La resolución de triángulos no rectángulos

Transcripción

1 L resoluión de triángulos no retángulos P or lo generl, l resoluión de triángulos obliuángulos (o se, no retángulos) se enseñ por presentr y demostrr ls leyes del seno y oseno Pero un dí, en un lse de preprión pr los exámenes de seleión, un lumn mí que desonoí ests leyes tuvo que resolver un problem que trtó un triángulo obliuángulo En vez de rendirse, ell y sus ompñeros intentron resolverlo prtiendo de ls observiones que se usn pr demostrr ls leyes No les lnzron el tiempo pr llevr bo su resoluión, pero sus ides fueron ertds, y lo que es más, les hbín ourrido espontánemente Por lo tnto, deidí usrls omo el punto de prtid de est leión En este pítulo: Un repso de nuestros onoimientos sobre l trigonometrí on triángulos retángulos En unto los triángulos obliuángulos: Explorndo l ide que tuvo l lumn Lo que h resultdo de nuestr explorión Unos untos ejemplos Un investigión sobre los sos mbiguos L resoluión de triángulos obtusángulos trvés de l ide que tuvo l lumn Nos es líito definir el seno y el oseno nuestro gusto? ómo el seno y el oseno se pueden definir pr ulquier ángulo, sin importr su tmño Más ejemplos Ejeriios y respuests Resumen del pítulo Demostrión de que l resoluión de los sos mbiguos por medio de l Ley de los osenos, requiere que se defin os(θ) os(180 -θ) pr 90 <θ<180 Qué ps undo ls Leyes del Seno y del oseno se plin los triángulos retángulos?

2 Triángulo retángulo de refereni pr l nomenltur Un repso de nuestros onoimientos sobre l trigonometrí on triángulos retángulos Nomenltur De ostumbre, el ángulo reto se denomin L longitud de l hipotenus se represent por l letr minúsul Los ángulos gudos se denominn y L letr minúsul represent l longitud del teto opuesto l ángulo, y l b minúsul represent l longitud del teto opuesto l ángulo on freueni, letrs griegs omo θ y φ se usn pr representr medids de ángulos b Ls definiiones de ls rzones trigonométris Rzón breviturs Definiión ( Tods son Friones!) b sen =, sen = seno sen, sen (Seno = teto opuesto entre hipotenus) b os =, os = oseno os, os (oseno = teto dyente entre hipotenus) b tn =, tn = tngente tn, tn b (Tngente = teto opuesto entre teto dyente) Otrs observiones útiles sen = os, y sen = os Es deir, el vlor del seno de ulquier de los dos ángulos en un triángulo reto es igul l vlor del oseno de otro ángulo gudo en el triángulo tn, y tn O se, los tngentes de y son reíproos, el uno del otro sen 2 θ + os 2 θ = 1, luego sen 2 + os 2 = 1, y sen 2 + os 2 = 1 Es deir, l udrd del seno de ulquier ángulo y l udrd del oseno del mismo ángulo sumn 1 Uns unts de ls verddes que podemos esribir er de los triángulos retángulos on bse en ls reliones que ls definiiones y observiones rrib presentds nos uentn, podemos demostrr muhs otrs verddes er de los triángulos retángulos Por ejemplo, 2

3 L trigonometrí Uns unts verddes sobre los triángulos retángulos Verddes sobre Verddes sobre b Verddes sobre sen os tn tn sen os tn tn sen os sen os En unto los triángulos obliuángulos: Explorndo l ide que tuvo l lumn nte el siguiente problem, 6 x Enontrr x 60 8 l lumn tuvo est ide Primero, gregr l digrm nterior, un segmento perpendiulr l bse, y que pse por el vértie superior: 6 x 60 8 ntes de que sigmos delnte, deberí menionrse que éste es un buen uso de ténis omunes en l resoluión de problems Primero, y que tenemos iertos onoimientos sobre l resoluión de triángulos retángulos, por qué no busr l form de emplerlos en l resoluión de triángulos obliuángulos? Por ejemplo, por dividir el triángulo ddo, en dos triángulos retángulos Tl vez l ide no nos resultrá bien, pero es rzonble, l menos, dibujr el segmento l triángulo, y reflexionr el dibujo de nuevo 3

4 El gregr ese segmento es un buen ejemplo tmbién, de un onsejo que viene en el libro Pensr mtemátimente: 1 nte ulquier problem que nos difiult, preguntrse 1 Qué queremos? 2 Qué sbemos? 3 Qué podemos introduir? (Por ejemplo, un segmento) ueno, volvmos l tem Pr filitr l resoluión, etiquetemos debidmente, ls medids de vrios de los segmentos: 6 h x 60 z y 8 Reflexionndo este dibujo, notmos que el triángulo formdo por los ldos h, x, y y es un triángulo reto, por lo que En el digrm, se observ que 60 luego 660 Se observ tmbién, que os 60, luego 6 os 60 Pero se observ tmbién, que 660, 8, y 660 Entones, l euión se trsform en on un luldor, podemos enontrr el vlor del ldo dereho de est últim, pr sber que 52, luego 52, o se 2 13 undo un ide result tn bien omo ést, es onsejble exminrl más, on fines de identifir otros resultdos útiles que pued drnos Primero, volvmos exminr l euión nte un euión tl, que elev l udrd ntiddes que ontienen senos y osenos de un mismo ángulo, vle l pen busr l mner de simplifirl por empler l identidd sen 2 θ + os 2 θ = 1 1 Mson, urton, y Stey, Pensr mtemátimente, Editoril ngrm, ISN

