Lección 8: ECUACIONES

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1 Lección 8: ECUACIONES 1.- ECUACIONES E IDENTIDADES Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple para unos determinados valores de la variable pero no para cualquiera. Una igualdad algebraica es la relación que hay entre dos expresiones algebraicas equivalentes. Dos expresiones algebraicas equivalentes son aquellas que siendo distintas, tienen el mismo valor numérico cuando a sus variables les damos el mismo valor en una y otra expresión. Por ejemplo: Las expresiones: x 5 y 3x 9 tienen el mismo valor numérico cuando x vale 4. x 5 = 4 5 = 8 5 = 3 3x 9 = = 1 9 = 3 Son equivalentes. Forman una igualdad algebraica: x 5 = 3x 9 Esta igualdad algebraica es una ecuación porque solo se cumple cuando el valor de x es 4. Para cualquier otro valor de x la igualdad no se cumple. En toda igualdad hay dos miembros: la expresión matemática que está a la izquierda del signo = constituye el PRIMER MIEMBRO y la que está a la derecha es el SEGUNDO MIEMBRO. Los dos miembros de una igualdad son intercambiables, es decir, el primer miembro se puede poner como segundo y el segundo como primero y la igualdad se seguiría cumpliendo. x 5 = 3x 9 3x 9 = x 5 ECUACIONES COMPATIBLES E INCOMPATIBLES. Una ecuación es compatible si tiene alguna o infinitas soluciones. Las ecuaciones de primer grado del tipo: ax = b tienen una solución distinta de 0. Son compatibles. ax = 0 0x = 0 tienen una solución y es 0. Son compatibles. tienen infinitas soluciones. Son identidades. Son compatibles. Una ecuación es incompatible si no tiene soluciones. Las ecuaciones de primer grado con una sola incógnita del tipo: 0x = b no tienen ninguna solución. Son incompatibles. ==

2 ACTIVIDADES Lee detenidamente en las páginas 100 y 101 del libro la cuestión 1, Ecuaciones e identidades, reflexiona y estudia lo destacado. Consulta tus dudas con el profesor. Cuando pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 1.- Página 100, actividad 1..- Página 100, actividad. 3.- Página 100, actividad Página 101, actividad Página 101, actividad Página 101, actividad Página 101, actividad 9..- ECUACIONES EQUIVALENTES Se pueden obtener ecuaciones equivalentes haciendo la misma operación en el primer miembro y en el segundo miembro de la ecuación dada. Así, - Sumando (o restando) la misma cantidad en el primer miembro y en el segundo miembro la ecuación obtenida es equivalente. x 5 = 3x 9 x = 3x x 0 = 3x 4 x = 3x 4 x 3x = 3x 3x 4 x = 0 4 x = 4 - Multiplicando o (dividiendo) por la misma cantidad el primer miembro y el segundo miembro de la ecuación. x = 4 ( x) ( 1) = ( 4) ( 1) x = 4 x x = 14 = x = x = 7 - Elevando los dos miembros a la misma potencia o calculando la misma raíz a los dos miembros. x = 49 x = 49 x = ± 7 x = 6 x = 6 x = 36 ( )

3 TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS Consiste en cambiar un término de miembro, cambiándole el signo (si tiene el signo más o no tiene signo pasa al otro miembro con signo menos y si tiene signo menos pasa al otro miembro con signo más). La ecuación que se obtiene es equivalente x 5 = 3x 9 x = 3x x 0 = 3x x = 3x x 3x = 3x 3x x 3x = x 3x = DESPEJAR UNA INCÓGNITA Consiste en dejar sola la incógnita en un miembro pasando el coeficiente (signo incluido) que la multiplica (o divide) al otro miembro dividiendo (o multiplicando). x x = 14 = x = x = 7 x x 5x = 30 5 = 30 5 = 30 5 x = 30 5 x = x = 1 x = x = 4 ; 3 4x =4 x= x= =30 ; 7x=3 x= :3 9x=6 x= x= = 9 9:3 3 == ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 10 la cuestión Ecuaciones equivalentes, reflexiona y estudia lo destacado. Consulta tus dudas con el profesor. Cuando pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 8.- Página 10, actividad Página 10, actividad Página 10, actividad Página 10, actividad 13.

