LA DERIVADA DE CARATHÉODORY *

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1 EDUCACIÓN LA DERIVADA DE CARATHÉODORY * ERNESTO ACOSTA G. CÉSAR DELGADO G. CARLOS RODRÍGUEZ B. Resumen. La definición de derivada de Carathéodory permite pensar en una nueva forma de presentar los cursos de cálculo. 1. Introducción En el volumen 98, No1, de Enero de 1991 de la revista American Mathematical Monthly, Stephen Kuhn presenta una formulación de derivada que nos llamó mucho la atención [Kuhn]. Según Kuhn, parece ser que Constantine Carathéodory quien por primera vez hizo esta formulación en su libro Teoría de Funciones de Variable Compleja (1954) [Car.]. Kunh muestra cómo esta formulación simplifica notablemente la demostración de algunos de los teoremas básicos del cálculo diferencial, sobre todo el de la regla de la cadena. Sin embargo, éste se muestra escéptico acerca de su uso en el cálculo de derivadas. En este artículo queremos compartir con el lector la formulación de Carathéodory presentando la demostración de algunos teoremas básicos del cálculo diferencial, mostrando cómo ésta se puede extender a funciones de R n en R m y ejemplificando el uso de la Vol. 2, N2, Mayo (1992) MATEMÁTICAS Enseñanza Universitaria

2 32 misma con algunos cálculos. Para esto destacaremos el álgebra de las funciones de pendientes (en la terminología de [Aco, Del]). 2. La formulación de Carathéodory Supongamos que queremos calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto (a,f(a)), f definida en un intervalo abierto U, au. Para esto construiremos la función de las pendientes de las rectas secantes a la gráfica de f en (a,f(a)): ( ) ( ) ( ) f x f a x, x U a. x a La pendiente de la recta tangente en cuestión será el límite, cuando x tiende a a, de (x), si éste existe, y la notamos f (a): lim( x) xa f ( a) Dicho en otras palabras, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en (a,f(a)) existe si tiene una discontinuidad removible en a. Esto motiva la siguiente definición. Definición. Sea f una función definida en un intervalo abierto U, y a un punto en U. f es diferenciable en a, en el sentido de Carathéodory, si existe una función f (x,a), continua en a, que satisface la relación f ( x) f ( a) f ( x, a)( x a), para todo xu (1) El número f (a, a) es la derivada de Carathéodory de f en a. En lo que sigue escribiremos f (x) en lugar de f (x, a), sin olvidar que f depende de a. No es difícil ver que esta definición es equivalente a la que usualmente se da para la derivada y que f (a, a) = f (a). La consecuencia más inmediata de esta definición es que si f es diferenciable en a, también es continua en a. En efecto si f es diferenciable en a existe f continua en a tal que f ( x) f ( x)( x a) f ( a). Vol. 2, N2, Mayo (1992) MATEMÁTICAS Enseñanza Universitaria

3 33 Como el producto y la suma de funciones continuas son funciones continuas se concluye que f es continua en a. Consideraremos ahora la familia a (U,R) de funciones f definidas en el intervalo abierto U que son diferenciables en au y la familia a (U,R) de funciones definidas en U que son continuas en au. Definimos : a a por (f) = f, donde f satisface (1). Tenemos, entonces, el siguiente teorema que consigna algunas de las propiedades de. Teorema 1. (El álgebra de ( a )). Si f, g a (U,R) y,r entonces f g, fg y fg (si g0) a (U,R) y i) f g f g ii) g f ( a) fg f g iii) / ( g( a) f ( a) ) / g( a) g f g f g Demostración. i) Si h = f g entonces, h(x) h(a) = (f(x) g(x)) (f(a) g(a)) = (f(x) f(a)) (g(x) g(a)) = f (x) g (x))(x a). f g es suma y producto de funciones continuas en a, por tanto, h a (U,R) y h = f g. ii) Si h = f g entonces h(x) h(a) = f(x)g(x) f(a)g(a) = g(x)(f(x) f(a)) f(a)(g(x) g(a)) = (g(x) f (x) f(a) g (x))(x a) Claramente g f f(a) g es continua en a. Por lo tanto, h a (U,R) y h = g f f(a) g. Similarmente, el lector puede probar iii). Vol. 2, N2, Mayo (1992) MATEMÁTICAS Enseñanza Universitaria