5 L trigonometrí En este so, podemos emplerl por desrrollr l ntidd : hor, on fines de vlernos de l identidd trigonométri rrib meniond, reordenmos los términos del ldo dereho: Por lo tnto, , o se, Est euión es un poo más onveniente que l que desrrollmos ntes O se, que l euión En vist de este logro, deberímos explorr nuestr ide un poo más on freueni, es reomendble herlo por trtr un triángulo uys dimensiones son literles en vez de números espeífios De est form, ulquier desubrimiento que result, se verifirá pr todo triángulo Pero por lo pronto, tendremos que limitrnos triángulos uyos ángulos no exeden 90 ueno, ómo poner literles ls medids de los ldos y ángulos? L verdd es que en un triángulo que viene en un problem rel, los ángulos y los ldos no tienen etiquets Podemos etiquetrlos nuestro ntojo Por ejemplo, unque respetemos l ostumbre de usr letrs myúsuls pr los ángulos, y minúsuls pr los ldos, podemos etiquetr el mismo triángulo de 6 mners distints, usndo solmente ls letrs,,,, b, y : Por lo pronto, imponemos l restriión de que todos los ángulos miden 90 o menos En otrs plbrs, que son triángulos utángulos b b b b b b 5

6 De tods ests posibiliddes, voy usr l siguiente pr el resto de este pítulo: b Pr seguir on nuestr investigión, gregremos ese digrm un segmento vertil que pse por el vértie superior: p b Un os que podemos notr de inmedito, es que, y tmbién que Por lo tnto,, Los primeros resultdos importntes de nuestr investigión:, o tmbién, de mner que, o tmbién, Son útiles, ests euiones? Qué tipo de problem podrímos resolver por medio de ells? Siempre es bueno preguntrnos lgo por el estilo l resolver un problem de un tipo nuevo, mén de undo enontremos un relión que nos pree útil L verdd es que sí, ests euiones son útiles Esto se ve undo se exminn sus vris versiones despejds Primero, sen Si nos tor enontrr el ángulo, est fórmul nos permitirí herlo, on tl que supiérmos ls medids,, y Por supuesto que un vez enontrdo el vlor del sen, tendrímos que usr el roseno pr enontrr el vlor de mismo De mner preid, podrímos usr l form despejd sen 6

7 L trigonometrí pr enontrr el ángulo, ddos los vlores de,, y Semejntes observiones plin ls forms despejds y hor, greguemos unos untos dtos más l dibujo nterior L bse mide b, y ls medids de sus prtes l dereh y de l izquierd del segmento vertil pueden esribirse de dos forms, mbs en funión de los dos ángulos de bse: p p Sbemos demás, que, y tmbién, Juguemos un poo on est informión on bse en el teorem de Pitágors, podemos esribir dos euiones distints pr 2 :, y Pero sbemos dos expresiones pr p tmbién; sber,, y Entones, en totl, on bse en el teorem de Pitágors, podemos esribir utro euiones pr 2 : I II III IV Trtémosls un por un Prtiendo de l primer, enontrmos que 2 2 7

8 Prtiendo de Se obtiene 2 Es deir, Es útil? Exminemos sus forms despejds: 2 Ést nos permite enontrr, dds ls medids b,, y Y si despejmos l os, enontrmos que os Por medio de és, podemos enontrr, dds ls medids, b, y (Enontrdo el vlor del sen, se emple el ro oseno pr enontrr mismo Por fin, tenemos ls forms despejds y Ests últims son interesntes, y que el ± nos sugiere que ierts ombiniones de,, y permiten más de un solo vlor de b, y que ierts ombiniones de, b, y permiten más de un solo vlor de Pltiremos ests observiones en lgún otro momento hor, trtemos l segund euión pr 2 : 2, L que pr mí, no es muy llmtiv L terer nos die que luego,, 1, 1,,,,, 8

9 L trigonometrí Un resultdo que y l hbímos obtenido de otr form Por fin, l urt euión nos die que, sen os 1 Luego! Prtiendo de l mism informión que usmos pr desrrollr euiones que trtn 2, podemos esribir euiones pr 2 Jugremos on ells on fines de enontrr otrs reliones entre los ángulos y ldos Pr l onvenieni del letor, presento de nuevo el digrm previo p p Sbemos demás, que, y tmbién, on bse en el teorem de Pitágors, podemos esribir dos euiones distints pr 2 :, y Otr vez, pr p tenemos ls dos expresiones, y Entones, en totl, on bse en el teorem de Pitágors, podemos esribir utro euiones pr 2 : V VI VII VIII Puedes ver que l euión V nos llevrá, extmente omo l euión 9

10 Prtiendo de Se obtiene 2 nos llevó? Y puedes ver tmbién, que l euión VI nos llevrá, y por fin, extmente omo lo hizo l euión? L euión VI,, l igul que su semejnte que exminmos ntes,, no result útil Pero sí, l euión VIII: En resumen: ess lturs, y prtiendo del digrm p b Ls tres verddes identifids hst el momento hemos enontrdo tres verddes (he omitido ls repetiiones, y quells verddes que no preen útiles):

