presió y esfuerzo cortate proviee de ua trasferecia microscópica (molecular) de catidad de movimieto. -Por lo tato, se deducirá las ecuacioes que vicule dicha trasferecia de catidad de movimieto co las fuerzas que la geera. -Existe tres métodos para hacerlo: -Microscópico -Macroscópico -Similitud Objetivo: ecotrar ecuacioes que vicula fuerzas y trasferecia de catidad de movimieto e fluidos Métodos Balaces Microscópicos Balaces Macroscópicos Similitud -No es ecesario realizar experiecias -Brida iformació puto a puto del sistema -Las ecuacioes so matemáticamete complejas -Es ecesario realizar experiecias -Brida iformació de la etrada y salida al sistema -Las ecuacioes so matemáticamete secillas 2 -Es ecesario realizar experiecias -Brida iformació global del sistema -Las ecuacioes so matemáticamete secillas

3 Defiició de fluido: DISEÑO POR BALANCES MICROSCÓPICOS CONCEPTOS Y DEFINICIONES -Es ua sustacia que se deforma cotiuamete bajo la aplicació de u esfuerzo cortate. El águlo de deformació θ posee ua velocidad de aumeto proporcioal a la magitud del esfuerzo aplicado. E esta situació se dice que la sustacia fluye. -U cuerpo elástico o u sólido sólo se deforma hasta u cierto águlo θ proporcioal al esfuerzo cortate aplicado. Cuerpo Elástico θ θ t =0 t = t t = t Fluido θ θ 2 θ 3 t =0 t = t t = t 2 t = t 3 3

4 -E u fluido e reposo o puede existir esfuerzos cortates. Hipótesis del Cotiuo -Los fluidos al igual que el resto de la materia so discretos, está costituidos por átomos o moléculas y espacios vacíos. -E la actualidad o existe teorías que permita modelar el comportamieto de u fluido a partir de los movimietos idividuales de los átomos o moléculas. -Además, ciertas propiedades comúmete utilizadas pierde su setido cuado el aálisis es llevado a la escala discreta. -Así, la desidad ρ varía violetamete si el volume cosiderado es lo suficietemete pequeño para que se maifieste el carácter discreto de la materia. -Si embargo, si se supoe que u puto es u elemeto de volume lo suficietemete grade para que cotega u úmero estadístico de moléculas etoces la desidad de ese elemeto de volume surgirá de u promedio e el mismo. -El elemeto de volume debe ser lo suficietemete pequeño para represetar u promedio local. ρ Domiio molecular Domiio cotiuo δv 4 Volume de fluido cosiderado

5 -La hipótesis del cotiuo distribuye el valor promedio e todo el elemeto de volume. -De esta maera se logra que las propiedades pueda represetarse por fucioes cotiuas. -Por ejemplo la desidad ρ se defie como: Δm ρ = lim ΔV δv ΔV dode: Δm es la masa coteida e u volume ΔV y δv es el volume míimo para el cual tiee setido el promedio estadístico. Fluido y Flujo Icompresibles -Alguos fluidos, e especial los líquidos, posee desidades que permaece costates detro de u rago de temperaturas y presioes. Se los llama fluidos icompresibles. -Si embargo los efectos de compresibilidad so ua propiedad del flujo. -Por ejemplo las ecuacioes que describe el movimieto del aire a baja velocidad so idéticas a las que describe el movimieto del agua. Aú cuado desde el puto de vista estático el aire es u fluido compresible. Esfuerzos Normales y Cortates -Cosideremos u volume de fluido como el de la figura sobre el cual actúa ua fuerza ΔF sobre u área ΔA del mismo. ΔF ΔF N ΔF S ΔA 5

