UNIDAD 9 DERIVADAS Y APLICACIONES. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b]

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1 IES Padre Poveda (Guadi UNIDAD 9 DERIVADAS Y APLICACIONES. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine la tasa de variación media de una unción y en un intervalo [ b] T. V. M. [ a, b] a, como: ( ( a b a ( a, a, B ( b, b, Si considero la recta que une A su pendiente es: [ a b] m tgα T. V. M., Es usual escribir [ a, b] [ a, a ], Con lo cual: siendo a Etremo inerior del intervalo. a Etremo superior del intervalo. Longitud del intervalo. m tgα T. V. M., [ a a ] ( a ( a 5 en: a Los intervalos [, ]; [, ]; [, 4]. El intervalo [, ]. Ejemplo: Halla la T.V.M. de la unción Proesor: Ramón Lorente Navarro

2 IES Padre Poveda (Guadi. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. Una unción y es derivable en a, si eiste el siguiente límite y es inito: ( a lím a a En cuyo caso al valor de este límite se le llama derivada de en a, y se escribe ( a. lím a ( a a ( a d (También se escribe (a d a Si tomamos a entonces con lo cual, la deinición anterior de a a 0 0 derivada de una unción en un punto equivale a que eista: lím 0 ( a ( a Ejemplo: Sea la unción. Calcula, usando la deinición de derivada, ( 0, (. ( a y Como emos visto en el ejemplo anterior, ay que calcular un límite para obtener la derivada de una unción en cada uno de los puntos en los que se nos pida, lo cual es un trabajo molesto y engorroso. Es preerible obtener la unción derivada de, es decir, que nos permita obtener ácilmente el valor de la derivada de esa unción en un punto cualquiera simplemente sustituyendo. Ejemplo: Halla la unción derivada de y úsala para calcular de nuevo ( 0, (. y Proesor: Ramón Lorente Navarro

3 IES Padre Poveda (Guadi También se pueden calcular las derivadas sucesivas de una unción: Si derivamos dos veces la unción obtenemos la derivada segunda y así sucesivamente. Dico de un modo más ormal: (es decir, acemos la derivada de la unción derivada ; si derivamos tres veces obtenemos la derivada tercera Si es una unción derivable en todos los puntos de un intervalo abierto ( a,, entonces la unción: : ( a, R a se llama unción derivada de. : Si a su vez es derivable en ( a, obtenemos su derivada : ( a, R a que se llama unción derivada segunda de. Análogamente se pueden deinir, iv v,... Sin embargo, para derivar unciones NO es necesario acerlo resolviendo límites como en el ejemplo anterior. Eisten sencillas reglas prácticas con las que se pueden allar ácilmente las derivadas de las unciones elementales. Veamos cuales son esas reglas.. REGLAS DE DERIVACIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN Suma y resta ( g g ( g g Producto y cociente ( g g g Producto por un número ( k k Composición de unciones y unción recíproca ( g g ( g g g [ g ] o ( con y y Proesor: Ramón Lorente Navarro

4 IES Padre Poveda (Guadi TABLA DE DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES Funciones simples Funciones compuestas k 0 k k g k g k n n ln loga e ( n ( n g n n g n g g ( g n g n n n n n n g ln g g loga g ln a ln a ( e g e g e a ln g a g a ln a cos g sen g ( cos [ ] sen g cos g ( sen [ ] tg sec g tg [ ] g ( tg sec [ ] cos cos sen a a cos tg Ejemplo : Halla la unción derivada de: a 4 j 6 9 b 7 k c 7 l 4 d 9 m log7 7 e n sen 7 sen 9 ñ g 7 8 i 4 ( ( 7 o p q r s t u v w sen cos e y ( log z α 5 β log χ sen δ cos Ejemplo : Halla la unción derivada de: 4 ( 7 ( 6 ( ( 5 ( 7 5 a c d e sen g 5 e 5 e log( i j ln( k 4 l ln sen ( 5 m ln n ñ o sen( 5 7 e e cos cos e sen( cos( p q r s Proesor: Ramón Lorente Navarro 4