11 L trigonometrí Y que es investigión dio fruto, qué tl si hemos un preid, sobre el mismo triángulo, pero on un segmento perpendiulr l ldo, que ps por el vértie? Si puedes ver que no es neesrio her los mismos psos pr d uno de los tres ldos, qué bueno! Pero me veo obligdo presentr el nálisis ompleto q b De inmedito, notmos que, y tmbién que Por lo tnto,, de mner que, o tmbién, En l investigión sobre el dibujo nterior, notmos que, o tmbién, Por l propiedd trnsitiv de l iguldd, y que y, se verifi tmbién que El idiom de ls mtemátis nos permite omunir ests tres verddes en l form de un sol euión: Por supuesto, ést quiere deir tmbién, que hor, sbemos que y hor, gregmos nuestro dibujo los dtos que tenemos sobre q y ls dos prtes del ldo : 11

12 q q b b Sbemos demás, que, y tmbién, Prtiendo de estos dtos, desrrollemos euiones pr 2 y b 2 omo fue el so en l investigión nterior, podemos esribir utro euiones pr d un, ls ules ls simplifiremos después: Euiones pr 2 Euiones pr b 2 y son expresiones pr q Es onsejble trbjr on ls otrs euiones pr segurrse de que ells se reduen l un o l otr de ls siguientes forms 2 Pr no lrgr demsido l leión, meniono que solmente l euión nos llev un verdd nuev: Luego 2 12

13 L trigonometrí Result que no enontrrímos nd de nuevo tmpoo, si gregármos nuestro triángulo un segmento perpendiulr l ldo : b Entones, y podemos presentr un listdo ompleto de ls verddes que hemos identifido Lo hremos ontinuión Lo que h resultdo de nuestr explorión Enftizo que l desrrollr ests euiones, solo supusimos que todos los ángulos miden menos que 90, por lo que ests euiones se verifin pr todo triángulo tl Verddes pr todo triángulo que todos sus ángulos son menores de 90 Verddes que trtn del oseno 2 Verddes que trtn del seno Más l rto, veremos que ests euiones se verifin pr todos los triángulos Pero hst este momento, ls hemos demostrdo solmente pr triángulos utángulos 2 2 O se, Pr filitr l omuniión undo pltimos de ests verddes, pongámosls sus nombres de usules: 13

14 El áre del triángulo en el digrm que hemos estdo usndo, es p b Á Por lo tnto, sen Á luego, L ley de los osenos Es deir, á 2 á L ley de los senos Es deir, en ulquier triángulo ddo, l siguiente rzón es igul pr todos los tres ángulos: á á Se puede demostrr (vése l not l mrgen) que este rzón es igul á á Á Pr presentr de form más visul ests verddes, se present este digrm b según el ul l Ley de Los osenos nos die lo siguiente: 14

15 L trigonometrí 2os 2os En d un de ests euiones intervienen utro medids: los tres ldos, y uno de los ángulos O si prefieres pensrlo de otr form, ls utro ntiddes son l medid del ángulo, l medid de su ángulo opuesto, y ls medids de los otros dos ldos 2o on refereni l mismo digrm; o se, el siguiente, b 15

16 l Ley de Los Senos nos die que sen sen l igul que en ls euiones pr l Ley de Los osenos, intervienen utro medids en ésts tmbién Pero difereni del so de l Ley de los osenos, ls ntiddes onsisten en dos ldos emprentdos on sus respetivos ángulos opuestos sen sen sen sen Unos untos ejemplos 1 Enontrr x Es éste un triángulo utángulo? Sí, lo es: Los ángulos y miden menos que 90, y y que l sum de ls medids de los ángulos en ulquier triángulo es 180, mide 40 Primero, etiquetmos ls medids: b =? =? b = 4 = 80 = x = 60 hor, exminemos ls verddes que trtn el oseno (es deir, ls fórmuls pr l Ley de Los osenos), sustituyendo los dtos que tenemos: 2, o se, , o se, , o se,

17 L trigonometrí Y que ls verddes que trtn el oseno se verifin pr todo triángulo (not l mrgen, p 2), se verifin pr el nuestro Pero, esto no die que siempre podemos usrls on proveho! Pr poder enontrr el vlor de un inógnit prtir de un sol euión, es neesrio que se l úni inógnit en l euión Y est ondiión no se umple en ningun de ls euiones que bmos de esribir demás de l x, tods ontienen o el ángulo, o el ldo No se puede enontrr el vlor de un inógnit por despejrl en un sol euión, menos que se l úni inógnit en l euión L Ley de Los osenos no nos yudó, por lo que reflexionmos sobre lo que nos die l de los Senos: =? =? b b = 4 = 80 = x = 60, luego, luego, luego En este so, sí, hy un euión en que x es l úni inógnit: Pr despejr l x, se deshe l división por el sen60 : 60 60, 60, l ul es 352, pr dr un respuest on un preisión de 3 ifrs 2 Enontrr θ 17

18 Primero, etiquetmos ls medids: = 7 = θ b = 6 =? = 5 =? b omo lo hiimos en el ejemplo nterior, exminemos ls verddes que onoemos Y que l Ley de los Senos funionó en quel el ejemplo nterior, l probmos primero: OTR VEZ No se puede enontrr el vlor de un inógnit por despejrl en un sol euión, menos que se l úni inógnit en l euión, luego, luego, luego Ls verddes que trtn el seno se verifin pr todo triángulo, por lo que se verifin pr el nuestro Pero en este so, no podemos usrls on proveho, porque no nos dn ningun euión en l que se l úni inógnit Entones, exminemos ls verddes que trtn el oseno: 2, o se, , o se, , o se, L primer euión, es deir, l , sí, nos sirve ómo despejr l? ver: , , 02, os os 02, 785, 18

