Control Analógico II M.I. Isidro Ignacio Lázaro Castillo

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1 UNIDAD I Método del lugar de las raíces Control Analógico II M.I. Isidro Ignacio Lázaro Castillo

2 Antecedentes históricos En 1948 Walter R. Evans introdujo este método que es gráfico y elegante para la solución de ecuaciones algebraicas. n n1 ( s ) a ns a n11s as 1 K 0

3 Definición El método del lugar geométrico de las raíces permite representargráficamentelaposicióndelospolosdeunsistema de lazo cerrado cuando se varía un parámetro, normalmente es la ganancia K. La dinámica de un sistema de control retroalimentado queda definida por medio de su función de transferencia R(s) + E(s) K G(s) Y(s) Ys ( ) KGs ( ) Rs ( ) 1 KGs ( ) - Gs ( ) Ps ( ) Qs ( )

4 Siendo su ecuación característica O bien 1 KG( s) 0 KG( s) 1 por lo que puede reescribirse en forma polar de la siguiente manera KG( s) KG( s) 10j

5 Condición de módulo KG( s) 1 Y condición ió de ángulo Donde KG ( s ) 180 k360 k 0, 1, 2, 3,...

6 Los valores de s que cumplen la condición de módulo y ángulo corresponden a los polos del sistema en lazo cerrado; Mientras que el diagrama de los puntos del plano complejo que únicamente satisfacen la condición de ángulo constituyen el lugar de las raíces del sistema.

7 EJEMPLO ILUSTRATIVO DEL CONCEPTO DE LUGAR DE LAS RAÍCES Ejemplo.- Determinar el diagrama del lugar de las raíces para el sistema de segundo orden mostrado en la figura. R(s) + - E(s) K 1 ss ( 2) C(s) Función có de transferencia e ca de lazo abe abierto GsHs ( ) ( ) K ss ( 2)

8 Función de transferencia de lazo cerrado Cs ( ) Gs ( ) K 2 Rs ( ) 1 GsHs ( ) ( ) s 2 s K Ecuación característica 2 s s K 2 0 Resolviendo la ecuación tenemos s s 2 44K K

9 De esta última ecuación se observa que la raíces serán reales si K 1y complejas sí K 1.

10 Lugar de las raíces de la ecuación j K=4 j 3 K=0 j K=0 K= j K=4 j 3

11 Además se puede observar que cualquier punto del lugar de las raíces satisface la condición de ángulo. 180 y j j 3 Q j j 3 2 P K ss ( 2) a) j 3 s s b) j tan tan tan 60 1

12 Por otro lado, de la ecuación puede deducirse que el factor de amortiguamiento de este sistema está determinado por n K Por lo cual el valor de K está íntimamente relacionado con el máximo sobreimpulso del sistema.

13 Reglas para construir el lugar de las raíces 1. - El lugar de las raíces es simétrico con respecto al eje real. Dado que los coeficientes del polinomio P(s) y Q(s) son reales entonces el polinomio puede tener raíces complejas solo enparesconjugados.

14 2. - Cada rama del lugar de las raíces inicia en cada polo de lazo abierto y termina en cada cero de lazo abierto o en infinito. El número de ramas que termina en infinito esta dado por Donde Num ramas= n - m n - número de polos en lazo abierto m número de ceros en lazo abierto

15 3. - Cualquier punto en el eje real es parte del lugar de las raíces sí y solo sí el número de polos y ceros a su derecha es impar. Esta propiedad debe satisfacer la condición de ángulo en cualquier punto del eje real del plano s. Para que un punto P pertenezca al lugar de la raíces es necesario que satisfaga la ecuación Donde k 0, 1, 2, 3,... KG( s) 180 k360

16 Demostración de la propiedad 3 j P 0

17 4.- Si el número de ceros finitos es menor que el número polos finitos ( m<n ), entonces n-m ramas del lugar de las raíces finalizan en ceros en el infinito, las asíntotas de estas ramas tiene como punto de intersección A, el cual se determina por: A Polos n-m ceros

18 Y tiene una inclinación A con respecto al eje real dado por Donde A 2 q n m q 0,1,2,..., n m Si el lugar de la raíces cruza el eje j para algún valor de K, este puede obtenerse por el criterio de Routh- Hurwitz.

