Intervalos de Confianza basados en una sola muestra. Denotaremos al parámetro de interés con la letra θ y con θ un estimador para θ.

Transcripción

1 Itervalos de Cofiaza basados e ua sola muestra Ua estimació putual sólo os proporcioa u valor umérico, pero NO proporcioa iformació sobre la precisió y cofiabilidad de la estimació del parámetro. Etoces ua alterativa es calcular lo que llamaremos INTERVALO DE CONFIANZA. Notació: Deotaremos al parámetro de iterés co la letra θ y co θ u estimador para θ. U Itervalo de Cofiaza (IC) para θ permite teer ua medida de la CONFIABILIDAD y PRECISION de la estimació del parámetro. La PRECISION de u IC tiee que ver co su logitud, cuato meor sea su logitud mayor precisió. La CONFIABILIDAD es medida co el ivel de cofiaza del itervalo, que deotaremos co (1 α). Los iveles más usados so de 0,95 ; 0,99 y 0,90. Cuato mayor sea el ivel de cofiaza mayor es la chace que el IC cotega al verdadero valor poblacioal. Luego es bueo pedirle a u IC que tega ua logitud pequeña y ua alta cofiabilidad que cotega al parámetro poblacioal.

2 Método para geerar IC para θ Sea X 1, X,, X ua muestra aleatoria (m.a.) co distribució que depede de θ. Hallar h X 1, X,, X ; θ u estadístico co distribució coocida y que o depeda de θ. Fijar u ivel de cofiaza (1 α) y usado la distribució del estadístico ecotrar a < b tales que P a < h X 1, X,, X ; θ < b = (1 α) (1) A partir de la expresió del eveto tratar de obteer l X 1, X,, X y u X 1, X,, X tales que P l X 1, X,, X < θ < u X 1, X,, X = (1 α) Luego l X 1, X,, X ; u X 1, X,, X es u IC aleatorio para θ co u ivel de cofiaza 1 α Notació: Deotaremos co z β al valor crítico, hallado e la tabla de la distribució Normal Estádar, tal que: Φ z β = 1 β ()

3 IC para la media poblacioal μ Caso A: Sea X 1, X,, X ua m.a. co distribució N μ,, co coocida. Ya sabemos cuál es la distribució del promedio muestral y al estadarizarlo se tiee que X μ = h X 1, X,, X ; θ ~ N(0, 1) Fijado u ivel de cofiaza 1 α, buscar e la tabla ormal estádar los valores de a y b tales que cumpla (1). Etoces tomar a = zα y b = zα y luego trabajado desde la expresió del eveto se tiee que P X zα < μ < X + zα = (1 α) Por lo tato u IC aleatorio de ivel 1 α para θ = μ es: X ± zα

4 IC para la Media Por lo tato si se observa que X 1 = x 1 ; X = x ; ; X = x U IC co u ivel de cofiaza (1 α) para μ es x ± zα Iterpretació del ivel de cofiaza de u itervalo Se geeraro 100 muestras aleatorias de N( 0, 1) de tamaño =10. Co cada muestra se calculó el IC del 95% para μ dado por x ± 1, , co z 0,05 = 1, 96 Los 100 IC se muestra e la siguiete gráfica Itervalos de cofiaza para la media del 95% Itervalos

5 Como se puede observar e la gráfica el verdadero valor de μ, que sabemos es igual a cero, NO perteece a sólo el 5% de los IC hallados. Por eso u IC de ivel 0,95 sigifica que hay ua cofiabilidad del 95% que el valor verdadero del parámetro se ecuetre etre la cota iferior y superior hallada. Alguas observacioes: a) La logitud de IC de ivel 1 α para μ es igual a zα b) A mayor cofiabilidad 1 α se pierde precisió. c) Si se quiere obteer ua logitud de a lo sumo ω y ua cofiabilidad 1 α para μ etoces tomar zα ω.