19 L trigonometrí 3 Enontrr d Est vez, no voy esribir tods ls verddes Puedes ver que éste es un so donde podemos usr l Ley de Los osenos? os Enontrr α difereni del problem nterior, éste se resuelve por medio de l Ley de Los Senos:, 90 90, sen sen sen sen α624 19

20 5 Enontrr β En este so, tenemos los dtos neesrios pr enontrr β trvés de l Ley de Los Senos, l igul que por medio de l Ley de Los osenos Por medio de los senos: Un dud que lrr, en unto l difereni entre los dos resultdos pr β, sen , sen Por medio de los osenos: os, os , os Es notble que los dos vlores de β (el luldo por medio de l Ley de Los Seno, y el luldo por medio de l Ley de Los Senos) no oinidn extmente Deberímos sber por qué puede que ls dos Leyes sen inonsistentes Primero, exminemos los dtos, pr detetr ulquier inonsisteni que hy Por ejemplo, lulemos uál debe ser el lrgo del ldo opuesto l ángulo que mide 35 Si l medid de este ángulo es extmente 35, y si los otros dos ldos miden extmente 6 y 65 respetivmente, entones os , , l ul es , pr dr un respuest on un preisión de 12 ifrs Entones, si los otros dos ldos miden extmente 6 y 65 respetivmente, y formn un ángulo de extmente 35, entones el otro ldo no puede medir extmente 379 Es más, y en mbio, si los tres ldos miden extmente 379, 6, 7 65 respetivmente, entones el ángulo opuesto l ldo que mide 379, no puede medir extmente 35 Si este ángulo lo llmmos, l Ley de Los osenos nos die que os os , en vez de 35 20

21 L trigonometrí Puede que diferenis tn pequeñs omo ésts usron l difereni entre los vlores de β que notmos? Pr sberlo, lulemos β de nuevo, usndo el vlor en vez de 379, pero suponiendo que son extos los vlores 35, 6, y 65: Por medio de los senos: sen , sen Por medio de los osenos: os , os Los vlores de β y oiniden, on un preisión de 12 ifrs En mbio, hor lulemos β de nuevo, suponiendo que son extos los lrgos de los ldos (379, 6, y 65), pero usndo en vez de 35 : Por medio de los senos: sen , 379 sen Por medio de los osenos: os , os De nuevo, los vlores de β oiniden, pero no son igules quellos que lulmos prtiendo de l suposiión de que el 35 es ext De heho, tod medid rel tiene ierto grdo de impreisión, por lo que ulquier álulo heho on bse en dihs medids tiene ierto grdo de impreisión tmbién En el so presente, l impreisión en l medid 379 imposibilit que lulemos el vlor de β on un preisión de 3 ifrs L impreisión en l medid 35 influye de form semejnte en el álulo de l longitud de su ldo opuesto 6 Enontrr x De nuevo, podemos enontrrlo o por medio de l Ley de Los Senos, o l Ley de Los osenos 21

22 Por medio de los senos: Por medio de los senos:, sen os Otr vez, los dos álulos dn respuests distints, us de l impreisión de los dtos 7 Enontrr x L fórmul udráti L euión 0 tiene dos respuests y El idiom de ls mtemátis uent on el símbolo ± pr permitirnos omunir por medio de un sol euión, el heho de que existen dos soluiones: Según l Ley de Los osenos, os40 Ést es, en verdd, un euión udráti, omo lo veremos si l reordenmos: 2 6 os Pr herl oinidir on l form estándr de un euión udráti, l esribimos omo os Por lo tnto, según l fórmul udráti, = o Entones, l Ley de Los osenos nos die que pueden existir dos triángulos en los que un ángulo de 40 es dyente un ldo que mide 6, y opuesto un ldo que mide 4 Por medio de los llmdos progrms de l geometrí dinámi, podemos verigur y fáilmente si mbos triángulos relmente existen Result que sí: Por l existeni de dos triángulos onsistentes on los dtos, este es un ejemplo de los llmdos sos mbiguos Luego o temprno, queremos identifir ómo resolver triángulos obtusángulos; o se, quellos que tienen un ángulo que mide más de 90 Es notble que un triángulo tl, se un de ls dos soluiones pr este 22

23 L trigonometrí problem Entones, es probble que vlg l pen investigr sobre estos triángulos Sobre todo, deberímos investigr sobre ómo tendrín que ser los vlores de ls funiones trigonométris de los ángulos de sus respetivs esquins inferiores derehs Según l Ley de Los Senos, á á, tmbién Es deir,, y Por lo tnto, sen y sen sen sen Pr que l Ley de los Senos y l Ley de Los osenos se verifiquen pre triángulos obtusángulos, ómo tendrín que ser los vlores del seno y del oseno pr los ángulos obtusos? Volveremos este tem más l rto En mbio, l Ley de Los osenos nos die que á os , y á os Podemos despejr l os ) y l os ) pr sber que os , y os Entones, juzgr por este ejemplo, los osenos de los dos ángulos tendrín que igules en unto sus mgnitudes, pero de signos ontrrios, mientrs sus senos tendrín que igules Es interesnte es difereni Entones, deberímos investigrl más profundmente Un investigión sobre los sos mbiguos Pr que los resultdos de nuestr investigión tengn l myor pliión posible, prtimos de un digrm de un triángulo hipotétio uys medids son dds por medio de literles Investiguemos sobre qué psrí si b fuer un inógnit, y si los únios dtos que tuviérmos fuern,, y Por l Ley de Los osenos, Por qué digo que éste es nuestro triángulo hipotétio? Porque no sbemos ómo es su form, en verdd Tenemos que mntenernos dispuestos pr modifirlo l luz de los resultdos que se obtengn en el urso de nuestr investigión 2 os Entones, despejemos l b: 1 2 os 0, y 23