19 6.- Los puntos de ruptura de entrada y salida del lugar de las raíces se determinan a partir de las raíces de la ecuación dk 0 ds ( ) j j dk ds s Q( ) d 0 0 Ps ( ) 0 ds a) b) a) Puntos de ruptura de salida b) puntos de ruptura de entrada.

20 7. - Los ángulos de partida del lugar de las raíces de un polo complejo están dados por d 180 suma de ángulos de vectores dibujados a este polo de otros polos + suma de ángulos de vectores dibujado a este polo de los ceros Los ángulos de llegada a un cero complejo se pueden obtener de manera similar il usando 180 suma de ángulos de vectores dibujados a este cero de otros ceros a + suma de ángulos de vectores dibujado a este cero de otros polos

21 Ejemplo.- Determinar el lugar de las raíces del sistema de control mostrado en la figura. R(s) + - E(s) K 1 ss ( 3)( s 4) i) Primero se toma la función de transferencia de trayecto directo s 0 K m 0 polos= s -3 ss ( 3)( s4) n 3 s -4

22 ii) A continuación se procede a la aplicación de ii) A continuación se procede a la aplicación de la propiedad 3 para determinar cual intervalo es lugar de las raíces

23 iii) Como n m 3 existen 3 ramas que van hacia el infinito y la intersección de sus asíntotas se pueden calcular por medio de a Y los ángulos de dichas asíntotas vienen dados por 2q 1 a 180 para q 0,1,2 3 Así para q=0 a 2(0)

24 Si q=1 1 a 2(1) Finalmente, si q=2 a 2(2)

25 iv) Los puntos de ruptura se pueden obtener de la propiedad 6, así llegamos a Por lo que Qs ( ) K s( s3)( s4) Ps ( ) dk ds 3 2 d s 7 s 12 s Por lo que derivando ds 0 2 3s 14s 12 0

26 Resolviendo la ecuación cuadrática s s Puede observarse que s 2 no es lugar de las raíces de acuerdo a la tabla 4.2, por lo que el punto de ruptura está ubicado en s 1.

27 v) Para determinar los cruces con el eje, aplicamos el criterio de Routh-Hurwitz al sistema retroalimentado FT.. LC K ss ( 3)( s4) K 1 ss ( 3)( s4) K ss ( 7 s 12) K s 7 s 12 s K Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz a 3 2 s s 7s 12sK K

28 Del renglón de s 2 si K 84, 2 7s ( s 12) 0 s s 1 sj j j

29 Lugar de las raíces del sistema del ejemplo j j j 12

30 Ejercicio de Simulación Determinar el lugar de la raíces usando Matlab para un sistema con retroalimentación unitaria cuya función de transferencia de lazo abierto es Gs ( ) K 2 ss ( 4s 5) % Por lo tanto el sistema es inestable tiene dos polos en el semiplano derecho >> % Uso del comando rlocus(num,den) para generar el lugar de las raíces de G(s)H(s) >> % Definición del polinomio del numerador y denominador de G(s)H(s): F.T. delazo abierto >> num=[1]; >> den=[conv([0 1 0],[1 4 5])]; >> rlocus(num,den)

31 Lugar geométrico de la raíces obtenido por Matlab.

32 Diseño de parámetros usando el método del lugar de las raíces El método del lugar de las raíces es una herramienta útil en el diseño de sistemas de control, con este método se puede determinar el valor de la ganancia en lazo abierto para que los polos de lazo cerrado produzcan un factor de amortiguamiento, que originen un sobreimpulso deseado para el sistema.

33 En ocasiones es necesario manipular la ecuación característica del sistema dinámico, con objeto de extender la aplicación del método del lugar de las raíces a dos o más parámetros. Si la ecuación característica de un sistema dinámico dada por n ( s) a s a s asa 0 n n 1 n1 1 0

34 Así, el efecto del coeficiente a 1 puede estudiarse reacomodando la ecuación de la siguiente forma as 1 0 n as a s as a n 1 n1 2 n O bien puede presentarse el caso en el cual un parámetro, no aparezca solamente como coeficiente, i s ( a ) s as a s 1 0 s a s asa 2 1 0

35 Procedimiento para el diseño de parámetros usando el método de lugar de las raíces 1. Usando la función coseno, obtenemos n cos n j cos Plano s 1 n n 0 jn 1 2 j n 2 1

36 2. Se traza una línea en la gráfica del lugar de las raíces del sistema partiendo del origen con la inclinación resultante. 3. e identifica el punto P en el cual cruza el lugar de las raíces dicho segmento y se trazan radios vectores dirigidos desde los polos y ceros del sistema dirigidos a este punto.