4 3.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA MÉTODO GENERAL PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 1º GRADO CON UNA INCÓGNITA x - (3x - 1) 5x + (-3x + ) x 4x - (x - ) - = - 5 1º Se suprimen los paréntesis y corchetes, si los hay, teniendo en cuenta el signo que llevan delante que Si es + (de sumar), se quitan los paréntesis sin cambiar el signo de lo que va dentro. Si es (de restar), se quitan los paréntesis cambiándole el signo + por, y por + a todos los términos que van dentro. Si es de multiplicar se aplica la propiedad distributiva, multiplicando el factor que va fuera por cada uno de los términos que van dentro. x - 3x + 1 5x -3x + x 4x - x = - 5 º Se eliminan los denominadores, reduciendo todos los términos de la ecuación a un común denominador pero sin poner el denominador común, solo los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas. 40x - 0x ( x - 3x + 1 ) = ( 5x -3x + ) - 5x m.c.m. (,5) = 5 = 10 3º Se vuelven a eliminar los paréntesis si reaparecen. 40x - 0x x + 15x - 5 = 10x -6x + 4-5x 4º Se hace una transposición de términos para reunir en un mismo miembro los términos semejantes, generalmente en el 1º miembro los términos con incógnita y en el º miembro los términos independientes. 40x 0x 5x + 15x 10x + 6x + 5x = º Se reducen los términos semejantes a un solo término, sumando los monomios semejantes. ( )x = 31 31x = 31 6º Se despeja la incógnita, dejándola sola en un miembro y pasando al otro miembro los coeficientes que la multiplican o dividen; si están multiplicando pasan al otro miembro dividiendo y se están dividiendo pasan al otro multiplicando. -31 x = =-1 31 Una ecuación es compatible si tiene alguna o infinitas soluciones. Las ecuaciones de primer grado del tipo:

5 ax = b tienen una solución distinta de 0. Son compatibles. ax = 0 0x = 0 tienen una solución y es 0. Son compatibles. tienen infinitas soluciones. Son identidades. Son compatibles. Una ecuación es incompatible si no tiene soluciones. Las ecuaciones de primer grado con una sola incógnita del tipo: 0x = b no tienen ninguna solución. Son incompatibles. == ACTIVIDADES Lee detenidamente en las páginas 103, 104, 105 y106 del libro la cuestión 3, Ecuaciones de primer grado, reflexiona y estudia lo destacado. Consulta tus dudas con el profesor. Cuando pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 1.- Página 103, actividad Página 103, actividad Página 105, actividad Página 105, actividad Página 105, actividad Página 105, actividad Página 105, actividad ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO COMPLETA ax + bx + c = 0 donde a, b, c son los coeficientes de los términos en x, en x y el término independiente. MÉTODO GENERAL PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE º GRADO CON UNA INCÓGNITA 1º Expresar la ecuación en la forma general de la ecuación de º grado, si no lo está. º Identificar los coeficientes a, b y c. 3º Calcular el discriminante b 4ac para saber si la ecuación tiene soluciones o no y cuántas -b ± b - 4ac 4º Si tiene soluciones, calcularlas aplicando la fórmula x= a ==

6 ACTIVIDADES Lee detenidamente en las páginas 107, 108 y 109 del libro la cuestión 1, Ecuaciones de segundo grado, reflexiona y estudia lo destacado. Consulta tus dudas con el profesor. Cuando pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades Página 108, actividad Página 108, actividad Página 108, actividad 6..- Página 108, actividad Página 109, actividad Página 109, actividad ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Una ecuación lineal es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. Su forma general es: ax + by = c a, b, c son los coeficientes x, y son las incógnitas ACTIVIDADES Lee detenidamente en las páginas 14 y15 del libro la cuestión 1, Ecuación lineal con dos incógnitas, y en las páginas fotocopiadas 33 y 34, la cuestión 1, Representación de puntos, reflexiona y estudia lo destacado. Consulta tus dudas con el profesor. Cuando pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 5.- Página 15, actividad Página 15, actividad. 7.- Página 15, actividad Página 34, actividad Página 34, actividad Página 15, actividad Página 15, actividad 5.