24 Este resultdo impli que son posibles dos vlores de b O se, que pueden existir dos triángulos on los mismos,, y Entones, este resultdo udr on lo que observmos l trbjr on luego estos dos triángulos: Pero, qué tl si simplifimos nuestro resultdo ntes de reflexionrlo? Est mniobr nos permite empler un vrinte de l identidd sen 2 θ + os 2 θ = 1 onretmente, 1 - os 2 θ = sen 2 θ os os os 1 os os sen, luego os sen ueno, no siempre es indido, el simplifir un euión en est medid vees, l form no simplifid rroj más luz sobre los ppeles de ls vris ntiddes que intervienen en un problem Pero si l form simplifid no nos yud, ontremos on l opión de dr mrh trás Resultrá sí en este so? ver nte un expresión tl, es indido verigur si ls ntiddes que vienen en l fórmul orresponden lrmente segmentos en l figur Por ejemplo, existe un segmento on l longitud os? Result que sí: es el segmento rojo os 24

25 L trigonometrí Y l ntidd sen no es nd más que l longitud del segmento D: sen L ntidd 2 - ( sen) 2 nos uest más trbjo Podemos identifir on el segmento, y bmos de identifir sen on el segmento D Se not que y D son, respetivmente, l hipotenus y un teto del triángulo retángulo D Entones, según el Teorem de Pitágors, 2 - ( sen) 2 es l longitud del otro teto sber, del segmento D 2 - ( sen) 2 on bse en ess observiones sobre los segmentos que orresponden ls ntiddes en l euión os sen, y entendemos por qué, en lgunos so, pueden existir dos triángulos distintos que tienen ls misms medids,, y Pero notmos tmbién, que undo 2 - ( sen) 2 > os, no existen dos triángulos tles, sino uno Esto porque en este so, el segmento D es más lrgo que D L soluión os sen vle todví, y nos die que el triángulo que l orresponde es sí: D En ontrste, l soluión os sen nos d un vlor negtivo pr b Esto, en sí, no justifi desrtrl vees, un signo negtivo nos omuni informión importnte Pero en este so, se desrt el vlor negtivo de b porque impli un ontrdiión onretmente, impli que el punto se enuentr l izquierd de en vez de l dereh, 25

26 por lo que el ángulo no tiene l medid dd en el enunido del problem Es deir, no tiene l mism medid verde Entones, un vlor negtivo de b no puede ser un soluión pr el problem ddo uenos, volviendo l so donde os es menor que 2 - ( sen) 2, sí existen dos triángulos Es más, existe un relión bonit entre estos dos, y los triángulos retángulos en los que dividimos el triángulo hipotétio onretmente, el triángulo uy bse b mide os ( sen) 2, es el triángulo retángulo D on el triángulo D gregdo b = os ( sen) 2 Entones, l form de este triángulo sí, oinide on l del hipotétio En mbio, el triángulo uy bse mide os ( sen) 2 es el triángulo retángulo D on el triángulo D restdo : b = os ( sen) 2 Pr filitr nuestr investigión, ompremos los dos triángulos ldo l ldo Nótte que se usn los símbolos b - y b + pr distinguir entre ls longitudes de l bses de los dos triángulos, y los símbolos - y + pr distinguir entre ls medids de sus respetivos ángulos : b - = os ( sen) 2 b + = os ( sen) 2 26

27 L trigonometrí En este momento, pr omprobr ls fórmuls pr b - y b +, deberímos verifir que ellos dn medids orrets pr lgún pr espeífio de triángulos Por ejemplo, el pr que hbímos exmindo ntes: Siempre es onsejble probr de est form, ulquier fórmul que desrrollemos Voy usr solmente 4 ifrs en los álulos L longitud de l bse del triángulo l izquierd orresponde b -, entones debe verifirse que 6os (6sen40 ) 2 = ver: 6os (6sen40 ) 2 = ( ) 2 = = Está bien En mbio, l longitud de l bse del triángulo l dereh orresponde b + Entones, debe verifirse que 6os (6sen40 ) 2 = En el álulo nterior, enontrmos que 6os40 = 45963, y 16- ( ) 2 = Por lo tnto, 6os (6sen40 ) 2 = = Está bien Y onvenidos, l menos en iert medid, de que nuestrs fórmuls pr b - y b + son orrets, podemos omprr los dos triángulos de un form más: on el uno superimpuesto sobre el otro: b - = os ( sen) 2 b + = os ( sen) 2 + es l medid del ángulo + - es l medid del ángulo - Presenté este último dibujo, pr omprr ls medids de los ángulos - y + Si smos el oxido de nuestr geometrí pln, reonoeremos que son igules, los dos ángulos señldos en rojo: 27

