Clase de Álgebra Lineal

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1 Clase de Álgebra Lineal M.Sc. Carlos Mario De Oro Facultad de Ciencias Básicas Departamento de matemáticas Page 1

2 Espacios vectoriales Definicion. Espacio Vectorial (E.V.) Un V espacio vectorial sobre R, si 1 V φ. 2 Una operación llamada suma: + : V V V (x,y) x+y V esto es suma de x e y tal que: a) x+y = y +x, x,y V. b) x+(y +z) = (x+y)+z, x,y,z V. c) Existe O V V tal que x+0 V = 0 V +x = x, x V. d) Para cada x V, existe un único x V tal que x+( x) = ( x)+x = 0 V. 3 Una operación llamada multiplicación por un escalar: tal que e) 1x = x, x V. f) (αβ)x = α(βx), α,β R. g) α(x+y) = αx+αy, α R y x,y V. h) (α+β)x = αx+βx, α,β R y x V : R V V (k,x) kx V Page 2

3 Ejemplos R n con las operaciones y + : R n R n R n x 1 y 1 x 1 +y 1 x 2., y 2. x 2 +y 2.. x n y n x n +y n es un espacio vectorial sobre R. Probarlo. : R R n R n x 1 cx 1 c, x 2. cx 2. x n cx n Page 3

4 R m n con las operaciones + : R m n R m n R m n ((a ij ) m n,(b ij ) m n ) (a ij +b ij ) m n y es un espacio vectorial sobre R. Probarlo. : R R m n R m n (c,(a ij ) m n ) (ca ij ) m n Page 4

5 El conjunto P n, de todos los polinomios en la variable x, con coeficientes en R y grado menor o igual a n, es un espacio vectorial sobre R con las operaciones (a 0 +a 1 x+ +a n x n )+(b 0 +b 1 x+ +b n x n ) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x+ +(a n +b n )x n y c(a 0 +a 1 x+ +a n x n ) = (ca 0 )+(ca 1 )x+ +(ca n )x n Probarlo. Teorema. Propiedades básica de E.V. Sea V un E.V. sobre R, entonces se verifica: 1 α R;α 0 V = 0 V. 2 x V;0 x = 0 V. 3 Si α R y x V entonces αx = 0 V α = 0 ó x = 0 V 4 Si x V entonces ( 1)x = x. Page 5

6 Definición. Subespacio Sea H un subespacio no vacio de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un subespacio de V (H V). Teorema. Un subconjunto no vacio H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura: Si x H y y H, entonces x+y H. Si x H, entonces αx H, para todo α R. Ejemplos Verificar si los siguientes conjuntos son subespacios del espacio vectorial correspondiente. W = {(x,y) R 2 : y +2x = 0} { [ ]} a b H = A R 2 2 : A = b c Si A R m n entonces S H = {x R n : Ax = 0} es un subespacio de R n. S H se llama espacio nulo o espacio solución de A. A = {(x,y) R 2 : x 0} Teorema Sean H 1 y H 2 dos subespacios de un espacio vectorial V. Entonces H 1 H 2 es un subespacio de V. Ejemplo. En R 3 : Sean H 1 = {(x,y,z) : 2x y z = 0} y H 2 = {(x,y,z) : x+2y +3z = 0}. Probar que son subespacios de R 3. Además, hallar el subespacio de H 1 H 2. Page 6

7 Combinación lineal y espacio generado Definición. Combinación Lineal Sean v 1,v 2,,v n vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma a 1 v 1 +a 2 v 2 + +a n v n donde a 1,a 2,,a n ; se llama una combinación lineal (c.l.) de v 1,v 2,,v n. Ejemplos ( 7,7,7) es una combinación lineal de ( 1,2,4),(5, 3,1). (3,5) es una combinación lineal de (1,1),(2,4). Definición. Conjunto generador Se dice que los vectores v 1,v 2,,v n V generan a V si: v V, existen α 1,α 2,,α n tales que v = α 1 v 1 +α 2 v 2 + +α n v n Ejemplos El conjunto generador de R 2 es {(1,0),(0,1)}. El conjunto generador de R 3 es {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. Page 7

