Clase 14: Teorema de Green

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Clase 14: Teorema de Green"

Cristóbal Blázquez Prado
hace 6 años
Vistas:

1 lse 14: Teorem de Green.J. Vnegs 10 de junio de 008 Relcion un integrl de line lo lrgo de un curv cerrd c en el plno R con un intgrl doble en l región encerrd por. En Mtemátics 6 se extenderá este resultdo curvs y superficioes en R 3. Ls integrles de line se tormrán lo lrgo de curvs que formn l fronter de regiones elementles. Un curv cerrd simple (que no se cort si mism) que es l fronter de un región elementl tiene dos orientciones: 1. ontrri ls jugs de reloj que se tornrá como positiv. enotremos con est orientción : +.. orrespondiente ls gujs del reloj que se tomrá como negtiv. denotremos con est orientción :. Pr un region de tipo I, l fronter se puede descomponer en sus prtes: inferior y superior y quizás segmentos verticles izquierd y derech. Por ejemplo: Superíndice + signific de bjo rrib o de izquierd derech. Superíndice signific de rrib bjo y derech izquierd. = B B, donde + 1, B + 1,, B son ls componentes de o = Pr un región de tipo II, podemos descomponer su fronter en prtes: izquierd y derech y quizás segmentos horizontles superior e inferior. Por ejemplo: = B B o = Similrmente si tenemos un región elementl de tipo III podemos descomponer su fronter de dos mners: un en mitd superior e inferior y otr en mitd izquierd y derech. 1

2 1. Teorem de Green Teorem 1. Se un región elementl de tipo III y se su fronter. supong que P, Q : R son de clse c 1, entonces: P dx + Qdy = c + ( Q x ) dxdy Se puede recordr l orientción positiv pr, si l cminr lo lrgo de l región está siempre l izquierd. emostrción : i Si es unregión de tipo I y su fronter y si suponemos que P : R es de clse c 1, entonces P dx = c + dxdy. ii Si es unregión de tipo II y c = y si suponemos que Q : R es de clse c 1, Q entonces Qdy = c + x dxdy. iii Sumr los resultdos de los dos prtdos nteriores i y ii. i : x b, φ 1 (x) y φ (x) = = B B. (x, y) dxdy = b b φ (x) (P (x, φ (x)) dx φ 1 (x) b x dydx = b (P (x, φ 1 (x)) dx = (P (x, φ (x)) P (x, φ 1 (x))) dx = c + P (x, y) dx c P (x, y) dx = P (x, y) dx P (x, y) dx [ ] Por lo tnto (x, y) dxdy = P (x, y) dx + P (x, y) dx. c b Por otro ldo, como P (x, y)dx = P dx = 0 y P (x, y)dx = P dx = 0, B + 1 b B entonces: P (x, y)dx = P dx + P dx + P dx + P dx = P dx + P dx B + 1 B c se obtiene: (x, y) dxdy = P (x, y) dx P (x, y) dx = (x, y) dxdy. + + ii Similrmente i. Observción 1. El teorem de Green tmbién es válido en regiones que no son de tipo III pero pueden descomponerse en vrios trozos cd uno de los cules result un región de tipo III. Se plic el teorem cd uno de los trozos y se sumn los resultdos.

3 Ejemplo 1. Evlur (x y )dx + (y x)dy, en donde consiste en l fronter de l región del primer cudrnte que está limitd por ls gráfics de y = x, y = x 3. } P (x, y) = x y Solución 1. c 1 en l región. Q(x, y) = y x región tipo III. Por el teorem de Green: ( Q (x y )dx + (y x)dy = x ) 1 x da = ( 1 ( y)) dydx = 0 x y+y x x dx = ( x +x 4 +x 3 x 6 ) dx = x x5 5 +x4 4 x = = Ejemplo. Evlur (x 5 3y)dx + (x e y3 )dy, en donde es l fronter de l región (x 1) + (y 5) = 4 } P (x, y) = x 5 3y Solución. c 1 en l región ((1, 5), ). Q(x, y) = x e y3 región tipo III. ( Q Por el teorem de Green: (x 5 3y)dx + (x e y3 )dy = x ) da = ( 3) da = da = 4π x Ejemplo 3. Se x + y dx + y dy, donde es: x + y = puede plicrse el teorem de Green? Solución 3. No, pues x P (x, y) = x + y y no son continus en (0, 0) Q(x, y) = x + y. Are de un región Si es un curv cerrd simple que cot un región en l cul se puede plicr el teorem de Green, entonces: A() = 1 = xdy ydx 3

4 ( Q emostrción : Por el teorem de Green: P dx + Qdy = x ) dxdy tome P = y y Q = x, entonces ydx + xdy = (1 ( 1))dxdy = dxdy = dxdy = A() A() = 1 xdy ydx. Ejemplo 4. lculr el áre encerrd por l elipse x + y b = 1 Solución 4. A() = 1 xdy ydx Usndo l prmerizción x = x y = b x b = b x con x dx = dx, dy = b xdx x = b xdx ( x A() = 1 b x dx x b x dx hciendo el siguiente cmbio x = sin θ, π θ π, dx = cos θ dθ. Así A() = bπ π π cos θ dθ = bπ cos θ 3. Form vectoril del teorem de Green Recordmos Si v = (v 1, v, v 3 ) y w = (w 1, w, w 3 ) con v, w R 3 entonces v w = v 1 v v 3 = vector v y w. w 1 w w 3 Si v y w estn en R entonces v w = v 1 v 0 = (0, 0, v 1w v w 1 ). w 1 w 0 Si tommos v = = ( x,, 0) y w = F = (P, Q, 0), entonces F = v 1 v 0 Q = (0, 0, x ). w 1 w 0 y si hcemos ( F ) k donde k = (0, 0, 1), obtenemos: ( F ) k = Q x. dx Por otro ldo: F ds = (F 1 dt + F dy dt ) dt = P dx + Qdy. 4

5 Luego podemos reescribir el teorem de Green en l form: Vemos que: F ds = ( F ) kda = P dx + Qdy F ds = ( Q x ) ( F ) kda. 5

Documentos relacionados

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su