28 De est form, se puede notr que - (es deir, el ángulo verde en el dibujo siguiente) y el ángulo rojo formn un ret, de modo que 180 on bse en otros onoimientos sobre l geometrí lási, reonoeremos que son igules los tres ángulos φ : Por lo tnto, ls siguientes reliones entre ls medids de los ángulos - y + : 90, y 90 Otr vez, deberímos poner prueb ests reliones ntes de que sigmos delnte Se verifin pr los dos triángulos espeífios que trtmos? Lo que sí, se h logrdo ess lturs Result que sí, se verifi que = 180, y = , mientrs = ueno, nuestr investigión sobre triángulos on medids dds en l form de literles, nos h llevdo fórmuls que predijeron ls reliones entre medids de ángulos y segmentos en dos triángulos espeífios, uno de los ules fue un triángulo obtusángulo Un buen indiio de que vmos desrrollndo nuestrs hbiliddes Y que todví nos flt un téni pr resolver triángulos obtusángulos, qué tl si emplemos nuestrs hbiliddes pr intentr resolver unos untos de estos? 28

29 L trigonometrí L resoluión de triángulos obtusángulos trvés de l ide que tuvo l lumn Un rtifiio que hemos usdo on proveho, es trsformr el problem ddo, en uno que trt de triángulos retángulos Intentemos emplerlo pr enontrr l dimensión x en el siguiente triángulo: Primero, greguemos unos untos elementos uxilires : to seguido, se identifi l medid del ángulo rojo, y se expres l longitud del segmento vertil por medio de un literl: hor, pr enontrr el vlor de x, busmos un equivleni -o se, un iguldd- en l que x interveng Entre otrs posibiliddes, se tiene que sen 70, y tmbién, que 100 sen 40, por lo que sen sen 40 y Intentemos resolver este problem tmbién, Est soluión nos suen de un que proviene de l Ley de Los Senos pr triángulos utángulos trvés del mismo rtifiio de gregrle elementos uxilires l triángulo ddo: 29

30 El triángulo ddo, junto on el uxilir, formn un triángulo retángulo uy hipotenus es x, y uyos tetos miden 5sen70 y 4 + 5sen70 Por lo tnto, 4 5 os 70 5 sen os70 5 os 70 5 sen os 70 sen os70 Est soluión nos suen de un que proviene de l Ley de Los osenos pr triángulos utángulos os os70 Reflexionndo sobre ést soluión y l nterior, puede que le ourrn lguien ls siguientes modifiiones ls Leyes del Seno y del oseno, pr los triángulos obtusángulos Se el ángulo obtuso Entones, se verifi que Es onsejble que demuestres ests fórmuls y 2os180 (Ley de los Senos, modifid) (Ley de los osenos, modifid) O si uno prefiere, est últim puede ser esrito omo 2os180 Nos ostó un poo de trbjo pr desrrollr ests fórmuls, pero no tnto, y resultn summente ftibles Nos es líito definir el seno y el oseno nuestro gusto? ien puede ser que fórmuls omo quells que bmos de desrrollr se empleron por muhos ños pr resolver triángulos obliuángulos Pero llegó el dí undo lguien ideó definir ls funiones trigonométris pr 30

31 L trigonometrí ángulos obtusos Tl vez lo hiier por ontemplr ls modifiiones que bmos de proponer Por ejemplo, l exminr l euión, lguien podrí preguntrse, Qué tl si d hemos l siguiente definiión? Si θ es myor que 90, pero menor que o igul 180, entones sen sen180 Est definiión nos permitirí tener un sol Ley de Los Senos que funione pr triángulos obliuángulos l igul que pr los utángulos Es más, l reflexionr sobre l Ley (Modifid) de Los osenos, 2os180 uno podrí reonoer l posibilidd de obtener un sol Ley de los osenos, por her l siguiente definiión: Si θ es myor que 90, pero menor que 180, entones os θ os180 θ Meniono que ests definiiones posibilitn un sol Ley de los Senos y un sol Ley de los osenos pr triángulos obliuángulos y utángulos Pero, funionrá tmbién, pr los triángulos retángulos? Trtremos est dud l fin del pítulo Pr ángulos gudos, el seno y el oseno se definen omo rzones entre ldos de triángulos retángulos En ontrste reo es inútil, y un engñoso, definirlos de est form pr ángulos obtusos Eso porque l difereni de signos no tiene justifiión lgun, slvo que nos onviene pr simplifir l formulión y resoluión de problems que trtn ángulos myores que 90 L verdd es que nosotros mismos tenemos l opión de definir ls funiones trigonométris de ángulos myores que 90 Podemos definirls de l form que nos dé l gn, on tl que nuestr definiión 1 Se ext; y empled on ohereni; y 2 No implique ningun ontrdiión Te sorprende que nosotros podemos formulr nuestrs propis definiiones? Es líito herlo? Reuerd que onoimos un situión semejnte undo trtmos los exponentes ero, negtivos, y frionles En su form originl, un exponente no fue nd más que un mner breve pr representr ierto tipo de uent de multipliión:, o se, que el exponente represent uántos ftores están en l den Pero después, desubrimos que podrímos mplir el onepto de exponente, on proveho, pr inluir exponentes negtivos, ero, y frionrios Estos tipos de exponentes no tienen nd que ver on uántos ftores están en l den Sin embrgo, se eptn porque son definidos on preisión y empledos on ohereni, y no implin ningun ontrdiión Nosotros mismos tenemos l opión de definir ls funiones trigonométris de ángulos myores que 90 Podemos definirls de l form que nos dé l gn, on tl que 31