37 4. Para determinar el valor de la ganancia K se utiliza la expresión: KG( s) 1 K 1 Q ( s ) Ps ( ) Ps ( ) Qs ( )

38 Ejemplo.- Para el sistema con retroalimentación unitaria cuya función de transferencia de lazo abierto se define como G(s). Determinar el valor de la ganancia en lazo abierto K para que los polos dominantes de la función de transferencia de un sistema de segundo orden presente un %M p =40%, verifique si el sistema puede considerarse dominante de segundo orden y en caso de que así sea calcule el t p y t s. K Gs ( ) 2 ( s 3)( s 4s5)

39 Al analizar la función de transferencia de lazo abierto, tenemos K m 0 2 ( s3)( s 4s5) n 3 s1 3 polos= s2 2 i s3 2 i

40 ii) Como hay un polo real aplicamos la regla 3, de tal manera que el lugar de las raíces sobre el eje real corresponde al intervalo [-3,- ]. iii) Debido a que hay más polos que ceros finitos aplicamos la regla 4. a 3 1 3

41 Como Como ,1,2 3 para a q q Con q=0, q=1 y si q=2 llegamos a 2(0) a 2(1) a 2(2) a 3 3

42 iv) Calculando los cruces con el eje aplicando el criterio de Routh-Hurwitz, FT LC K 2 Gs () s 3s 4s5 K 3 2 Gs ( ) 1 K 1 s 7s 17s15 K 2 s3 s 4s5 Para que se genere un renglón de ceros se debe cumplir que K=104,

43 2 7s s 17 0 Por lo tanto, t los cruces con el eje imaginario están en s j v) Debido a la existencia de polos complejos es aplicable la regla ( ) d 1 1 2

44 Cálculo del ángulo de partida d1 1 j j 0 j

45 De la figura tenemos Por lo tanto tan tan (90 45 ) 45 d Como d 2 corresponde al complejo conjugado de d1, tenemos 2 45

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47 En este ejemplo de diseño se tiene como condición un máximo sobreimpulso de 40%, con este dato calculamos, así tenemos ln

48 Para factor de amortiguamiento, el ángulo correspondiente es: 1 cos (0.28) 73.73

49 Tomando las coordenadas del punto P, obtenemos los valores de a y b, así j Para determinar K evaluamos s K Qs ( ) Ps ( ) s j K 2 ( s3)( s 4s5) 1 s j

50 Realizando operaciones 2 K ( j3)( j 5) s j K K

51 Para verificar que el sistema es dominante de segundo orden sustituimos el valor de K en la función de transferencia de lazo cerrado. FT LC K s s s K K FT LC s s s

52 Obteniendo el polinomio característico ( s) s 7s 17s s 7s 17s s Polos s j s j

53 Por lo cual se puede considerar un sistema dominante de segundo orden. Reordenando la Función de transferencia en términos de un sistema dominante de segundo orden. Gs () s5.388s s8.314

54 Si se aplican un escalón unitario al sistema con la ganancia diseñada se produce la respuesta mostrada en la figura, en donde se aprecia que el máximo sobreimpulso no rebasa el 40%.

55 Referencias 1.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2 nd Edition, Nise S. N., Control Systems Engineering, g, John Wiley & Sons, 4 th Edition, Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4 t ª Edición, Dorf B Sistemas de Control Moderno Pearson Prentice Hall 4.- Dorf B., Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª Edición, 2005.

56 5.- Hostetter G. H., Savant C. J., Stefani R. T., Sistemas de Control, McGraw-Hill, 1 ra Edición, Kuo C. B., Sistemas de Control Automático, Prentice Hall, Séptima edición, Hernández R., Introducción a los Sistemas de Control, Pearson, Primera edición, Lázaro I., Ingeniería de Sistemas de Control Continuo, 2da Edición, ió Ed. Universitaria. it i

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