8 Definición. Espacio generado por un conjunto de vectores El espacio generado por {v 1,v 2,,v n } es el conjunto de combinaciones lineales de v 1,v 2,,v n. Es decir, v 1,v 2,,v n = gen{v 1,v 2,,v n } := {v : v = c 1 v 1 +c 2 v 2 + +c n v n } Ejemplo Determine si el conjunto dado de vectores genera el espacio vectorial dado En R 2 : {(1,2),(2,3)}. En P 2 : {1,1+x,1+x 2 }. Teorema. Sean V un E.V. sobre R y φ S V. Entonces gen(s) V. Ejemplo Hallar el subespacio de R 3 generado por los vectores (1,2,3),( 1,4,2). Teorema. Si gen{v 1,v 2,,v n } = V entonces gen{v 1,v 2,,v n,v n+1 } = V Page 8

9 Teorema Consideremos la ecuación lineal a x = b, y la correspondiente homogénea a x = 0. Sean S y S H los respectivos conjuntos soluciones. Entonces Page 9 1 S H es un subespacio de R n. 2 Si a x = b es consistente y v p es una solución cualquiera, entonces Demostración. Probaremos solo la 2da condición. Si v p S y u H S H, entonces por lo que {v p +v H : v H S H } S. Ahora, si v S. Definimos v H = v v p. Entonces de modo que v H S H y se tiene que Ejemplo Encuentre S y S H del S.E.L. S = {v p +v H : v H S H } a (v p +u H ) = a v p +a u H = b+0 = 0 a v H = a v a v p = b b = 0 S v = v p +v H {v p +v H : v H S H } x 1 +x 2 x 3 = 5 2x 1 x 2 +3x 3 = 6 4x 1 +x 2 +x 3 = 12

10 Dependencia e independencia lineal Definición. Sean v 1,v 2,,v n, n vectores en un E.V. V. Entonces se dice que los vectores son Linealmente Dependiente (L.D.) si existen n escalares c 1,c 2,,c n no todos cero tales que c 1 v 1 +c 2 v 2 + +c n v n = 0. Si los vectores no son L.D., se dice que son Linealmente Independiente (L.I.) Ejemplo Determine si el conjunto de vectores dado es L.I. o L.D. En R 4 : (2, 1,0,3),( 6,3,0, 9). En R 3 : (1, 2,3),(2, 2,0),(0,1,7). En P 2 : 1 x,1+x,x 2. [ ] 2 1 En R 2 2 :, 4 0 [ ], [ ] Teorema. Un conjunto de n vectores en R m siempre es L.D. si n > m. Corolario. Un conjunto de vectores L.I. en R n contiene a lo más n vectores. Ejemplo Determine si los conjuntos son L.I. o L.D. En R 3 : (2, 3,4),(4,7, 6),(18, 11,4),(2, 7,3) En R 2 : (2, 3),(4,7),(18,4) Page 10

11 Ejemplo Escriba la solución al sistema homogeneo dados en términos de uno o más vectores L.I. { x 1 +2x 2 x 3 +2x 4 = 0 3x 1 +7x 2 +x 3 +4x 4 = 0 Teorema de resumen Sea A una matriz de n n. Entonces las ocho afirmaciones siguientes son equivalentes; es decir, cada una implica a las otras siete (de manera que si una es ciertas, todas son ciertas). 1 A es invertible. 2 La única solución al sistema homogeneo Ax = 0 es la solución trivial (x = 0). 3 El sistema Ax = b tiene una solución única para cada n-vector b. 4 A es equivalente por renglones a la matriz identidad de n n, I n n. 5 A es un producto de matrices elementales. 6 La forma escalonada por filas de A tiene n pivotes. 7 det(a) 0. 8 Las columnas (y filas) de A son L.I. Teorema Cualquiera conjunto de n vectores L.I. en R n genera a R n. Ejemplo {(2, 1,4),(1,0,2),(3, 1,5)}. Ejemplo Determine si los polinomios x 2x 2,x 2 4x y 7x+8x 2 son L.I. o L.D. Page 11