32 Diho todo esto, debemos no proponer en serio nuestrs definiiones pr los senos y oseno de ángulos obtusos, hst que ls hymos puesto prueb en otros ontextos Por ejemplo, en el so del pr de triángulos que trtmos ntes: b - = os ( sen) 2 b + = os ( sen) 2 Ls medids,, son igules en mbos triángulos, y + = Si se luln los senos de + y + por medio de l Ley de Los Senos, se enuentr que sen, y sin l que es onsistente on l definiión senθ sen(180 -θ) En unto los osenos de - y +, podemos nlizr de nuevo el siguiente digrm, ( sen) 2 pr reonoer, fáilmente, que os En mbio, uál es el vlor de os - b - = os ( sen) 2 luldo prtir de l Ley de los osenos? Pr sberlo, tendremos que despejr os - en l euión donde 2 os, 32

33 L trigonometrí os sen El despeje es molesto, por lo que se present l fin del pítulo Result que, en verdd, os, o se, que os - = -os +, l ul es onsistente on l definiión os os180 Entones, ls definiiones que proponemos hn psdo l prueb Pero en verdd, es útil definir los vlores de funiones trigonométrios no solmente pr ángulos obtusos, sino pr ángulos de ulquier tmño (inlusive pr ángulos >360 ) ontinuión, veremos ómo los mtemátios hn elegido herlo ómo el seno y el oseno se pueden definir pr ulquier ángulo, sin importr su tmño on freueni, es mejor her un definiión en l form de un proedimiento, y sus resultdos En el so de los senos y osenos, el proedimiento omienz on un irunfereni unitri (es deir, un de rdio 1), on su entro en el origen: Junto on est definiión, suele presentrse un unidd de medid que se llm el rdin, pr los ángulos No l trto quí, pero es onsejble busrl en un libro de texto o en l Internet to seguido, se onstruye un ángulo del tmño que nos interes, on su vértie en el origen, y uno de sus ldos sobre el eje x Pr olor su otro ldo, se prte del eje x pr vnzr en el sentido ontrrio l reloj: Se identifi el punto interseión de l irunfereni on ese otro ldo, 33

34 Nótte que El segmento entre el origen y el punto zul es l hipotenus de un triángulo retángulo L oordend y del punto zul es l longitud del teto vertil de diho triángulo Es oordend se define omo el seno del ángulo, por lo que l longitud del teto vertil es igul l seno del ángulo De mner preid, l longitud del teto horizontl es igul l oseno del ángulo Y que el segmento entre el origen y el punto zul es el rdio de l irunfereni unitri, su longitud es 1 Por lo tnto, según el Teorem de Pitágors, sen 2 + os 2 = 1 y ls oordends del punto interseión: Se definen el seno y oseno de l siguiente mner: El seno l oordend y del punto interseión El oseno l oordend x del punto interseión Por ejemplo, sen50 = , y os50 = Se puede demostrr (no lo hré) que este proedimiento y definiión sí, dn vlores que oiniden on nuestrs definiiones os θ os180 θ y sen sen180 Por ejemplo, onsideremos el ángulo 130 (es deir, ) Según nuestrs definiiones, deben umplirse que sen130 = sen50, y os130 = -os50 Y sí es sen130 = = sen50 os130 = = -os50 No quiero slir de este tem sin dr ejemplos de ómo son los senos y osenos de ángulos myores de 180, según est definiión: 34

35 L trigonometrí El seno y el oseno de 230 ( ) sen230 = = -sen50 os230 = = -os50 El seno y el oseno de 310 ( ) sen310 = = -sen50 os310 = = os50 Y omo un benefiio más, este proedimiento nos permite definir, on pleno sentido, el seno y el oseno de 90 Y que ls oordends del punto interseión son (0,1), y = 1 x = 0 sen90 = 1 os90 = 0 Puedes ver que según est definiión, os0 = 1, sen0 = 0 os180 = -1, sen180 = 0? Y es tiempo, reo, de prtir on ests ides Más ejemplos 1 Enontrr x Por l Ley de los Senos, Por lo tnto, sen

36 2 Enontrr θ Por l Ley de los Senos, Por lo tnto, sen Hy dos ángulos menores que 180 uyo seno es onretmente, son 7462 y Result que ese es un so mbiguo, porque existen dos triángulos que umplen los dtos: Si ése fuer un problem rel, tendrímos que obtener más informión, pr sber uál triángulo orresponden l relidd 3 Enontrr x Por l Ley de los osenos, os

37 L trigonometrí 4 Enontrr φ Por l Ley de los osenos, os os , por lo que φ = Ejeriios y respuests Ejeriios 1 Enontrr α 2 Enontrr x 3 Enontrr x 37

38 4 Enontrr β 5 Enontrr x Respuests 1 Se us l Ley de los Senos pr enontrr que α = Se us l Ley de los Senos pr enontrr que x = Se us l Ley de los osenos pr enontrr que x = Se us l Ley de los osenos pr enontrr que β =