4 34 Corolario 1. Bajo las hipótesis del teorema 1 i) (f g) (a) f (a) g (a) ii) (f g) (a) = g(a) f (a) f (a) g (a) g( a) f '( a) f ( a) g '( a) iii) (f g)(a) = 2, g ( a ) 0 [ g( a)] Teorema 2. Sea f definida en el intervalo abierto U, au, y g definida en el intervalo abierto V, f(u)v, con f a (U,R) y g f(a ) (V,R). Entonces g o f a (U,R) y g o f ( g o f ) f Demostración. Si h = g o f entonces h(x) h(a) = g(f(x)) g(f(a)) = g (f(x))(f(x) f(a)) = g (f(x)) f (x)(x a) f es continua en a por ser diferenciable en xa, por hipótesis g es continua en f(a) y f es continua en xa y por tanto ( g o f) f es continua en a. Tenemos así que gof a (U,R) y que h ( g of) g. Corolario 2. (Regla de la cadena). Bajo las hipótesis del teorema 4 (g o f ) (a) g (f(a))f (a) Usando los argumentos usuales se demuestran los teoremas de valores extremos, de Rolle y del valor medio, la diferencia está en que el argumento fuerte de las demostraciones recae en el álgebra de las funciones continuas. 3. Extensión de la derivada a funciones vectoriales Queremos ahora extender el concepto de derivada a funciones vectoriales. La forma más conocida de hacer esto es mediante la Vol. 2, N2, Mayo (1992) MATEMÁTICAS Enseñanza Universitaria

5 35 introducción de la derivada total como aproximación lineal de la función en un punto. Esto corresponde a la definición de derivada de Frechét. Sin embargo, veamos que una interpretación conveniente de la relación (1) nos permite extender la derivada de Carathéodory a funciones vectoriales. Sea f una función de R n en R m y a un punto en R n. Como ya lo hemos dicho debemos dar una interpretación a la expresión f (x) f (a) = f (x) (x a). Identifiquemos f(x) f(a) con un vector columna de R m y xa con un vector columna de R n. Por lo tanto f (x) se puede interpretar como una matriz mn (realmente f (x)(r n,r m )), que se identifica con el espacio mn de matrices reales mn). Pues bien, como la relación (1) tiene sentido para f podemos dar la siguiente definición. Definición. f es diferenciable en a si existe f : R n mn, continua en a, tal que f (x) f(a) = f (x)(x a). Si f existe, Df(a) = f (a) mn. En [Aco, Del] se demuestra la equivalencia entre la derivada de Frechét y Carathéodory y los teoremas básicos del cálculo vectorial, pudiéndose apreciar el poder de simplificación de (1) en las argumentaciones con la formulación de Carathéodory. Esto se observa, en particular, en la demostración del teorema de la función inversa. Básicamente las demostraciones son las mismas de los teoremas 1 y 2 que presentamos aquí. 4. Cálculo de derivadas Veamos ahora cómo se usa (1) para calcular derivadas. Para efectuar el cálculo tendremos que factorizar (xa) de la diferencia f(x)f(a) y mostrar que el factor resultante f (x) es una función continua en a. Si éste es el caso, f (a) no será otra cosa que f (a). Vol. 2, N2, Mayo (1992) MATEMÁTICAS Enseñanza Universitaria