12 Bases y dimensión Definición. Base Un conjunto finito de vectores {v 1,v 2,...,v n } es una base para un espacio vectorial V si {v 1,v 2,...,v n } es L.I. {v 1,v 2,...,v n } generan a V. Observación Todo conjunto de n vectores L.I. en R n es una base en R n. Ejemplo 1 En R n se define e 1 =.,e 1 2 =.,...,e 0 n = Esta base especial se denomina base canonica en R n. 2 En P n, el conjunto {1,x,x 2,...,x n } constituye una base para P n {[ ] [ ] [ ] [ ]} En R 2 2, el conjunto,,, {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} es base o no para R 3?. Page 12

13 Ejemplo. Encuentre una base para el conjunto de vectores que se encuentra en el plano π := {(x,y,z) : 2x y +3z = 0}. Teorema Si {u 1,u 2,...,u m } y {v 1,v 2,...,v n } son bases en un E.V. V. entonces m = n; es decir, cualesquiera dos bases en un E.V. V tienen el mismo número de vectores. Definición. Dimensión Si el espacio vectorial V tiene una base con un número finito de elementos, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V = {0 V }, entonces se dice que V tiene dimension cero. Ejemplo. dim(r n ) = n. dim(p n ) = n+1. dim(r n m ) = m n. Page 13

14 Teorema Suponga que dim(v) = n. Si {u 1,u 2,...,u m } es un conjunto de m vectores L.I. en V, entonces m n. Teorema Sea H un subespacio de un E.V. de dimensión finita V. Entonces H tiene dimensión finita y dim(h) dim(v). Ejemplo. Encuentre una base(y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema homogeneo { x+2y z = 0 2x y +3z = 0 Ejemplo. Encuentre una base(y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema homogeneo 2x y +3z = 0 4x 2y +6z = 0 6x+3y 9z = 0 Teorema Cualquier conjunto de n vectores L.I. en un E.V. V de dimensión n constituyen una base para V. Page 14

15 Norma Vectorial. Ortogonalidad Definición. Sea v = (v 1,v 2,,v n ) R n, la norma de v, notada v, es el real no negativo v = v v = n Teorema. Sean v,w R n y α R, entonces 1 v 0. Más aún v = 0 si y sólo si v = 0 R n. 2 αv = α v 3 Desigualdad de Cauchy-Schwarz 4 Desigualdad triangular: k=1 v w v w v 2 k v +w v + w Definición. Sean x,y vectores no nulos de un espacio vectorial R n sobre R. El ángulo θ entre los vectores x e y se define como ( ) v w θ = arccos v w Ejemplo. Hallar el ángulo entre los vectores (2,3) y ( 7,1). Page 15

16 Definición. Sean x y y vectores de un espacio vectorial R n. Entonces x es ortogonal a y, denotado por x y si x y = 0; como esto implica que y es ortogonal a x, a menudo sólo diremos que x y y son ortogonales o pperpendiculares. Si S es un conjunto de vectores de R n, se dice que S es un conjunto ortogonal siempre que todos los pares de vectores distintos de S sean ortogonales.un conjunto ortonormal es un conjunto ortogonal S con la propiedad adicional de que x = 1 para todo x S. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt Sean R n un espacio vetorial sobre R y β = {x 1,x 2,,x n } una base de R n. Entonces β = {y 1,y 2,,y n } base ortogonal de R n, donde y 1 = x 1 y j = x j x j y 1 y 1 2y 1 x j y 2 y 2 2y 2 x j y j 1 y j 1 2y j 1,j = 2,,n Ejemplo Construya una base ortogonal para {(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)}. Definición. Si S es un subconjunto no vacio de R n, el complemento ortogonal de s, denotado S, esta dado por el subespacio de R n, S = {v R n : w S : v w} Page 16

17 Fin de la clase Page 17

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