6 Ejercicio: La calibració de ua báscula debe ser revisada al pesar 5 veces u espécime de 10 Kg. Supoga que los resultados de los diferetes pesos so idepedietes etre sí y que la variable peso esta ormalmete distribuida co u desvío estádar = 0,0 Kg. Sea μ el verdadero valor medio de lectura de peso de la báscula. a) Cuál es el ivel de cofiaza para el itervalo x ±,81 para μ? b) Cuál es el valor de zα para u IC del 99,7% para μ? c) Si de la muestra observada se obtuvo u promedio y desvío estádar muestrales de 10,30 Kg y 0,19 Kg respectivamete, obtega u IC del 95% para μ. Iterprete el itervalo obteido. d) Qué ta grade debería ser el tamaño de muestra tal que la logitud del IC del 95% para μ sea a lo sumo de 0,05?

7 Caso B: Ya sabemos por T.C.L. que si el tamaño de la muestra es suficietemete grade; X 1, X,, X ua m.a. co esperaza μ y variaza etoces si X = distribució aproximadamete N(μ ; X μ ~ N(0,1). i=1 X i ) o sea tiee Luego trabajado de igual forma que lo realizado e el caso aterior se tiee que u IC de ivel aproximado 1 α para μ es: x ± zα 30 y coocido. Pero cuado es descoocido qué hacer? siempre que Reemplazar por el estimador S, luego u IC de ivel aproximado 1 α para μ es: x ± zα S siempre que 40. U IC de ivel aproximado 1 α para μ de logitud de a lo sumo ω etoces el tamaño de muestra debe ser tal que: zα ω.

8 Ejercicio: E ua muestra de 110 relámpagos, e cierta regió, tuviero ua duració de eco de radar promedio muestral de 0,81 y ua desviació estádar muestral de 0,34 segudos. Calcular u IC del 99% para la media de duració de eco μ.

9 Caso C: Sea X 1, X,, X ua m.a. co distribució N μ,, co descoocida. Ya sabemos que X μ ~ N(0, 1) Por lo tato por lo visto recié si 40 u IC de ivel aproximado 1 α para μ es: x ± zα S Pero qué hacer si < 40? Para dar el IC e esta situació presetaremos ua ueva v.a. que tiee distribució t-studet.

10 Desidad Distribució t-studet co v grados de libertad (gl) Propiedades de la desidad de ua variable aleatoria co distribució t-studet co v gl. a) Tiee forma de campaa y es simétrica etoro del orige. b) La diferecia co la N(0,1) es que tiee mayor dispersió para v pequeño. c) Cuado v la desidad se aproxima a la N(0,1). 0,39 Fució de desidad gl = 10: área=0,050 0,9 0,19 0,10 0, Variable t 0,05;10 =,8

11 Para el cálculo de probabilidades usaremos la Tabla A-5 del libro de Devore. Notació: t α,v es el valor crítico cuya área a cola superior es igual a α y los grados de libertad so v. Problema 7.8 y 7.9 Teorema: Sea X 1, X,, X ua muestra aleatoria co distribució N μ, etoces X μ S ~ t 1 Luego co este resultado y trabajado e forma similar a lo realizado cuado la distribució era la ormal estádar, se tiee que u IC de ivel 1 α para μ es: x ± tα, 1 S

12 Ejercicio: U artículo sobre evejecimieto del papel aislate e trasformadores de potecia, cotiee la siguiete tabla sobre el grado de polimerizació e muestra de papel para los cuales la viscosidad multiplicada por la cocetració se ubica e valores itermedios: a) Trazar u gráfico de caja para estos datos y cometar las características de iterés. b) Es factible supoer que esta muestra proviee de ua distribució ormal? c) Costruir u itervalo de cofiaza del 95% para el grado de polimerizació medio co los datos de la tabla. A partir del itervalo obteido: es factible el valor de 440 para la polimerizació media? y u valor de 450? Justifique su respuesta.