6 36 Ejemplos. 1. Calculemos la derivada de una función constante f: RR, f(x)k, en un punto ar. En este caso f(x) f(a)0, por lo que la factorización es 0 0 (xa) El factor resultante f es idénticamente 0, que es continua en a y por lo tanto f (a)0. 2. Calculemos ahora la derivada de f : R R definida por f(x)x n en un punto ar. En este caso f(x)f(a)x n a n y la factorización es x n a n (x n 1 x n 2 a xa n 2 a n 1 ) (xa). El factor resultante es f (x) x n 1 x n 2 a a n 1 que por ser un polinomio es continua en a y f (a) na n Ensayemos ahora con: f : R R definida por f(x) senx. Calculemos su derivada en xa. La diferencia f(x)f(a) no se puede factorizar sino para xa como senx sena senx sena ( x a) x a senx sena Tenemos que ver entonces si el factor f (x) x a tiene una discontinuidad removible en xa. En efecto, senx sena sen ( x a) 1 cos ( x a), x a ( x a) que tiene a cos a como límite cuando x tiende a a. Luego, podemos definir f (a)cos a para que f sea continua en a. 4. La función f : R R definida por x sen 1, x 0 f ( x) x 0, x 0 Vol. 2, N2, Mayo (1992) MATEMÁTICAS Enseñanza Universitaria

7 37 es continua en 0, pero no es diferenciable en 0. En efecto, 1 1 f ( x) f (0) sen sen ( x 0) x x pero el factor resultante f (x) discontinuidad removible en x0. 1 sen x no tiene una 5. Si F : R n R m es lineal y ar n, la diferencia f(x) f(a) se factoriza muy fácilmente: F(x) F(a) F(x a). Por lo tanto, f (x) F para todo x y Df (a) F. 6. Si F : R 2 R 2 está definida por F(x,y) (x 2,y 2 ) y (a,b) R 2, la diferencia F(x,y) F(a,b) se puede factorizar así: F(xy) F(ab) (x 2,y 2 ) (a 2,b 2 ) (x 2 a 2, y 2 b 2 ) ((xa)(xa), (yb) (yb)) x a 0 x a 0 y b y b f (x,y) x a 0 0 y b es continua en (a,b) y 2a 0 Df ( a, b). 0 2b 7. Sea f(x) Axx una forma cuadrática de R n en R, calculemos la derivada en ar n : f(x)f(a) Ax x Aa a Ax x Ax a Ax a Aa a Ax (xa) Aa x Aa a Ax (xa) Aa (x a) (Ax Aa) (x a) Vol. 2, N2, Mayo (1992) MATEMÁTICAS Enseñanza Universitaria

8 38 f (x) Ax Aa es continua en a y Df(a) 2Aa. 8. Consideremos ahora G : R 2 R definida por G(x) [F(x)] 2 donde F : R 2 R es lineal y calculemos DG(a), a R 2. Observemos que G f o F, donde f(y) y 2. Entonces por el teorema 2 y por los ejemplos 2 y 5 donde b F(a). Por lo tanto y DG(a) G (a) 2F(a) F. G ( f o F) F f (y) y b, F (x) F G (x) {F(x) F(a)} F = F(x a) F Cada lector deberá sacar su propia conclusión. Los autores pensamos que esta forma es más natural y simple que la tradicional. 5. Referencias [Kuhn] Stephen Kuhn, The Derivative a la Carathéodory, American Mathematical Monthly, Vol.98, No.1, January, (1991). [Car] Constantine Carathéodory, Theory of functions of complex variable, Vol.I, Chelsea, New York, (1954). [Aco,Del] Ernesto Acosta, César Delgado, Frechét vs. Carathéodory. Enviado para publicación a American Mathematical Monthly, Diciembre, (1991). Ernesto Acosta G., César Delgado G., Carlos Rodríguez B., Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle, Apartado Aéreo 25360, Cali, Colombia. Vol. 2, N2, Mayo (1992) MATEMÁTICAS Enseñanza Universitaria

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