7 6.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS ACTIVIDADES Lee detenidamente en la página 16 la cuestión, Sistemas de ecuaciones lineales, en las páginas 17,18, 19 y 130 del libro la cuestión 3, Métodos de resolución, en la página 131 la cuestión 4, Resolución gráfica de un sistema de ecuaciones y en las páginas 13 y 133 la cuestión 5, Clasificación de sistemas de ecuaciones. Reflexiona y estudia lo destacado. Consulta tus dudas con el profesor. Cuando pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades. 3.- Página 17, actividad Página 18, actividad Página 18, actividad Página 18, actividad Página 18, actividad Página 130, actividad Página 131, actividad Página 131, actividad Página 133, actividad RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES Para resolver un problema con ecuaciones se seguirán los siguientes pasos: 1º Lectura detenida y comprensiva del enunciado. º Anotar abreviadamente y ordenadamente los datos y las preguntas. 3º Razonamiento y planificación con los siguientes pasos: - Se identifica la incógnita o las incógnitas. Normalmente será lo que se pregunta en el enunciado. - Se relacionan los datos con la incógnita mediante expresiones algebraicas. Es decir, se traduce el problema al lenguaje algebraico. - Se formula una o varias ecuaciones con las expresiones algebraicas obtenidas.. 4º Justificación de los resultados Se resuelve, paso a paso, la ecuación o las ecuaciones formuladas. 5º Expresión de la solución del problema con una frase completa e independiente. 6º Comprobación.

8 PROBLEMA RESUELTO 1.- En una granja de gallinas y conejos, 100 cabezas y 5 patas. Cuántas gallinas hay? Y conejos? Hay 100 cabezas y 5 patas. Gallinas? Conejos? Teniendo en cuenta que hay tantos animales como cabezas, porque cada animal tiene una cabeza, en total hay 100 animales. x es el número de gallinas. (100 x) es el número de conejos. x es la cantidad de patas de gallina. (Cada gallina tiene dos patas) 100 x) es la cantidad de patas de conejo. (Cada conejo tiene 4 patas) x + 4 (100 x) es la cantidad total de patas de la granja (5), por lo que se puede formular la siguiente ecuación y resolverla: x + 4 (100 x) = 5 x x = 5 x 4x = x = 148 x = ( 148) : ( ) = 74 gallinas En la granja hay 74 gallinas. Cantidad de conejos = 100 x = = 6 conejos. En la granja hay 6 conejos. PROBLEMA RESUELTO.- Una parcela rectangular tiene 50 metros de contorno perimetral y ocupa una superficie de 150 m. Cuáles son sus dimensiones? Parcela rectangular de 50 m de perímetro y 150 m de superficie. Dimensiones? Las dimensiones de la parcela es lo que mide por cada lado. Teniendo en cuenta que se trata de un rectángulo, tiene 4 lados iguales dos a dos, su perímetro es igual al doble de la suma de su lado mayor, que se tomará como base, y de su lado menor que será la altura, y su área es el producto de su base por su altura. x es la base. x es el doble de la base.

9 50 x es el doble de la altura. 50 -x es la altura 50-x x es la superficie (150 m ) Con lo cual se puede formular la siguiente ecuación y resolverla: ( ) 50-x x 50-x 50x -x x = 150 = 00 = x -x =150 50x -x = x -x -300 = 0 - x +50x -300 = 0 -b± b - 4ac x = a=- ; b=50 ; c =- 300 b - 4ac = 50-4 (-) (-300) = a = = 100 > 0 Tiene dos soluciones x= -50± 50-4 ( x= = = 10 m de base ) (-300) -50± ± = = (-) x = = = 15 m de base -4-4 Altura = 50-x Si x = 10 Altura = = = = 15 m Si x = 15 Altura = = = = 10 m PROBLEMA RESUELTO 3.- Qué cantidades de café puro, a 14 /kg, y de café torrefacto, a 9 /kg, hay que mezclar para obtener 15 kg de mezcla, a 11 / kg? Café puro a 14 /kg con café torrefacto a 9 /kg. Cantidad de café de cada clase? Para obtener 15 kg de mezcla. Cantidad de café puro x Cantidad de café torrefacto y Cantidad total de la mezcla x + y Coste total del café puro 14x Coste total del torrefacto 9y

10 Coste total de la mezcla = Precio/kg de mezcla (11 /kg) Cantidad de mezcla (15 kg). Teniendo en cuenta que el coste de la mezcla tiene que ser igual al coste de los cafés por separado y que la cantidad de mezcla son 15 kg, se pueden formular el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x + y = 15 14x + 9y = Se puede resolver por el método de substitución. Hay que mezclar 6 kg de café puro con 9 kg de café torrefacto. ===================================================================== ACTIVIDADES Lee detenidamente los apuntes anteriores, reflexiona y estudia lo destacado. Consulta tus dudas con el profesor. Cuando pienses que ya lo sabes resuelve las siguientes actividades Página 111, actividad Página 111, actividad Página 111, actividad Página 111, actividad Página 111, actividad Página 111, actividad Página 111, actividad Página 111, actividad Página 111, actividad Página 135, actividad Página 135, actividad. 5.- Página 135, actividad Página 135, actividad 4.

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