6 -La fuerza puede descompoerse e sus compoetes ormal y paralela a la superficie ΔA. -La fuerza por uidad de área o esfuerzo e u puto se defie como: ΔF Esfuerzo = lim ΔA δa ΔA dode δa es el área míima para la cual vale la hipótesis del cotiuo. -Si se cosidera las compoetes ormal y paralela de la fuerza surge los esfuerzos ormal y de corte: ΔF Esfuerzo Normal = N ii = lim ΔA δa ΔA Esfuerzo Cor ta te = ij = lim Δ A δ A ΔFS ΔA -Los esfuerzos so magitudes tesoriales. Posee ueve compoetes. Los subídices idica los versores correspodietes a los ejes x, y y z. -El tesor puede represetarse co otació aalítica o matricial: = ii + i j + ik + ji + j j + jk + ki + k j + xx xy xz yx yy yz zx zy zz kk xx = yx zx xy yy zy xz yz zz -Por coveció el primer subídice idica la compoete del área y el segudo el de la fuerza. Así, yx es u esfuerzo que produce ua fuerza de direcció x aplicada sobre u área y. 6

7 -Cada compoete del tesor tiee asociadas dos direccioes, por lo tato o es represetable co ua flecha como se hace co los vectores. Lo que se hace es represetar las fuerzas que geera. Z zy geera ua fuerza F y zz geera ua fuerza F z zx geera ua fuerza F x Y PRESION EN UN FLUIDO EN REPOSO O EN MOVIMIENTO UNIFORME -La hipótesis del cotiuo es u método utilizado para superar la falta de iformació a ivel de teorías del movimieto molecular. -De esta maera la defiició de desidad por ejemplo permite que os maejemos co ua magitud cotiua aú cuado o coozcamos el comportamieto a ivel molecular. -Esta solució implica que la magitud, por ejemplo la desidad, deba evaluarse experimetalmete. X 7

8 -Para gases a bajas presioes es posible utilizar teorías ciéticas que permite predecir propiedades cotiuas e fució de parámetros moleculares. -A pesar de o dispoerse de estas teorías moleculares para todos los sistemas, debido a que las magitudes cotiuas se geera e las propiedades discretas de la materia es posible compreder muchos coceptos utilizado mometáeamete el aálisis discreto aplicado a gases a baja presió. -El aálisis de los esfuerzos existetes e u fluido es uo de estos casos. -Cosideremos u gas e reposo. Sus moléculas se mueve al azar e todas las direccioes y si se hace u promedio e u elemeto de volume la sumatoria de las velocidades será igual a cero. -Imagiemos que dividimos el gas e dos porcioes imagiarias I y II por medio de u plao x. Etre ambos plaos existe u itercambio cotiuo de moléculas. Z Regió I Regió II Y X -Haciedo u balace de catidad de movimieto e ua de las regioes, por ejemplo la II y teiedo e cueta el carácter vectorial de la catidad de movimieto: Compoete z Los valores positivos y egativos de u z so igualmete probables. Por lo tato: 8

9 mu z = 0 Re gióii -No existe itercambio de catidad de movimieto de direcció z etre I y II Compoete y Los valores positivos y egativos de u y so igualmete probables. Por lo tato: mu y = 0 Re gióii -Tampoco existe itercambio de catidad de movimieto de direcció y etre I y II Compoete x -Viiedo de I sólo se puede igresar a II si las moléculas tiee compoete u x positiva. -Para salir de II hacia I las moléculas debe teer compoete u x egativa Catidad de movimieto de direcció x que etra a II = + mu x Catidad de movimieto de direcció x que sale de II = mu x Re gióii Re gióii Catidad de movimieto de direcció x gaada por II = 2 mu x -Teiedo e cueta que: dv d( mv) F = ma = m = dt dt etoces al cabo de u cierto tiempo t, desde u puto de vista cotiuo el aterior resultado puede iterpretarse como: ) Ua velocidad de gaacia de catidad de movimieto de direcció x por la porció II: Re gióii 9