39 L trigonometrí 5 Primero, on fines de enontrr un ide, se greg l dibujo un elemento uxilir: Reflexionndo de nuevo el dibujo, notmos que el segmento rojo es l hipotenus de un triángulo retángulo uyos tetos miden 12 y x, respetivmente Entones, podrímos enontrr x si supiérmos l longitud (d) del segmento rojo Pr enontrrlo, se pli l Ley de los osenos l triángulo que ontiene el ángulo que mide 120 Result que el segmento mide 20 Y podemos enontrr x: 12 20, 16 Resumen del pítulo Prtiendo de l ide que tuvo l lumn, y nuestros onoimientos sobre triángulos retángulos, Logrmos desrrollr proedimientos pr l resoluión de triángulos obliuángulos gudos onvertimos nuestros proedimientos en ls fórmuls onoids por los nombres de L Ley de Los Senos y L Ley de Los osenos Investigmos sobre un so mbiguo, donde existen dos triángulos de uerdo on los dtos Est investigión Nos indió omo empler nuestros onoimientos sobre triángulos retángulos en l resoluión de triángulos obliuángulos obtusos 39

40 Plnteó l posibilidd de definir los senos y osenos de ángulos entre 90 y 180 Reonoimos que pudimos definir nuestro gusto los senos y osenos de ángulos entre 90 y 180, on tl que nuestrs definiiones Sen exts; y empleds on ohereni; y No impliquen ningun ontrdiión Nuestrs definiiones pr los senos y osenos de ángulos entre 90 y 180 tuvieron ls siguientes rterístis y benefiios: os θ os180 θ y sen sen180 on los senos y osenos definidos de est form, ls Leyes del Seno y del oseno se verifin pr todo triángulo En el so de los triángulos retángulos, l Ley de los osenos se redue l Teorem de Pitágors, y l de los Senos se redue ls fórmuls usules pr el seno y el tngente en los triángulos retángulos onoimos un ejemplo de ómo definir un ntidd omo el resultdo de un proedimiento onretmente, ómo usr un onstruión geométri pr definir el seno y el oseno de ulquier ángulo, sin importr su tmño Tods verddes dds en el siguiente listdo se verifin, siempre, en todo triángulo Sin embrgo, nos resultn útiles solmente quellos En ls que figurn el ldo o el ángulo que queremos enontrr, y En ls que los dtos que tenemos, permiten que l ntidd que queremos enontrr se l úni inógnit todo triángulo tl Verddes pr todo triángulo Verddes que trtn del oseno Verddes que trtn del seno O se, 40

41 L trigonometrí Demostrión de que l resoluión de los sos mbiguos por medio de l Ley de los osenos, requiere que se defin os(θ) os(180 -θ) pr 90 <θ<180 En el urso de nuestr investigión del so mbiguo, identifimos que en el uno de los dos triángulos posibles, ( sen) 2 el oseno del ángulo de l esquin dereh inferior es os En mbio, uál es el vlor del oseno del ángulo orrespondiente (el - ) en el otro de los dos triángulos posibles? Pr sberlo, tendremos que despejr os - en l euión donde b - = os ( sen) 2 2 os, os sen Y que queremos sber si os - = - os +, tendremos que simplifir el resultdo onsiderblemente Mnos l obr! Primero, queremos desrrollr lgunos de los produtos: 2 os os sen 2 os sen os

42 , Logrdo est simplifiión preliminr, y podemos, on proveho, despejr l os - : Definiión de Pr horrrnos tiempo y trbjo, hgmos l siguiente definiión: Se = 2 - ( sen) 2, de modo que Queremos demostrr que os - = -os +, o se, que os difereni del denomindor de nuestr expresión tul pr os -, es últim no tiene nd por el estilo de os - Entones, busmos ómo trsformr l nuestr Un ide viene de un mniobr que se us pr simplifir (por her rionl) el denomindor de un frión omo Se lo trsform en un difereni de udrds perfets: L expresión que hemos obtenido pr os - es más fe que pero el proedimiento es igul:,, onfieso que no enontré est rut en mi primer intento! 42

43 L trigonometrí Los términos mrillos se nuln 1, o se, Qué ps undo ls Leyes del Seno y del oseno se plin los triángulos retángulos? Exminemos primero lo qué ps undo se us l Ley de Los osenos, on refereni l siguiente digrm b undo el ángulo que nos interes es el ángulo reto (), l euión orrespondiente l enunido de dih Ley es 2os Pero el vlor del oseno de un ángulo reto es 0 (ero), por lo que 20, o se, Este último es el enunido del Teorem de Pitágors Pero, qué ps undo el ángulo que nos interes no es el reto? Digmos que es el Según l Ley de Los osenos, 2os Por nuestros onoimientos sobre los triángulos retángulos, sbemos que sí que os 2os 43

44 se trsform de l siguiente mner: 2os 2 2 Entones,, l que es el mismo Teorem de Pitágors, después de despejr l 2 Entones, En un triángulo retángulo, l Ley de Los osenos se redue l Teorem de Pitágors En unto l Ley de Los Senos, exminmos primero el so donde uno de los dos ángulos () es el ángulo reto: sen sen El seno de 90 (o se, del ángulo reto) es 1 Por lo tnto, b hor, despejmos l seno pr enontrr que sen Un resultdo bien fmilir: Seno = teto opuesto sobre hipotenus undo ni el uno ni el otro de los dos ángulos es el reto, L Ley de Los Senos nos die que Pero en un triángulo retángulo, se tiene que sen = os, luego Est últim se trsform en ; o se, en tn, y que tn sen os El resultdo tn nos es bien onoido tmbién: Tngente = teto opuesto sobre teto dyente on bse en est investigión, podemos deir que En un triángulo retángulo, l Ley de Los Senos se redue ls fórmuls usules pr el seno y el tngente en un triángulo tl 44