13 IC para y de ivel (1 α) Sea X 1, X,, X ua m.a. co distribució N μ,, co descoocida. Para dar el IC e esta situació presetaremos otra variable aleatoria cuya distribució es χ co v grados de libertad. Distribució χ co v grados de libertad (gl) La fució desidad de esta variable aleatoria o es simétrica respecto del orige y es defiida positiva. Para el cálculo de probabilidades usaremos la Tabla A-7 del libro de Devore. Notació: χ α,v es el valor crítico cuya área a cola superior es igual a α y los grados de libertad so v.

14 Desidad 0,10 Fució de desidad Chi cuadrado(10): área 0,050 0,07 0,05 0,0 0, Variable χ 0,05;10 = 0,483 Ejercicio: Sea X ua variable aleatoria co distribució Ji -cuadrado, etoces hallar: a) El valor crítico que me deja u área a cola superior de 0,005 co gl=5. b) El valor crítico que me deja u área a cola superior de 0,95 co gl=5. c) El percetil 95% para X co gl=10. d) El percetil 5% para X co gl= 15. e) P 10,98 X 36,78 co gl=. f) P X < 14,611 X > 37,65 co gl=5.

15 Teorema: Sea X 1, X,, X ua muestra aleatoria co distribució N μ, etoces 1 S ~ χ 1 Luego co este resultado y trabajado e forma similar a lo realizado ates se tiee que u IC de ivel 1 α para es: 1 s χ ; α, 1 1 s χ 1 α, 1 y para 1 s ; χ α, 1 1 s χ. 1 α, 1

16 Ejercicio: Se efectuaro las siguietes observacioes de resistecia a la fractura de placas base de 18% de acero maragizado al íquel: 69,5 71,9 7,6 73,1 73,3 73,5 75,5 75,7 75,8 76,1 76, 76, 77,0 77,9 78,1 79,6 79,7 79,9 80,1 8, 83,7 93,7 a) Costruir u itervalo de cofiaza del 99% para la desviació estádar poblacioal de la resistecia a la fractura. b) Cuáles so los supuestos ecesarios para que sea válido el itervalo obteido?

17 IC para la proporció poblacioal p Sea X 1, X,, X ua m.a. co distribució Beroulli(p) y tamaño de muestra suficietemete grade etoces por TCL resulta que (p p) p (1 p) ~ N(0, 1) dode p = X dode X = X i=1 i ~ B(, p). Platear la ecuació: P (p p) p (1 p) zα 1 α Trabajado co el eveto y elevado al cuadrado se puede obteer ua ecuació cuadrática e p dode las raíces de esa ecuació so la cota iferior y superior de cofiaza aproximado (1 α) para p, resultado:

18 p + z α/ ± z α/ 1 + z α/ Para suficietemete grade: p (1 p) + z α/ 4 z α/ es isigificate e comparació co p ; z α / 4 es isigificate e comparació co p (1 p) y z α/ es isigificate e comparació co. Luego desechado esos térmios isigificates resulta este IC aproximado tradicioal p ± zα pq siempre que p 10 y q 10. Observacioes: E estos dos casos si uo quiere u IC de ivel aproximado 1 α para p y de logitud de a lo sumo ω etoces el tamaño de muestra debe ser tal que: zα 1 ω proporció observada p. idepedietemete del valor de la

19 Ejercicio: E u artículo sobre estimació de fuetes de defectos visuales, se reporta que se estudiaro co u sesor de ispecció 356 matrices de silicio de las cuales 01 pasaro la prueba. a) Costruir u itervalo de cofiaza de 98% para la proporció poblacioal de matrices que pasa la ispecció. b) Qué tamaño de muestra sería ecesario para que la logitud u itervalo de cofiaza de 98% para la proporció poblacioal de matrices que pasa la ispecció sea a lo sumo 0,05, idepedietemete del valor p?