10 ( mv ) d x dt 2) Ua fuerza de direcció x que realiza I sobre II: F x -Si se repite el aálisis e cualquier otra direcció siempre existirá ua iteracció ormal a la superficie cosiderada y las compoetes o ormales será ulas. -Por lo tato la fuerza que surge cumple que: )Es ormal a la superficie cosiderada, cualquiera que sea ésta. 2)Es proporcioal al área cosiderada, mayor área mayor úmero de moléculas pasa por uidad de tiempo, por lo tato mayor fuerza. 3)El módulo de la fuerza es el mismo idepedietemete de la orietació del área cosiderada. Isotropía. -De maera que área y fuerza debe estar viculados a través de u escalar que recibe el ombre de presió p: F = pa El sigo meos tiee e cueta que el vector área tiee setido opuesto a la fuerza. ESFUERZOS EN UN FLUIDO SOMETIDO A DEFORMACIÓN -Cosideremos u fluido que fluye como e la figura: Y Regió II y Regió I F y F x F R v x Plao de referecia co V x =0 vx x 0 V x

11 -Aalizado la regió II y colocado el sistema de ejes que se mueve co la velocidad cotiua de ese plao para elimiar el aporte covectivo y haciedo uevamete u balace de la catidad de movimieto que igresa a la regió II e las tres direccioes luego de u cierto tiempo t: Compoete z -Los valores positivos y egativos de u z so igualmete probables. Por lo tato al igual que e el fluido e reposo o existe itercambio de catidad de movimieto de direcció z etre I y II Compoete y -Al igual que e el fluido e reposo la regió II tiee ua gaacia eta de catidad de movimieto de direcció y igual a 2 muy,produciedo ua fuerza ormal al plao cosiderado de direcció "y" positiva. Compoete x -Las moléculas que igresa a II proveietes de I tiee ua compoete de velocidad e direcció x, u x, mayor que las moléculas que viaja desde II hacia I de acuerdo al perfil de velocidades existetes. Catidad de movimieto de direcció z que etra a II = + mu x Re gióii Catidad de movimieto de direcció z que sale de II = mux Re gióii Catidad de movimieto de direcció z gaada por II = +2 mux Re gióii

12 -Esta gaacia de catidad de movimieto de la regió II durate el tiempo t produce ua fuerza de direcció x positiva que se aplica sobre u área de direcció y. -La fuerza que surge cumple que: )No es ormal a la superficie cosiderada. E este caso existe compoetes de F e las direccioes x y z. 2)Es proporcioal al área cosiderada, mayor área mayor úmero de moléculas pasa por uidad de tiempo, por lo tato mayor fuerza. 3)El módulo de la fuerza No es el mismo si se cambia la orietació del área cosiderada. No existe mas Isotropía. -A diferecia de u fluido e reposo la existecia de u perfil de velocidad (gradiete de velocidad) e el fluido geeró la aparició de u esfuerzo cortate. -Esto implica que para obteer ua expresió de las fuerzas que se geera e u fluido co perfil de velocidades deberá utilizarse ua magitud que reemplace al escalar presió y que operado sobre u vector área le cambie la direcció y el módulo simultáeamete. Esto es cumplido por u tesor: F = + T A -La utilizació del tesor cotiee como caso particular al fluido e reposo. Así los esfuerzos ormales T xx, T yy y T zz tiee e cueta la presió existete e u fluido e reposo pero además si existe u gradiete de velocidad aparece ua cotribució adicioal a la trasferecia de catidad de movimieto. -Por lo tato, si bie la presió es isotrópica, los esfuerzos ormales e u fluido sometido a deformació o ecesariamete lo so y la fuerza puede ser diferete segú la cara del elemeto de volume cosiderado. -Se coserva la defiició de u valor isotrópico al que se le sigue llamado presió aú e u fluido e movimieto. 2

13 -U valor isotrópico se logra utilizado u ivariate del tesor T. U ivariate es la traza del tesor. Por lo tato: p = ( Txx + Tyy + Tzz ) 3 -Los esfuerzos ormales tiee dos aportes: a) ua parte isotrópica, llamada presió b) u tesor esfuerzo viscoso, que solo existe cuado hay u perfil de velocidad e el fluido. -Los esfuerzos cortates solo tiee u aporte debido a y solo existe cuado hay u perfil de velocidad e el fluido. -El tesor esfuerzo T puede escribirse como: T = pi Txx Tyx T zx T T T xy yy zy T xz Tyz Tzz = p p p xx yx zx xy yy zy xz yz zz -La fuerza geerada e el seo de u fluido e movimieto resulta: F = pi A A 3