5 IES Padre Poveda (Guadi 4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA. APLICACIONES. Qué a ocurrido en la gráica de y al tomar este límite en la tasa de variación media? Todas estas rectas son secantes a la unción con un punto común A ( a, ( a. ( a ( a tgα T. V. M a a Si 0 entonces P i A, con lo cual la recta i tangente a en ( a ( a A, se obtiene como límite de las rectas secantes. Pero además, la pendiente m de la recta tangente a la unción en ( a ( a ( a ( a m tg α lím tg α lím ( a El resultado anterior ( que m ( a i αi α 0 m A, es:, es decir: se conoce como Interpretación geométrica de la derivada y nos dice que: Pendiente de la recta tangente a la gráica Derivada de una uncion en a de la unción en el punto A( a, ( a ( a [ ] m AP, tgα T V M a.., [ a ] 4.. Recta tangente a una unción y en un punto A ( a, ( a. La ecuación de la recta tangente en su orma punto pendiente es y ( a m( a Pero m ( a m AP m AP tgα T V M a..,. ( a ( a (Por la interpretación geométrica de la B derivada. Por tanto: Ecuación de la recta tangente y ( a ( a ( a a la gráica de en el punto A( a, ( a [ a ] ( a ( a Ejemplo : Calcula la unción derivada de 4 y alla: a Las pendientes de las rectas tangentes en las abscisas, y. Las ecuaciones de dicas rectas tangentes. Ejemplo : Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráica de la unción 4 punto de abscisa. en el Proesor: Ramón Lorente Navarro 5

6 IES Padre Poveda (Guadi 4..Máimos y mínimos relativos (etremos relativos. Si alcanza un etremo relativo en a La recta tangente (si eiste, es decir, si es derivable en a a en ese punto es orizontal y tendrá pendiente cero a 0. Puntos críticos o singulares: son aquellos en los que ( a 0, es decir, los candidatos a máimos o mínimos relativos. Los puntos críticos se obtienen resolviendo la ecuación 0. (Condición necesaria pero NO suiciente para la eistencia de etremos relativos a Si es derivable en a y tiene un etremo relativo en a 0 Sin embargo, que ( a 0 NO implica que tenga un etremo relativo en a como podemos observar en la gráica de esta unción (Pero SÍ proporciona los candidatos. a.. Si 0 entonces: a Si ( a < 0 tiene un máimo relativo en a b Si ( a > 0 tiene un mínimo relativo en a Ejemplo: Estudiar los etremos relativos de la unción Crecimiento y decrecimiento (monotonía. Observa la gráica adjunta de una unción derivable: Si es estrictamente creciente en un intervalo abierto, las rectas tangentes en los puntos de ese intervalo también lo serán sus pendientes serán positivas > 0 en ese intervalo. Por otro lado, si > 0 en un intervalo abierto en el que es derivable Las pendientes de las rectas tangentes serán positivas Las rectas tangentes serán estrictamente crecientes es estrictamente creciente en ese intervalo abierto. Análogamente, si es estrictamente decreciente en un intervalo abierto, las rectas tangentes en los puntos de ese intervalo también lo serán y por tanto sus pendientes serán negativas < 0 en ese intervalo. Por otro lado, si < 0 en un intervalo abierto en el que es derivable Las pendientes de las rectas tangentes serán negativas Las rectas tangentes serán estrictamente decrecientes es estrictamente decreciente en ese intervalo abierto. Sea una unción derivable en un intervalo abierto ( a,. a Si > 0 en ( a, es estrictamente creciente en ( a,. Si < 0 en ( a, es estrictamente decreciente en ( a,. c Si 0 en ( a, es constante en ( a,. Proesor: Ramón Lorente Navarro 6

7 IES Padre Poveda (Guadi Para determinar los intervalos de monotonía de una unción derivable así como sus etremos relativos, tendremos en cuenta el signo de la primera derivada de acuerdo con el siguiente esquema de la recta real. En el caso de que eistan puntos en los que no es continua o no es derivable, también abrá que considerarlos al acer el esquema anterior. Si a es un punto singular de (es decir, 0 a > 0 a su izquierda ( est. creciente < 0 a su dereca ( est. decrecient e < 0 a su izquierda ( est. decrecient e > 0 a su dereca ( est. creciente a y tiene un máimo relativo en a tiene Ejemplo: Estudia la monotonía de la unción. un mínimo relativo en a Estudia también sus etremos relativos a partir de la inormación proporcionada por la monotonía Conveidad y concavidad (curvatura. Para determinar los intervalos de conveidad y de concavidad de una unción tendremos en cuenta el signo de la segunda derivada de acuerdo con el siguiente esquema de la recta real: En el caso de que eistan puntos en los que no es continua o no es derivable, también abrá que considerarlos al acer el esquema anterior. Por tanto: Si > 0 en un intervalo abierto ( a, es convea en ( a,. Si < 0 en un intervalo abierto ( a, es cóncava en ( a,. Además, diremos que presenta en a un punto de inleión si en él la unción pasa de ser convea a cóncava o viceversa (la recta tangente atravesará la curva. Si: ( a ( a... n... ( a 0 n y ( a 0. Entonces: Si n es par Etremo relativo en a. Si n es impar Punto de inleión en a. a Candidatos a puntos de inleión: son aquellos en los que 0 puntos de inleión se obtienen resolviendo la ecuación 0.. Es decir, los posibles El cambio de curvatura nos asegurará que, en eecto, estamos en presencia de un punto de inleión siempre que la unción sea, al menos, continua en a. También podemos aplicar la siguiente propiedad: Si ( a 0 y ( a 0 tiene un punto de in leión en a. 4 Ejemplo: Estudia la curvatura y puntos de inleión de Proesor: Ramón Lorente Navarro 7

8 IES Padre Poveda (Guadi 5. DERIVADAS LATERALES. A los siguientes límites, si eisten y son initos, se les llama: ( a ( a a lím ( a ( a a lím Derivada por la izquierda de en a Derivada por la dereca de en a Ambos límites reciben el nombre de derivadas laterales de la unción en a. a es derivable en a Eisten a a a a, son initos y ( a ( a En cuyo caso, Ejemplo: Comprueba que la unción valor absoluto derivable en 0. Represéntala. si 0 Solución: si < 0 ( 0 ( 0 ( 0 0 lím lím 0 0 ( 0 ( 0 ( 0 0 lím lím 0 0 Por tanto, la unción no es derivable en 0., que es continua en 0, no es lím 0 lím 0 ( 0 ( 0 6. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD. Si observas el ejemplo anterior está claro que Una unción continua en a NO tiene por qué ser derivable en a (podrá serlo o no. Si es continua en a pero no derivable en a, tendremos puntos angulosos (con pico como en las dos primeras iguras, o puntos de tangente vertical como en la tercera: Funciones continuas en a pero no derivables en a. Sin embargo: Si es derivable en Por tanto: Si NO es continua en a es continua en a. a NO puede ser derivable en a. Función no continua en a y, por tanto, no derivable en a. Una unción derivable tendrá una gráica suave sin puntos angulosos. Ejemplo : Estudie la continuidad y derivabilidad de las unciones: si < si a si b si > 8 si > Ejemplo : Determina los valores de a y b para que sea derivable la unción: a si b si > Proesor: Ramón Lorente Navarro 8

9 IES Padre Poveda (Guadi Ejercicios:. Calcula la derivada de las siguientes unciones: 5 4 a 5 4 d e 5 g 6 4 j sen e m n o sen cos p cos tg b c 5 5 i 4 ( 5 k 7 e l e ln log ñ q sen sen cos s t ( tg u r 5 sen. Utiliza la regla de la cadena para allar la derivada de las siguientes unciones: ( 6 a ( c ( d ( ( 4 e cos5 ln ( 4 7 g ln ( sen j 8 5 cos e m o i sen l 7 k sen( cos n log5( ñ tg cos 4 p sen tg q sen cos e Proesor: Ramón Lorente Navarro 9